Física -> Problemas de Mecánica -> Dinámica: fuerzas, rotación, movimiento armónico

I. [Rotación] Dos ruedas de diámetros 0,5m y 0,25m están girando a 200 rpm y 100 rpm respectivamente, cuando les aplicamos simultáneamente un freno, quedando en reposo en 10s y 20s respectivamente. ¿En qué instante de tiempo t estarán girando a la misma velocidad? En ese momento, ¿cuales serán las aceleraciones lineales y tangenciales en un punto situado en la periferia de ambas ruedas? Cuando se hayan detenido, ¿qué ángulo total habrán girado desde el momento que aplicamos el freno?

Solución:

Cuando frenamos las ruedas tendremos un movimiento circular uniformemente acelerado, con aceleración negativa que con los datos del problema supondremos constante. Sabemos que la velocidad angular \omega en un movimiento uniformemente acelerado es \omega=\omega_0+\alpha t donde \omega_0 es la velocidad angular inicial, que viene dada por el enunciado, y \alpha es la aceleración angular. Como cada rueda gira y frena a su ritmo, si queremos saber en qué instante coincidirán sus velocidades angulares, plantearemos la ecuación

\omega_1=\omega_{0_1}+\alpha_1t=\omega_2=\omega_{0_2}+\alpha_2t

Sustituimos valores y pasamos de r.p.m. a radianes/segundo:

200\frac{2\pi}{60}+\alpha_1t=100\frac{2\pi}{60}+\alpha_2t [1]

Para encontrar t necesitamos saber las aceleraciones angulares, que como son constantes, pueden calcularse usando la fórmula

\alpha=\frac{\triangle\omega}{\triangle t}=\frac{\omega_f-\omega_0}{t_f-t_0}

sustituimos valores:

\alpha_1=\frac{0-2\cancel{00}{\displaystyle\frac{2\mathrm\pi}{6\cancel0}}}{1\cancel0}=-\frac{2\mathrm\pi}3\frac{rad}{s^2};\;\alpha_2=\frac{0-1\cancel{00}{\displaystyle\frac{\bcancel2\mathrm\pi}{6\cancel0}}}{\bcancel2\cancel0}=-\frac{\mathrm\pi}6\frac{rad}{s^2}

sustituimos estas aceleraciones en la ecuación [1] para hallar t:

\begin{array}{l}20\bcancel0\frac{2\cancel\pi}{6\bcancel0}-\frac{2\cancel{\mathrm\pi}}3t=10\bcancel0\frac{2\cancel\pi}{6\bcancel0}-\frac{\cancel{\mathrm\pi}}6t\Leftrightarrow\\\frac{20}3-\frac{10}3=\frac23t-\frac16t\Leftrightarrow\\\frac{10}3=\frac12t\Leftrightarrow\boxed{t=\frac{20}3}\end{array}

En el instante t=\frac{10}3 las velocidades angulares serán idénticas:

\begin{array}{l}\omega_1=20\bcancel0\frac{2\mathrm\pi}{6\bcancel0}-\frac{2\mathrm\pi}3\frac{20}3=\frac{20}9\mathrm\pi\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}\\\omega_2=10\bcancel0\frac{2\mathrm\pi}{6\bcancel0}-\frac{\mathrm\pi}6\frac{20}3=\frac{20}9\mathrm\pi\frac{rad}{\mathrm s}\end{array}

Las aceleraciones tangenciales y normales vienen dadas por:

\begin{array}{l}a_t=\frac{\triangle v_t}{\triangle t}=\frac{\triangle\left(\omega R\right)}{\triangle t}=\frac{R\triangle\left(\omega\right)}{\triangle t}=R\alpha,\;\\a_n=\frac{v^2}R=\frac{\left(\omega R\right)^2}R=\omega^2R\end{array}

sustituimos los valores para cada rueda en el instante que hemos calculado, para la primera:

\begin{array}{l}a_{t1}=0.5\cdot\frac{2\mathrm\pi}3=\frac{\mathrm\pi}3\approx1\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2};\;\\a_{n1}=\left(\frac{20}9\mathrm\pi\right)^20.5=\frac{200}{81}\mathrm\pi^2\approx24.4\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\end{array}

para la segunda:

 \begin{array}{l}a_{t2}=0.25\cdot\frac{\mathrm\pi}6=\frac{\mathrm\pi}{24}\approx0.1\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2};\;\\a_{n2}=\left(\frac{20}9\mathrm\pi\right)^20.25=\frac{100}{81}\mathrm\pi^2\approx12.2\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\end{array}

El ángulo girado en el movimiento circular uniformemente acelerado viene dado por \theta=\theta_0+\omega t+\frac12\alpha t^2. Sustituimos los valores para cada rueda:

\begin{array}{l}\theta=200\frac{2\mathrm\pi}{60}10-\frac12\frac{2\mathrm\pi}310^2=\frac{100}3\mathrm\pi\;\mathrm{rad}\approx16.7\;\mathrm{vueltas};\\\mathrm\theta=100\frac{2\mathrm\pi}{60}20-\frac12\frac{\mathrm\pi}620^2=\frac{100}3\mathrm\pi\;\mathrm{rad}\approx16.7\;\mathrm{vueltas}\end{array}

ambas han girado el mismo número de vueltas antes de detenerse.

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2. [Rotación] Un vehículo toma una curva peraltada de radio R=60m en la que el rozamiento es nulo a 60 km/h. Hallar el ángulo que ha de tener el peralte para que no se produzca derrape de las ruedas.

Solución:

Geometría del problema
Geometría del problema

En la figura vemos una representación frontal del vehículo, de masa m, tomando la curva peraltada de radio R y ángulo de peralte ɑ. Definimos los ejes coordenados XY como muestra la figura, y aplicamos la 2ª ley de Newton, \sum_{}F=ma, a cada eje:

Eje X: Como el vehículo está efectuando un giro de radio R, experimentará una fuerza normal F_n=mv^2/R en la dirección de X. Además, en la figura vemos que el peso mg tiene también una componente según -X que valdrá mg\sin\left(\alpha\right). Como no hay derrape, la aceleración según X ha de ser cero:

\begin{array}{l}\sum_{}F=ma\Rightarrow\frac{mv^2}R-mg\cdot\sin\left(\alpha\right)=0\Rightarrow\frac{v^2}R-g\cdot\sin\left(\alpha\right)=0\Rightarrow\\\sin\left(\alpha\right)=\frac{v^2}{gR}\Rightarrow\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{v^2}{gR}\right)\end{array}

Vemos que el ángulo de peralte no depende de la masa del vehículo; sustituimos valores:

\alpha=sin^{-1}\left(\frac{\left(60/3.6\right)^2}{9.8\cdot60}\right)=sin^{-1}\frac{625}{1323}\approx\boxed{28.2^\circ}

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3. [Rotación] Dejamos caer la masa m de un péndulo simple desde la posición horizontal en reposo; ¿cuál será la tensión de la cuerda del péndulo cuando la masa pase por la posición vertical?

Solución:

pendul

La masa m del péndulo inicialmente está en la posición superior, suponiendo que el objeto es pequeño, su altura respecto a la posición inferior será aproximadamente igual a la longitud de la cuerda L. Por tanto su energía potencial gravitatoria será E_p=mgh=mgL. Esta energía potencial se convertirá totalmente en energía cinética en el punto más bajo de la trayectoria circular:

\frac12mv^2=mgL\Leftrightarrow v^2=2gL

Según el eje de coordenadas vertical Y, las fuerzas que actúan sobre el objeto son: el peso mg, la fuerza normal mv²/L y la tensión T de la cuerda. Como en el punto más bajo de la trayectoria circular no hay aceleración según el eje vertical, aplicando la 2ª ley F=ma obtenemos:

T-mg-m2gL/L=0\Rightarrow\boxed{T=3mg}

La tensión en el punto más bajo resulta ser el triple del peso del objeto que oscila, independientemente de la longitud de la cuerda.

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4. [Movimiento armónico] A un muelle de 0.4m de longitud que situamos sujeto verticalmente  por uno de sus extremos le colgamos en el extremo libre un peso de  masa 50gr, de forma

mov_oscil1
Posición de máxima elongación

que el resorte se estira y queda en equilibrio con una longitud de 0.45m. Tiramos para abajo del peso hasta alargar el muelle 6cm más abajo, y soltamos, de forma que la masa comienza a oscilar. ¿Cuál será su aceleración cuando el resorte mida 0.44m? ¿Qué fuerza se ejerce sobre la masa en esa posición?

Solución:

La masa describirá un movimiento armónico simple, con posición de equilibrio en el punto en que el muelle mide 0.45m, y máxima elongación cuando mide 0.51, con ecuación del movimiento:

x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right)=0.05\cos\left(\omega t+\varphi\right);

Para la máxima elongación x = A, obtenemos:

t=0\Rightarrow x\;=\;0.05=0.05\cos\left(\omega\cdot0+\varphi\right)\Rightarrow\cos\left(\varphi\right)=1\Rightarrow\varphi=0.

La fase inicial es pues cero. La pulsación \omega se relaciona con la masa m y con la constante de recuperación del muelle, k, por: \omega=\sqrt{k/m}.

Nos falta la constante k del muelle: la determinamos a partir de la posición de equilibrio estática inicial, en ella la elongación del muelle es x= 45- 40 = 5 cm, y la aceleración es cero. Además, la aceleración de la masa será a = F/m, siendo F la fuerza neta sobre la masa, que se compone de su peso, mg, y de la fuerza que ejerce el muelle sobre la masa, F = -kx, siendo x el desplazamiento del muelle respecto de su posición de equilibrio. Si lo unimos todo:

a = (-mg + kx) / m = -g + kx/m

Fijémonos en los signos: consideramos + las fuerzas y aceleraciones “hacia arriba”, entonces el peso es negativo, y la fuerza del muelle, positiva; otro modo de verlo que que en la fórmula F = -kx se considera x positiva cuando el muelle se alarga, pero con nuestro convenio de considerar positivos los desplazamientos hacia arriba (comprimiendo el muelle), implica que x es negativo: F = -k(-x) = kx, resulta una fuerza del muelle positiva.

Para la posición de equilibrio:

0 = (-mg + kx) / m = -9.8 + k·0.05 / 0.050  -> k = 9.8 N/m

Ya tenemos la ecuación del movimiento armónico (que de hecho no no pedían, pero de todas formas la damos):

\begin{array}{l}\omega\;=\sqrt{k/m}=\sqrt{9.8/0.05}=14\Rightarrow\boxed{x=0.05\cos\left(14t\right)}\\\end{array}

La aceleración del movimiento armónico, en general, viene dada por a=-\omega^2x;, sustituyendo valores,

a=-14^2\cdot0.04=7.84ms^{-2}

La fuerza del muelle sobre la masa será F = -kx = -9.8(-0.04) = 0.392N

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5. [Movimiento armónico] Dos piezas A y B, de 19 y 42Kg respectivamente, están unidas por un resorte, y el conjunmov_oscil2to está apoyado sobre un plano horizontal. La pieza A está oscilando verticalmente con una frecuencia de 5Hz y una amplitud de 1.8cm. Despreciando la masa del muelle, ¿cuál es la fuerza máxima y la fuerza mínima ejercidas por el conjunto sobre el soporte?

Solución:

El diagrama de fuerzas es el siguiente:

mov_oscil3
Fuerzas cuando el muelle está comprimido, tomamos x > 0 en este caso

F_m es la fuerza ejercida por el muelle sobre cada pieza, y N la fuerza normal ejercida por el soporte sobre la pieza B que está en contacto; además tenemos los pesos de las piezas. Excepto los pesos, las demás fuerzas son variables con el tiempo, pues la pieza A está oscilando con movimiento armónico x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) donde x es la elongación del muelle.Tenemos la A = 0.18m, y también tenemos la pulsación \omega, relacionada con la frecuencia \mathrm{ν} por \omega=2\mathrm{πν}=10\mathrm\pi\;\mathrm s^{-1}. La aceleración del movimiento armónico, en general, viene dada por a=-\omega^2x=-100\mathrm\pi^2\;\mathrm x.

Cuando x = 0, el muelle no efectúa ninguna fuerza, F_m=0 y sólo actúan los pesos de las piezas; como el soporte no se mueve, sobre él la fuerza resultante total será cero:

N - m_Ag-m_Bg=0 cuando x  = 0,

de donde: N = 597.8N cuando x = 0. Cuando el muelle está comprimido, como en la figura, efectúa una tensión F_m sobre ambos bloques;para la pieza A, igualamos la aceleración causada por el resorte con la del movimiento oscilatorio, con ello obtenemos la constante k:

a=\frac{F_m}{m_A}=\frac{kx}{m_A}=100\mathrm\pi^2\;\mathrm x\Rightarrow\mathrm k=100\mathrm\pi^2{\mathrm m}_\mathrm A [1]

Nos fijamos ahora en el soporte; como sigue estando estático, tendremos N - m_Ag-m_Bg-F_m=0 cuando x  > 0; usando que F_m=-kx y la expresión [1]:

\mathrm N={\mathrm m}_\mathrm A\mathrm g+{\mathrm m}_\mathrm B\mathrm g+100\mathrm\pi^2{\mathrm m}_\mathrm A\mathrm x[2]

que nos da la fuerza variable sobre el soporte en función de la elongación del muelle; será máxima cuando la compresión del soporte sea máxima, o sea cuando x = 1.8cm:

{\mathrm N}_\max={\mathrm m}_\mathrm A\mathrm g+{\mathrm m}_\mathrm B\mathrm g+100\mathrm\pi^2{\mathrm m}_\mathrm A\mathrm A=(19+42)\mathrm g+100\mathrm\pi^2\cdot19\cdot0.018=935.3\mathrm N

Será mínima cuando la extensión del muelle sea máxima, o sea cuando x = -1.8 cm:

{\mathrm N}_\max={\mathrm m}_\mathrm A\mathrm g+{\mathrm m}_\mathrm B\mathrm g+100\mathrm\pi^2{\mathrm m}_\mathrm A\mathrm A=(19+42)\mathrm g-100\mathrm\pi^2\cdot19\cdot0.018=260.3\mathrm N.

También podíamos haber substituido la elongación x del movimiento armónico en [2] para obtener N en función del tiempo:

\mathrm N=\left({\mathrm m}_\mathrm A+{\mathrm m}_\mathrm B\right)g+100\mathrm\pi^2{\mathrm m}_\mathrm A\cdot\mathrm{Acos}\left(\mathrm{ωt}\right)=61\mathrm g+337.5\cos\left(10\mathrm{πt}\right)[3]

y derivar entonces respecto al tiempo para obtener los valores extremos de la función N(t):

\frac{\mathrm{dN}}{\mathrm{dt}}=-337.5\cdot10\mathrm{πsin}\left(10\mathrm{πt}\right)=0\Rightarrow\sin\left(10\mathrm{πt}\right)=0\Rightarrow\cos\left(10\mathrm{πt}\right)=\pm1

Sustituimos en [3] y encontramos los mismos valores:

\mathrm N=61\mathrm g\pm337.5=\left\{\begin{array}{l}935.3\\260.3\end{array}\right.

por un procedimento que ha sido más largo, pero instructivo.

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