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Examen-2 de Cálculo

1. Calcular \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}

Solución: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}=\frac{\sqrt{\infty+1}-\sqrt{\infty+2}}{\infty-2+\sqrt{\infty-3}}=\frac{\infty-\infty}\infty=? tenemos dos indeterminaciones, una en el numerador, \infty-\infty, otra en la fracción \frac{\infty}\infty. Viendo que el grado máximo de n es 1, dividimos numerador y denominador por n, y volvemos a aplicar el límite:

\begin{array}{l}\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}\frac{1/n}{1/n}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2/n^2+1/n^2}-\sqrt{9n^2/n^2+2/n^2}}{3n/n-2/n+\sqrt{4n^2/n^2-3/n^2}}=\\\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{1+1/n^2}-\sqrt{9+2/n^2}}{3-2/n+\sqrt{4-3/n^2}}=\frac{\sqrt{1+0}-\sqrt{9+0}}{3-0+\sqrt{4-0}}=\boxed{-\frac25}\end{array}

Como comprobación calculamos algunos términos con hoja de cálculo, llamando L al límite:

n f(n) |L-f(n)|
1 -0,951206 0,551206
10 -0,416974 0,016974
100 -0,401609 0,001609
1000 -0,400160 0,000160
10000 -0,400016 0,000016
100000 -0,400002 0,000002

Vemos que la diferencia entre la expresión y el límite tiende progresivamente a cero.

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2. ¿En qué puntos la gráfica de la función f(x)=x^3-x^2+2 tiene su recta tangente paralela al eje X?

Solución: La recta tangente a la gráfica de f(x) en un punto x_0 de su dominio tiene la ecuación y=mx+n donde la pendiente de la recta es m=f'(x_0); recordemos que la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje X: m=\tan\left(\alpha\right). Si esa recta tangente es paralela al eje X, quiere decir que el ángulo \alpha es cero, o sea que \tan\left(\alpha\right)=\tan\left(0\right)=0, o sea que m=0=f'(x_0). Por tanto, tenemos que hallar los puntos x para los que la derivada es nula:

f'(x)=3x^2-2x=0\Rightarrow x\left(3x-2\right)=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x=2/3\end{array}\right.

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Sustituyendo estos dos valores de x en f(x) obtenemos sus imágenes, que son y=2, y = 50/27, respectivamente, que son también las ecuaciones de las rectas tangentes, ya que para ellas y=mx + n = 0·x+n = n (rectas y = cte) como vemos en la gráfica.

separador23.  Estudiar el límite \underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{lim}\frac{x^2+y^3}{x^2+y^2}.

Solución: Es indeterminado del tipo 0/0. Siendo un límite de dos variables, procede el cambio de variables a coordenadas polares:

\begin{array}{l}\underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{lim}\frac{x^2+y^3}{x^2+y^2}=\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{r^2\cos^2\left(\theta\right)+r^3\sin^3\left(\theta\right)}{r^2cos^2\left(\theta\right)+r^2sin^2\left(\theta\right)}=\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{cos^2\left(\theta\right)+sin^3\left(\theta\right)}{cos^2\left(\theta\right)+sin^2\left(\theta\right)}=\\\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{cos^2\left(\theta\right)+sin^3\left(\theta\right)}1\end{array}

este límite no existe, pues a medida que el radio r se acerca a cero, el numerador no tiende a ningún valor en concreto, depende del ángulo.

separador24.  ¿Cuáles son los puntos críticos de la función f(x,y)=x^3y^3+xy?

Solución: Son aquellos en los que se anulan las derivadas parciales; la derivada parcial respecto a x la igualamos a cero:

\frac{\partial{}}{\partial x}\left(x^3y^3+xy\right)=3x^2y^3+y=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\boxed{y=0}\\3x^2y^2+1=0\end{array}\right.

la segunda opción no tiene solución, pues x^2y^2 siempre es positivo. Para la derivada parcial respecto a y tenemos un resultado parecido:

\frac{\partial{}}{\partial y}\left(x^3y^3+xy\right)=3x^3y^2+x=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\boxed{x=0}\\3x^2y^2+1=0\end{array}\right.

Así pues el único punto crítico es x=0, y=0.

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Examen-1 resuelto de Cálculo

1. Estudiar la continuidad o en su caso, discontinuidad, en x=1, de la función real:

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin\left(\mathrm\pi x\right)\right),\;x\leq1\\\frac{x-1}{x+1},\;x>1\end{array}\right.

Solución: Para que sea continua en el punto, ha de cumplir la condición de que el límite en ese punto coincida con el valor de la función en el punto:

\underset{x\rightarrow1}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)=\sin\left(\mathrm\pi\right)=-1

El límite en x = 1 hay que calcularlo según las dos ramas de la función (límites laterales), ya que precisamente en ese punto se bifurca la función; límite por la derecha,

\underset{x\rightarrow1^+}{lim}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0^+}{2^+}=0

límite por la izquierda,

\underset{x\rightarrow1^-}{lim}\sin\left(\mathrm{πx}\right)=\sin\left(\mathrm\pi\right)=-1

Vemos que los límites laterales no coinciden, luego no existe el límite en el punto x=1, y por tanto la función no puede ser continua. Además, al no coincidir los límites laterales, en x=1 hay una discontinuidad de salto (o no evitable), pero los dos límites son finitos, así pues el salto es finito: es una discontinuidad de 1a especie.

2. Dada la función 1-\frac1{x^2+2} realizar 5 iteraciones del método del punto fijo tomando como punto inicial x=0.

Solución: El método del punto fijo genera una sucesión de valores a partir de un valor inicial: {x_0, x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), ...}, que converge a un punto x tal que f(x) = x. En nuestro caso esta sucesión es:

\begin{array}{l}x_1=f\left(0\right)=1-\frac1{0^2+2}=\frac12;\\x_2=f\left(\frac12\right)=1-\frac1{\left(\frac12\right)^2+2}=1-\frac1{\displaystyle\frac94}=\frac59;\\x_3=f\left(\frac59\right)=1-\frac1{\left(\frac59\right)^2+2}=\frac{106}{187}\approx0.5668;\\x_4=f\left(\frac{106}{187}\right)=1-\frac1{\left(\frac{106}{187}\right)^2+2}\approx0.5692;\\x_5=f\left(0.5692\right)=1-\frac1{\left(\frac{106}{187}\right)^2+2}=0.5697\end{array}

Vemos que un punto fijo de esta función está cerca de  x=0.5692 pues para este valor el punto y su imagen por f prácticamente coinciden: f\left(0.5692\right)=0.5697

3. Calcular \int_0^1\frac{3x}{\left(3x^2+1\right)^2}\operatorname dx

Solución: Primero calculamos la integral indefinida; es del tipo inmediato \int\frac{f'\left(x\right)}{\left[f\left(x\right)\right]^n}=\frac{\left[f\left(x\right)\right]^{n+1}}{n+1},\;n>1, pues la derivada del denominador, sin tener en cuenta la potencia, es casi igual al numerador, excepto por un factor constante que podemos añadir:

\int\frac{3x}{\left(3x^2+1\right)^2}\operatorname dx=\frac12\int\frac{6x}{\left(3x^2+1\right)^2}\operatorname dx=\frac12\frac{\left(3x^2+1\right)^3}3

Ahora aplicamos la regla de Barrow para calcular la integral definida:

\frac16\left[\left(3x^2+1\right)^3\right]_0^1=\frac16\left[4^3-1^3\right]=\frac{21}2.

4. Calcular los puntos extremos de la función f\left(x\right)=\frac{1-x^2}{x-3} en el intervalo [-1, 1].

Solución: Para encontrar los posibles extremos relativos calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

\begin{array}{l}f'\left(x\right)=\frac{D\left(1-x^2\right)\cdot\left(x-3\right)-\left(1-x^2\right)D\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)^2}=\frac{-2x\left(x-3\right)-\left(1-x^2\right)}{\left(x-3\right)^2}=\\\frac{-2x^2+6x-1+x^2}{\left(x-3\right)^2}=\frac{-x^2+6x-1}{\left(x-3\right)^2}=0;\\x=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{-2}=\frac{-6\pm\sqrt{32}}{-2}=3\pm\sqrt8\approx\left\{\begin{array}{l}5.3\\0.17\end{array}\right.\end{array}

Tenemos dos posibles puntos extremos relativos, pero sólo uno de ellos cae en el intervalo [-1, 1], el punto x=0.17; para ver si es máximo o mínimo local, calculamos la derivada segunda y sustituimos:

\begin{array}{l}f'\left(x\right)=\frac{-x^2+6x-1}{\left(x-3\right)^2}\Rightarrow f''\left(x\right)=\frac{\left(-2x+6\right)\left(x-3\right)^2-2\left(x-3\right)\left(-x^2+6x-1\right)}{\left(x-3\right)^4};\\f''(0.17)=\frac{45.28}{64.14}>0\end{array}

como el signo es positivo, tenemos un mínimo relativo. Pasamos a estudiar los extremos absolutos: estudiamos los valores de la función en los extremos del intervalo [-1, 1]:  f(-1) = 0, f(1) = 0. Los comparamos con el valor de la función en el mínimo relativo, que es f(0.17) = -0.3. Como la función es continua en el intervalo [-1, 1], concluimos que en ese intervalo toma sus valores máximos en x = -1, x = 1, y su valor mínimo en x=0.17.

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 5. Dada la función de dos variables

f\left(x,y\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{x^2+y^2},\;\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\0,\;\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{array}\right.

Calcular sus derivadas parciales en (0, 0)  y estudiar su diferenciabilidad en el origen.

Solución: En el punto (0, 0) la función se bifurca en dos ramas, así que no podemos usar las fórmulas de derivación usuales, hay que aplicar la definición de derivada parcial:

\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}h;\;\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f\left(x,y+h\right)-f\left(x,y\right)}h

Las aplicamos a la función dada en el punto (0, 0):

\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{\left(x+h\right)^3}{\left(x+h\right)^2+y^2}-0}h=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\left(x+h\right)^3}{h\left(x+h\right)^2+hy^2}\xrightarrow{}\frac{x^3}0=\infty\\\end{array}

La derivada parcial según x en (0, 0) no existe; vamos por la otra derivada parcial:

\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{\left(x\right)^3}{\left(x\right)^2+\left(y+h\right)^2}-0}h=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{x^3}{x^2+y^2+h^2+2yh}\xrightarrow{}\frac{x^3}{x^2+y^2}\\\end{array}

vemos que según la dirección y sí tenemos derivada en el origen. Vamos a ver si es diferenciable: no puede serlo, pues las funciones diferenciables tienen derivadas parciales en cualquier dirección, esto es, no solo han de existir las derivadas parciales, sino que además se exige que existan las derivadas direccionales en cualquier dirección. Si la función hubiera tenido derivadas parciales, entonces tendríamos que haber comprobado si también tenía derivadas direccionales. Otra posibilidad para ver que es diferenciable, es probar que tiene derivadas parciales que además sean continuas.

 

 

 

Problemas resueltos de funciones derivables

1. Derivar y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x.}}

La forma más simple de derivar esta función será, primero simplificar su expresión: utilizamos la notación de raíz en forma de potencia: y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\left(\left(x^\frac12\right)^\frac12\right)^\frac12=x^{\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12}=x^\frac18. Ahora usamos la derivada del monomio (Ax^n)'=Anx^{n-1}, que en este caso será y'=\frac18x^{\frac18-1}=\frac18x^\frac78=\frac18\sqrt[8]{x^7}.

Otra forma, más larga pero buena para practicar con la regla de la cadena, es: primero expresamos la función como una composición:

y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\sqrt x\circ\sqrt x\circ\sqrt x=f(x)\circ g(x)\circ h(x),

y a continuación derivamos por la regla de la cadena, de izquierda a derecha:

\begin{array}{l}D\left(\sqrt x\circ\sqrt x\circ\sqrt x\right)=D\left(\sqrt x\right)\circ\sqrt x\circ\sqrt x\cdot D\left(\sqrt x\right)\circ\sqrt x\cdot D\left(\sqrt x\right)=\\\frac1{2\sqrt x}\circ\sqrt x\circ\sqrt x\cdot\frac1{2\sqrt x}\circ\sqrt x\cdot\frac1{2\sqrt x}=\\\frac1{2\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}}\cdot\frac1{2\sqrt{\sqrt x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}\end{array}

Para simplificar esta expresión, usamos exponentes:

\begin{array}{l}\frac1{2\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}}\cdot\frac1{2\sqrt{\sqrt x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}=\frac12x^{-\frac12\frac12\frac12}\cdot\frac12x^{-\frac12\frac12}\frac12x^{-\frac12}=\\\frac18x^{-\frac18-\frac14-\frac12}=\frac18x^{-\frac18-\frac28-\frac48}=\frac18x^{-\frac78}=\frac1{8\sqrt[8]{x^7}}.\end{array}

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2. Derivar f(x)=\sqrt{\ln\left(x\right)}.

Expresemos la función como composición: f(x)=\sqrt{\ln\left(x\right)}=\sqrt x\circ\ln\left(x\right). Aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}f'(x)=\left(\sqrt x\circ\ln\left(x\right)\right)'=\left(\sqrt x\right)'\circ\ln\left(x\right)\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)'=\\\frac1{2\sqrt x}\circ\ln\left(x\right)\cdot\frac1x=\frac1{2\sqrt{\ln\left(x\right)}}\cdot\frac1x=\frac1{2x\sqrt{\ln\left(x\right)}}.\end{array}

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3. Derivar f(x)=e^{x^2+\sin\left(x^3+1\right)}.

Expresemos la función como composición: f(x)=e^{x^2+\sin\left(x^3+1\right)}=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right). Aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}f'(x)=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)=\left(e^x\right)'\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)'=\\e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(2x+\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)'\right);\end{array}

Aplicamos de nuevo la regla de la cadena para derivar la función seno:

\begin{array}{l}\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)=\sin\left(x\right)\circ\left(x^3+1\right);\\\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)'=\left(\sin\left(x\right)\right)'\circ\left(x^3+1\right)\cdot\left(x^3+1\right)'=\cos\left(x\right)\circ\left(x^3+1\right)\cdot\left(3x^2\right)=\\3x^2\cos\left(x^3+1\right).\end{array}

Sustituimos en la expresión de f'(x) para obtener:

\begin{array}{l}y'=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(2x+3x^2\cos\left(x^3+1\right)\right)=\\\left(2x+3x^2\cos\left(x^3+1\right)\right)\cdot e^{\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)}.\end{array}.

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4. Derivar y=\tan^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right).

Expresemos la función como composición: y=\tan^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right)=\tan^{-1}\left(x\right)\circ\left(\sin\left(x\right)\right); aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}y'=\left(\tan^{-1}\left(x\right)\right)'\circ\left(\sin\left(x\right)\right)\cdot\left(\sin\left(x\right)\right)'=\\\frac1{1+x^2}\circ\left(\sin\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(x\right)=\frac{\cos\left(x\right)}{1+\sin^2\left(x\right)}.\end{array}

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5. Hallar la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=\sqrt{1+x^2} en los puntos x=0, x=1.

La recta y=mx+b es tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto (x_0,f(x_0)) si la pendiente m cumple que m=f'(x_0) y ademaś la recta pasa por el punto (x_0,f(x_0)). Para la primera condición hemos de calcular f'(x):

\begin{array}{l}f'(x)=\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\left(\sqrt x\circ\left(1+x^2\right)\right)'=\left(\sqrt x\right)'\circ\left(1+x^2\right)\cdot\left(1+x^2\right)'=\\\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\end{array}

En el punto x_0=0 la derivada vale f'(0)=0=m. La segunda condición es que la recta y=mx+b=0·x+b=b pase por el punto (0,f(0)=(0,1), o sea que y=b=1. La recta tangente para x_0=0 es y=1.

En el punto x_1=0 la derivada vale f'(1)=\frac1{\sqrt2}=m. La segunda condición es que la recta y=mx+b=\frac1{\sqrt2}·x+b=b pase por el punto (1,f(1)=(1,\sqrt2), o sea que \sqrt2=\frac1{\sqrt2}\cdot1+b\Rightarrow b=\sqrt2-\frac1{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.. La recta tangente para x_0=1 es y=1.

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6. Calcular la derivada en todos los puntos donde exista de la función dada por:

f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac12x-\frac12\;\text{si }x\leq1\\-\sqrt{\left|x\right|}\;\text{si }-1<x\leq0\\\sqrt x\;\text{si }0<x\leq1\\\frac12x+\frac12\;\text{si }x>1\end{array}\right.

Primero estudiamos la derivabilidad de cada rama de la función; en una segunda fase estudiaremos la derivabilidad en los puntos de bifurcación entre las ramas.

Derivabilidad de cada rama de la función.

f(x)=\frac12x-\frac12 es derivable en todo el dominio, y su derivada vale f'(x)=\frac12.

f(x)=-\sqrt{\left|x\right|}=\left(-\sqrt x\right)\circ\left|x\right| es una composición de funciones, la primera es derivable en todo x\geq0 y la segunda es derivable en todo \mathbb{R} excepto en x=0: para verlo  hacemos las derivadas laterales en ese punto:

\begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0^++h)-f(0^+)}h=\frac{\left|0^++h\right|-\left|0^+\right|}h=\frac{0^++h-0^+}h=\frac hh=1;\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0^-+h)-f(0^-)}h=\frac{\left|0^-+h\right|-\left|0^-\right|}h=\frac{-\left(0^-+h\right)-(-0^-)}h=\frac{-h}h=-1\end{array}

Los límites no coincicen, luego no existe la derivada de la función \left|x\right| en x=0. Entonces tenemos que la composición \left(-\sqrt x\right)\circ\left|x\right|:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^- es derivable en el dominio de definición de esta rama de la función, excepto en el punto x=0. Recordatorio: \mathbb{R}_0^+ significa todos los reales positivos incluido el 0.

La derivada vale:

\left(-\sqrt{\left|x\right|}\right)'=\left(-\sqrt x\circ\left|x\right|\right)'=\left(-\sqrt x\right)'\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'=\frac{-1}{2\sqrt x}\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'

En el intervalo -1<x<0 tenemos que \left|x\right|=-x, luego:

\frac{-1}{2\sqrt x}\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'=\frac{-1}{2\sqrt{\left|x\right|}}\cdot(-1)=\frac1{2\sqrt{\left|x\right|}}

El punto x=0 lo estudiamos en la segunda parte del problema. Para la siguiente rama de la función tenemos f(x)=\sqrt x que es derivable en su dominio, con derivada \left(\sqrt x\right)'=\frac1{2\sqrt x}. Para la última rama, f(x)\frac12x-\frac12, la derivada vale \left(\frac12x-\frac12\right)'=\frac12.

Estudiamos ahora los puntos de salto entre ramas.

En estos puntos la definición de la función cambia bruscamente, y no podemos usar las tablas de derivadas, tenemos que usar la definición de derivada, y además haciendo los límites laterales, sólo si coinciden ambos podemos asegurar que existe la derivada en el punto.

x=-1

Por la izquierda: \begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x^-+h)-f(x^-)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left({\displaystyle\frac12}\left(x^-+h\right)-{\displaystyle\frac12}\right)-\left({\displaystyle\frac12}x^--{\displaystyle\frac12}\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{\displaystyle\frac12}h=\frac12\end{array}

Por la derecha: \begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x^++h)-f(x^+)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{\left|x^++h\right|}\right)-\left(-\sqrt{\left|x^+\right|}\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{\left|-1^++h\right|}\right)-\left(-\sqrt{\left|-1^+\right|}\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{1^--h}\right)+1^+}h=\frac{-1+1}0=?\end{array}

Observemos que hemos hecho \sqrt{\left|-1^++h\right|}=\left(-\sqrt{1^--h}\right) pues el valor absoluto de un número negativo se obtiene cambiándole el signo, y al hacerlo, si el valor negativo estaba a la derecha de 1, al canviar el signo pasará a estar a la izquierda.

Para resolver la indeterminación, és útil trabajar con la definición alternativa de derivada en el punto x=x_0, que es:

x=x_0+h\Rightarrow f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}

Reintentamos el límite por la derecha:

f'(-1^+)=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1^+\right)}{x-\left(-1^+\right)}=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{-\sqrt{\left|x\right|}-\left(-1^-\right)}{x+1^-}=\frac{-1+1}{-1+1}=\frac00

Tenemos indeterminación de nuevo. Multiplicamos por el conjugado:

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{-\sqrt{-x}+1}{x+1^-}\frac{\sqrt{-x}+1}{\sqrt{-x}+1}=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{x+1}{\left(x+1^-\right)\left(\sqrt{-x}+1\right)}=\\\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac1{\sqrt{-x}+1}=\frac12\end{array}

Los dos límites laterales coinciden: la derivada en el punto -1 es \frac12

x=0

Límite por la izquierda:

\begin{array}{l}f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0^-\right)}{x-0^-}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{\left|x\right|}-\left(-\sqrt{\left|0^-\right|}\right)}{x-0^-}=\\\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{-x}}x=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{-x}}x\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{-x}}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac x{x\sqrt{-x}}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1{\sqrt{-x}}=+\infty\end{array}

Como es divergente, no es necesario hacer el límite por la derecha: la función no es derivable en x=0.

x=1

Límite por la izquierda:

\begin{array}{l}f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(1^-\right)}{x-1^-}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt x-\sqrt{1^-}}{x-1^-}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt x-\sqrt{1^-}}{x-1^-}\frac{\sqrt x+\sqrt{1^-}}{\sqrt x+\sqrt{1^-}}=\\\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x-1^-}{\left(x-1^-\right)\left(\sqrt x+\sqrt{1^-}\right)}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac1{\left(\sqrt x+\sqrt{1^-}\right)}=\frac12\\\end{array}

Límite por la derecha:

\begin{array}{l}f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(1^+\right)}{x-1^+}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\left({\displaystyle\frac12}x+{\displaystyle\frac12}\right)-1^+}{x-1^+}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\frac12x-\left(\frac12\right)^-}{x-1^+}=\\\lim_{x\rightarrow1^+}\frac12\frac{x-1^-}{x-1^+}=\frac12\end{array}

Coinciden, y la función es derivable en x=1. Podemos dar la derivada de la función completa:

f'(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac12\;\text{si}x\leq1\\\frac1{2\sqrt{\left|x\right|}}\;\text{ si }-1<x<0\\\text{no existe para }x=0\\\frac1{2\sqrt x}\;\text{ si }0<x\leq1\\\frac12\;\text{ si }x>1\end{array}\right.

Gráfica de la función f(x), observemos que en x=0 la gràfica queda vertical, y por tanto la derivada toma valor infinito:

Exercici_derivades

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7. Verificar si la recta y=-x es tangente a la gráfica de la función f(x)=x^3-6x^2+8x en algún punto, o bien es secante, o bien es tangente en un punto y secante en otro punto.

La pendiente de la recta y=-x es m=-1; si es una recta tangente a la gráfica de f(x) entonces la derivada f'(x) debe tomar el valor -1 en algún punto x_0. Derivamos e igualamos:

f'(x)=3x^2-12x+8=-1\Rightarrow x=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4\cdot3\cdot9}}6=\frac{12\pm6}6=\left\{\begin{array}{l}3\\1\end{array}\right.

Para estos dos valores, sustituimos en la ecuación de la recta para obtener los puntos (x,y) de la recta; si ésta fuera recta tangente, entonces alguno de esos puntos debería pertenecer también a la gráfica de f(x):

x_0=3\Rightarrow y=-3\;\text{en la recta; }y=3^3-6\cdot3^2+8\cdot3=-3\;\text{en la función;} coinciden, luego la recta es tangente a f(x) en el punto.

x_0=1\Rightarrow y=-1\;\text{en la recta; }y=1^3-6\cdot1^2+8\cdot1=3\;\text{en la función;} no coinciden, luego la recta no es tangente a f(x) en el punto.

Para estudiar si la recta es secante a f(x) planteamos el sistema de ecuaciones:

\begin{array}{l}\left.\begin{array}{r}y=f(x)=x^3-6x^2+8x\\y=-x\end{array}\right\}\Rightarrow-x=x^3-6x^2+8x\Rightarrow x^2-6x+8=-1\Rightarrow\\x=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\cdot(-1)\cdot(-9)}}{-2}=3\pm0=3.\end{array}

Obtenemos de nuevo el punto x=3 que ya hemos obtenido como punto de contacto entre la recta tangente y la función. Pero además tenenemos otra solución a la ecuación:

-x=x^3-6x^2+8x\Rightarrow x^3-6x^2+9x=0\Rightarrow x\left(x^2-6x+9\right)=0

y es evidente que x=0 tambien es solución. Así pues, la recta dada es tangente a la función f(x) en el punto x=3 y secante en el punto x=0. La gráfica de ámbas es:

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8. Calcular la derivada de la función y=x^{x^x}.

Aplicamos logaritmos:

Ln\left(y\right)=Ln\left(x^{x^x}\right)=Ln\left(x^{\left(x^x\right)}\right)=x^xLn\left(x\right)

Observar que seria incorrecto
Ln\left(x^{x^x}\right)=Ln\left(x^x\right)^x=xLn\left(x^x\right) pues x^{x^x}\neq\left(x^x\right)^x sino que es x^{x^x}=x^{\left(x^x\right)}. Ahora aplicamos la regla de la derivada del producto:

D\left[Ln\left(y\right)\right]=D\left[x^xLn\left(x\right)\right]=D\left[x^x\right]\cdot Ln\left(x\right)+x^x\cdot D\left[Ln\left(x\right)\right]

La derivada de x^x la hacemos aparte, aplicando de nuevo logaritmos:

\begin{array}{l}y=x^x\Leftrightarrow\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)=x\cdot\ln\left(x\right);\\D\left[\ln\left(y\right)\right]=D\left[x\cdot\ln\left(x\right)\right]=Dx\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot D\left[\ln\left(x\right)\right]=1\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot\frac1x=\ln\left(x\right)+1.\end{array}

Como D\left[Ln\left(y\right)\right]=\frac1yDy (por la regla de la cadena), tenemos que: \frac{Dy}y=\ln\left(x\right)+1\Leftrightarrow Dy=y\left[\ln\left(x\right)+1\right]=x^x\left[\ln\left(x\right)+1\right].

 Ahora sustituimos en la derivada original:

\begin{array}{l}\frac1yDy=x^x\left[\ln\left(x\right)+1\right]\cdot Ln\left(x\right)+x^x\cdot\frac1x\Leftrightarrow\\Dy=y\cdot x^x\left[Ln^2\left(x\right)+Ln\left(x\right)+\frac1x\right]=x^{x^x}\cdot x^x\left[Ln^2\left(x\right)+Ln\left(x\right)+\frac1x\right].\end{array}

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9. La posición en el tiempo de un punto material que se está moviendo en el plano (x,y) viene dada en función del tiempo por x(t)= sin(t), y(t)=sin(2t). Si consideramos la trayectoria como una función y=f(x), calcular la  derivada y'(x).

La trayectoria viene dada en función del paràmetro tiempo en vez de venir en forma explícita y=f(x); en ocasiones es más cómodo hacerlo así, pues la forma explícita puede ser difícil de expresar. La gráfica de la trayectoria es un lazo:

parametriques

Para calcular la derivada y'(x) usaremos la notación diferencial de la derivada:

y'(x)=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}\cdot\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}

Observar cómo hemos utilizado las diferenciales para expresar la derivada con respecto a x en función de las derivadas respecto  a t.

\begin{array}{l}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}=D\sin\left(t\right)\circ2t=\cos\left(t\right)\circ2t\cdot D\left(2t\right)=2\cos\left(2t\right).\\\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}=\left(\frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t}\right)^{-1}=\left[D\sin\left(t\right)\right]^{-1}=\frac1{\cos\left(t\right)}.\end{array}

Nos queda que \begin{array}{l}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=2\cos\left(2t\right)\cdot\frac1{\cos\left(t\right)}=2\frac{\cos\left(2t\right)}{\cos\left(t\right)}.\\\end{array} La gráfica de la derivada presenta asíntotas verticales, correspondientes a los puntos del eje x donde el lazo tiene tangente vertical:

derivada_parametriques1

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10. Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac1{x^2}}\;\text{si }x\neq0\\0\;\text{si }x=0\end{array}\right.

demostrar que es una función continua, que su derivada de cualquier orden f^n también es contínua y que f^n(0)=0 para todo n=1,2,....

Para ver si es continua, estudiamos su comportamiento cerca de el único punto dudoso, x=0, calculando el límite:

\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}e^{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac1{e^\frac1{x^2}}\rightarrow\frac1{e^{+\infty}}=0.

Como el límite en x=0 coincide con f(0) la función es contínua.

Para obtener la derivada, si x\neq0 derivamos su expresión:

\begin{array}{l}D\left[e^{-\frac1{x^2}}\right]=D\left[e^x\circ\frac{-1}{x^2}\right]=D\left[e^x\right]\circ\frac{-1}{x^2}\cdot D\left[\frac{-1}{x^2}\right]=\\e^x\circ\frac{-1}{x^2}\cdot D\left[-x^{-2}\right]=e^{-\frac1{x^2}}\cdot\frac2{x^3}\end{array}

Esta expresión es válida para x\neq0. Para x=0 usamos la definición de derivada:

\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{e^{-{\displaystyle\frac1{x^2}}}-0}x=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac1{xe^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow\frac1{0\cdot e^\infty}\rightarrow\frac1\infty=0,

debido a que \lim_{x\rightarrow0\;}x\cdot e^\frac1x=0 pues la función exponencial es de orden superior a cualquier potencia de x.

Así pues,

f'(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac1{x^2}}\cdot\frac2{x^3}\;\text{, x≠0}\\0\;\text{, x=0}\end{array}\right.

Para la derivada segunda en x=0, haciendo el límite:

f''(0)=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{{\displaystyle\frac2{x^3}}e^{-{\displaystyle\frac1{x^2}}}-0}x=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac2{x^4e^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow\frac2{0\cdot e^\infty}\rightarrow\frac1\infty=0,

 y en general para la derivada n-èsima tendremos

f^n(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac2{x^ke^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow0.