Archivo de la categoría: Funciones reales de dos variables

Integrales dobles de Riemann

Integral de Riemann en dos dimensiones (integral doble)

Izquierda: parcelación del área -1 < x, y < 1; derecha: gráfica "parcelada" en 3D de la función z=1-x²-y²
Izquierda: parcelación rectangular del área -1 < x, y < 1; derecha: gráfica "parcelada" en 3D de la función z=1-x²-y²

De la misma forma que en la integral de Riemann en un intervalo (a,b) para la función y=f(x) de una variable dividíamos la variable independiente x en intervalos de amplitud dx, calculábamos las áreas dA=y(x)·dx, sumábamos y pasábamos al límite para obtener la integral \int_a^bf\left(x\right)\operatorname dx, cuando tenemos una función real con dos variables independientes z=f(x,y) dividiremos el plano (x,y) en parcelas de dos dimensiones de amplitud dx, dy, sumaremos los productos f(x,y)·dx·dy y pasaremos al límite para obtener la integral doble de f(x,y) en el recinto R: \int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy.

Más en detalle: sea w una de las parcelas del plano R; estas parcelas no tienen porque ser rectangulares, pueden tener cualquier forma, como en la siguiente figura:

Parcelación no homogénea de una región R del plano
Parcelación no homogénea de una región R del plano

En cualquier caso, dada una parcela w, formaremos el producto f(x,y)·A_w donde A_w simboliza el área de la parcela w; ¿qué valor f(x,y) tomaremos? Pues dentro de la región w hay infinitos puntos (x,y)... en la integral de Riemann lo que hacemos es considerar los valores máximo y mínimo de f(x,y) en la parcela w, los denominamos M_w,  m_w respectivamente. Entonces definimos las sumas superior e inferior de Riemann para f(x,y) y para la parcelación efectuada en R, sumando los productos de las áreas de cada parcela por los valores máximo y mínimo, respectivamente, de  f(x,y) en cada parcela:

S=\sum\nolimits_{i=1}^nM_{w_i}\cdot A_{w_i}\;,\;s=\sum\nolimits_{i=1}^nm_{w_i}\cdot A_{w_i}

Evidentemente se cumplirá que S > s para cualquier parcelación de R. Si pasamos al límite de particiones infinitesimales, y ese límite existe, diremos que la función de dos variables es integrable en R según Riemann, y se cumplirá:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^nM_{w_i}\cdot A_{w_i}\;=\int\int_Rf(x,y)\operatorname dw=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\;s=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^nm_{w_i}\cdot A_{w_i},

o sea que los límites de las sumas inferior y superior coinciden, y definen el valor de la integral doble.  Observad que aparece la diferencial dw en vez de dx o dy; esto se debe a que hemos considerado parcelaciones de R de cualquier tipo, no sólo las rectangulares.

 Ejemplo1 : integrabilidad de las funciones continuas. Si f(x,y) es una función continua de dos variables, entonces por definición, dado un \varepsilon>0 cualquiera, siempre podremos encontrar un entorno circular de radio r centrado en (x_0,y_0) tal que todos los puntos (x,y) dentro del entorno tendrán valores f(x,y) distintos de f(x_0,y_0) en como mucho \varepsilon. Por tanto, dentro de ese entorno, el valor máximo M y el mínimo m diferirán en como mucho un múltiplo de \varepsilon. Como podemos hacer tender \varepsilon a cero, se sigue que la diferencia M-m tenderá también a cero, y en el límite \underset{n\rightarrow\infty}{lim}S=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\;s=\int\int_Rf(x,y)\operatorname dw. Así pues, todas las funciones continuas son integrables según Riemann. Si la función es continua a trozos,  entonces será integrable a trozos.

Calculo de integrales dobles en recintos rectangulares: integrales reiteradas

En lo que sigue sólo trataremos con regiones R de integración rectangulares; supongamos que dividimos el intervalo a < x < b del eje X en n subintervalos, y el intervalo c < y < d del eje Y en m subintervalos;

Área R de integración rectangular
Área R de integración rectangular

tendremos por tanto nm rectángulos, y las sumas de Riemann tendrán la forma:

S=\sum\nolimits_{i=1}^n\sum\nolimits_{j=1}^mf\left(x_i,y_j\right)\triangle x_i\triangle y_j=\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\sum\nolimits_{i=1}^nf\left(x_i,y_j\right)\triangle x_i

Sólo consideramos una de las sumas pues ambas son iguales cuando la función es integrable; en la segunda igualdad hemos sumado primero "por filas", esto es, manteniendo constante y_k sumamos para todos los x_k, y seguimos obteniendo sumas parciales que totalizamos al final. Pasando al límite sólo para la variable x, vemos que:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S=\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\sum\nolimits_{i=1}^nf\left(x_i,y_j\right)\triangle x_i=\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\int_a^bf\left(x,y_j\right)\operatorname dx

o sea que el sumatorio segun x se transforma en la integral según x; pasando al límite para y:

\underset{m\rightarrow\infty}{lim}S=\underset{m\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\int_a^bf\left(x,y_j\right)\operatorname dx=\int_c^d\operatorname dy\int_a^bf\left(x,y_j\right)\operatorname dx

Vemos que se puede calcular la integral doble realizando dos integraciones parciales, cada una con una de las variables independientes; a estas integrales se les llama integrales reiteradas.

Ejemplo 2: Calcular la integral de z=1-x²-y² en el recinto cuadrado R: {-1 < x, y < 1}. Dividimos el recinto rectangular en n² cuadrados y pasamos al límite n\rightarrow\infty para obtener las integrales reiteradas:

\int_{-1}^1\operatorname dy\int_{-1}^1\left(1-x^2-y^2\right)\operatorname dx

Calculamos primero la integral respecto x, considerando y como una constante:

\int_{-1}^1\left(1-x^2-y^2\right)\operatorname dx=\left[x-\frac{x^3}3-y^2x\right]_{-1}^1=1-\frac13-y^2-\left(-1+\frac13+y^2\right)=\frac43-2y^2

Calculamos ahora la integral respecto de y: \int_{-1}^1\left(\frac43-2y^2\right)\operatorname dy=\left[\frac43y-2\frac{y^3}3\right]_{-1}^1=\frac43-\frac23-\left(-\frac43+\frac23\right)=\frac43.

Calculo de integrales dobles en recintos no rectangulares

En general podemos integrar en un recinto R delimitado por una curva cerrada C dada de forma implícita por una cierta función f(x,y):

Recinto R de integración no rectangular, delimitado por una curva cerrada
Recinto R de integración no rectangular, delimitado por una curva cerrada

La limitación que se impone para que la integral sea calculable según Riemann es que la curva C sea una curva de Jordan que son curvas cerradas en las cuales el número de puntos de intersección de la curva con cualquier recta es finito. Para integrar la función f en el interior del recinto delimitado por la curva C, encerramos la curva en un recinto rectangular R y suponemos que la función toma valor cero fuera del interior de la curva. Aplicamos entonces la integral reiterada en el recinto R: para cada valor y_0 dado, la recta horizontal y=y_0 cortará a la curva en un número de puntos, delimitando unos segmentos s_1, s_2, ...; fuera de esos segmentos la integral valdrá cero, y sólo tendremos valores no nulos en los segmentos:

\int\int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_c^d\operatorname dy\sum\nolimits_{i=1}^n\int_{s_i}f\left(x,y\right)\operatorname dx

Caso de recinto R convexo

Cuando el recinto de integración es convexo, las rectas que lo cortan lo hacen como máximo en dos puntos, o sea que tendremos para cada y=y_0 cada recta horizontal y=y_0  definirá un segmento:

Recinto convexo de integración
Recinto convexo de integración

Si somos capaces de expresar los valores de los extremos del segmento en función de y, o sea x_1(y), x_2(y), podemos substituirlos en las integrales reiteradas:

\int\int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_c^d\operatorname dy\int_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}f\left(x,y\right)\operatorname dx.

Evidentemente se puede proceder también considerando rectas verticales x=x_0 que definen segmentos verticales, e integrar reiteradamente primero respecto de y, luego respecto de x. El orden es indiferente, así que podemos tomar el que sea más evidente o más fácil de expresar. en el siguiente ejemplo los hacemos del segundo modo.

Ejemplo 3: Calcular la integral doble de la siguiente función en todo su dominio:

f\left(x,y\right)=\left\{\begin{array}{l}8xy,\;0<x<y<1\\0\;\text{en otro caso}\end{array}\right.

El dominio de definición D de la función es el triángulo delimitado por los puntos (0,0), (1,0) y (1,1) en el plano XY:

En la imagen vemos que, fijando un valor x, la variable y varía desde y=0 hasta y=x, ya que el dominio es 0 < y < x < 1. Por tanto el segmento vertical queda definido por y_1(x)=0, y_2(x)=x. Lo llevamos a las integrales reiteradas:

\begin{array}{l}\iint_Df\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_0^1\operatorname dx\int_0^x8xy\operatorname dy=\int_0^1\operatorname dx\left[8x\frac{y^2}2\right]_0^x=\\4\int_0^1x^4\operatorname dx=4\left[\frac{x^4}4\right]_0^1=1.\end{array}

Cálculo de volúmenes usando integrales dobles

Al definir la integral doble de Riemann hemos tomado cada parcela w de la región R de integración y hemos formado el producto f(x,y)·A_w donde A_w simboliza el área de la parcela w. Interpretando f(x,y) como una altura z sobre el plano (x,y), el producto f(x,y)·A_w es el volumen de un "cilindro" de altura z=f(x,y) y base w; en la siguiente figura se representa el cilindro formado por una región R circular y la altura z:

Volumen definido por una región R del plano XY y una altura z=f(x,y)
Volumen definido por una región R del plano XY y una altura z=f(x,y)

Ejemplo 4: Probar que el volumen de un cilindro con base circular y radio r y altura h es \pi r^2h usando una integral doble.

La región R del plano XY es el círculo interior a la circunferencia x²+y²=r²; para la función z=f(x,y) tomamos el valor constante z=h. El volumen del cilindro viene dado por la integral doble \int\int_Rh\operatorname dx\operatorname dy=h\int\int_R\operatorname dx\operatorname dy. Para calcular la integral en el recinto R, usamos integrales reiteradas: tenemos que expresar x en función de y, o viceversa, por ejemplo: x^2+y^2=r^2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{r^2-y^2}. La otra variable, y, cumple -r\leq y\leq r. Por tanto las integrales reiteradas son \int_{-r}^r\operatorname dy\int_{x_2}^{x_1}\operatorname dx donde x_1=\sqrt{r^2-y^2},\;x_2=-\sqrt{r^2-y^2}.  Calculamos primero la de la variable x:

\int_{x_2}^{x_1}\operatorname dx\;=x_1-x_2=2\sqrt{r^2-y^2}

Sustituimos en la integral respecto de y: 2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}\operatorname dy;  las integral de este tipo se calculan por cambio de variable usando funciones seno o coseno; primero la preparamos:

\int_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}\operatorname dy=\int_{-r}^rr\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}\operatorname dy=r\int_{-r}^r\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2},

luego hacemos el cambio

\frac yr=\sin\left(t\right)\Rightarrow\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}=\cos\left(t\right);\;\frac{\operatorname dy}r=\operatorname d\left(sin\left(t\right)\right)=\cos\left(t\right)\operatorname dt,

que transforma la integral original en:

r\int\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}\operatorname dy=r^2\int\cos^2\left(t\right)\operatorname dt,

esta integral se hace por partes, resultando \int\cos^2\left(t\right)\operatorname dt=\sin\left(t\right)\cos\left(t\right)+t. Sustituyendo en la integral original y deshaciendo el cambio:

2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}=2\left[\frac yr\cdot\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}+\sin^{-1}\left(\frac yr\right)\right]_{-r}^r=2\left[1\cdot0+\frac\pi2-0\right]=\pi

El volumen es: V=h\int\int_R\operatorname dx\operatorname dy=\boxed{hr^2\pi}

Ejemplo 5: Calcular el volumen definido por la región R del plano delimitado por las curvas y=x², x=y², y altura dada por la función z=f(x,y)=x²+y².

El volumen que nos piden viene dado por la integral doble \int\int_R\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx\operatorname dy.

La región R definida por y=x², x²=y está contenida en el cuadrante x>0, y>0, pues sustituyendo x=y² en y=x² obtenemos y=(y²)²=y⁴, luego y⁴-y=0, de donde y(y³-1)=0 que tiene por soluciones y=0, y=1; para y=0 tenemos x=0, para y=1 es x=1. La región es convexa, y se representa en la siguiente figura (aunque no es necesaria la representación gráfica para resolver el problema, siempre ayuda a comprenderlo):

Región delimitada por las curvas y=x², x²=y
Región delimitada por las curvas y=x², x²=y

Para un valor y_0 dado, la recta y=y_0 corta a la región R en dos puntos, con coordenadas x_1, x_2 dadas por: 1) intersección con x²=y: x_1^2=y_0\Leftrightarrow x_1=\sqrt{y_0}, 2) intersección con y=x²: x_2=y_0^2.

Por tanto podemos expresar, dentro de la región R, la variación de x en función de y: el segmento horizontal azul de la figura tiene coordenadas (y_0^2,y_0),(\sqrt{y_0},y), en general, para cualquier y dado en el intervalo [0, 1], la variable x variará entre y^2 y \sqrt{y}. Podemos pues calcular la integral doble en R usando dos integrales reiteradas:

\begin{array}{l}\int\int_R\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_0^1\operatorname dy{\int_{y^2}^\sqrt y}_R\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx=\int_0^1\operatorname dy\left[\frac{x^3}3+xy^2\right]_{y^2}^\sqrt y=\\\int_0^1\left(\frac{y^{3/2}}3+y^{5/2}-\frac{y^6}3-y^4\right)\operatorname dy=\left[\frac{y^{5/2}}{{\displaystyle\frac52}\cdot3}+\frac{y^{7/2}}{\displaystyle\frac72}-\frac{y^7}{3\cdot7}-\frac{y^5}5\right]_0^1=\\\frac2{15}+\frac27-\frac1{21}-\frac15=\boxed{\frac6{35}}\end{array}.

Cambio de variables en integrales dobles

A menudo la naturaleza del problema presenta una simetría que, bien aprovechada, puede simplificar la resolución. Una forma de aprovechar esa simetría es hacer un cambio de variable; por ejemplo, para una simetría en el plano XY respecto al origen será en general mejor trabajar con coordenadas polares:

\begin{array}{l}\left.\begin{array}{r}x=\rho cos\left(\theta\right)\\y=\rho sin\left(\theta\right)\end{array}\right\}\\\end{array}

Para calcular una integral doble en un recinto R del plano XY usando coordenadas polares, tenemos que convertir el elemento de área rectangular \triangle x\triangle y por un elemento de área en las
coordenadas \rho,\theta; en la siguiente ilustración vemos que esa área será, aproximadamente, igual al lado \triangle \rho por la longitud del arco; hay dos arcos, si medimos el ángulo \theta en radianes, sus longitudes son \rho \cdot \triangle \theta(\rho + \triangle \rho )\cdot \triangle \theta:

Elemento de área en coordenadas polares
Elemento de área en coordenadas polares

Como para hacer la integral tomamos el límite \triangle\rho\rightarrow0, podemos considerar que los dos arcos son iguales, pensando que el radio \rho es el valor medio para el elemento de área,  resulta que el área valdrá \rho\triangle\theta\triangle\rho. Entonces al pasar al límite de tenemos la equivalencia:

\int\int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int\int_Rf\left(\rho,\theta\right)\rho\operatorname d\theta\operatorname d\rho

Ejemplo 6: Revisemos el ejemplo 4, para el cilindro con base circular podemos usar coordenadas cilíndricas que toman coordenadas polares para el plano XY dejando la coordenada Z sin cambios; entonces la región R de integración queda muy simple:

\begin{array}{l}\left.\begin{array}{r}x=\rho cos\left(\theta\right)\\y=\rho sin\left(\theta\right)\end{array}\right\}\Rightarrow x^2+y^2=r^2\Leftrightarrow\rho^2=r^2\Leftrightarrow\rho=r\\\end{array}

Para la coordenada z no hay cambios: z=h, la altura del cilindro; el volumen será, apllicando integrales reiteradas en las nuevas coordenadas, y teniendo en cuenta que el ángulo \theta varia entre 0 y 2π, y que el radio \rho varia entre 0 y r:

\begin{array}{l}\int\int_Rh\operatorname dx\operatorname dy=\int\int_Rh\rho\operatorname d\theta\operatorname d\rho=h\int_0^{2\mathrm\pi}\operatorname d\theta\int_0^r\rho\operatorname d\rho=h\int_0^{2\mathrm\pi}\operatorname d\theta\cdot\left[\frac{\rho^2}2\right]_0^r=\\h\int_0^{2\mathrm\pi}\frac{r^2}2\operatorname d\theta=\frac{r^2}2h\int_0^{2\mathrm\pi}\operatorname d\theta=\frac{r^2}2h\left[\theta\right]_0^{2\mathrm\pi}=\boxed{r^2h\pi}\\\end{array}

Vemos que las integrales se han simplificado mucho respecto a las calculadas en el ejemplo 4.

En general un cambio de variables (x,y) por (u,v) se puede expresar como funciones x=x(u,v), y=y(u,v); por ejemplo, en el caso de coordenadas polares esas funciones son x=\rho cos\left(\theta\right), y=\rho sin\left(\theta\right), con u=r, v=θ. Para expresar el elemento de área dxdy en función de u,v, diferenciamos las funciones x, y: \operatorname dx=\frac{\partial x}{\partial u}\operatorname du+\frac{\partial x}{\partial v}\operatorname dv;\;\operatorname dy=\frac{\partial y}{\partial u}\operatorname du+\frac{\partial y}{\partial v}\operatorname dv, efectuamos el producto, y despreciamos los términos con diferenciales al cuadrado, du^2, dv^2, pues recordemos que para integrar pasamos al límite del diferencial de área tendiendo a cero, luego el diferencial al cuadrado tiende a cero mucho más rápidamente, nos queda:

\operatorname dxdy=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\operatorname du\operatorname dv=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\operatorname du\operatorname dv

La matriz de la cual calculamos el determinante es la matriz jacobiana del cambio de variables:

J=\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}

Por tanto nos queda la siguiente fórmula de cambio de variables en integrales dobles:

\iint_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\iint_{R'}f\left(u,v\right)\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\operatorname du\operatorname dv

donde el recinto R se transforma en el recinto R' al hacer el cambio.

Ejemplo 7: calcular el volumen delimitado por la elipse C de ecuación x²+y²/4 = 1 en el cuadrante x>0, y>0 , y el plano P de ecuación cartesiana x - y + z - 1 = 0.

En la figura vemos una representación: el plano oblicuo P forma la parte superior de la figura, mientras que la base es una elipse; las intersecciones del plano P con los planos XZ, YZ son las rectas z=1-x, z=y+1 respectivamente, la recta vertical en el plano YZ corresponde a la intersección de la elipse C con el plano x=0:

Recinto delimitado por una elipse en XY y un plano en el espacio
Recinto delimitado por una elipse en XY y un plano en el espacio

La región R de integración será el área del plano XY dentro de la elipse, mientras que para la función a integrar tomaremos la altura z sobre el plano XY, dada por la ecuación del plano P: x - y + z - 1 = 0 => z = -x + y + 1 = f(x, y).  El volumen será pues:

V=\iint_R\left(y-x+1\right)\operatorname dx\operatorname dy

Para simplificar la región R, planteamos el cambio u = x, v = y/2, que convierte a la elipse en un circunferencia de radio 1 de ecuación u² + v² = 1. Calculemos el Jacobiano del cambio: primero expresamos x, y como funciones de u,v: u=x,\;v=\frac y2\Rightarrow x=u,\;y=2v, ahora calculamos las derivadas parciales, la matriz J , y su determinante:

J=\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}

El determinante vale 2. La función f(x, y) expresada en las nuevas variables es:  f\left(x,y\right)=y-x+1=2v-u+1=f\left(u,v\right), así que la integral que nos da el volumen queda:

\iint_{R'}f\left(u,v\right)\cdot det(J)\cdot\operatorname du\operatorname dv=\iint_{R'}\left(2v-u+1\right)\cdot2\cdot\operatorname du\operatorname dv=\iint_{R'}\left(4v-2u+2\right)\operatorname du\operatorname dv

La integral en el recinto circular sabemos que se simplifica mucho tomando coordenadas polares, así que hacemos un segundo cambio: u=r\cos\left(\theta\right),\;y=r\sin\left(\theta\right), la circunferencia de radio 1 en polares se reduce a la ecuación r=1, y el cuadrante x>0, y>0 implica que 0\leq\theta\leq\pi/2. El Jacobiano del cambio a polares es r:

\left|J\right|=\left|\frac{\partial\left(u,v\right)}{\partial\left(r,\theta\right)}\right|=\begin{vmatrix}\frac{\partial rcos\left(\theta\right)}{\partial r}&\frac{\partial rcos\left(\theta\right)}{\partial\theta}\\\frac{\partial rsin\left(\theta\right)}{\partial r}&\frac{\partial rsin\left(\theta\right)}{\partial\theta}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}cos\left(\theta\right)&-rsin\left(\theta\right)\\sin\left(\theta\right)&rcos\left(\theta\right)\end{vmatrix}=rcos^2\left(\theta\right)+rsin^2\left(\theta\right)=r

La función f(u, v) se transforma en f\left(u,v\right)=2v-u+1=2r\sin\left(\theta\right)-r\cos\left(\theta\right)+1=r\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+1=f\left(r,\theta\right), y la integral se convierte en:

\iint_{R'}\left(4v-2u+2\right)\operatorname du\operatorname dv=\iint_{R''}\left(r\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+1\right)\cdot r\cdot\operatorname dr\operatorname d\theta

donde R'' es la región rectangular 0\leq r\leq1,\;0\leq\theta\leq\pi/2. Calculamos
las integrales reiteradas:

\iint_{R''}\left(r\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+1\right)\cdot r\cdot\operatorname dr\operatorname d\theta=\int_0^{\pi/2}\operatorname d\theta\int_0^1\left[r^2\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+r\right]\operatorname dr

La integral respecto de r es:

\begin{array}{l}\int_0^1\left[r^2\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+r\right]\operatorname dr=\left[\frac{r^3}3\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+\frac{r^2}2\right]_0^1=\\\frac{2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)}3+\frac12\end{array}

y respecto a θ:

\begin{array}{l}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)}3+\frac12\right)\operatorname d\theta=\left[\frac13\left(-2cos\left(\theta\right)-sin\left(\theta\right)\right)+\frac\theta2\right]_0^{\pi/2}=\\\frac13\left(0-\frac13\right)+\frac{\pi/2}2-\left(\frac13\left(-2+0\right)+0\right)=\boxed{\frac\pi4+\frac13}\end{array}.


 

Ejercicios propuestos

1. Calcular \iint_Rcos^{-1}\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx\operatorname dy siendo R la región interior delimitada por la la curva \sqrt{\cos\left(\theta\right)}=\;r y el eje X:

regio2

2. Calcular el volumen cortado en el paraboloide x² + y² = z por el plano z = 2 + 2x + 2y.

3. Calcular el volumen interior a la superficie x^\frac23+y^\frac23+z^\frac23=a^\frac23  usando el cambio de variables x = r·cos²(θ), y = r·sin²(θ).

Cálculo con varias variables -> Problemas de derivadas y diferenciales

1. Dada la función f(x,y,z)=3x+y+z^2, y las funciones g(u,v)=uv, h(u,v)=sin(u)+3, k(u,v)=exp(u), calcular el gradiente de la función f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) en el punto (u,v)=(1,0).

Lo haremos de dos formas: una más corta pero menos rigurosa, otra más larga pero rigurosa.

Primera forma de hacerlo: sustituimos las definiciones de las funciones g, h, k de dos variables en la función f  de tres variables para obtener una nueva función compuesta de dos variables:

\begin{array}{l}f(g(u,v),h(u,v),k(u,v))=3g(u,v)+h(u,v)+\left(k(u,v)\right)^2=\\3\cdot uv+(\sin(u)+3)+\left(e^u\right)^2=3uv+\sin\left(u\right)+3+e^{2u}.\end{array}

Es como si la "x" pasara a ser la función g(u,v), la "y" pasara a ser h(u,v) y la "z" pasara a ser la función k(u,v). El resultado es una nueva función F(u,v)=3uv+\sin\left(u\right)+3+e^{2u}. El gradiente de esta función es:

\nabla F(u,v)=\begin{bmatrix}\frac{\partial F}{\partial u}\\\frac{\partial F}{\partial v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3v+\cos\left(u\right)+2e^{2u}\\3u\end{bmatrix}.

Para el punto (u,v)=(1,0) el gradiente vale:

{\begin{bmatrix}3v+\cos\left(u\right)+2e^{2u}\\3u\end{bmatrix}}_{\left(1,0\right)}=\begin{bmatrix}\cos\left(1\right)+2e^2\\3\end{bmatrix}.

Segunda forma de hacerlo: aplicando la definición de la regla de la cadena para la derivada de la función compuesta, D\left(f\circ g\right)\left(x,y\right)=\left(Df\circ g\left(x,y\right)\right)\cdot Dg\left(x,y\right). ¿Cuáles son las funciones que componemos en este problema? Veamos, tenemos:

f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},\;g,h,k:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},\;f(g,h,k):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},

la composición resultante es:

\begin{array}{l}\mathbb{R}^2\;\;\longrightarrow\;\;\mathbb{R}^3\;\;\longrightarrow\;\;\mathbb{R}\\(u,v)\rightarrow\left(x,y,z\right)\rightarrow f\left(x,y,z\right)\end{array},

definimos pues la función F(u,v)=\left(g(u,v),h(u,v),k(u,v\right),\;F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3, y nos queda la composición f\circ F\left(u,v\right):\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}. Obtenemos el gradiente de esta composición aplicando la regla de la cadena:

D\left(f\circ F\right)\left(u,v\right)=\left(Df\circ F\left(u,v\right)\right)\cdot DF\left(u,v\right)

Df=\begin{bmatrix}\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}\\\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}y}\\\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\1\\2z\end{bmatrix};

Df\circ F\left(u,v\right)=\begin{bmatrix}3\\1\\2z\end{bmatrix}\circ\begin{bmatrix}uv\\\sin\left(u\right)+3\\e^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\1\\2e^u\end{bmatrix};

DF(u,v)=\begin{bmatrix}\frac{\operatorname{d}F}{\operatorname{d}u}\\\frac{\operatorname{d}F}{\operatorname{d}v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v&\cos\left(u\right)&e^u\\u&0&0\end{bmatrix}.

Nos queda pues:

D\left(f\circ F\right)\left(u,v\right)=\begin{bmatrix}v&\cos\left(u\right)&e^u\\u&0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\1\\2e^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3v+\cos\left(u\right)+2e^{2u}\\3u\end{bmatrix}.

En el punto (u,v)=(1,0) el gradiente vale:

D\left(f\circ F\right)\left(1,0\right)=\begin{bmatrix}3\cdot0+\cos\left(1\right)+2e^{2\cdot1}\\3\cdot1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\left(1\right)+2e^2\\3\end{bmatrix},

el mismo resultado que con el primer método.

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 2. Estudiar la continuidad y derivabilidad en el origen de la función de dos variables dada por:

f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3\sin\left(x+y\right)}{x^2+y^2},\;(x,y)\neq(0,0)\\0,\;\;(x,y)=(0,0)\end{array}\right.

La diferenciabilidad en un punto implica la continuidad, pero en el enunciado nos preguntan sobre la derivabilidad, que es un concepto distinto: la derivada en una función de varias variables siempre ha de calcularse a lo largo de una recta: es la derivada direccional; la recta viene dada por un vector director unitario u, y la el valor de la derivada direccional de f(v), siendo v un vector, viene dada por

Definición 1: \frac{\partial f\left(\overset\rightharpoonup v\right)}{\partial\overset\rightharpoonup u}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\overset\rightharpoonup v+h\overset\rightharpoonup u\right)-f\left(\overset\rightharpoonup v\right)}h.

En el caso particular de que las rectas sean los ejes de coordenadas entonces estamos calculando las derivadas parciales de la función; por ejemplo, según el eje x será, para el caso de una función de dos variables:

Definición 2: \frac{\partial f\left(\overset\rightharpoonup v\right)}{\partial\left(1,0\right)}=\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}h

La diferenciabilidad es más "exigente" que la derivabilidad, en el sentido de que si la función es diferenciable entonces seguro que es derivable, però la afirmación contraria no es cierta:

diferenciabilidad \begin{array}{l}\Rightarrow\\\nLeftarrow\end{array} derivabilidad

Como consecuencia de todo esto, la función puede ser derivable pero no continua ni diferenciable, o puede ser continua pero no derivable. Tendremos que estudiar la continuidad y la derivabilidad independientemente.

Continuidad en el origen

Definimos la curva general  en coordenadas polares x=r\cos\left(\theta\right),\;y=r\sin\left(\theta\right),\;r\geq0,\;0\leq\theta\leq2\mathrm\pi, y hallamos el límite para r\rightarrow0, esto es, nos acercamos al origen haciendo que este parámetro r tienda a cero. Primero hallamos la expresión de la función en coordenadas polares:

\begin{array}{l}x=r\cos\left(\theta\right),\;y=r\sin\left(\theta\right)\Rightarrow f\left(x,y\right)=\frac{\left(r\cos\left(\theta\right)\right)^3\sin\left(r\cos\left(\theta\right)+r\sin\left(\theta\right)\right)}{\left(r\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\sin\left(\theta\right)\right)^2}\\=\frac{r^3\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)}{r^2\left(\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)\right)}=\frac{r^{}\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)}{\left(1\right)}\\=r\cdot\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\end{array},

ahora pasamos al límite:

\begin{array}{l}\lim_{r\rightarrow0}r\cdot\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)=\left\{0\cdot\cos^3\left(\theta\right)\right\}\cdot\left\{\sin\left(0\cdot\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\right\}\\=\left\{0\right\}\cdot\left\{\sin\left(0\right)\right\}=0\end{array},

debido a que \cos\left(\theta\right),\;\sin\left(\theta\right) tienen sus valores acotados en el intervalo [-1,1] y al multiplicar por un valor r\rightarrow0 el resultado también tiende a cero. En conclusión, \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f\left(x,y\right)=0. Como el valor exacto de f\left(0,0\right) es también cero (según la definición de la función dada en el enunciado), vemos que coinciden f\left(0,0\right)=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f\left(x,y\right), y por tanto f(x,y) es continua en el origen.

Derivabilidad en el origen

Para estudiar la existencia de derivadas direccionales en un punto (x,y) según cualquier dirección (u,v) se puede aplicar directamente la definición 1 para el origen de coordenadas:

\frac{\partial f\left(0,0\right)}{\partial\overset\rightharpoonup u}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\left(0,0\right)+h\overset\rightharpoonup u\right)-f\left(0,0\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h\overset\rightharpoonup u\right)-0}h,

sustituyendo en la expresión de la función:

\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(\frac{h^3u_x^3\sin\left(hu_x+hu_y\right)}{h^2u_x^2+h^2u_y^2}\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h{\displaystyle\frac{u_x^3\sin\left(hu_x+hu_y\right)}{u_x^2+u_y^2}}}h

simplificando y recordando que el vector de dirección u es unitario, nunca puede tomar valores nulos:

\lim_{h\rightarrow0}\frac{u_x^3\sin\left(h\left(u_x+u_y\right)\right)}{u_x^2+u_y^2}\rightarrow\frac{u_x^3\sin\left(0\right)}{u_x^2+u_y^2}=0. [1]

Así pues la función es derivable en el origen, y su derivada direccional en el origen, para cualquier dirección, es cero.  La gràfica en 3D obtenida con WolframAlpha es:

3DPlot_Exer2_derivadas_n_var

Ya que estamos, estudiemos también la diferenciabilidad de esta función; una condición suficiente es:

Criterio de diferenciabilidad: Si la función de dos variables f(x,y) tiene derivadas parciales y al menos una de ellas es continua, entonces la función es diferenciable.

Calculemos la derivada parcial respecto x:

D_xf\left(x,y\right)=\frac{3x^2\sin\left(x+y\right)\cdot\cos\left(x+y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)-x^3\sin\left(x+y\right)\cdot2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}.

Es una función continua salvo, quizás, en el origen x=y=0, donde tenemos que usar la definición de derivada parcial, pero de hecho no es necesario calcularla, pues antes ya habíamos obtenido la derivada direccional en el orígen (ecuación [1]), que vale cero para cualquier dirección, y la derivada parcial según x resulta de tomar el vector u=(1,0).

Para ver si D_xf(x,y) es continua en el origen tenemos que ver que \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}D_xf\left(x,y\right)=D_xf\left(0,0\right)=0. Simplificamos:

D_xf\left(x,y\right)=x^2\frac{3\cdot\cos\left(x+y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)-2x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\sin\left(x+y\right)

pasamos a coordenadas polares:

\begin{array}{l}D_xf\left(r,\theta\right)=r^2\cos^2\left(\theta\right)\frac{3\cos\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\cdot r^2-2r^2\cos^2\left(\theta\right)}{r^4}\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\\=\cos^2\left(\theta\right)\cdot\left[3\cos\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\end{array}

Pasamos al límite \lim_{r\rightarrow0} para obtener:

\begin{array}{l}\lim_{r\rightarrow0}\cos^2\left(\theta\right)\cdot\left[3\cos\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\\=\cos^2\left(\theta\right)\left[3\cos\left(0\right)-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot\sin\left(0\right)\\=\cos^2\left(\theta\right)\left[3-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot0=0\end{array}

que no depende del ángulo \theta, luego el límite existe y vale cero, y la función derivada parcial respecto a x es continua. Por el criterio de diferenciabilidad, la función es diferenciable.

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Problemas de límites y continuidad en el plano real

1. Ver si la función f(x,y) es continua en (0,0), donde

f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{x^2-y^2}\;\;\text{si }x^2-y^2\neq0\\0\;\;\text{si }\;x^2-y^2=0\end{array}\right.

Solución:

Para ser continua en (0,0) debe cumplirse que \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f(x,y)=f(0,0). Según la definición de la función, en (0, 0) se cumple la condición x^2-y^2=0, luego f(0,0)=0. Para calcular el límite debemos usar la otra expresión de la función válida en x^2-y^2\neq0: \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{x^3}{x^2-y^2}=?. Para calcular este límite, usamos el siguiente teorema:

Teorema: criterio de convergencia para funciones de dos variables reales

Una condición necesaria y suficiente para que \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(a,b\right)}f(x,y)=L es que, al hacer el cambio de variables de cartesianas a polares:

x=\rho\cos\left(\theta\right),\;y=\rho\sin\left(\theta\right), 0\leq\theta<2\pi,

con lo que la función f(x,y) se transforma en f\left(\rho,\theta\right), se cumpla lo siguiente:

Para cada valor \varepsilon>0 , por pequeño que sea, existe un \delta>0, tal que si 0<\rho<\delta entonces se verifica que \left|f\left(\rho,\theta\right)-L\right|<\varepsilon, independientemente del valor que tome \theta

 Hacemos el cambio de variables de cartesianas a polares:

f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{x^2-y^2}\;\;\text{ si }x^2-y^2\neq0\Rightarrow\frac{\rho^3\cos^3\left(\theta\right)}{\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)}\;\text{ si }\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)\neq0\\0\;\;\text{si}\;x^2-y^2=0\Rightarrow0\;\;\text{si }\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)=0\end{array}\right.

 En nuestro caso actual, queremos ver si L=0 para \left(x,y\right)=\left(0,0\right). Deberá cumplirse que

\left|\frac{\rho^3\cos^3\left(\theta\right)}{\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)}-0\right|<\varepsilon

\Leftrightarrow\rho\left|\frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}\right|<\varepsilon

La \rho ha salido fuera del valor absoluto porque \rho>0.  Esta desigualdad ha de cumplirse para valores todo lo pequeños que queramos, independientemente de \theta, siempre que 0<\rho<\delta. Para ello será necesario que la expresión \frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)} sea acotada, y lo será siempre que el denominador no se anule. ¿Cuándo se anulará el denominador?

\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)=0\Leftrightarrow\theta=\frac{\mathrm\pi}4,\frac{\mathrm\pi}4+\frac{\mathrm\pi}2,\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm\pi

Entonces, sea cual sea el valor que damos a \rho, cuando nos acercamos a alguno de esos valores de \theta:

\lim_{\theta\rightarrow\frac{\mathrm\pi}4}\frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}=\frac{1/\sqrt2}{1/2-1/2}=\infty

O sea que no se cumple la condición necesaria y suficiente para todo \theta, por tanto la función no es contínua en \left(0,0\right).

Para que quede más claro, veamos un ejemplo: fijamos \varepsilon=0.01, y queremos conseguir que

\rho\left|\frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}\right|<0.01,

y lo queremos para cualquier 0\leq\theta<2\pi. Entonces:

0<\rho<0.01\left|\frac{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}{\cos^3\left(\theta\right)}\right|,

pero cuando \theta=\frac{\mathrm\pi}4,\frac{\mathrm\pi}4+\frac{\mathrm\pi}2,\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm\pi, resulta que \left|\frac{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}{\cos^3\left(\theta\right)}\right|=0, y no existe ningún 0<\rho que verifique la condición. \square


2. Calcular \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\sin\left(x\right)}{x^2+1}

Solución:

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\sin\left(x\right)}{x^2+1}=\frac\infty\infty=?; separemos el límite en dos componentes: la fracción racional y la función trigonométrica:

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\sin\left(x\right)}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{x^2+1}\cdot\lim_{x\rightarrow\infty}\sin\left(x\right)=L_1\cdot L_2.

El primer límite es:

L_1=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x/x^2}{\left(x^2+1\right)/x^2}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1/x}{1+1/x^2}=\frac0{1+0}=0.

El segundo límite no existe, pues la función \sin(x) es oscilante; ahora bien, el producto de los límites sí existe, pues L_1=0 y L_2 está acotado entre los valores \left[-1,1\right], por tanto el producto L_1·L_2 es igual a 0\square


3. Calcular \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right).

Solución:

Es indeterminado: \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right)=\infty-\infty=?. Podemos convertirlo al tipo fracción racional para deshacer la indeterminación:

\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right)\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}+x\right)}{\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}+x\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\left(x+1\right)-x^2}{\sqrt{x\left(x+1\right)}+x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{\sqrt{x\left(x+1\right)}+x}=\frac\infty\infty,

que sigue siendo indeterminado.  Dividimos numerador y denominador por x elevado al mayor exponente de ambos:

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{\sqrt{x\left(x+1\right)}+x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x/x}{\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}+x\right)/x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\left(\sqrt{\displaystyle\frac{x\left(x+1\right)}{x^2}}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\left(\sqrt{1+\displaystyle\frac1x}+1\right)}=\frac12. \square


4. Calcular \lim_{x\rightarrow0}e^\frac{\left|x\right|}x.

Solución:

La expresión del exponente vale:

\frac{\left|x\right|}x=\left\{\begin{array}{l}1\;\text{ si }x>0\\-1\;\text{ si }x<0\end{array}\right.,

para x=0 la expresión no está definida, y es precisamente en este punto que nos piden el límite. Por tanto debemos calcular los límites laterales, y comprobar si coinciden.

\lim_{x\rightarrow0^-}e^\frac{\left|x\right|}x=e^{-1}=\frac1e

\lim_{x\rightarrow0+}e^\frac{\left|x\right|}x=e^1=e.

Vemos que no coinciden, luego el límite en x=0 no existe. \square


5.  Calcular L=\lim_{x\rightarrow\infty}x^{2/3}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]x\right).

Solución:

Es un límite indeterminado debido al signo menos entre las dos raíces cúbicas: \lim_{x\rightarrow\infty}x^{2/3}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]x\right)=\infty\cdot\left(\infty-\infty\right)=?. Cuando tenemos un límite indeterminado que contiene raíces cuadradas tal como \left(\sqrt a-\sqrt b\right) lo que hacemos es usar la igualdad \left(\sqrt a+\sqrt b\right)\left(\sqrt a-\sqrt b\right)=a-b para transformar la expresión original en una expresión racional que no tiene diferencias  entre raíces:

\left(\sqrt a-\sqrt b\right)=\frac{\left(\sqrt a-\sqrt b\right)\left(\sqrt a+\sqrt b\right)}{\left(\sqrt a+\sqrt b\right)}=\frac{a-b}{\left(\sqrt a+\sqrt b\right)}.

Ahora nos interesa hacer lo mismo, pero con raíces cúbicas, usando alguna expresión combinando a^3 y b^3 para dar a^3-b^3. Esta expresión es:

\left(a-b\right)\left(\left(a+b\right)\left(a+b\right)\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)=a^3+ab^2+a^2b-ba^2-b^3-ab^2=a^3-b^3.

Identificando a=x^\frac23\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x^2\left(x+1\right)};\;b=x^\frac23\sqrt[3]x=\sqrt[3]{x^3}=x y usando la expresión

\left(a-b\right)=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}{a^2+b^2+ab}=\frac{a^3-b^3}{a^2+b^2+ab}

obtenemos:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2\left(x+1\right)-x^3}{\left(x^2\left(x+1\right)\right)^{2/3}+x^2+\sqrt[3]{x^5\left(x+1\right)}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\left(x^3+x^2\right)^{2/3}+x^2+\left(x^6+x^5\right)^{1/3}},

 un límite en el infinito de una expresión racional (polinomios en el numerador y en el denominador), podemos aplicar la regla que dice: fíjate sólo en los términos de mayor grado del numerador y del denominador, ignorando los de grado inferior:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\left(x^3+x^2\right)^{2/3}+x^2+\left(x^6+x^5\right)^{1/3}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\left(x^3\right)^{2/3}+x^2+\left(x^6\right)^{1/3}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{x^2+x^2+x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{3x^2}=\frac13.

Formalmente, llegamos al mismo resultado dividiendo numerador y denominador por el término de mayor grado:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}{\displaystyle\frac{\left(x^3+x^2\right)^\frac23+x^2+\left(x^6+x^5\right)^{\displaystyle\frac13}}{x^2}}

Simplificando, y luego haciendo el paso al límite:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\left({\displaystyle\frac{x^3+x^2}{x^3}}\right)^{\displaystyle\frac23}+1+\left({\displaystyle\frac{x^6+x^5}{x^6}}\right)^{\displaystyle\frac13}}=\frac1{\left(1+0\right)^\frac23+1+\left(1+0\right)^\frac13}=\frac13.\square


6. Calcular L=\lim_{x\rightarrow2}\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8}.

Solución:

L=\lim_{x\rightarrow2}\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8}=\frac10-\frac10=\infty-\infty=?. Fijémonos en que es un límite en un punto, no en el infinito, así pues, debemos deshacer la indeterminación de otro modo. El hecho de que los dos denominadores valgan cero en el punto x=2 significa que este punto es una raíz de esos polinomios, y por tanto podemos descomponerlos en producto de binomios para simplificar la expresión:

x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right);\;x^3-2x^2-4x+8=\left(x-2\right)\cdot P(x)

Obtenemos el polinomio P(x) como el resto de la división de x^3-2x^2-4x+8 entre x-2, usando la regla de Ruffini:

\begin{array}{l}2\;\left|+1\;-2\;-4\;+8\right.\\\;\;\;\;\underline{\;\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;0\;\;-8}\\\;\;\;\;\;+1+0\;-4\;\;\;\left|\underline0\right.\end{array}.

Tenemos que P(x)=x^2-4, por tanto:

\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8}=\frac1{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac3{\left(x^2-4\right)\left(x-2\right)}=\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)

Pasando al límite:

\lim_2\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)=\frac10\left(\frac14-\frac30\right)=\infty\cdot\left(-\infty\right)=-\infty

Siempre que tengamos un límite infinito en un punto debemos calcular los límites laterales, pues es posible que tengamos un cambio de signo:

\lim_{2^-}\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)=\frac1{0^-}\left(\frac1{4^-}-\frac3{0^-}\right)=-\infty\cdot\left(+\infty\right)=-\infty

\lim_{2^+}\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)=\frac1{0^+}\left(\frac1{4^+}-\frac3{0^+}\right)=+\infty\cdot\left(-\infty\right)=-\infty

En este caso coinciden, la función f(x)=\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8} tiene una asíntota vertical en x=2:

problema4-tema4-apunts
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7. Estudiar la continuidad y la existencia de derivadas parciales de la función

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x\cos\left(\frac1{x^2+y^2}\right),\;\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\0,\;\;\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{array}\right.

En \left(x,y\right)\neq\left(0,0\right) la función es claramente continua, por serlo la función cos(x) así como el cociente \frac1{x^2+y^2}. El punto dudoso es pues el (0,0). En él debemos aplicar la definición de continuidad:

La función f(x) es continua en el punto x_0 si y solo si se cumple la condición:

\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)

Lo aplicamos pues:

\begin{array}{l}\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}x\cos\left(\frac1{x^2+y^2}\right)=\lim_{r\rightarrow0}r\cos\left(\theta\right)\cos\left(\frac1{r^2\cos^2\left(\theta\right)+r^2\sin^2\left(\theta\right)}\right)=\\\lim_{r\rightarrow0}r\cos\left(\theta\right)\cos\left(\frac1{r^2}\frac1{\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)}\right).\end{array}

Sabiendo que la función cos está acotada, podemos tomar el valor absoluto de este límite y acotarlo:

\underset{r\rightarrow0}{\lim\;}\left|r\cos\left(\theta\right)\cos\left(\frac1{r^2}\right)\right|\leq\underset{r\rightarrow0}{\lim\;}\left|r\cos\left(\theta\right)\right|\leq\underset{r\rightarrow0}{\lim\;}\left|r\right|=0.

Por tanto \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f\left(x,y\right)=0=f\left(0,0\right) y la función es continua en todo el dominio.

Para ver la existencia de derivadas parciales, vemos que si \left(x,y\right)\neq\left(0,0\right) la función tiene las siguientes derivadas parciales:

\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\left(\frac1{x^2+y^2}\right)-x\sin\left(\frac1{x^2+y^2}\right)\cdot\frac{-2x}{\left(x^2+y^2\right)^2},\\\frac{\partial f}{\partial y}=-x\sin\left(\frac1{x^2+y^2}\right)\cdot\frac{-2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}.\end{array}

En el punto \left(x,y\right)=\left(0,0\right) no podemos derivar con las reglas usuales pues tenemos la bifurcación de la definición de la función, hay que usar la definición de derivada parcial:

\begin{array}{l}\frac{\partial f\left(0,0\right)}{\partial x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h,0\right)-f\left(0,0\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{h\cos\left({\displaystyle\frac1{h^2}}\right)-0}h=\lim_{h\rightarrow0}\cos\left(\frac1{h^2}\right).\end{array}

Pero este límite no existe, pues el cos oscila entre [-1,1] indefinidamente, luego no existe la derivada parcial respecto a x en el punto (0,0). Para la otra derivada parcial:

\begin{array}{l}\frac{\partial f\left(0,0\right)}{\partial y}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0,0+h\right)-f\left(0,0\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{0\cdot\cos\left({\displaystyle\frac1{h^2}}\right)-0}h=0.\end{array}

Luego sí existe  la derivada parcial respecto a y en el punto (0,0), y por tanto en todos los puntos. Tenemos pues que esta función es contínua en todos los puntos, también tiene derivada parcial respecto a y, pero en el punto (0,0) no tiene derivada parcial respecto a x.


8. Calcular el límite de la función vectorial de variable vectorial \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(x\sin\left(x+y\right),\left(1+x\right)^x\right).

Se trata de una función f(x,y) que asigna a cada vector (x,y) del plano otro vector del plano, de forma que podemos ver este segundo vector imágen del primero como el resultado de aplicar dos funciones vectoriales de variable real, que juntas componen la función original:

f\left(x,y\right)=\left(x\sin\left(x+y\right),\left(1+x\right)^x\right)=\left(f_1\left(x,y\right),f_2\left(x,y\right)\right).

Calculamos el límite por separado para cada función componente, pasando a coordenadas polares x=r\cos\left(\theta\right), y=r\sin\left(\theta\right):

\begin{array}{l}\lim_{r\rightarrow0}f_1\left(x,y\right)=r\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\cos\left(\theta\right)+r\sin\left(\theta\right)\right)=\\\lim_{r\rightarrow0}r\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)=\\0\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(0\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)=0\cdot0\;=\;0\end{array}

ya que la función coseno está acotada, y al multiplicarla por cero resulta cero, y la expresión \left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right) también está acotada, al multiplicarla por cero da cero, y la función seno en cero también vale cero. Para la segunda función componente:

\begin{array}{l}f_2\left(x,y\right)=\left(1+x\right)^\frac1x\Rightarrow f_2\left(r,\theta\right)=\left(1+r\cos\left(\theta\right)\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}\Rightarrow\\\underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{\lim\;}f_2\left(x,y\right)\;=\lim_{r\rightarrow0\;}\left(1+r\cos\left(\theta\right)\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}=\left(1+0\right)^\frac10=1^\infty=?\end{array}

tenemos una indeterminación del tipo:

\lim_{x\rightarrow x_0}\left(1+\frac1{f\left(x\right)}\right)^{f\left(x\right)}=e.

Operando:

\lim_{r\rightarrow0\;}\left(1+r\cos\left(\theta\right)\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}=\lim_{r\rightarrow0\;}\left(1+\frac1{\left({\displaystyle\frac1{r\cos\left(\theta\right)}}\right)}\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}=e.

En conclusión, \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(x\sin\left(x+y\right),\left(1+x\right)^x\right)=\left(0,e\right).