Dinámica de fluidos (I). Movimiento estacionario sin viscosidad.

Escalas manejadas en el modelo de fluido en movimiento

En Estática de Fluidos se hace referencia continuamente a las fuerzas intermoleculares entre las moléculas del líquido, pues explican las propiedades macroscópicas observables como por ejemplo la nula resistencia al corte de un líquido ideal, o la cohesión, la tensión superficial  o la capilaridad de un líquido real. Cuando estudiamos los fluidos en movimiento en cambio apartamos de momento el modelo molecular y adoptamos un punto de vista intermedio entre el molecular y el macroscópico, considerando “elementos de fluido” que imaginamos mucho mayores que el diámetro molecular (por ejemplo, una molécula de agua tiene un diámetro de unos 3 Ångstroms, o sea unos 3·10⁻⁶ milímetros) pero mucho menores que un objeto macroscópico como por ejemplo un grano de sal (aproximadamente 1 mm de diámetro), entre esos dos extremos imaginaremos nuestros “elementos de fluido” por ejemplo ocupando longitudes de centésimas de mm: són muy pequeños, pero enormes comparados con las moléculas del fluido.

Fig. 0: factor de escala entre molécula típica, “elemento de fluido” y objeto macroscópico pequeño. La escala vertical es logarítmica, cada paso representa un factor x10.

El flujo líquido estacionario: líneas y tubos de corriente

Quizá recordemos de niños la curiosidad que se nos abría al darnos cuenta de las propiedades de los líquidos en movimiento, de cómo el agua se escurre entre nuestras manos al tiempo que las moja, los remolinos que se forman en un rio, cómo el agua rodea los obstáculos … Obtener las leyes físicas expresadas en ecuaciones que modelen ese comportamiento se ha revelado de una dificultad muy elevada, tanto que algunas cosas importantes permanecen no resueltas (al menos hasta febrero del 2020).

Fig.1: Cascadas de agua, formando espuma y torbellinos

Cuando el líquido está en movimiento, en cada posición del líquido pueden haber velocidades distintas; imaginemos por ejemplo agua bajando por una canal que tiene pendiente variable. Para caracterizar el movimiento de todo el fluido en conjunto deberemos dar su velocidad v en cada punto (x, y, z) y en cada instante t; ¿de qué dependerá esta velocidad? La presión en el interior del fluido es variable y determinará las fuerzas internas ejercidas, además estará la gravedad; si la densidad es variable por ejemplo por la temperatura distinta en distintos puntos las aceleraciones también los serán. En esta primera aproximación al flujo, supondremos que la densidad es constante (son fluidos incompresibles), esto es lícito de suponer si las presiones no son grandes.

Cuando en cada punto (x,y,z) de las trayectorias que traza el fluido las velocidades v(x,y,z) son constantes el movimiento es estacionario; decimos también que se mueve en régimen permanente. Matemáticamente, las velocidades en cada punto geométrico determinado dado por sus coordenadas respecto a un punto de referencia fijo nos proporcionan un campo de velocidades, (estrictamente, un campo vectorial) o sea una función v(x,y,z) que asigna a cada (x,y,z)  un vector  velocidad v. En teoría de campos a las tangentes a los vectores de campo en cada punto se les llama líneas de fuerza, y en el caso concreto de los fluidos, líneas de corriente; como siguen en cada punto la dirección de la velocidad, se sigue que esas líneas coinciden con la dirección del flujo en cada punto. Además, por cada punto del espacio ocupado por el fluido ha de pasar una y sólo una línea de corriente, que es la trayectoria única de cada partícula de fluido en movimiento estacionario cuando pasa por ese punto concreto. En la figura 3 a la izquierda representamos algunas líneas de corriente; si dibujamos dentro del fluido una curva cerrada cualquiera (S en la figura 3 a la derecha) por cada uno de sus puntos pasará una linea de corriente, y el conjunto de S y esas líneas forman un tubo de corriente.

Fig. 3 líneas y tubos de corriente

Si una partícula fluida entra por el tubo en la sección S, seguro que seguirá moviéndose por dentro del tubo pues seguirá una de las líneas de corriente que lo conforman. El tubo de corriente es pues imaginario, pero contiene un flujo como si fuera real.

Ecuación de continuidad: conservación de la masa

En la figura 3 imaginemos la masa de fluido, en un cierto instante t, contenida en la parte del tubo de corriente delimitada por AA’-CC’ y supongamos que al cabo de un tiempo “corto” dt ese fluido ocupe la sección de tubo BB’-DD’; tomemos v como el módulo de la velocidad media en la sección AA’ y como v’ el de la sección BB’

La masa de fluido incompresible m(AA’-CC’) puede descomponerse en dos secciones, la m(AA’-BB’) y la m(BB’-CC’); de la misma forma, la masa m(BB’-DD’) se compone de la m(BB’-CC’) más la m(CC’-DD’):

m(AA’-CC’) = m(AA’-BB’) + m(BB’-CC’)

m(BB’-DD’) = m(BB’-CC’) + m(CC’-DD’)

Pero por conservación de la masa, las contenidas en AA’-CC y en BB’-DD’ son las mismas masas que se han movido, así pues:

m(AA’-BB’) + m(BB’-CC’) = m(BB’-CC’) + m(CC’-DD’)

y simplificando,

m(AA’-BB’) = m(CC’-DD’)   [1]

El cilindro AA’-BB’ tiene una altura dada por v·dt, y si su sección es S, su volumen será S·v·dt; para el cilindro CC’-DD’ tendremos S’·v’·dt; llamando ρ y ρ‘ a las densidades en S y S’ respectivamente, y sustituyendo todo en [1] obtenemos la ecuación de continuidad:

Svρ = S’v’ρ’  = cte  [2]

que para el caso de densidad constante ρ = ρ’ se simplifica más:

Sv = S’v’  = cte    [3]

y nos dice que en un tubo de corriente la velocidad es inversamente proporcional a la sección del tubo: a más sección menos velocidad. El producto de la velocidad [m/s] por la sección [m²] es el caudal del flujo en [m³/s].

Teorema de Bernoulli: conservación de la energía

Consideremos un elemento de fluido que es una  sección de un tubo de corriente, tal como la de la figura 3, pero con una longitud dl muy corta (o sea cortamos las líneas de corriente en un tiempo dt) y una sección también pequeña dS; la masa contenida será dm = ρ·g·dS·dl.  El movimiento de esa masa seguirá la 2a ley de Newton: F = m·a, donde el elemento de fluido seguirá una linea de corriente; las fuerzas que actúan serán debidas a la diferencia de presión entre las caras del elemento y a la gravedad. dp será la diferencia de presión que causará una fuerza dS·dp (suponemos que el tubo tiene sección idéntica en sus dos extremos por ser su longitud dl muy pequeña), en cuanto al peso lo descompondremos según la dirección de la línea de corriente, que supondremos tiene una inclinación de α respecto a la vertical (figura 4, izquierda).

Fig. 4: elemento de fluido y fuerzas que actúan

La fuerza total será pues, según la figura 4,  -dp·dS – ρ·g·dS·dl·cos(α),

En la figura 4 a la derecha detallamos la geometría del problema, y definimos una cantidad dy = dl·cos(α), que representa el incremento de altura del elemento de fluido al pasar de AA’ hasta BB’;  sustituyendo en la expresión de la fuerza total:

dF = -dp·dS – ρ·g·dS·dy    [4]

y aplicando la 2º ley de Newton, igualamos a la masa x aceleración, siendo ésta (dv / dt)

dF = -dp·dS – ρ·g·dS·dy = ρ·dS·dl·(dv/ dt) [5]

tengamos en cuenta que la velocidad v = dl /dt, entonces  dl = v·dt -y sustituyendo en [5]:

-dp\cdot dS\;-\;\rho\cdot g\cdot dS\cdot dy\;=\;\rho\cdot dS\cdot v\cdot dv\Rightarrow\\\frac{\operatorname dp}\rho+gdy+v\cdot dv=0\Rightarrow\\\boxed{\int\frac{\operatorname dp}\rho+gy+\frac12v^2=cte.}  [6]

El 2º término es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa y el 3º es la energía cinética por unidad de masa; en cuanto al primero ha de ser también una energía por unidad de masa de la cual derivan las presiones internas del fluido. Considerando la densidad constante, nos queda:

\p+\rho gy+\frac12\rho v^2=cte  [7]

que es el teorema de Bernoulli de conservación de la energía para fluidos incompresibles.

Ecuaciones de estado del flujo incompresible

Las ecuaciones del estado de un sistema especifican totalmente los estados y sus variaciones en el tiempo; ya hemos obtenido estas ecuaciones, para un líquido incompresible la primera ecuación de estado establece que al densidad  \rho es constante: \rho=cte. La siguiente ecuación expresa la conservación de la materia y es la ecuación de continuidad: cuando el fluido se mueve “se va” de un sitio para otro pero no desaparece ni cambia su masa: Sv = S’v’  = cte , La tercera ecuación expresa la conservación de la energia y es la de Bernouilli \triangle p+\rho gy+\frac12\rho v^2=cte. Las tres juntas proporcionan solución al problema de determinar las velocidades de un fluido incompresible en cada punto:

\left\{\begin{array}{l}\rho=cte.\;(fluido\;incompresible)\\Sv\;=\;S'v'\;\;=\;cte.\;(continuidad,\;masa\;se\;conserva)\\\triangle p+\rho gy+\frac12\rho v^2=cte.\;(Bernouilli,\;energia\;se\;conserva)\end{array}\right.   [8]

Ejemplo. Por una tubería de sección circular, horizontal, circula agua en régimen estacionario con un caudal de 0,9m³ /minuto. En el punto A el diámetro de la tubería es de 10,8cm y la presión 1,2atm. ¿Cuál será la presión en otro punto B con un diámetro de 4,6cm?

Solución: El caudal Sv nos dicen que es igual a 0,9 [m³/min] = 3/200 [m³/s]. El caudal se define por el producto Sv siendo S el área de la tubería y v la velocidad del fluido, y tenemos que el área S vale

\mathrm S=\mathrm{πr}^2=\mathrm\pi\left(\frac{10.8\cdot10^{-2}\mathrm m}2\right)^2=0.092\mathrm m^2,

y entonces la velocidad v en S es

\mathrm v=\frac{\mathrm{Sv}}{\mathrm S}=\frac{3/200}{0.092}=1.64\frac{\mathrm m}{\mathrm s}.

Para el otro lado de la tubería procedemos igual pues la ecuación de continuidad [3] nos asegura que el caudal es el mismo, Sv = S’v’:

\mathrm S'=\mathrm{πr}'^2=\mathrm\pi\left(\frac{4.6\cdot10^{-2}\mathrm m}2\right)^2=0.002\mathrm m^2;\\\mathrm v'=\frac{\mathrm{Sv}}{\mathrm S'}=\frac{\mathrm S'\mathrm v'}{\mathrm S'}=\frac{3/200}{0.002}=9.03\frac{\mathrm m}{\mathrm s}.

Aplicando ahora Bernoulli  [7] (con y = 0 pues la tubería es horizontal) se cumple que

p+\frac12\rho v^2=p'+\frac12\rho v'^2

Sustituimos valores:

121590+\frac121000\cdot164^2=p'+\frac121000\cdot9.03^2\Rightarrow p'=82165\;Pa

equivalente a 0.81 atm.

Aplicación práctica: pulverizador

En la figura 5 se representa el esquema de un pulverizador simple de líquidos. En C tenemos un émbolo que empuja el aire hacia la izquierda, forzándolo a salir por un estrecho orificio en A. Según la ecuación de continuidad como el área S’ en el punto A es mucho menor que la S en C, la constancia del caudal total implica que la velocidad de salida del aire v’ en A será mucho mayor que la velocidad v del émbolo, en la  proporción inversa a las areas: v’/v = S/S’, por ejemplo si apretamos bruscamente el émbolo dándole una velocidad v  = 1 m/s y las áreas son S = 10cm², S’ = 0.005cm², entonces v’ = (10/0.005)·1 = 2.000m/s.  En realidad esta velocidad es irreal, pues el aire es un fluido compresible y las ecuación de continuidad no vale para este caso, pero lo que sí se cumple es que la valocidad de salida será muy elevada.

Fig. 5: pulverizador simple de líquidos

Aplicando Bernoulli entre A y C:

101325+\;\frac121,225\cdot1^2=p'+\frac121,225\cdot v^2\Rightarrow\\p'=101325\;+\;\frac121,225\left(1-v^2\right),

y como el término 1-v^2 de la derecha se hace muy grande, la presión p’ en el la salida A es mucho menor que la atmosférica, produciendo un vacío relativo en el tubo AB que succiona el líquido contenido y lo impulsa hasta A, donde la corriente de aire a alta velocidad pulveriza el líquido.

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