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Física -> Uso de diferenciales en Física

Frecuentemente encontramos en los libros de texto y apuntes de clase, en las demostraciones de leyes físicas, que aparecen “cantidades diferenciales”. Estas diferenciales tienen relación con el concepto de diferencial de una función y con su derivada en Matemáticas, pero a veces puede quedar un poco oscura esta relación. En este breve artículo pretendemos aclarar conceptos con algunos ejemplos.

Magnitudes diferenciales en Física

Definición 1: Dada una magnitud X denotamos por \triangle X la variación de esa magnitud, o equivalentemente, un intervalo en la magnitud.

Ejemplo 1: Si la magnitud es el tiempo t, entonces \triangle t es un intervalo de tiempo.

Ejemplo 2:  Si la magnitud es una longitud L, entonces \triangle L es un intervalo de longitud, un segmento.

Definición 2: Dada una magnitud X que supondremos continua, denotamos por \operatorname dX su diferencial, y el concepto asociado es un intervalo \triangle X “infinitesimal”, esto es , un intervalo prácticamente nulo. A pesar de que matemáticamente es demasiado ambiguo hablar de “intervalo prácticamente nulo”, el concepto es muy útil en Física, y es usado muy frecuentemente.

Ejemplo 3: El número de electrones N que circulan por segundo por un conductor no es una magnitud continua, sino entera, así que en principio no podemos definir su diferencial; ahora bien, en los casos prácticos, este número es tan elevado que podemos suponer que sí es contínuo, y pensar en diferenciales de N, dN.

Ejemplo 4: Sea un cable que está conduciendo corriente eléctrica

Fig. 4: sección de un conductor recorrido por una corriente de electrones
Fig. 4: sección de un conductor recorrido por una corriente de electrones

El número de electrones que se estan moviendo por el cable es muy elevado, del orden de 10^{20} por cm^3; queremos considerar aquellos que se hallen en una cierta posición x, medida desde el extremo del cable. Si consideramos que los electrones estan distribuidos de forma más o menos uniforme y contínua por el cable, podemos definir la densidad de electrones N por cm^3, pero exactamente en la posición x no podemos calcular cuantos hay; el artificio que se usa consiste en considerar un elemento infinitesimal (muy corto pero no nulo) de longitud \operatorname dL, que empieza en la posición x y termina en la posición x+dL, que tendrá un volumen infinitesimal dV=S·dL (donde S es el área de la sección transversal del cable), y por tanto un número de electrones N·dV=NS·dL. Entonces aproximamos el número de electrones en la posición x por NS·dL.

Relación con la derivación de funciones

Nos podemos encontrar también con que a veces se relacione el cociente de diferenciales con la derivación. Para la descripción matemática de la derivada podemos consultar mi post Cálculo ->Funciones derivables → Introducción al estudio local de una función, del que reproduzco aquí un párrafo:

derivada-incrementos

Ejemplo 5:  La intensidad de corriente se define como la cantidad de carga que pasa por una sección S por unidad de tiempo, I=\frac{\triangle q}{\triangle t}, si la intensidad es variable, entonces se define en un intervalo de tiempo infinitesimal, tan corto que podemos considerar que la intensidad es prácticamente constante (“no la da tiempo” a cambiar), o sea I=\frac{\operatorname dq}{\operatorname dt}.

Ejemplo 6: siguiendo con el ejemplo 5 del cable eléctrico, la carga que está contenida en una sección de longitud L y sección S, teniendo una densidad de N electrones por m^3, será eNSL, siendo e la carga del electrón.  Entonces la intensidad será

I=\frac{\operatorname dq}{\operatorname dt}=\frac{\operatorname d\left(eNSL\right)}{\operatorname dt}=\frac{eNS\operatorname dL}{\operatorname dt}=eNSv

 Fijémonos que la diferencial de eNSL se ha igualado a eNS·dL, pues no estamos considerando intervalos en la magnitudes e (una constante universal) ni N o S (constantes del cable) sinó solo de L (un desplazamiento longitudinal).