Archivo de la categoría: Sucesiones

Series de números reales

Introducción

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol. (Wikipedia: Paradojas de Zenón)

El problema planteado por las paradojas del filósofo griego Zenón perduró hasta que a partir del siglo XVII se avanzó en el estudio de las sumas de infinitos términos, denominadas series numéricas.

Definición 1: Serie numérica. Dada una sucesión de números reales, x_1, x_2, ..., x_n, ..., su serie asociada es la suma infinita x_1+x_2+\dots+x_n+\dots\;=\sum\nolimits_{i=1}^\infty x_i.

Vemos que hay siempre una sucesión asociada a una serie: la sucesión de los números reales que sumamos. También podemos definir otra sucesión asociada a una serie: la de sus sumas parciales.

Definición 2: Sucesión de sumas parciales de una serie numérica. Dada una serie \sum\nolimits_{i=1}^\infty x_i,  definimos su sucesión de sumas parciales como la sucesión de reales S_1, S_2, ... dada por S_1=\sum\nolimits_{i=1}^1x_i=x_{1\;},\;S_2=\sum\nolimits_{i=1}^2x_i=x_1+x_2,\;\dots,\;S_n=\sum\nolimits_{i=1}^nx_i=x_1+x_2+\dots+x_n.

Ejemplo 1: La distancia entre Zenón y el árbol conforme Zenón avanza es la sucesión {8, 4, 2, 1, 1/2, ...}; la distancia recorrida por Zenón es igual a la variación de la distancia entre él y el árbol: 8-4=4, 4-2=2, 2-1=1, ..., que forma la sucesión{4, 2, 1, 1/2, ...}, con término general x_n=2^{3-n}, n=1,2,.... total recorrida por Zenón es la suma de las distancias recorridas: 4+2+1+1/2+... que es la serie de término general \sum\nolimits_{i=1}^\infty2^{3-i}. La sucesión de sumas parciales viene dada por S_1=\sum\nolimits_{i=1}^12^{3-i}=2^2=4,\;S_2=\sum\nolimits_{i=1}^22^{3-i}=2^2+2^1=4+2=6,\;\cdots. Si escribimos los números de estas sumas parciales obtenemos la sucesión de sumas {4, 6, 7, 7.5, ...}.

Series convergentes y divergentes

Definición 3: Una serie \sum\nolimits_{i=1}^\infty x_i es convergente si su sucesión de sumas parciales converge a un valor límite S, esto es: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^nx_i=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=S. En caso contrario, la serie es divergente.

Ejemplo 2: si una sucesión es divergente, su serie asociada también lo será; por ejemplo, la sucesión aritmética  {1, 2, 3, ..., n, ...} es divergente, y tiene la serie asociada 1 + 2 + 3 +...+ n +... que es claramente divergente, ya que la sucesión de sumas parciales \left\{1,3,6,\cdots,\frac{n\left(n+1\right)}2,\cdots\right\} es divergente: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n\left(n+1\right)}2=\infty.

Ejemplo 3: La serie asociada a la sucesión geométrica de razón r, con término general x_n=ar^n, denominada serie geométrica,  tiene por término general las sumas parciales S_n=\sum\nolimits_{i=0}^nar^i=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n, y es convergente siempre que |r|<1. Es fácil encontrar el término general de la sucesión de sumas parciales: consideramos la suma S_n i su producto por r, y restamos la primera de la segunda:

\begin{array}{l}\begin{array}{l}rS_n=\sum\nolimits_{i=0}^nar^{i+1}=ar+ar^2+\cdots+ar^n+ar^{n+1}\\-S_n=\sum\nolimits_{i=0}^n-ar^i=-a-ar-ar^2-\cdots-ar^n\\\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\\rS_n-S_n=-a+ar^{n+1}\end{array}

de donde obtenemos \left(r-1\right)S_n=a\left(-1+r^{n+1}\right)\Rightarrow\boxed{S_n=a\frac{r^{n+1}-1}{r-1}}. Esta suma es convergente siempre que |r|<1, como podemos comprobar fácilmente:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}a\frac{r^{n+1}-1}{r-1}=\left\{\begin{array}{l}\infty\;\text{si }r>1\\\frac a{1-r}\;\text{si }r<1\end{array}\right.,

ya que r^{n+1} tiende a cero conforme  n crece siempre que r<1. Cuando r=1 entonces la serie es simplemente a + a + a + ... con suma parcial S_n=na y sin límite.

Si las sumas empiezan en la potencia n=1 es inmediato ver que entonces

S_n=\sum\nolimits_{k=1}^nar^n=a\left(\frac{r^{n+1}-1}{r-1}-r^0\right)=ar\frac{r^n-1}{r-1},

y en el límite obtenemos \underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}ar\frac{r^n-1}{r-1}=a\frac r{1-r}.

Ejemplo 4: la distancia total recorrida por Zenón viene dada por el límite del término general de sumas parciales S_n=\sum\nolimits_{i=1}^12^{3-n}, que es:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=4+2+1+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=4}^12^{3-n}=7+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^12^{-n}=7+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^1\frac1{2^n}=7+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^1\left(\frac12\right)^n

observemos que hemos "apartado" los primeros tres términos para aislar los restantes y poder ver que forman una serie geométrica convergente, ya que r = 1/2 = 1. Usando la fórmula de las sumas parciales de la serie geométrica y pasando al límite: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=7+1\cdot\frac{1/2}{1-1/2}=7+1=8. Vemos que la paradoja queda resuelta: al pasar al límite la suma infinita de pasos resulta la distancia inicial entre el árbol y Zenón: 8 metros.

Criterios de convergencia

Veamos algunas propiedades clásicas respecto la convergencia de series numéricas.

Propiedad 1 (condición necesaria): En toda serie convergente, a partir de cierto término, los términos siguientes de la sucesión asociada han de ser decrecientes con límite cero. Esta es una condición necesaria, pero no suficiente de convergencia.

Ejemplo 5: La serie 1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1n+\dots, denominada serie armónica, cumple la condición necesaria ya que \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac1n=0, pero es divergente; en efecto, agrupemos los sumandos del siguiente  modo:

1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1n+\dots=\left(1+\frac12\right)+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\dots

Dejamos de lado de momento el primer paréntesis y consideramos el resto de agrupamientos; en general, dado el agrupamiento m-ésimo P_m, contendrá 2^m términos, que son:

\left(\frac1{2^m+1}+\frac1{2^m+2}+\frac1{2^m+3}+\dots+\frac1{2^m+2^m}\right)

por ejemplo, para los dos primeros agrupamientos:

\begin{array}{l}m=1:\;\left(\frac1{2^1+1}+\frac1{2^1+2^1}\right)=\;\left(\frac13+\frac14\right),\\m=2:\;\left(\frac1{2^2+1}+\frac1{2^2+2}+\frac1{2^2+3}+\frac1{2^2+2^2}\right)=\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)\end{array}

Es fácil ver que cualquiera de estos agrupamientos es mayor que 1/2; en efecto, dividimos 1/2 en 2^m partes: 1/2:2^m=1/2^{m+1}, por tanto \frac12=\left(\frac1{2^{m+1}}+\frac1{2^{m+1}}+\frac1{2^{m+1}}+\dots+\frac1{2^{m+1}}\right) (tenemos 2^m sumandos), comparando término a término estos sumandos con los del agrupamiento P_m vemos que \frac12=\left(\frac1{2^{m+1}}+\frac1{2^{m+1}}+\dots+\frac1{2^{m+1}}\right)<\left(\frac1{2^m+1}+\frac1{2^m+2}+\dots+\frac1{2^{m+1}}\right), ya que \frac1{2^{m+1}}\leq\frac1{2^m+k},\;1\leq k\leq2^m (para verlo basta con hacer \frac{2^m+k}{2^{m+1}}=\frac12\frac{2^m+k}{2^m}=\frac12\left(1+\frac k{2^m}\right)\leq\frac12\left(1+1\right)=1).

Siendo todos los agrupamientos de la serie armónica mayores que 1/2, y habiendo un número infinito de agrupamientos, se sigue que \sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac1n>\left(1+\frac12\right)+\frac12+\frac12+\dots\rightarrow+\infty y la serie armónica es divergente.

Los siguientes criterios sirven para series de términos positivos, en el siguiente apartado veremos criterios para series generales.

Criterios de convergencia para series de términos positivos

 Propiedad 2 (criterio de comparación): Si una serie S de términos positivos es tal que, a partir de un cierto término n-ésimo, todos los términos siguientes de su sucesión asociada son menores que otra sucesión T convergente y de términos positivos, entonces la serie S también es convergente. Si una serie S de términos positivos es tal que, a partir de un cierto término n-ésimo, todos los términos siguientes  de su sucesión asociada son mayores que otra sucesión T divergente y de términos positivos, entonces la serie S también es divergente.

Ejemplo 6: Hemos visto que la serie geométrica \frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}+\dots es convergente. Entonces  la serie \frac{\left|\sin\left(2\right)\right|}2+\frac{\left|\sin\left(4\right)\right|}4+\frac{\left|\sin\left(8\right)\right|}8+\dots+\frac{\left|\sin\left(n\right)\right|}{2^n}+\dots también es convergente, pues cada uno de sus términos es menor o igual que la de la serie geométrica.

Propiedad 3 (criterio de D'Alembert o de la razón): si a partir de un cierto término de la sucesión {x_1,x_2,...,x_n} asociada a una serie la razón de cada término al siguiente x_{n+1} / x_n se mantiene inferior a una cierta cota superior L, la serie será convergente si y sólo si L < 1.

Es fácil ver que esto es cierto: a partir de un cierto término enésimo de la sucesión asociada tendremos

\frac{x_{n+1}}{x_n}<L,\;\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}<L,\;\frac{x_{n+3}}{x_{n+2}}<L,\;\dots

o bien:

x_{n+1}<x_nL,\;x_{n+2}<x_{n+1}L,\;x_{n+3}<x_{n+2}

Multiplicando la primera desigualdad por la segunda: x_{n+1}\;\cdot x_{n+2}<x_n\cdot x_{n+1}L^2\Leftrightarrow x_{n+2}<x_nL^2. Multiplicando esta última por la tercera desigualdad: x_{n+2}\cdot x_{n+3}<x_n\cdot x_{n+2}L^3\Leftrightarrow x_{n+3}<x_nL^3. Así, resulta que los términos a partir de x_{n+1} son menores que los términos de la sucesión {Lx_n, L^2x_n, L^3x_n,...}, pero esta última sucesión es geométrica con razón r=L, que será convergente siempre que L<1 (ver el ejemplo 3). Entonces, por el criterio de comparación, la serie {x_1,x_2,...,x_n} será convergente siempre que L<1.

NOTA 1: Cuando la razón L>1 la serie será divergente, pero si L=1 entonces este criterio no decide nada, habrá que probar con otro criterio.

NOTA 2: El criterio puede también aplicarse si encontramos que \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}=L.

Ejemplo 7: Consideramos la serie de términos positivos \frac1{1\cdot5}+\frac1{3\cdot5^2}+\frac1{5\cdot5^3}+\frac1{7\cdot5^4}+\dots+\frac1{\left(2n-1\right)\cdot5^n}, la relación x_{n+1} / x_n es \frac1{\left(2\left(n+1\right)-1\right)\cdot5^{n+1}}:\frac1{\left(2n-1\right)\cdot5^n}=\frac{\left(2n-1\right)\cdot5^n}{\left(2n+1\right)\cdot5^{n+1}}=\frac{\left(2n-1\right)}{\left(2n+1\right)\cdot5}, pasando al límite:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\left(2n-1\right)}{\left(2n+1\right)\cdot5}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\left(2n-1\right)/n}{\left(2n+1\right)\cdot5/n}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\left(2-1/n\right)}{\left(2+1/n\right)\cdot5}=\frac{\left(2\right)}{\left(2\right)\cdot5}=\frac15

Como L=1/5<1 la serie es convergente.

Propiedad 4 (criterio de Cauchy o de la raíz): si a partir de un cierto término de la sucesión {x_1,x_2,...,x_n} asociada a una serie se cumple que \sqrt[n]{x_n}<1 la serie será convergente, si \sqrt[n]{x_n}>1 para todos los términos a partir de un cierto término n-ésimo la serie será divergente, y si \sqrt[n]{x_n}=1 el criterio no decide.

Ejemplo 8: la serie \frac13+\frac2{3^2}+\frac1{3^3}+\frac{2^2}{3^4}+\frac1{3^5}+\frac{2^3}{3^6}+\dots tiene por término general de su sucesión asociada:

x_n=\left\{\begin{array}{l}\frac1{3^n},\;n=1,3,5,\dots\\\frac{2^{n/2}}{3^n},\;n=2,4,6,\dots\end{array}\right.

Tomando la raiz n-ésima:

\sqrt[n]{x_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac13,\;n=1,3,5,\dots\\\frac{2^{1/2}}3,\;n=2,4,6,\dots\end{array}\right.

Vemos que en cualquier caso las raíces n-ésimas de los términos de la sucesión asociada son menores que 1, luego la serie es convergente.

Propiedad 4 (Criterio de Raabe): si la expresión n\left(1+\frac{x_{n+1}}{x_n}\right) toma valores mayores que 1 a partir de un cierto término de la sucesión asociada a una serie, la  serie es convergente, y si la expresión se mantiene menor que 1, la serie es divergente. Este criterio suele emplearse cuando el criterio del cociente no decide.

Ejemplo 9: Para la serie \frac13+\frac17+\frac1{13}+\frac1{21}+\cdots+\frac1{n^2+n+1} el criterio del cociente no decide nada, pues \frac1{\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)+1}:\frac1{n^2+n+1}=\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}\xrightarrow\infty1. Aplicando Raabe:

n\left(1-\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)=n\left(1-\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}\right)=n\frac{\left(n^2+3n+3\right)-\left(n^2+n+1\right)}{n^2+3n+3}=\frac{2n^2+2n}{n^2+3n+3}\xrightarrow\infty2

que, siendo mayor que 1, nos dice que la serie es convergente.

Criterios de convergencia para series de términos de cualquier signo

Propiedad 5 (convergencia de series alternadas, o criterio de Leibnitz): Una serie alternada es aquella que tiene términos alternadamente positivos y negativos. Si los términos de la sucesión asociada a una serie alternada decrecen indefinidamente, entonces la serie converge.

Ejemplo 10: Hemos visto en el ejemplo 5 que la serie armónica 1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1n+\dots es divergente a pesar de que el término general de la sucesión x_n=1/n tiende a cero, pero en cambio la serie alternada 1-\frac12+\frac13-\dots+\left(-1\right)^{n-1}\cdot\frac1n+\dots es convergente, por la propiedad 5.

Propiedad 6 (convergencia absoluta): Dada una serie cualquiera S, si formamos otra serie T de términos positivos tomando los valores absolutos de los términos de la primera, y resulta que T es convergente, entonces S también será convergente. Esto suele expresarse diciendo que la convergencia absoluta implica la convergencia.

Ejemplo 11: la serie S dada por  \frac{sin\left(2\right)}2+\frac{sin\left(4\right)}4+\frac{sin\left(8\right)}8+\dots+\frac{sin\left(n\right)}{2^n}+\dots no es de términos positivos ni es alternada, pero tomando sus valores absolutos obtenemos la serie de términos positivos T del ejemplo 6, que es convergente, luego S es convergente por la propiedad 6.

Ejemplo 12 (Convergencia condicional): decimos que una serie es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no es absolutamente convergente. la serie alternada del ejemplo 10, 1-\frac12+\frac13-\dots+\left(-1\right)^{n-1}\cdot\frac1n+\dots, es convergente, pero tomando sus valores absolutos obtenemos la serie armónica, divergente, luego es condicionalmente convergente.

En el siguiente gráfico vemos la evolución de las sumas parciales de algunas de las series que hemos dado en los ejemplos; de ellas, sólo una es divergente, la serie armónica.

series

Límites de sucesiones de funciones

Recientemente he estado ayudando a un alumno con un problema relativo a la convergencia de una sucesión de funciones; a parte de la técnica de resolución, que puede más o menos aprenderse de memoria, comprobé que mi alumno no había entendido ni el significado ni la utilidad de los conceptos, de forma que, por así decirlo, navegaba entre la niebla. De hecho, recordé que yo mismo en mi época de estudiante tampoco lo entendí. Estoy seguro de que se debe a la forma de explicarlo, demasiado formal. Voy a intentar en este post explicar claramente tres conceptos, que son:

  • Sucesión de funciones
  • Convergencia puntual de una sucesión de funciones
  • Convergencia uniforme de una sucesión de funciones

 

Sucesión de funciones

Una sucesión de funciones, a semejanza de una sucesión numérica, es una colección infinita de funciones. Por ejemplo:

\begin{array}{l}f_1(x)=x,\\f_2(x)=x^2,\\f_3(x)=x^3,\\\dots,\\f_n(x)=x^n\end{array}

Más formalmente, si tenemos una función F:\mathbb{N}\rightarrow\Omega, donde \mathbb{N}: números naturales,  \Omega: conjunto de funciones reales de variable real, tal que a cada número natural n hace corresponder una función real f_n(x), diremos que tenemos definida una sucesión de funciones reales. En el ejemplo anterior:

\begin{array}{l}1\rightarrow f_1(x)=x,\\2\rightarrow f_2(x)=x^2,\\3\rightarrow f_3(x)=x^3,\\\dots,\\n\rightarrow f_n(x)=x^n\end{array}

A la función de la sucesión correspondiente al número n, f_n(x) se le llama el término general de la sucesión.

Ejemplo 1: Escribir los tres primeros términos de la sucesión de funciones de término general f_n(x)=\frac1{1-nx^2}.

Son:

\begin{array}{l}n=1\rightarrow f_1(x)=\frac1{1-x^2},\\n=2\rightarrow f_2(x)=\frac1{1-2x^2},\\n=3\rightarrow f_3(x)=\frac1{1-3x^2}\end{array}


Convergencia puntual de una sucesión de funciones

En las sucesiones numéricas ya se ha visto el concepto de convergencia: informalmente hablando, es un número x al que progresivamente se va acercando la sucesión, sin alcanzarlo nunca. Extendiendo el concepto a sucesiones de funciones, el límite también ha de ser una función a la que la sucesión de funciones se va acercando, pero, ¿que entendemos por "acercarse a una función"? Con números reales x, y sabemos que si la diferencia \left|x-y\right| es pequeña, entonces los números  x, y  estan cerca. ¿Cómo lo hacemos con funciones? Bueno, hay varias formas de hacerlo.

Definición 1: Convergencia puntual de una sucesión de funciones.

Sean las funciones f_n\left(x\right) con dominio D. Si existe una función f(x) tal que se cumpla, para todo x\in D:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=f\left(x\right)

diremos que f(x) es la función límite de la sucesión f_n\left(x\right) y que esta sucesión converge puntualmente a f(x).

Ejemplo 2: La sucesión f_n(x)=\frac1{1+nx^2} tiende a la función

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\;\text{si }x\neq0\\1\;\text{si }x=0\end{array}\right.

en efecto:

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{1+nx^2}=\left\{\begin{array}{l}\frac1{1+\infty\cdot x^2}=\frac1{\infty}=0\;\text{si }x\neq0\\\frac1{1+n\cdot0}=\frac11=1\;\text{si }x=0\end{array}\right.

Gráficamente, representamos los términos 1, 2, 3, 50 y 1000 de la sucesión :

fn(x) = 1/(1+nx²)
fn(x) = 1/(1+nx²)

Vemos que,  a medida que avanzamos en la sucesión, la gráfica de f_n(x) se va estrechando; en el límite vale cero en todo punto excepto en x=0, donde vale 1.

En este ejemplo vemos que, aun siendo todas las funciones de la sucesión f_n(x) funciones continuas, la función límite f(x) no lo es. Por tanto, la definición que hemos dado de convergencia de series de funciones no conserva la continuidad. En el siguiente apartado encontramos la segunda definición de convergencia que conservará la continuidad.


 

Convergencia uniforme de una sucesión de funciones

Para ver el motivo de por qué la convergencia puntual no conserva la continuidad, y como puede solucionarse, veamos un ejemplo. Sea la sucesión funcional definida por f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}. En la imagen hemos representado los términos n=1, 2, 3, 100, así como las rectas y=0.3, e y=-0.3.

fn(x) = |x| / (1 + nx²)
fn(x) = |x| / (1 + nx²). Los términos a partir del tercero  estan dentro de la franja -0,3 < y < 0,3.

La función límite es:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}=\left\{\begin{array}{l}0\;\text{si }x=0\\\frac{\left|x\right|}{1+\infty}\rightarrow0\;\text{si }x\neq0\end{array}\right.

Luego f(x)=0. En la imagen observamos que, a partir de cierto término (el tercero, f_3(x)) todas las funciones quedan dentro de la franja delimitada por las rectas y=0,3, e y=-0,3, o sea que la distancia entre la gráfica de f(x) y de f_n(x) es menor que d=0,3.  Dicho de otro modo,  toda la gráfica de cada función f_n(x) se acerca uniformemente a la función límite f(x)=0. Cuando sucede esto, queda asegurada la continuidad de la función límite, como en este caso sucede. Tenemos pues una nueva definición de convergencia:

Definición 2: Convergencia uniforme de una sucesión de funciones.

f_n(x) tiende uniformemente a f(x) si converge puntualmente a f(x) y además, dada una distancia d cualquiera, la separación entre la función límite y todas las funciones de la sucesión a partir de una de ellas es menor que d.

Ejemplo 3:  la sucesión funcional f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2} converge puntualmente a f(x)=0. ¿Convergerá uniformemente? Sea un número d>0 cualquiera; queremos que

\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\left|\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}-0\right|=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}<d\Leftrightarrow\frac x{1+nx^2}<d

siempre que n>n_0. Operando:

\frac x{1+nx^2}<d\Leftrightarrow-ndx^2+x-d>0\Leftrightarrow n>\frac{x-d}{dx^2}.

Para asegurar que se cumpla la última desigualdad para todo x, buscamos el valor máximo del término de la derecha; lo consideramos una función de x, derivamos respecto x e igualamos a cero:

D_x\left(\frac{x-d}{dx^2}\right)=\frac{1\left(dx^2\right)-\left(x-d\right)\cdot2dx}{\left(dx^2\right)^2}=0\Leftrightarrow-dx^2+2d^2x=0\Leftrightarrow x=2d.

Para ver que es un máximo y no un mínimo basta con observar que la expresión \frac{x-d}{dx^2} tiende al valor cero para x\rightarrow\infty, mientras que si sustituimos el valor x=2d obtenemos el valor \frac{2d-d}{d\cdot4d^2}=\frac d{4d^3}=\frac1{4d^2}>0..

Así pues, dado un valor d>0 cualquiera (de hecho, se supone que damos valores "pequeños" a d) hemos encontrado que, tomando los términos n>n_0 con n_0=\frac1{4d^2}, todos ellos cumpliran la condición \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<d. Por ejemplo, sea d=0,3 (recordar que en la imagen anterior hemos trazado la región -0,3 < y <0,3); entonces n_0=\frac1{4d^2}=\frac1{4\cdot0,3^2}=2,7.\;. Cogiendo n\geq3 todos los términos iguales o posteriores al tercero entrarán dentro de la franja -0,3 < y <0,3, tal como se observa en la figura anterior. Por tanto concluimos que esta sucesión de funciones converge uniformemente a f(x)=0.


Procedimiento práctico para estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de sucesiones de funciones

1. Dada una sucesión de funciones f_n(x), primero estudiamos el límite \lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right) para ver si es puntualmente convergente. Hay que tener en cuenta al hacer el límite que la variable x puede tomar cualquier valor en el dominio de la función. Si no es puntualmente convergente hemos terminado, pues ya no puede ser uniformemente convergente.

2. Si las funciones f_n(x) son continuas pero la función límite es discontinua, también hemos terminado, pues no puede ser uniformemente convergente, dado que uniformemente convergente \Rightarrow se conserva la continuidad en la función límite.

3. Si tenemos convergencia puntual a la función f(x) y queremos comprobar la convergencia uniforme, podemos aplicar la definición 2, demostrando que para todo d>0 siempre existe un n_0 tal que, para todo n>n_0 se cumple la desigualdad \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<d. Esto puede ser inmediato, o no. En los casos que no sea fácil, podemos intentar aplicar un criterio equivalente:

Criterio de convergencia uniforme de una sucesión f_n(x)

f_n(x) converge uniformemente al límite puntual f(x) siempre que se cumpla:

\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\text{=0}.

Ejemplo 4: La sucesión f_n(x)=\frac1{1+nx^2} de los ejemplos 1 y 2 no converge uniformemente a su límite puntual f(x)=0 para x\neq0,  f(x)=1 para x=0, pues todas las funciones \frac1{1+nx^2} son continuas en todo su dominio, pero la función límite es discontinua.

Ejemplo 5: apliquemos el criterio de convergencia uniforme a la sucesión del ejemplo 3. Primero calculamos el valor {\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|:

{\text{Sup}}_x\left|\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}-0\right|={\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{.}

Derivamos la expresión para obtener el valor máximo:

D_x\left(\frac x{1+nx^2}\right)=\frac{1\left(1+nx^2\right)-x\left(2nx\right)}{\left(1+nx^2\right)^2}=0\Rightarrow1-nx^2=0\Rightarrow x=\frac1{\sqrt n}.

Hemos ignorado el valor absoluto pues la expresión h(x)=\frac x{1+nx^2} es impar: h(-x)=-h(x), entonces un máximo digamos en un punto x_0 implica un mínimo en -x_0 y viceversa.

Tenemos que {\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{=}\frac1{\sqrt n} (observamos que no puede ser un mínimo pues para x=0 la expresión vale 0). Pasamos ahora al límite:

\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{=}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt n}\text{=0.}

Efectivamente se cumple la condición dada por el criterio, luego la sucesión converge uniformemente.

Ejemplo 6: Estudiar la convergencia de la sucesión f_n\left(x\right)=\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}.

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}=0, ya que el valor del numerador oscila entre -1 y 1 mientras que el denominador tiende a \infty. Luego la función límite es f(x)=0.

{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|={\text{Sup}}_x\left|\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}\right|=\frac1{\sqrt n}, por la misma razón:  el valor del numerador oscila entre -1 y 1. Pasamos al límite: \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt n}=0, luego la sucesión converge uniformemente. En la imagen siguiente vemos los términos 1, 5 y 100 de la serie (éste último en rojo). La amplitud de las oscilaciones tiende a 0.

sin(nx) / n^(1/2)
sin(nx) / n^(1/2)

Ejemplo 7: Estudiar la convergencia de la sucesión f_n\left(x\right)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}.

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=\left\{\begin{array}{c}0\;\text{si }x=0\\\frac12\;\text{si }x=1\\1\;\text{si }\left|x\right|>1\end{array}\right.\\\end{array}

La función límite es discontinua, pero las funciones de la sucesión son todas continuas, por tanto no puede ser uniformemente convergente. En la figura siguiente vemos los términos 1, 2, 3 y 10, éste último en rojo. Todas las funciones de la sucesión pasan por el punto (x,y)=(1, 0.5). En el límite, este punto pasa a ser un punto aislado de la gráfica, resultando una función límite discontínua.

(x^2n)/(1+x^2n)
(x^2n)/(1+x^2n)

Ejemplo 8: Estudiar la convergencia de la sucesión \begin{array}{l}f_n\left(x\right)=x\left(1+\frac1n\right)\\\end{array}.

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}x\left(1+\frac1n\right)=x\\\end{array}, luego la función límite es f(x)=x. Todas las funciones de la sucesión, y también la función límite, son continuas, por lo que no podemos decir nada de la convergencia uniforme, debemos comprobarla.

\begin{array}{l}{\text{Sup}}_x\left|x\left(1+\frac1n\right)-x\right|={\text{Sup}}_\mathrm x\left|\frac{\mathrm x}{\mathrm n}\right|\\\end{array}. Esta expresión no está acotada, no existe el supremo. No obstante, si nos restringimos a cualquier intervalo (a, b) de la recta real, entonces:

\begin{array}{l}{\text{Sup}}_\mathrm x\left|\frac{\mathrm x}{\mathrm n}\right|=\frac{\mathrm b}{\mathrm n}\;\text{si }\mathrm x\in\left(\mathrm a,\mathrm b\right)\\\end{array}

Pasando al límite:

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\mathrm b}{\mathrm n}=0\;\text{si }\mathrm x\in\left(\mathrm a,\mathrm b\right)\\\end{array}.

Por tanto la función es uniformemente convergente en cualquier intervalo (a, b) pero no lo es en todo el dominio \mathbb{R}.

separador2

Bibliografía

 

Análisis Matemático: un buen libro de teoría de nivel más bien elevado; el capítulo 9 se dedica a las series funcionales

Problemas resueltos de sucesiones en R

Cálculo en R -> Sucesiones -> problemas resueltos


1. Calcular los siguientes límites.

a) L = lim_n\frac{3n^2+2}{5n-1}

Aplicando la regla de los límites de fracciones polinómicas, L = +∞, pues el numerador tiene mayor grado que el denominador.

b) L=lim_n\frac{2n^3-5n-2}{-n^3-n^2+2n1+1}

Siendo los grados de numerador y denominador iguales, el límite es el cociente de los factores de mayor grado,  L =\frac{2}{-1} = -2

c) L=lim_n\frac{2n^2-5n-2}{-n^3-n^2+2n1+1}

L = 0, pues el numerador tiene menor grado que el denominador.

d) L=lim_n\frac{\sqrt{n^{2\;}+3}\;-\;\sqrt[{}]{n^2+5}}{\sqrt{n^{2\;}+3}\;+\;\sqrt[{}]{n^2+5}}

Tenemos L=lim_n\frac{\infty\;-\;\infty}{\infty\;+\;\infty}=\frac?\infty, el límite del numerador es uno de los casos de indeterminación. Observamos que el "grado" del numerador y del denominador es \sqrt{n^{2\;}}=n. Por ello, para eliminar la indeterminación probemos a dividir por n:

L=lim_n\frac{\left(\sqrt{n^{2\;}+3}\;-\;\sqrt[{}]{n^2+5}\right)/n}{\left(\sqrt{n^{2\;}+3}\;+\;\sqrt[{}]{n^2+5}\right)/n\;}=\frac{\sqrt{1+3/n^2}\;-\;\sqrt[{}]{1+5/n^2}}{\sqrt{1+3/n^2}\;+\;\sqrt[{}]{1+5/n^2}}

Cuando n → ∞ resulta L = L=\frac{\sqrt{1+0}-\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{1-1}{1+1}=0

e) L=\lim_n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt n\right)

El límite es indeterminado del tipo +∞ -∞. Para deshacer la indeterminación, convertimos el término general en una expresión racional, multiplicando y dividiendo por el conjugado:

L=\lim_n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt n\right)\frac{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}

L=\lim_n\frac{\left(n^2+1\right)-\left(n\right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}

De esta forma aprovechamos el hecho de que \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2 para eliminar los radicandos del numerador. Pero el límite sigue siendo indeterminado:

L=\lim_n\frac{\left(n^2+1\right)-\left(n\right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}=\frac{\infty-\infty}{\infty+\infty}=\frac?\infty

Para deshacer la indeterminación dividimos todo per n elevado al mayor grado de los términos: n²

L=\lim_n\frac{\left(n^2+1-n\right)/n^2}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt n\right)/n^2}=\lim_n\frac{1+1/n^2-1/n}{\sqrt{1/n^{2\;}+1/n^4}+\sqrt{1/n^3}}=\frac{1+0-0}{0+0+0}=\frac10

Recordando las propiedades de los límites infinitos, concluimos L = +∞


2. Calcular L=\lim_n\frac{n!}{n^n}

L=\lim_n\frac{n!}{n^n}=\lim_n\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\dots\cdot2\cdot1}{n\cdot n\cdot n\dots n\cdot n}=\frac\infty\infty=?

Observemos que \frac{n!}{n^n}>0 para todo n, y que \left(x_n\right)=\left\{1,\frac12,\frac6{27},\dots\right\} es decreciente y acotada, por lo que ha de ser convergente (no demostraremos estas afirmaciones, y que no nos lo piden explícitamente en el enunciado).

Si comparamos \left(x_n\right) con la sucesión \left(y_n\right) de términos \left(y_n\right)=\left(\frac{n^{n-1}}{n^n}\right)=\frac{n\cdot n\dots n\cdot1}{n\cdot n\dots n\cdot n}=\frac1n  vemos que se cumple, para todo n:

0\leq\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\dots\cdot2\cdot1}{n\cdot n\cdot n\dots n\cdot n}\leq\frac{n\cdot n\dots n\cdot1}{n\cdot n\dots n\cdot n}=\frac1n\Rightarrow0\leq\left(x_n\right)\leq\left(y_n\right)

Pero \left(y_n\right)\rightarrow0, con lo que tenemos que 0\leq\underset{}{\lim\left(x_n\right)\leq0\Rightarrow\lim\left(x_n\right)=0.}


3. Mediante la definición de límite basada en puntos de acumulación, comprobar que la sucesión \left(a_n\right)=\left(\frac{n-3}{2n}\right)  es convergente.

El teŕmino general es del tipo fracción racional polinómica, aplicando el criterio de convergéncia adecuado concluimos inmediatamente que \lim_{}\left(a_n\right)=\frac12.

Para demostrar que es convergente con límite \frac12 hemos de ver que x=\frac12 es un punto de acumulación del conjunto \left\{-1,\frac-14,0,\frac18,\dots\right\}, que equivale a decir que siempre podemos encontrar elementos de la sucesión x_n a medida que nos acercamos a distancias progresivamente menores r del punto x = 1/2:

recta
xn está situado a una distancia menor que r del  punto  x=1/2

 

Planteamos pues x_n > 1/2 - r (ver figura), o sea:

\frac{n-3}{2n}>\frac12-r\Leftrightarrow n-1>n-2rn\Leftrightarrow-1>2rn\Leftrightarrow1<2rn\Leftrightarrow n>\frac1{2r}

Para todo n>\frac1{2r} los valores x_n quedan más cerca de x=1/2 que el valor r, sea cual sea r, por lo que x=1/2 es punto de acumulación, y también el límite de la sucesión.


 

4. Mediante la definición clásica de límite basada en entornos, probar que la sucesión definida por a_n=1 si n es impar, \frac1n en otro caso, no es convergente.

Los primeros términos de la sucesión son \left\{1,\frac12,1,\frac14,1,\frac16,\dots\right\}. Vemos que la sucesión no es monótona. Procedemos por reducción al absurdo: supongamos que el límite es x. Entonces, para todo r>0 existirá un m\in\mathbb{N} tal que x_n\in\Beta\left(x,r\right) siempre que n\geq m,  equivalentemente, tendremos x_n\in\left(x-r,x+r\right), que implica x-r\leq x_n\leq x+r. Entonces tendremos, simultaneamente,

\left\{\begin{array}{l}x-r\leq\frac1n\leq x+r,\;n\;par\\x-r\leq1\leq x+r,\;n\;impar\end{array}\right.

De la segunda desigualdad, sumando -x-1 obtenemos -1-r<-x<r-1\Leftrightarrow1+r>x>1-r, que ha de ser cierto para cualquier r>0, lo cual nos lleva a concluir que x=1. Sustituimos este valor de x en la primera desigualdad para obtener 1-r<\frac1n<1+r. pero para n suficientemente grande, tenemos que \frac1n tiende a 0, entonces para valores de r pequeños la desigualdad es imposible. En conclusión no existe el límite de la sucesión.


 

 

5. Mediante las propiedades de las sucesiones de Cauchy, probar que la sucesión definida por a_n=1 si n es impar, \frac1n en otro caso, no es convergente.

En las sucesiones de Cauchy, la distancia entre los términos posteriores a uno dado puede hacerse tan pequeña como se quiera, esto es, para cualquier valor r>0, existirá un m\in\mathbb{N} tal que para cualquiera valores n, p>m se cumplirá \left|x_n-x_p\right|<r. ¿Es esto cierto para la sucesión del enunciado?

Supongamos que n>m es par y que p>m es impar; podemos suponerlo por que la propiedad anterior que define la sucesión de Cauchy ha de cumplirse para cualesquiera términos posteriores a uno dado. Entonces \left|x_n-x_p\right|=\left|\frac1n-1\right|=1-\frac1n, pero este valor aumenta con n, acercándose a 1 cuando n es muy grande, por lo tanto no podemos hacerlo menor que un r dado para valores grandes de n. En conclusión, la sucesión no es de Cauchy, y tampoco puede ser convergente.


 

6. Clasificar (¿acotada? ¿creciente? ¿decreciente? ¿monótona? ¿convergente?) la sucesión de término general:

\left(a_n\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{n+1}n,\;n\;\text{par}\\1-\frac1{2n},\;n\;\text{impar}\end{array}\right.

Escribamos los primeros términos de la sucesión:

\left(a_n\right)=\left\{\frac12,\frac32,\frac56,\frac54,\frac9{10},\frac76,\frac{13}{14},\frac98,\dots\right\}

Vemos que a medida que avanzamos no hay un orden estricto, a veces aumentan los valores, a veces decrecen: no es una sucesión ni creciente ni decreciente, y por tanto tampoco es monótona. Para ver si es convergente consideremos cómo se comporta la diferencia entre dos términos cualesquiera \left(a_p\right),\left(a_q\right),\;p,q>m\in\mathbb{N} cuando avanzamos en la sucesión; como tenemos dos términos generales, dependiendo de si p, q son pares o impares, tendremos que distinguir cada caso por separado. Suponemos que q>p.

Tanto p como q son pares:

\frac{q+1}q-\frac{p+1}p=\left(1+\frac1q\right)-\left(1+\frac1p\right)=\frac1q-\frac1p\xrightarrow[\infty]{}\frac1\infty-\frac1\infty=0..

Tanto p como q son impares:

\left(1-\frac1{2q}\right)-\left(1-\frac1{2p}\right)=\frac1{2p}-\frac1{2q}\xrightarrow[\infty]{}\frac1\infty-\frac1\infty=0.

p es par, q es impar:

\left(1-\frac1{2q}\right)-\left(1+\frac1p\right)=\frac1p-\frac1{2q}\xrightarrow[\infty]{}\frac1\infty-\frac1\infty=0.

El caso restante p es impar, q es par es análogo y lo dejamos para el lector. Vemos que en todos los casos la diferencia entre términos sucesivos cualesquiera se hace más y más pequeña conforme avanzamos en la sucesión, por tanto podremos hacer que sea menor que cualquier r>0 dado siempre que p, q > m para cierto m que dependerá de r, en otras palabras, la sucesión es de Cauchy, y por tanto convergente.

Si queremos calcular el límite, que ahora sabemos que existe, lo hacemos para ambas expresiones:

\left(a_n\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{n+1}n\xrightarrow[\infty]{}1\\1-\frac1{2n}\xrightarrow[\infty]{}1-0=1\end{array}\right.

Vemos que en cualquier caso la sucesión se acerca progresivamente a 1, que es el límite de la sucesión.


7. Clasificar la sucesión de números racionales \left(a_n\right)=1-\frac13+\frac15-\dots+\left(-1\right)^{n+1}\frac1{2n-1}=\sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i+1}\frac1{2i-1}  teniendo en cuenta que sólo contiene números racionales, esto es, \left(a_n\right)\in\mathbb{Q}

Escribamos los primeros términos de la sucesión:

  • n=1) 1
  • n=2) 1 - 1/3 = 2/3
  • n=3) 1 - 1/3 + 1/5 = 2/3 + 1/5 = 13/15
  • n=4) 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 = 76/105

Vemos que  a veces aumentan los valores, a veces decrecen: no es una sucesión ni creciente ni decreciente, y por tanto tampoco es monótona. Para ver si es una sucesión de Cauchy calculamos la diferencia entre dos términos cualesquiera:

\left(a_p\right)-\left(a_q\right)=\left(1-\frac13+\frac15-\dots+\left(-1\right)^{p+1}\frac1{2p-1}\right)-\left(1-\frac13+\frac15-\dots+\left(-1\right)^{q+1}\frac1{2q-1}\right)

\left(a_p\right)-\left(a_q\right)=\left(-1\right)^{p+1}\frac1{2p-1}-\left(-1\right)^{q+1}\frac1{2q-1}

Como solo nos interesa el valor absoluto de la diferencia, ignoramos los signos:

\left|\left(a_p\right)-\left(a_q\right)\right|=\left|\frac1{2p-1}-\frac1{2q-1}\right|\xrightarrow[\infty]{}\left|\frac1\infty-\frac1\infty\right|=0.

Por tanto la sucesión es de Cauchy, no obstante, ahora no implica que sea convergente, pues la implicación Cauchy \Rightarrow convergente sólo es válida para sucesiones de números reales, y esta sucesión es de números racionales. De hecho, esta sucesión se conoce como serie de Leibniz y se puede probar que converge a \mathrm\pi/4, que es un número irracional, por lo tanto la sucesión no converge a ningún número racional: es divergente.

separador2

Bibliografia

 

Sucesiones y series infinitas (Curso programado de Cálculo C.E.M.). Un libro antiguo e injustamente olvidado, en mi opinión. El Curso programado sigue la didáctica constructivista, introduciendo cada concepto con ejemplos, de forma que el alumno va construyendo su conocimiento en vez de simplemente memorizarlo.