Física -> Problemas de Mecánica -> Dinámica: campo gravitatorio

1 – Un objeto se aleja de la Tierra a una velocidad radial de 5 m/s; observamos que 20 minutos después su velocidad ha pasado a ser de 4.5 m/s. ¿Cuál es la intensidad media del campo gravitatorio terrestre en ese intervalo?

Solución:

Llamando g(r) a la intensidad del campo gravitatorio a una distancia r de la Tierra, la fuerza gravitatoria sobre una masa m será F=mg(r); sabemos que en t=0 la velocidad era de 5 m/s, y en t=20·60=1200s era de 4.5 m/s, luego la aceleración media ha sido

a=\frac{\triangle v}{\triangle t}=\frac{4.5-5}{1200}=-\frac1{2400}\frac m{s^2}

Aplicando la 2ª ley de Newton F=ma, e igualando con la fuerza gravitatoria, obtenemos

F=ma=\frac m{2400}=mg\Rightarrow\boxed{g=\frac1{2400}\frac m{s^2}}

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2. Dos objetos de masas m y M se atraen con una fuerza gravitatoria de 80N cuando están a una cierta distancia d; ¿con que fuerza se atraerán dos objetos de masa 10m y M situados a una distancia de 4d?

Solución:

En el primer caso la fuerza gravitatoria será F=G\frac{mM}{d^2}=80N y en el segundo será F'=G\frac{10mM}{\left(4d\right)^2}=G\frac{10mM}{16d^2}=\frac{10}{16}\left(G\frac{mM}{d^2}\right)=\frac58F=\frac5880=\boxed{50N}

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3. Calcular a que altura la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la mitad del que tiene en la superficie,

Solución:

La intensidad del campo gravitatorio es g=GM_T/R^2; en la superficie tenemos R=R_T, el radio de la Tierra, y a una altura h tenemos R=R_T+h. La proporción entre intensidades es

\frac g{g'}=\frac{GM_T/R_T^2}{GM_T/\left(R_T+h\right)^2}=\frac{1/R_T^2}{1/\left(R_T+h\right)^2}=\frac{\left(R_T+h\right)^2}{R_T^2}=\left(\frac{R_T+h}{R_T}\right)^2

Como esa proporción queremos que valga g/g'=g/(0.5g)=1/0.5=2, sustituimos y despejamos h:

\begin{array}{l}\frac g{g'}=2=\left(\frac{R_T+h}{R_T}\right)^2\Leftrightarrow\frac{R_T+h}{R_T}=\sqrt2\Leftrightarrow R_T+h=\sqrt2R_T\Leftrightarrow\\h=\sqrt2R_T-R_T=\left(\sqrt2-1\right)R_T\approx\left(\sqrt2-1\right)\cdot6371Km\approx\boxed{2639\;Km}\end{array}

Este resultado es fácilmente generalizable a cualquier proporción p>1: h=\left(\sqrt p-1\right)R_T

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