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Estática de Fluidos

A diferencia de los sólidos, las moléculas de los fluidos no ocupan posiciones estáticas sino que pueden moverse más o menos libremente; en los líquidos la concentración de moléculas por unidad de volumen se mantiene alta, mientras que en los gases es mucho menor. Por ello las moléculas de los líquidos muestran propiedades de cohesión, fuerzas atractivas entre moléculas, que causan que los líquidos no se expandan hasta ocupar todo el espacio libre como ocurre en los gases, pero en cambio se puede deformar el líquido sin modificar su volumen sin resistencia alguna simplemente introduciéndole en recipientes diferentes.


La Estática de fluidos trata el tema del equilibrio estático de un fluido desde el punto de vista macroscópico, sin tener en cuenta el nivel molecular. Además, consideraremos que son fluidos perfectos, que significa que podemos deslizar una porción de fluido sobre otra sin encontrar resistencia tangencial (fig. 1).

Fig. 1: Fluido perfecto. Esquemáticamente, una capa de fluido se mueve paralelamente a otra sin resistencia.

Presión en el interior de un fluido estático

Sea dS un elemento de superficie en el interior del fluido, situado según una orientación cualquiera, y razonemos sobre las fuerzas que actúan; sea dF la resultante de todas esas fuerzas sobre dS, seguro que dF será perpendicular a dS, de otro modo habría una componente de fuerza tangencial y como el fluido ideal no ofrece resistencia el fluido se deslizaría y no estaría estático.

El cociente p = dF/dS es la presión sobre la superficie elemental dS; tomando el punto central de dS diremos que p es la presión sobre el punto P. Estamos suponiendo que dS tiene dimensiones despreciables desde el punto de vista macroscópico. Hemos dicho que el elemento dS puede tomar cualquier orientación en el sentido de que la presión resultante p en su centro P será siempre la misma; esa presión sólo dependerá de la posición de P. Si la orientación influyera, entonces la presión sobre el mismo punto P seria distinta según la dirección que lo miramos, eso equivale a considerar un fluido anisótropo (con propiedades físicas distintas según la dirección) que no consideraremos, y en todo caso no seria un fluido ideal.

Equilibrio del fluido en el campo gravitatorio

Consideremos un elemento de fluido con forma de caja alargada de dimensiones a, db, dc (db y dc mucho menores que a) que alineamos con los ejes cartesianos X, Y, Z.

Fig. 2: Elemento diferencial de fluido en equilibrio estático

Sobre él actúa la presión interna del fluido, que es variable según la posición (x, y, z), y la gravedad. Hagamos coincidir el eje Z con la dirección de la gravedad pero en sentido contrario.  En la dirección del eje X tenemos dos caras separadas por la distancia a, sobre la cara en la posición x = 0 consideremos que actúa la presión p(x=0) igual en toda la cara (por ser la cara un elemento de dimensiones pequeñas, db·dc) y sobre la cara opuesta una presión p(x=1) también igual en toda la cara; como el fluido está en equilibrio, según el eje X las fuerzas deben de anularse:

p(x=0)\;\cdot\;db\cdot dc\;-\;p(X=a)\cdot\;db\cdot dc\;=\;0;

implica que

p(X=0) = p(X=a).  [1]

Esta igualdad nos dice que en todos los puntos del fluido del mismo nivel Z (respecto a la vertical de la gravedad) existe la misma presión.

Con este resultado podemos considerar una caja de fluido de dimensiones cualesquiera a, b, c;

Fig. 3: elemento de fluido en equilibrio de dimensiones arbitrarias

En efecto, las presiones sobre las caras izquierda y derecha van a ser las mismas;

p(x=0)=\int_0^bP(z)\cdot c\cdot\operatorname dz=c\int_0^bP(z)\cdot\operatorname dz,\\p(x=a)=\int_0^bP(z)\cdot c\cdot\operatorname dz=c\int_0^bP(z)\cdot\operatorname dz.

Consideremos ahora las caras superior e inferior de la caja; están separadas por una distancia b y tienen una área a·c; la presión sobre la cara superior es constante pera toda la cara, p(Z=b) y ejercerá una fuerza dirigida hacia abajo -p(Z=b)·a·c; sobre la cara inferior la presión es P(z=0), constante, y la fuerza será dirigida hacia arriba e igual a +p(Z=0)·a·c. Sumando esas fuerzas con el peso de la caja de fluido que tomamos como g·ρ·V, siendo ρ la densidad del fluido y V el volumen de la caja, o sea V = a·b·c, obtenemos:

-p(z=b)\cdot ac\;+\;p(z=0)\cdot ac\;-\;g\rho abc\;=\;0;

simplificando términos:

-p(z=b)\;+\;p(z=0)c\;-\;g\rho b\;=\;0. [2]

El incremento de presión según Z, Δp, se define como la diferencia de presión según aumentamos z: Δp= p(Z = b) – p(Z = 0), por ello, [2] nos da el incremento de presión negativo;

-\triangle p\;-\;g\rho z\;=\;0\Rightarrow\boxed{\triangle p=-\;g\rho z} [3]

Esta es la ecuación de la Estática de los fluidos en el campo gravitatorio para fluidos incompresibles (la presión no afecta a la densidad del fluido).

Para fluidos compresibles la densidad ρ es variable según la presión, y ésta sólo depende de la profundidad z; diferenciando [3]  respecto z obtenemos

\operatorname dp=-\;g\rho\left(z\right)\operatorname dz [4]

que es es la ecuación de la Estática de los fluidos en el campo gravitatorio para fluidos compresibles. Si conocemos como varia la densidad con la altura (o con la presión) entonces podemos integrar la ecuación [4] para todo el volumen del fluido:

\int dp\;=\;-\int g\cdot\rho\left(z\right)\cdot dz\Rightarrow\triangle p=-g\int\rho\left(z\right)dz [5]

Para los líquidos, que son prácticamente incompresibles emplearemos [4]. En cambio para fluidos compresibles necesitaremos conocer como varia la densidad ρ para poder integrar [4].

  • Pregunta: ¿Qué condiciones debería cumplir un fluido para que su presión fuera la misma en todos sus puntos?
  • Respuesta: Hemos visto que la presión varia con la profundidad debido al peso del líquido, o sea a la gravedad; si queremos una presión constante, debemos estar en gravedad cero, o alternativamente, la densidad del fluido debe de ser despreciable. Por ejemplo el gas hidrógeno a 0⁰C es un fluido compresible que tiene un densidad de 0.071 gr/litro = 0,071kg/m³, si una botella de 1litro de gas hidrógeno tiene una altura de h = 0.25m, aplicando [3] (o sea despreciando la compresión del gas debido a su peso) tenemos una diferencia de presión entre la parte superior y la inferior de:

\triangle p=-\;g\rho z=-9,81\cdot0.071\cdot0,25=0.174\frac N{m^2}

La presión se expresa en Newtons por m², o sea en Pascales (unidad de presión en el sistema internacional). Una presión de 0.174Pa es bastante baja, equivale a la presión ejercida sobre nuestro dedo (aproximadamente con una área de 1cm²) por un peso de 17 miligramos, equivalente al peso de 3 granos de arena sobre el dedo índice. Así pues la presión en todos los puntos de la botella con gas hidrógeno puede considerarse bastante constante.

Principio de Pascal

 Según la expresión [3] la diferencia de presión en el seno de un líquido debe depender sólo de la diferencia de profundidad, sin importar la presión interna del líquido; entonces si aumentamos la presión en un punto cualquiera del líquido, seguirá cumpliéndose [3]; ellos sólo es posible si la presión ejercida sobre ese punto se transmite por el líquido a todo su volumen. Esto es consecuencia de la propiedad de los fluidos de no soportar esfuerzos cortantes (el fluido se movería) y si el fluido es un líquido que no se comprime por la presión y además está estático entonces debe transmitir esa presión por igual a todos los puntos para mantener el equilibrio. Este es el principio de Pascal:

Las presiones ejercidas en un líquido estático se transmiten por igual a todos sus puntos.

La aplicación práctica clásica es la prensa hidráulica (fig. 4): dos émbolos de áreas bien distintas cierran un volumen de líquido de tal forma que si ejercemos una fuerza F sobre el émbolo menor, presionamos el fluido en una cantidad p = F/S donde S es la superficie de ese émbolo menor; esa presión se transmite a todo el líquido, y en particular llegará al émbolo mayor. Si ese émbolo tiene una superficie n veces mayor que el menor, entonces la fuerza que el líquido ejercerá sobre el embolo será F’ = p·nS = (F/S)·nS = nF, vemos que se ejerce una fuerza F’ tanto mayor como o son las areas de los émbolos.

fig. 4: Aplicación práctica del principio de Pascal, prensa hidráulica.

Por ejemplo si los émbolos son  cuadrados de lado l = 0.2m el menor y L = 2m el mayor, la razón de superficies será  L² / l² = 2² / 0.2² = 100, luego aplicando una fuerza F = 10kg en el émbolo pequeño obtendremos una fuerza de 10·100 = 1.000kg en el émbolo mayor. Como la energía se mantiene constante, se deduce que el desplazamiento d que hagamos en el émbolo menor producirá un desplazamiento d/n en el mayor, donde n es la proporción F’/F. En efecto, el trabajo realizado sobre el émbolo menor es W = F·d y debe de ser igual al trabajo realizado por el émbolo mayor W’ = F’·d’; como F’/F = n se sigue que F·d = F’·d’ -> d/d’ = F’/F = n -> d’ = d/n.

 Gases perfectos. Ley de Boyle-Mariotte

En condiciones de temperatura y presión tales que un gas se encuentre lejos de licuarse (pasar de gas a líquido) todos los gases suelen cumplir muy bien la condición de los gases perfectos:

pV\propto T [5]

que nos dice que el producto de la presión por el volumen del gas  es siempre proporcional a la temperatura; en particular si la temperatura se mantiene constante, entonces también los será el producto de la presión por el volumen:

pV = cte  a T =cte [6]

ley denominada de Boyle-Mariotte: cuando se comprime o dilata un gas perfecto a temperatura constante, el producto de su presión por su volumen se mantiene constante. Hay que precisar que al comprimir o dilatar un gas éste se calienta o enfría respectivamente, de forma que en general en la práctica no se cumple exactamente la condición de temperatura constante;  si la expansión o compresión se hace muy lentamente la aproximación se hace bastante buena (se denominan expansión o compresión isotermas). Para saber más sobre variaciones isotermas ver el artículo Trabajo, calor y 1r principio de la Termodinámica.

Principio de Arquímedes

Fig. 6: Esquema para modelar el Principio de Arquímedes

Imaginemos un cuerpo sólido sumergido en parte en líquido, que está flotando en equilibrio. Para lograr ese equilibrio, las presiones ejercidas por el líquido sobre su superficie, más las presiones ejercidas por el fluido aire, más el peso del cuerpo, deben compensarse mútuamente. Además, las fuerzas resultantes de las presiones deben generar una única resultante que esté alineada con la fuerza de la gravedad, vertical y que pasa por el centro de gravedad del cuerpo (de otro modo, se crearía un par de fuerzas de giro entre el peso y la resultante de las presiones y el cuerpo giraría).

Esta resultante E de las presiones que es vertical y pasa por el centro de gravedad se denomina empuje y debe de se igual y de signo opuesto al peso P (figura 6).

Imaginemos ahora que sustituimos la parte sumergida del cuerpo sólido por un volumen idéntico de líquido; las presiones que había sobre el sólido no cambian, el empuje sobre el líquido será el mismo y se transmitirá por todo el seno del líquido añadido, quedando en equilibrio con su peso. Así pues, el empuje será igual el peso del líquido con el que hemos sustituido el cuerpo sólido, este es el principio de Arquímedes:

Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje vertical igual al peso del líquido desalojado.

Es interesante señaĺar que el principio se aplica también al aire: el cuerpo sólido experimentará un empuje hacia abajo debido al volumen de aire que desplaza su parte no sumergida; en la práctica se desprecia ese empuje hacia abajo del aire en comparación con el empuje hacia arriba del líquido (pues la densidad del aire es unas 1.000 veces menor que la del agua) y se suele enunciar la versión ampliada del principio:

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical igual al peso del líquido desalojado.

  • Pregunta: ¿Varía con la altura la fuerza ascensional de un globo?
  • Respuesta: El empuje que hace subir al globo se basa en el principio de Arquímedes, pues el globo se llena con un gas de densidad inferior al aire (1,225 kg/m3 a la presión atmosférica normal y a 15 ºC), normalmente con Helio (0.1785 kg/m3), el globo desaloja un volumen de aire que produce el empuje ascencional, como pesa meno que ese aire desalojado, el globo “flota” y se eleva. A medida que va ganando altura, la densidad del aire desciende, a 11.000 metros ya es sólo de 0,3629 kg/m³, por tanto a medida que el globo asciende, el empuje será menor.
  • Pregunta: Si variase la densidad media de la Tierra (5,51 g/cm³), ¿variaría también la densidad del aire atmosférico?
  • Respuesta: En efecto. La atmósfera es una capa de aire con un peso debido a la gravedad de la Tierra, un volumen y una presión. La presión es expansiva, pero el aire no se difunde por el espacio debido a la gravedad. Si la densidad de la Tierra cambia, su peso también, y también la gravedad, por ello se rompería el equilibrio actual y la presión del aire o bien expandiría la atmósfera (caso de una densidad menor de la Tierra) o bien la comprimiría (caso de una densidad mayoir de la Tierra); en ámbos casos, como la masa total de aire no cambia, al cambiar su volumen, cambiaría su densidad.