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Cálculo con varias variables -> Problemas de derivadas y diferenciales

1. Dada la función f(x,y,z)=3x+y+z^2, y las funciones g(u,v)=uv, h(u,v)=sin(u)+3, k(u,v)=exp(u), calcular el gradiente de la función f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) en el punto (u,v)=(1,0).

Lo haremos de dos formas: una más corta pero menos rigurosa, otra más larga pero rigurosa.

Primera forma de hacerlo: sustituimos las definiciones de las funciones g, h, k de dos variables en la función f  de tres variables para obtener una nueva función compuesta de dos variables:

\begin{array}{l}f(g(u,v),h(u,v),k(u,v))=3g(u,v)+h(u,v)+\left(k(u,v)\right)^2=\\3\cdot uv+(\sin(u)+3)+\left(e^u\right)^2=3uv+\sin\left(u\right)+3+e^{2u}.\end{array}

Es como si la "x" pasara a ser la función g(u,v), la "y" pasara a ser h(u,v) y la "z" pasara a ser la función k(u,v). El resultado es una nueva función F(u,v)=3uv+\sin\left(u\right)+3+e^{2u}. El gradiente de esta función es:

\nabla F(u,v)=\begin{bmatrix}\frac{\partial F}{\partial u}\\\frac{\partial F}{\partial v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3v+\cos\left(u\right)+2e^{2u}\\3u\end{bmatrix}.

Para el punto (u,v)=(1,0) el gradiente vale:

{\begin{bmatrix}3v+\cos\left(u\right)+2e^{2u}\\3u\end{bmatrix}}_{\left(1,0\right)}=\begin{bmatrix}\cos\left(1\right)+2e^2\\3\end{bmatrix}.

Segunda forma de hacerlo: aplicando la definición de la regla de la cadena para la derivada de la función compuesta, D\left(f\circ g\right)\left(x,y\right)=\left(Df\circ g\left(x,y\right)\right)\cdot Dg\left(x,y\right). ¿Cuáles son las funciones que componemos en este problema? Veamos, tenemos:

f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},\;g,h,k:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},\;f(g,h,k):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},

la composición resultante es:

\begin{array}{l}\mathbb{R}^2\;\;\longrightarrow\;\;\mathbb{R}^3\;\;\longrightarrow\;\;\mathbb{R}\\(u,v)\rightarrow\left(x,y,z\right)\rightarrow f\left(x,y,z\right)\end{array},

definimos pues la función F(u,v)=\left(g(u,v),h(u,v),k(u,v\right),\;F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3, y nos queda la composición f\circ F\left(u,v\right):\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}. Obtenemos el gradiente de esta composición aplicando la regla de la cadena:

D\left(f\circ F\right)\left(u,v\right)=\left(Df\circ F\left(u,v\right)\right)\cdot DF\left(u,v\right)

Df=\begin{bmatrix}\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}\\\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}y}\\\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\1\\2z\end{bmatrix};

Df\circ F\left(u,v\right)=\begin{bmatrix}3\\1\\2z\end{bmatrix}\circ\begin{bmatrix}uv\\\sin\left(u\right)+3\\e^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\1\\2e^u\end{bmatrix};

DF(u,v)=\begin{bmatrix}\frac{\operatorname{d}F}{\operatorname{d}u}\\\frac{\operatorname{d}F}{\operatorname{d}v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v&\cos\left(u\right)&e^u\\u&0&0\end{bmatrix}.

Nos queda pues:

D\left(f\circ F\right)\left(u,v\right)=\begin{bmatrix}v&\cos\left(u\right)&e^u\\u&0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\1\\2e^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3v+\cos\left(u\right)+2e^{2u}\\3u\end{bmatrix}.

En el punto (u,v)=(1,0) el gradiente vale:

D\left(f\circ F\right)\left(1,0\right)=\begin{bmatrix}3\cdot0+\cos\left(1\right)+2e^{2\cdot1}\\3\cdot1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\left(1\right)+2e^2\\3\end{bmatrix},

el mismo resultado que con el primer método.

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 2. Estudiar la continuidad y derivabilidad en el origen de la función de dos variables dada por:

f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3\sin\left(x+y\right)}{x^2+y^2},\;(x,y)\neq(0,0)\\0,\;\;(x,y)=(0,0)\end{array}\right.

La diferenciabilidad en un punto implica la continuidad, pero en el enunciado nos preguntan sobre la derivabilidad, que es un concepto distinto: la derivada en una función de varias variables siempre ha de calcularse a lo largo de una recta: es la derivada direccional; la recta viene dada por un vector director unitario u, y la el valor de la derivada direccional de f(v), siendo v un vector, viene dada por

Definición 1: \frac{\partial f\left(\overset\rightharpoonup v\right)}{\partial\overset\rightharpoonup u}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\overset\rightharpoonup v+h\overset\rightharpoonup u\right)-f\left(\overset\rightharpoonup v\right)}h.

En el caso particular de que las rectas sean los ejes de coordenadas entonces estamos calculando las derivadas parciales de la función; por ejemplo, según el eje x será, para el caso de una función de dos variables:

Definición 2: \frac{\partial f\left(\overset\rightharpoonup v\right)}{\partial\left(1,0\right)}=\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}h

La diferenciabilidad es más "exigente" que la derivabilidad, en el sentido de que si la función es diferenciable entonces seguro que es derivable, però la afirmación contraria no es cierta:

diferenciabilidad \begin{array}{l}\Rightarrow\\\nLeftarrow\end{array} derivabilidad

Como consecuencia de todo esto, la función puede ser derivable pero no continua ni diferenciable, o puede ser continua pero no derivable. Tendremos que estudiar la continuidad y la derivabilidad independientemente.

Continuidad en el origen

Definimos la curva general  en coordenadas polares x=r\cos\left(\theta\right),\;y=r\sin\left(\theta\right),\;r\geq0,\;0\leq\theta\leq2\mathrm\pi, y hallamos el límite para r\rightarrow0, esto es, nos acercamos al origen haciendo que este parámetro r tienda a cero. Primero hallamos la expresión de la función en coordenadas polares:

\begin{array}{l}x=r\cos\left(\theta\right),\;y=r\sin\left(\theta\right)\Rightarrow f\left(x,y\right)=\frac{\left(r\cos\left(\theta\right)\right)^3\sin\left(r\cos\left(\theta\right)+r\sin\left(\theta\right)\right)}{\left(r\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\sin\left(\theta\right)\right)^2}\\=\frac{r^3\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)}{r^2\left(\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)\right)}=\frac{r^{}\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)}{\left(1\right)}\\=r\cdot\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\end{array},

ahora pasamos al límite:

\begin{array}{l}\lim_{r\rightarrow0}r\cdot\cos^3\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)=\left\{0\cdot\cos^3\left(\theta\right)\right\}\cdot\left\{\sin\left(0\cdot\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\right\}\\=\left\{0\right\}\cdot\left\{\sin\left(0\right)\right\}=0\end{array},

debido a que \cos\left(\theta\right),\;\sin\left(\theta\right) tienen sus valores acotados en el intervalo [-1,1] y al multiplicar por un valor r\rightarrow0 el resultado también tiende a cero. En conclusión, \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f\left(x,y\right)=0. Como el valor exacto de f\left(0,0\right) es también cero (según la definición de la función dada en el enunciado), vemos que coinciden f\left(0,0\right)=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f\left(x,y\right), y por tanto f(x,y) es continua en el origen.

Derivabilidad en el origen

Para estudiar la existencia de derivadas direccionales en un punto (x,y) según cualquier dirección (u,v) se puede aplicar directamente la definición 1 para el origen de coordenadas:

\frac{\partial f\left(0,0\right)}{\partial\overset\rightharpoonup u}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\left(0,0\right)+h\overset\rightharpoonup u\right)-f\left(0,0\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h\overset\rightharpoonup u\right)-0}h,

sustituyendo en la expresión de la función:

\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(\frac{h^3u_x^3\sin\left(hu_x+hu_y\right)}{h^2u_x^2+h^2u_y^2}\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h{\displaystyle\frac{u_x^3\sin\left(hu_x+hu_y\right)}{u_x^2+u_y^2}}}h

simplificando y recordando que el vector de dirección u es unitario, nunca puede tomar valores nulos:

\lim_{h\rightarrow0}\frac{u_x^3\sin\left(h\left(u_x+u_y\right)\right)}{u_x^2+u_y^2}\rightarrow\frac{u_x^3\sin\left(0\right)}{u_x^2+u_y^2}=0. [1]

Así pues la función es derivable en el origen, y su derivada direccional en el origen, para cualquier dirección, es cero.  La gràfica en 3D obtenida con WolframAlpha es:

3DPlot_Exer2_derivadas_n_var

Ya que estamos, estudiemos también la diferenciabilidad de esta función; una condición suficiente es:

Criterio de diferenciabilidad: Si la función de dos variables f(x,y) tiene derivadas parciales y al menos una de ellas es continua, entonces la función es diferenciable.

Calculemos la derivada parcial respecto x:

D_xf\left(x,y\right)=\frac{3x^2\sin\left(x+y\right)\cdot\cos\left(x+y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)-x^3\sin\left(x+y\right)\cdot2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}.

Es una función continua salvo, quizás, en el origen x=y=0, donde tenemos que usar la definición de derivada parcial, pero de hecho no es necesario calcularla, pues antes ya habíamos obtenido la derivada direccional en el orígen (ecuación [1]), que vale cero para cualquier dirección, y la derivada parcial según x resulta de tomar el vector u=(1,0).

Para ver si D_xf(x,y) es continua en el origen tenemos que ver que \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}D_xf\left(x,y\right)=D_xf\left(0,0\right)=0. Simplificamos:

D_xf\left(x,y\right)=x^2\frac{3\cdot\cos\left(x+y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)-2x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\sin\left(x+y\right)

pasamos a coordenadas polares:

\begin{array}{l}D_xf\left(r,\theta\right)=r^2\cos^2\left(\theta\right)\frac{3\cos\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\cdot r^2-2r^2\cos^2\left(\theta\right)}{r^4}\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\\=\cos^2\left(\theta\right)\cdot\left[3\cos\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\end{array}

Pasamos al límite \lim_{r\rightarrow0} para obtener:

\begin{array}{l}\lim_{r\rightarrow0}\cos^2\left(\theta\right)\cdot\left[3\cos\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)\\=\cos^2\left(\theta\right)\left[3\cos\left(0\right)-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot\sin\left(0\right)\\=\cos^2\left(\theta\right)\left[3-2\cos^2\left(\theta\right)\right]\cdot0=0\end{array}

que no depende del ángulo \theta, luego el límite existe y vale cero, y la función derivada parcial respecto a x es continua. Por el criterio de diferenciabilidad, la función es diferenciable.

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