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Examen-2 de Cálculo

1. Calcular \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}

Solución: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}=\frac{\sqrt{\infty+1}-\sqrt{\infty+2}}{\infty-2+\sqrt{\infty-3}}=\frac{\infty-\infty}\infty=? tenemos dos indeterminaciones, una en el numerador, \infty-\infty, otra en la fracción \frac{\infty}\infty. Viendo que el grado máximo de n es 1, dividimos numerador y denominador por n, y volvemos a aplicar el límite:

\begin{array}{l}\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}\frac{1/n}{1/n}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2/n^2+1/n^2}-\sqrt{9n^2/n^2+2/n^2}}{3n/n-2/n+\sqrt{4n^2/n^2-3/n^2}}=\\\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{1+1/n^2}-\sqrt{9+2/n^2}}{3-2/n+\sqrt{4-3/n^2}}=\frac{\sqrt{1+0}-\sqrt{9+0}}{3-0+\sqrt{4-0}}=\boxed{-\frac25}\end{array}

Como comprobación calculamos algunos términos con hoja de cálculo, llamando L al límite:

n f(n) |L-f(n)|
1 -0,951206 0,551206
10 -0,416974 0,016974
100 -0,401609 0,001609
1000 -0,400160 0,000160
10000 -0,400016 0,000016
100000 -0,400002 0,000002

Vemos que la diferencia entre la expresión y el límite tiende progresivamente a cero.

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2. ¿En qué puntos la gráfica de la función f(x)=x^3-x^2+2 tiene su recta tangente paralela al eje X?

Solución: La recta tangente a la gráfica de f(x) en un punto x_0 de su dominio tiene la ecuación y=mx+n donde la pendiente de la recta es m=f'(x_0); recordemos que la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje X: m=\tan\left(\alpha\right). Si esa recta tangente es paralela al eje X, quiere decir que el ángulo \alpha es cero, o sea que \tan\left(\alpha\right)=\tan\left(0\right)=0, o sea que m=0=f'(x_0). Por tanto, tenemos que hallar los puntos x para los que la derivada es nula:

f'(x)=3x^2-2x=0\Rightarrow x\left(3x-2\right)=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x=2/3\end{array}\right.

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Sustituyendo estos dos valores de x en f(x) obtenemos sus imágenes, que son y=2, y = 50/27, respectivamente, que son también las ecuaciones de las rectas tangentes, ya que para ellas y=mx + n = 0·x+n = n (rectas y = cte) como vemos en la gráfica.

separador23.  Estudiar el límite \underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{lim}\frac{x^2+y^3}{x^2+y^2}.

Solución: Es indeterminado del tipo 0/0. Siendo un límite de dos variables, procede el cambio de variables a coordenadas polares:

\begin{array}{l}\underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{lim}\frac{x^2+y^3}{x^2+y^2}=\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{r^2\cos^2\left(\theta\right)+r^3\sin^3\left(\theta\right)}{r^2cos^2\left(\theta\right)+r^2sin^2\left(\theta\right)}=\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{cos^2\left(\theta\right)+sin^3\left(\theta\right)}{cos^2\left(\theta\right)+sin^2\left(\theta\right)}=\\\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{cos^2\left(\theta\right)+sin^3\left(\theta\right)}1\end{array}

este límite no existe, pues a medida que el radio r se acerca a cero, el numerador no tiende a ningún valor en concreto, depende del ángulo.

separador24.  ¿Cuáles son los puntos críticos de la función f(x,y)=x^3y^3+xy?

Solución: Son aquellos en los que se anulan las derivadas parciales; la derivada parcial respecto a x la igualamos a cero:

\frac{\partial{}}{\partial x}\left(x^3y^3+xy\right)=3x^2y^3+y=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\boxed{y=0}\\3x^2y^2+1=0\end{array}\right.

la segunda opción no tiene solución, pues x^2y^2 siempre es positivo. Para la derivada parcial respecto a y tenemos un resultado parecido:

\frac{\partial{}}{\partial y}\left(x^3y^3+xy\right)=3x^3y^2+x=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\boxed{x=0}\\3x^2y^2+1=0\end{array}\right.

Así pues el único punto crítico es x=0, y=0.

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Examen-1 resuelto de Cálculo

1. Estudiar la continuidad o en su caso, discontinuidad, en x=1, de la función real:

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin\left(\mathrm\pi x\right)\right),\;x\leq1\\\frac{x-1}{x+1},\;x>1\end{array}\right.

Solución: Para que sea continua en el punto, ha de cumplir la condición de que el límite en ese punto coincida con el valor de la función en el punto:

\underset{x\rightarrow1}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)=\sin\left(\mathrm\pi\right)=-1

El límite en x = 1 hay que calcularlo según las dos ramas de la función (límites laterales), ya que precisamente en ese punto se bifurca la función; límite por la derecha,

\underset{x\rightarrow1^+}{lim}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0^+}{2^+}=0

límite por la izquierda,

\underset{x\rightarrow1^-}{lim}\sin\left(\mathrm{πx}\right)=\sin\left(\mathrm\pi\right)=-1

Vemos que los límites laterales no coinciden, luego no existe el límite en el punto x=1, y por tanto la función no puede ser continua. Además, al no coincidir los límites laterales, en x=1 hay una discontinuidad de salto (o no evitable), pero los dos límites son finitos, así pues el salto es finito: es una discontinuidad de 1a especie.

2. Dada la función 1-\frac1{x^2+2} realizar 5 iteraciones del método del punto fijo tomando como punto inicial x=0.

Solución: El método del punto fijo genera una sucesión de valores a partir de un valor inicial: {x_0, x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), ...}, que converge a un punto x tal que f(x) = x. En nuestro caso esta sucesión es:

\begin{array}{l}x_1=f\left(0\right)=1-\frac1{0^2+2}=\frac12;\\x_2=f\left(\frac12\right)=1-\frac1{\left(\frac12\right)^2+2}=1-\frac1{\displaystyle\frac94}=\frac59;\\x_3=f\left(\frac59\right)=1-\frac1{\left(\frac59\right)^2+2}=\frac{106}{187}\approx0.5668;\\x_4=f\left(\frac{106}{187}\right)=1-\frac1{\left(\frac{106}{187}\right)^2+2}\approx0.5692;\\x_5=f\left(0.5692\right)=1-\frac1{\left(\frac{106}{187}\right)^2+2}=0.5697\end{array}

Vemos que un punto fijo de esta función está cerca de  x=0.5692 pues para este valor el punto y su imagen por f prácticamente coinciden: f\left(0.5692\right)=0.5697

3. Calcular \int_0^1\frac{3x}{\left(3x^2+1\right)^2}\operatorname dx

Solución: Primero calculamos la integral indefinida; es del tipo inmediato \int\frac{f'\left(x\right)}{\left[f\left(x\right)\right]^n}=\frac{\left[f\left(x\right)\right]^{n+1}}{n+1},\;n>1, pues la derivada del denominador, sin tener en cuenta la potencia, es casi igual al numerador, excepto por un factor constante que podemos añadir:

\int\frac{3x}{\left(3x^2+1\right)^2}\operatorname dx=\frac12\int\frac{6x}{\left(3x^2+1\right)^2}\operatorname dx=\frac12\frac{\left(3x^2+1\right)^3}3

Ahora aplicamos la regla de Barrow para calcular la integral definida:

\frac16\left[\left(3x^2+1\right)^3\right]_0^1=\frac16\left[4^3-1^3\right]=\frac{21}2.

4. Calcular los puntos extremos de la función f\left(x\right)=\frac{1-x^2}{x-3} en el intervalo [-1, 1].

Solución: Para encontrar los posibles extremos relativos calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

\begin{array}{l}f'\left(x\right)=\frac{D\left(1-x^2\right)\cdot\left(x-3\right)-\left(1-x^2\right)D\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)^2}=\frac{-2x\left(x-3\right)-\left(1-x^2\right)}{\left(x-3\right)^2}=\\\frac{-2x^2+6x-1+x^2}{\left(x-3\right)^2}=\frac{-x^2+6x-1}{\left(x-3\right)^2}=0;\\x=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{-2}=\frac{-6\pm\sqrt{32}}{-2}=3\pm\sqrt8\approx\left\{\begin{array}{l}5.3\\0.17\end{array}\right.\end{array}

Tenemos dos posibles puntos extremos relativos, pero sólo uno de ellos cae en el intervalo [-1, 1], el punto x=0.17; para ver si es máximo o mínimo local, calculamos la derivada segunda y sustituimos:

\begin{array}{l}f'\left(x\right)=\frac{-x^2+6x-1}{\left(x-3\right)^2}\Rightarrow f''\left(x\right)=\frac{\left(-2x+6\right)\left(x-3\right)^2-2\left(x-3\right)\left(-x^2+6x-1\right)}{\left(x-3\right)^4};\\f''(0.17)=\frac{45.28}{64.14}>0\end{array}

como el signo es positivo, tenemos un mínimo relativo. Pasamos a estudiar los extremos absolutos: estudiamos los valores de la función en los extremos del intervalo [-1, 1]:  f(-1) = 0, f(1) = 0. Los comparamos con el valor de la función en el mínimo relativo, que es f(0.17) = -0.3. Como la función es continua en el intervalo [-1, 1], concluimos que en ese intervalo toma sus valores máximos en x = -1, x = 1, y su valor mínimo en x=0.17.

examen1

 

 5. Dada la función de dos variables

f\left(x,y\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{x^2+y^2},\;\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\0,\;\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{array}\right.

Calcular sus derivadas parciales en (0, 0)  y estudiar su diferenciabilidad en el origen.

Solución: En el punto (0, 0) la función se bifurca en dos ramas, así que no podemos usar las fórmulas de derivación usuales, hay que aplicar la definición de derivada parcial:

\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}h;\;\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f\left(x,y+h\right)-f\left(x,y\right)}h

Las aplicamos a la función dada en el punto (0, 0):

\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{\left(x+h\right)^3}{\left(x+h\right)^2+y^2}-0}h=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\left(x+h\right)^3}{h\left(x+h\right)^2+hy^2}\xrightarrow{}\frac{x^3}0=\infty\\\end{array}

La derivada parcial según x en (0, 0) no existe; vamos por la otra derivada parcial:

\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{\left(x\right)^3}{\left(x\right)^2+\left(y+h\right)^2}-0}h=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{x^3}{x^2+y^2+h^2+2yh}\xrightarrow{}\frac{x^3}{x^2+y^2}\\\end{array}

vemos que según la dirección y sí tenemos derivada en el origen. Vamos a ver si es diferenciable: no puede serlo, pues las funciones diferenciables tienen derivadas parciales en cualquier dirección, esto es, no solo han de existir las derivadas parciales, sino que además se exige que existan las derivadas direccionales en cualquier dirección. Si la función hubiera tenido derivadas parciales, entonces tendríamos que haber comprobado si también tenía derivadas direccionales. Otra posibilidad para ver que es diferenciable, es probar que tiene derivadas parciales que además sean continuas.

 

 

 

Series de números reales

Introducción

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol. (Wikipedia: Paradojas de Zenón)

El problema planteado por las paradojas del filósofo griego Zenón perduró hasta que a partir del siglo XVII se avanzó en el estudio de las sumas de infinitos términos, denominadas series numéricas.

Definición 1: Serie numérica. Dada una sucesión de números reales, x_1, x_2, ..., x_n, ..., su serie asociada es la suma infinita x_1+x_2+\dots+x_n+\dots\;=\sum\nolimits_{i=1}^\infty x_i.

Vemos que hay siempre una sucesión asociada a una serie: la sucesión de los números reales que sumamos. También podemos definir otra sucesión asociada a una serie: la de sus sumas parciales.

Definición 2: Sucesión de sumas parciales de una serie numérica. Dada una serie \sum\nolimits_{i=1}^\infty x_i,  definimos su sucesión de sumas parciales como la sucesión de reales S_1, S_2, ... dada por S_1=\sum\nolimits_{i=1}^1x_i=x_{1\;},\;S_2=\sum\nolimits_{i=1}^2x_i=x_1+x_2,\;\dots,\;S_n=\sum\nolimits_{i=1}^nx_i=x_1+x_2+\dots+x_n.

Ejemplo 1: La distancia entre Zenón y el árbol conforme Zenón avanza es la sucesión {8, 4, 2, 1, 1/2, ...}; la distancia recorrida por Zenón es igual a la variación de la distancia entre él y el árbol: 8-4=4, 4-2=2, 2-1=1, ..., que forma la sucesión{4, 2, 1, 1/2, ...}, con término general x_n=2^{3-n}, n=1,2,.... total recorrida por Zenón es la suma de las distancias recorridas: 4+2+1+1/2+... que es la serie de término general \sum\nolimits_{i=1}^\infty2^{3-i}. La sucesión de sumas parciales viene dada por S_1=\sum\nolimits_{i=1}^12^{3-i}=2^2=4,\;S_2=\sum\nolimits_{i=1}^22^{3-i}=2^2+2^1=4+2=6,\;\cdots. Si escribimos los números de estas sumas parciales obtenemos la sucesión de sumas {4, 6, 7, 7.5, ...}.

Series convergentes y divergentes

Definición 3: Una serie \sum\nolimits_{i=1}^\infty x_i es convergente si su sucesión de sumas parciales converge a un valor límite S, esto es: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^nx_i=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=S. En caso contrario, la serie es divergente.

Ejemplo 2: si una sucesión es divergente, su serie asociada también lo será; por ejemplo, la sucesión aritmética  {1, 2, 3, ..., n, ...} es divergente, y tiene la serie asociada 1 + 2 + 3 +...+ n +... que es claramente divergente, ya que la sucesión de sumas parciales \left\{1,3,6,\cdots,\frac{n\left(n+1\right)}2,\cdots\right\} es divergente: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n\left(n+1\right)}2=\infty.

Ejemplo 3: La serie asociada a la sucesión geométrica de razón r, con término general x_n=ar^n, denominada serie geométrica,  tiene por término general las sumas parciales S_n=\sum\nolimits_{i=0}^nar^i=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n, y es convergente siempre que |r|<1. Es fácil encontrar el término general de la sucesión de sumas parciales: consideramos la suma S_n i su producto por r, y restamos la primera de la segunda:

\begin{array}{l}\begin{array}{l}rS_n=\sum\nolimits_{i=0}^nar^{i+1}=ar+ar^2+\cdots+ar^n+ar^{n+1}\\-S_n=\sum\nolimits_{i=0}^n-ar^i=-a-ar-ar^2-\cdots-ar^n\\\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\\rS_n-S_n=-a+ar^{n+1}\end{array}

de donde obtenemos \left(r-1\right)S_n=a\left(-1+r^{n+1}\right)\Rightarrow\boxed{S_n=a\frac{r^{n+1}-1}{r-1}}. Esta suma es convergente siempre que |r|<1, como podemos comprobar fácilmente:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}a\frac{r^{n+1}-1}{r-1}=\left\{\begin{array}{l}\infty\;\text{si }r>1\\\frac a{1-r}\;\text{si }r<1\end{array}\right.,

ya que r^{n+1} tiende a cero conforme  n crece siempre que r<1. Cuando r=1 entonces la serie es simplemente a + a + a + ... con suma parcial S_n=na y sin límite.

Si las sumas empiezan en la potencia n=1 es inmediato ver que entonces

S_n=\sum\nolimits_{k=1}^nar^n=a\left(\frac{r^{n+1}-1}{r-1}-r^0\right)=ar\frac{r^n-1}{r-1},

y en el límite obtenemos \underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}ar\frac{r^n-1}{r-1}=a\frac r{1-r}.

Ejemplo 4: la distancia total recorrida por Zenón viene dada por el límite del término general de sumas parciales S_n=\sum\nolimits_{i=1}^12^{3-n}, que es:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=4+2+1+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=4}^12^{3-n}=7+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^12^{-n}=7+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^1\frac1{2^n}=7+\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^1\left(\frac12\right)^n

observemos que hemos "apartado" los primeros tres términos para aislar los restantes y poder ver que forman una serie geométrica convergente, ya que r = 1/2 = 1. Usando la fórmula de las sumas parciales de la serie geométrica y pasando al límite: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n=7+1\cdot\frac{1/2}{1-1/2}=7+1=8. Vemos que la paradoja queda resuelta: al pasar al límite la suma infinita de pasos resulta la distancia inicial entre el árbol y Zenón: 8 metros.

Criterios de convergencia

Veamos algunas propiedades clásicas respecto la convergencia de series numéricas.

Propiedad 1 (condición necesaria): En toda serie convergente, a partir de cierto término, los términos siguientes de la sucesión asociada han de ser decrecientes con límite cero. Esta es una condición necesaria, pero no suficiente de convergencia.

Ejemplo 5: La serie 1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1n+\dots, denominada serie armónica, cumple la condición necesaria ya que \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac1n=0, pero es divergente; en efecto, agrupemos los sumandos del siguiente  modo:

1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1n+\dots=\left(1+\frac12\right)+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\dots

Dejamos de lado de momento el primer paréntesis y consideramos el resto de agrupamientos; en general, dado el agrupamiento m-ésimo P_m, contendrá 2^m términos, que son:

\left(\frac1{2^m+1}+\frac1{2^m+2}+\frac1{2^m+3}+\dots+\frac1{2^m+2^m}\right)

por ejemplo, para los dos primeros agrupamientos:

\begin{array}{l}m=1:\;\left(\frac1{2^1+1}+\frac1{2^1+2^1}\right)=\;\left(\frac13+\frac14\right),\\m=2:\;\left(\frac1{2^2+1}+\frac1{2^2+2}+\frac1{2^2+3}+\frac1{2^2+2^2}\right)=\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)\end{array}

Es fácil ver que cualquiera de estos agrupamientos es mayor que 1/2; en efecto, dividimos 1/2 en 2^m partes: 1/2:2^m=1/2^{m+1}, por tanto \frac12=\left(\frac1{2^{m+1}}+\frac1{2^{m+1}}+\frac1{2^{m+1}}+\dots+\frac1{2^{m+1}}\right) (tenemos 2^m sumandos), comparando término a término estos sumandos con los del agrupamiento P_m vemos que \frac12=\left(\frac1{2^{m+1}}+\frac1{2^{m+1}}+\dots+\frac1{2^{m+1}}\right)<\left(\frac1{2^m+1}+\frac1{2^m+2}+\dots+\frac1{2^{m+1}}\right), ya que \frac1{2^{m+1}}\leq\frac1{2^m+k},\;1\leq k\leq2^m (para verlo basta con hacer \frac{2^m+k}{2^{m+1}}=\frac12\frac{2^m+k}{2^m}=\frac12\left(1+\frac k{2^m}\right)\leq\frac12\left(1+1\right)=1).

Siendo todos los agrupamientos de la serie armónica mayores que 1/2, y habiendo un número infinito de agrupamientos, se sigue que \sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac1n>\left(1+\frac12\right)+\frac12+\frac12+\dots\rightarrow+\infty y la serie armónica es divergente.

Los siguientes criterios sirven para series de términos positivos, en el siguiente apartado veremos criterios para series generales.

Criterios de convergencia para series de términos positivos

 Propiedad 2 (criterio de comparación): Si una serie S de términos positivos es tal que, a partir de un cierto término n-ésimo, todos los términos siguientes de su sucesión asociada son menores que otra sucesión T convergente y de términos positivos, entonces la serie S también es convergente. Si una serie S de términos positivos es tal que, a partir de un cierto término n-ésimo, todos los términos siguientes  de su sucesión asociada son mayores que otra sucesión T divergente y de términos positivos, entonces la serie S también es divergente.

Ejemplo 6: Hemos visto que la serie geométrica \frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}+\dots es convergente. Entonces  la serie \frac{\left|\sin\left(2\right)\right|}2+\frac{\left|\sin\left(4\right)\right|}4+\frac{\left|\sin\left(8\right)\right|}8+\dots+\frac{\left|\sin\left(n\right)\right|}{2^n}+\dots también es convergente, pues cada uno de sus términos es menor o igual que la de la serie geométrica.

Propiedad 3 (criterio de D'Alembert o de la razón): si a partir de un cierto término de la sucesión {x_1,x_2,...,x_n} asociada a una serie la razón de cada término al siguiente x_{n+1} / x_n se mantiene inferior a una cierta cota superior L, la serie será convergente si y sólo si L < 1.

Es fácil ver que esto es cierto: a partir de un cierto término enésimo de la sucesión asociada tendremos

\frac{x_{n+1}}{x_n}<L,\;\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}<L,\;\frac{x_{n+3}}{x_{n+2}}<L,\;\dots

o bien:

x_{n+1}<x_nL,\;x_{n+2}<x_{n+1}L,\;x_{n+3}<x_{n+2}

Multiplicando la primera desigualdad por la segunda: x_{n+1}\;\cdot x_{n+2}<x_n\cdot x_{n+1}L^2\Leftrightarrow x_{n+2}<x_nL^2. Multiplicando esta última por la tercera desigualdad: x_{n+2}\cdot x_{n+3}<x_n\cdot x_{n+2}L^3\Leftrightarrow x_{n+3}<x_nL^3. Así, resulta que los términos a partir de x_{n+1} son menores que los términos de la sucesión {Lx_n, L^2x_n, L^3x_n,...}, pero esta última sucesión es geométrica con razón r=L, que será convergente siempre que L<1 (ver el ejemplo 3). Entonces, por el criterio de comparación, la serie {x_1,x_2,...,x_n} será convergente siempre que L<1.

NOTA 1: Cuando la razón L>1 la serie será divergente, pero si L=1 entonces este criterio no decide nada, habrá que probar con otro criterio.

NOTA 2: El criterio puede también aplicarse si encontramos que \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}=L.

Ejemplo 7: Consideramos la serie de términos positivos \frac1{1\cdot5}+\frac1{3\cdot5^2}+\frac1{5\cdot5^3}+\frac1{7\cdot5^4}+\dots+\frac1{\left(2n-1\right)\cdot5^n}, la relación x_{n+1} / x_n es \frac1{\left(2\left(n+1\right)-1\right)\cdot5^{n+1}}:\frac1{\left(2n-1\right)\cdot5^n}=\frac{\left(2n-1\right)\cdot5^n}{\left(2n+1\right)\cdot5^{n+1}}=\frac{\left(2n-1\right)}{\left(2n+1\right)\cdot5}, pasando al límite:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\left(2n-1\right)}{\left(2n+1\right)\cdot5}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\left(2n-1\right)/n}{\left(2n+1\right)\cdot5/n}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\left(2-1/n\right)}{\left(2+1/n\right)\cdot5}=\frac{\left(2\right)}{\left(2\right)\cdot5}=\frac15

Como L=1/5<1 la serie es convergente.

Propiedad 4 (criterio de Cauchy o de la raíz): si a partir de un cierto término de la sucesión {x_1,x_2,...,x_n} asociada a una serie se cumple que \sqrt[n]{x_n}<1 la serie será convergente, si \sqrt[n]{x_n}>1 para todos los términos a partir de un cierto término n-ésimo la serie será divergente, y si \sqrt[n]{x_n}=1 el criterio no decide.

Ejemplo 8: la serie \frac13+\frac2{3^2}+\frac1{3^3}+\frac{2^2}{3^4}+\frac1{3^5}+\frac{2^3}{3^6}+\dots tiene por término general de su sucesión asociada:

x_n=\left\{\begin{array}{l}\frac1{3^n},\;n=1,3,5,\dots\\\frac{2^{n/2}}{3^n},\;n=2,4,6,\dots\end{array}\right.

Tomando la raiz n-ésima:

\sqrt[n]{x_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac13,\;n=1,3,5,\dots\\\frac{2^{1/2}}3,\;n=2,4,6,\dots\end{array}\right.

Vemos que en cualquier caso las raíces n-ésimas de los términos de la sucesión asociada son menores que 1, luego la serie es convergente.

Propiedad 4 (Criterio de Raabe): si la expresión n\left(1+\frac{x_{n+1}}{x_n}\right) toma valores mayores que 1 a partir de un cierto término de la sucesión asociada a una serie, la  serie es convergente, y si la expresión se mantiene menor que 1, la serie es divergente. Este criterio suele emplearse cuando el criterio del cociente no decide.

Ejemplo 9: Para la serie \frac13+\frac17+\frac1{13}+\frac1{21}+\cdots+\frac1{n^2+n+1} el criterio del cociente no decide nada, pues \frac1{\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)+1}:\frac1{n^2+n+1}=\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}\xrightarrow\infty1. Aplicando Raabe:

n\left(1-\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)=n\left(1-\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}\right)=n\frac{\left(n^2+3n+3\right)-\left(n^2+n+1\right)}{n^2+3n+3}=\frac{2n^2+2n}{n^2+3n+3}\xrightarrow\infty2

que, siendo mayor que 1, nos dice que la serie es convergente.

Criterios de convergencia para series de términos de cualquier signo

Propiedad 5 (convergencia de series alternadas, o criterio de Leibnitz): Una serie alternada es aquella que tiene términos alternadamente positivos y negativos. Si los términos de la sucesión asociada a una serie alternada decrecen indefinidamente, entonces la serie converge.

Ejemplo 10: Hemos visto en el ejemplo 5 que la serie armónica 1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1n+\dots es divergente a pesar de que el término general de la sucesión x_n=1/n tiende a cero, pero en cambio la serie alternada 1-\frac12+\frac13-\dots+\left(-1\right)^{n-1}\cdot\frac1n+\dots es convergente, por la propiedad 5.

Propiedad 6 (convergencia absoluta): Dada una serie cualquiera S, si formamos otra serie T de términos positivos tomando los valores absolutos de los términos de la primera, y resulta que T es convergente, entonces S también será convergente. Esto suele expresarse diciendo que la convergencia absoluta implica la convergencia.

Ejemplo 11: la serie S dada por  \frac{sin\left(2\right)}2+\frac{sin\left(4\right)}4+\frac{sin\left(8\right)}8+\dots+\frac{sin\left(n\right)}{2^n}+\dots no es de términos positivos ni es alternada, pero tomando sus valores absolutos obtenemos la serie de términos positivos T del ejemplo 6, que es convergente, luego S es convergente por la propiedad 6.

Ejemplo 12 (Convergencia condicional): decimos que una serie es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no es absolutamente convergente. la serie alternada del ejemplo 10, 1-\frac12+\frac13-\dots+\left(-1\right)^{n-1}\cdot\frac1n+\dots, es convergente, pero tomando sus valores absolutos obtenemos la serie armónica, divergente, luego es condicionalmente convergente.

En el siguiente gráfico vemos la evolución de las sumas parciales de algunas de las series que hemos dado en los ejemplos; de ellas, sólo una es divergente, la serie armónica.

series

Problemas resueltos de funciones derivables

1. Derivar y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x.}}

La forma más simple de derivar esta función será, primero simplificar su expresión: utilizamos la notación de raíz en forma de potencia: y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\left(\left(x^\frac12\right)^\frac12\right)^\frac12=x^{\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12}=x^\frac18. Ahora usamos la derivada del monomio (Ax^n)'=Anx^{n-1}, que en este caso será y'=\frac18x^{\frac18-1}=\frac18x^\frac78=\frac18\sqrt[8]{x^7}.

Otra forma, más larga pero buena para practicar con la regla de la cadena, es: primero expresamos la función como una composición:

y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\sqrt x\circ\sqrt x\circ\sqrt x=f(x)\circ g(x)\circ h(x),

y a continuación derivamos por la regla de la cadena, de izquierda a derecha:

\begin{array}{l}D\left(\sqrt x\circ\sqrt x\circ\sqrt x\right)=D\left(\sqrt x\right)\circ\sqrt x\circ\sqrt x\cdot D\left(\sqrt x\right)\circ\sqrt x\cdot D\left(\sqrt x\right)=\\\frac1{2\sqrt x}\circ\sqrt x\circ\sqrt x\cdot\frac1{2\sqrt x}\circ\sqrt x\cdot\frac1{2\sqrt x}=\\\frac1{2\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}}\cdot\frac1{2\sqrt{\sqrt x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}\end{array}

Para simplificar esta expresión, usamos exponentes:

\begin{array}{l}\frac1{2\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}}\cdot\frac1{2\sqrt{\sqrt x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}=\frac12x^{-\frac12\frac12\frac12}\cdot\frac12x^{-\frac12\frac12}\frac12x^{-\frac12}=\\\frac18x^{-\frac18-\frac14-\frac12}=\frac18x^{-\frac18-\frac28-\frac48}=\frac18x^{-\frac78}=\frac1{8\sqrt[8]{x^7}}.\end{array}

separador2

2. Derivar f(x)=\sqrt{\ln\left(x\right)}.

Expresemos la función como composición: f(x)=\sqrt{\ln\left(x\right)}=\sqrt x\circ\ln\left(x\right). Aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}f'(x)=\left(\sqrt x\circ\ln\left(x\right)\right)'=\left(\sqrt x\right)'\circ\ln\left(x\right)\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)'=\\\frac1{2\sqrt x}\circ\ln\left(x\right)\cdot\frac1x=\frac1{2\sqrt{\ln\left(x\right)}}\cdot\frac1x=\frac1{2x\sqrt{\ln\left(x\right)}}.\end{array}

separador2

3. Derivar f(x)=e^{x^2+\sin\left(x^3+1\right)}.

Expresemos la función como composición: f(x)=e^{x^2+\sin\left(x^3+1\right)}=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right). Aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}f'(x)=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)=\left(e^x\right)'\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)'=\\e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(2x+\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)'\right);\end{array}

Aplicamos de nuevo la regla de la cadena para derivar la función seno:

\begin{array}{l}\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)=\sin\left(x\right)\circ\left(x^3+1\right);\\\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)'=\left(\sin\left(x\right)\right)'\circ\left(x^3+1\right)\cdot\left(x^3+1\right)'=\cos\left(x\right)\circ\left(x^3+1\right)\cdot\left(3x^2\right)=\\3x^2\cos\left(x^3+1\right).\end{array}

Sustituimos en la expresión de f'(x) para obtener:

\begin{array}{l}y'=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(2x+3x^2\cos\left(x^3+1\right)\right)=\\\left(2x+3x^2\cos\left(x^3+1\right)\right)\cdot e^{\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)}.\end{array}.

separador2

4. Derivar y=\tan^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right).

Expresemos la función como composición: y=\tan^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right)=\tan^{-1}\left(x\right)\circ\left(\sin\left(x\right)\right); aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}y'=\left(\tan^{-1}\left(x\right)\right)'\circ\left(\sin\left(x\right)\right)\cdot\left(\sin\left(x\right)\right)'=\\\frac1{1+x^2}\circ\left(\sin\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(x\right)=\frac{\cos\left(x\right)}{1+\sin^2\left(x\right)}.\end{array}

separador2

5. Hallar la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=\sqrt{1+x^2} en los puntos x=0, x=1.

La recta y=mx+b es tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto (x_0,f(x_0)) si la pendiente m cumple que m=f'(x_0) y ademaś la recta pasa por el punto (x_0,f(x_0)). Para la primera condición hemos de calcular f'(x):

\begin{array}{l}f'(x)=\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\left(\sqrt x\circ\left(1+x^2\right)\right)'=\left(\sqrt x\right)'\circ\left(1+x^2\right)\cdot\left(1+x^2\right)'=\\\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\end{array}

En el punto x_0=0 la derivada vale f'(0)=0=m. La segunda condición es que la recta y=mx+b=0·x+b=b pase por el punto (0,f(0)=(0,1), o sea que y=b=1. La recta tangente para x_0=0 es y=1.

En el punto x_1=0 la derivada vale f'(1)=\frac1{\sqrt2}=m. La segunda condición es que la recta y=mx+b=\frac1{\sqrt2}·x+b=b pase por el punto (1,f(1)=(1,\sqrt2), o sea que \sqrt2=\frac1{\sqrt2}\cdot1+b\Rightarrow b=\sqrt2-\frac1{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.. La recta tangente para x_0=1 es y=1.

recta_tangent_4

 separador2

6. Calcular la derivada en todos los puntos donde exista de la función dada por:

f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac12x-\frac12\;\text{si }x\leq1\\-\sqrt{\left|x\right|}\;\text{si }-1<x\leq0\\\sqrt x\;\text{si }0<x\leq1\\\frac12x+\frac12\;\text{si }x>1\end{array}\right.

Primero estudiamos la derivabilidad de cada rama de la función; en una segunda fase estudiaremos la derivabilidad en los puntos de bifurcación entre las ramas.

Derivabilidad de cada rama de la función.

f(x)=\frac12x-\frac12 es derivable en todo el dominio, y su derivada vale f'(x)=\frac12.

f(x)=-\sqrt{\left|x\right|}=\left(-\sqrt x\right)\circ\left|x\right| es una composición de funciones, la primera es derivable en todo x\geq0 y la segunda es derivable en todo \mathbb{R} excepto en x=0: para verlo  hacemos las derivadas laterales en ese punto:

\begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0^++h)-f(0^+)}h=\frac{\left|0^++h\right|-\left|0^+\right|}h=\frac{0^++h-0^+}h=\frac hh=1;\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0^-+h)-f(0^-)}h=\frac{\left|0^-+h\right|-\left|0^-\right|}h=\frac{-\left(0^-+h\right)-(-0^-)}h=\frac{-h}h=-1\end{array}

Los límites no coincicen, luego no existe la derivada de la función \left|x\right| en x=0. Entonces tenemos que la composición \left(-\sqrt x\right)\circ\left|x\right|:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^- es derivable en el dominio de definición de esta rama de la función, excepto en el punto x=0. Recordatorio: \mathbb{R}_0^+ significa todos los reales positivos incluido el 0.

La derivada vale:

\left(-\sqrt{\left|x\right|}\right)'=\left(-\sqrt x\circ\left|x\right|\right)'=\left(-\sqrt x\right)'\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'=\frac{-1}{2\sqrt x}\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'

En el intervalo -1<x<0 tenemos que \left|x\right|=-x, luego:

\frac{-1}{2\sqrt x}\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'=\frac{-1}{2\sqrt{\left|x\right|}}\cdot(-1)=\frac1{2\sqrt{\left|x\right|}}

El punto x=0 lo estudiamos en la segunda parte del problema. Para la siguiente rama de la función tenemos f(x)=\sqrt x que es derivable en su dominio, con derivada \left(\sqrt x\right)'=\frac1{2\sqrt x}. Para la última rama, f(x)\frac12x-\frac12, la derivada vale \left(\frac12x-\frac12\right)'=\frac12.

Estudiamos ahora los puntos de salto entre ramas.

En estos puntos la definición de la función cambia bruscamente, y no podemos usar las tablas de derivadas, tenemos que usar la definición de derivada, y además haciendo los límites laterales, sólo si coinciden ambos podemos asegurar que existe la derivada en el punto.

x=-1

Por la izquierda: \begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x^-+h)-f(x^-)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left({\displaystyle\frac12}\left(x^-+h\right)-{\displaystyle\frac12}\right)-\left({\displaystyle\frac12}x^--{\displaystyle\frac12}\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{\displaystyle\frac12}h=\frac12\end{array}

Por la derecha: \begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x^++h)-f(x^+)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{\left|x^++h\right|}\right)-\left(-\sqrt{\left|x^+\right|}\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{\left|-1^++h\right|}\right)-\left(-\sqrt{\left|-1^+\right|}\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{1^--h}\right)+1^+}h=\frac{-1+1}0=?\end{array}

Observemos que hemos hecho \sqrt{\left|-1^++h\right|}=\left(-\sqrt{1^--h}\right) pues el valor absoluto de un número negativo se obtiene cambiándole el signo, y al hacerlo, si el valor negativo estaba a la derecha de 1, al canviar el signo pasará a estar a la izquierda.

Para resolver la indeterminación, és útil trabajar con la definición alternativa de derivada en el punto x=x_0, que es:

x=x_0+h\Rightarrow f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}

Reintentamos el límite por la derecha:

f'(-1^+)=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1^+\right)}{x-\left(-1^+\right)}=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{-\sqrt{\left|x\right|}-\left(-1^-\right)}{x+1^-}=\frac{-1+1}{-1+1}=\frac00

Tenemos indeterminación de nuevo. Multiplicamos por el conjugado:

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{-\sqrt{-x}+1}{x+1^-}\frac{\sqrt{-x}+1}{\sqrt{-x}+1}=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{x+1}{\left(x+1^-\right)\left(\sqrt{-x}+1\right)}=\\\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac1{\sqrt{-x}+1}=\frac12\end{array}

Los dos límites laterales coinciden: la derivada en el punto -1 es \frac12

x=0

Límite por la izquierda:

\begin{array}{l}f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0^-\right)}{x-0^-}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{\left|x\right|}-\left(-\sqrt{\left|0^-\right|}\right)}{x-0^-}=\\\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{-x}}x=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{-x}}x\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{-x}}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac x{x\sqrt{-x}}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1{\sqrt{-x}}=+\infty\end{array}

Como es divergente, no es necesario hacer el límite por la derecha: la función no es derivable en x=0.

x=1

Límite por la izquierda:

\begin{array}{l}f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(1^-\right)}{x-1^-}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt x-\sqrt{1^-}}{x-1^-}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt x-\sqrt{1^-}}{x-1^-}\frac{\sqrt x+\sqrt{1^-}}{\sqrt x+\sqrt{1^-}}=\\\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x-1^-}{\left(x-1^-\right)\left(\sqrt x+\sqrt{1^-}\right)}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac1{\left(\sqrt x+\sqrt{1^-}\right)}=\frac12\\\end{array}

Límite por la derecha:

\begin{array}{l}f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(1^+\right)}{x-1^+}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\left({\displaystyle\frac12}x+{\displaystyle\frac12}\right)-1^+}{x-1^+}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\frac12x-\left(\frac12\right)^-}{x-1^+}=\\\lim_{x\rightarrow1^+}\frac12\frac{x-1^-}{x-1^+}=\frac12\end{array}

Coinciden, y la función es derivable en x=1. Podemos dar la derivada de la función completa:

f'(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac12\;\text{si}x\leq1\\\frac1{2\sqrt{\left|x\right|}}\;\text{ si }-1<x<0\\\text{no existe para }x=0\\\frac1{2\sqrt x}\;\text{ si }0<x\leq1\\\frac12\;\text{ si }x>1\end{array}\right.

Gráfica de la función f(x), observemos que en x=0 la gràfica queda vertical, y por tanto la derivada toma valor infinito:

Exercici_derivades

separador2

7. Verificar si la recta y=-x es tangente a la gráfica de la función f(x)=x^3-6x^2+8x en algún punto, o bien es secante, o bien es tangente en un punto y secante en otro punto.

La pendiente de la recta y=-x es m=-1; si es una recta tangente a la gráfica de f(x) entonces la derivada f'(x) debe tomar el valor -1 en algún punto x_0. Derivamos e igualamos:

f'(x)=3x^2-12x+8=-1\Rightarrow x=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4\cdot3\cdot9}}6=\frac{12\pm6}6=\left\{\begin{array}{l}3\\1\end{array}\right.

Para estos dos valores, sustituimos en la ecuación de la recta para obtener los puntos (x,y) de la recta; si ésta fuera recta tangente, entonces alguno de esos puntos debería pertenecer también a la gráfica de f(x):

x_0=3\Rightarrow y=-3\;\text{en la recta; }y=3^3-6\cdot3^2+8\cdot3=-3\;\text{en la función;} coinciden, luego la recta es tangente a f(x) en el punto.

x_0=1\Rightarrow y=-1\;\text{en la recta; }y=1^3-6\cdot1^2+8\cdot1=3\;\text{en la función;} no coinciden, luego la recta no es tangente a f(x) en el punto.

Para estudiar si la recta es secante a f(x) planteamos el sistema de ecuaciones:

\begin{array}{l}\left.\begin{array}{r}y=f(x)=x^3-6x^2+8x\\y=-x\end{array}\right\}\Rightarrow-x=x^3-6x^2+8x\Rightarrow x^2-6x+8=-1\Rightarrow\\x=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\cdot(-1)\cdot(-9)}}{-2}=3\pm0=3.\end{array}

Obtenemos de nuevo el punto x=3 que ya hemos obtenido como punto de contacto entre la recta tangente y la función. Pero además tenenemos otra solución a la ecuación:

-x=x^3-6x^2+8x\Rightarrow x^3-6x^2+9x=0\Rightarrow x\left(x^2-6x+9\right)=0

y es evidente que x=0 tambien es solución. Así pues, la recta dada es tangente a la función f(x) en el punto x=3 y secante en el punto x=0. La gráfica de ámbas es:

recta_tangent_5

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8. Calcular la derivada de la función y=x^{x^x}.

Aplicamos logaritmos:

Ln\left(y\right)=Ln\left(x^{x^x}\right)=Ln\left(x^{\left(x^x\right)}\right)=x^xLn\left(x\right)

Observar que seria incorrecto
Ln\left(x^{x^x}\right)=Ln\left(x^x\right)^x=xLn\left(x^x\right) pues x^{x^x}\neq\left(x^x\right)^x sino que es x^{x^x}=x^{\left(x^x\right)}. Ahora aplicamos la regla de la derivada del producto:

D\left[Ln\left(y\right)\right]=D\left[x^xLn\left(x\right)\right]=D\left[x^x\right]\cdot Ln\left(x\right)+x^x\cdot D\left[Ln\left(x\right)\right]

La derivada de x^x la hacemos aparte, aplicando de nuevo logaritmos:

\begin{array}{l}y=x^x\Leftrightarrow\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)=x\cdot\ln\left(x\right);\\D\left[\ln\left(y\right)\right]=D\left[x\cdot\ln\left(x\right)\right]=Dx\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot D\left[\ln\left(x\right)\right]=1\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot\frac1x=\ln\left(x\right)+1.\end{array}

Como D\left[Ln\left(y\right)\right]=\frac1yDy (por la regla de la cadena), tenemos que: \frac{Dy}y=\ln\left(x\right)+1\Leftrightarrow Dy=y\left[\ln\left(x\right)+1\right]=x^x\left[\ln\left(x\right)+1\right].

 Ahora sustituimos en la derivada original:

\begin{array}{l}\frac1yDy=x^x\left[\ln\left(x\right)+1\right]\cdot Ln\left(x\right)+x^x\cdot\frac1x\Leftrightarrow\\Dy=y\cdot x^x\left[Ln^2\left(x\right)+Ln\left(x\right)+\frac1x\right]=x^{x^x}\cdot x^x\left[Ln^2\left(x\right)+Ln\left(x\right)+\frac1x\right].\end{array}

separador2

9. La posición en el tiempo de un punto material que se está moviendo en el plano (x,y) viene dada en función del tiempo por x(t)= sin(t), y(t)=sin(2t). Si consideramos la trayectoria como una función y=f(x), calcular la  derivada y'(x).

La trayectoria viene dada en función del paràmetro tiempo en vez de venir en forma explícita y=f(x); en ocasiones es más cómodo hacerlo así, pues la forma explícita puede ser difícil de expresar. La gráfica de la trayectoria es un lazo:

parametriques

Para calcular la derivada y'(x) usaremos la notación diferencial de la derivada:

y'(x)=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}\cdot\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}

Observar cómo hemos utilizado las diferenciales para expresar la derivada con respecto a x en función de las derivadas respecto  a t.

\begin{array}{l}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}=D\sin\left(t\right)\circ2t=\cos\left(t\right)\circ2t\cdot D\left(2t\right)=2\cos\left(2t\right).\\\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}=\left(\frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t}\right)^{-1}=\left[D\sin\left(t\right)\right]^{-1}=\frac1{\cos\left(t\right)}.\end{array}

Nos queda que \begin{array}{l}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=2\cos\left(2t\right)\cdot\frac1{\cos\left(t\right)}=2\frac{\cos\left(2t\right)}{\cos\left(t\right)}.\\\end{array} La gráfica de la derivada presenta asíntotas verticales, correspondientes a los puntos del eje x donde el lazo tiene tangente vertical:

derivada_parametriques1

separador2

10. Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac1{x^2}}\;\text{si }x\neq0\\0\;\text{si }x=0\end{array}\right.

demostrar que es una función continua, que su derivada de cualquier orden f^n también es contínua y que f^n(0)=0 para todo n=1,2,....

Para ver si es continua, estudiamos su comportamiento cerca de el único punto dudoso, x=0, calculando el límite:

\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}e^{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac1{e^\frac1{x^2}}\rightarrow\frac1{e^{+\infty}}=0.

Como el límite en x=0 coincide con f(0) la función es contínua.

Para obtener la derivada, si x\neq0 derivamos su expresión:

\begin{array}{l}D\left[e^{-\frac1{x^2}}\right]=D\left[e^x\circ\frac{-1}{x^2}\right]=D\left[e^x\right]\circ\frac{-1}{x^2}\cdot D\left[\frac{-1}{x^2}\right]=\\e^x\circ\frac{-1}{x^2}\cdot D\left[-x^{-2}\right]=e^{-\frac1{x^2}}\cdot\frac2{x^3}\end{array}

Esta expresión es válida para x\neq0. Para x=0 usamos la definición de derivada:

\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{e^{-{\displaystyle\frac1{x^2}}}-0}x=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac1{xe^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow\frac1{0\cdot e^\infty}\rightarrow\frac1\infty=0,

debido a que \lim_{x\rightarrow0\;}x\cdot e^\frac1x=0 pues la función exponencial es de orden superior a cualquier potencia de x.

Así pues,

f'(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac1{x^2}}\cdot\frac2{x^3}\;\text{, x≠0}\\0\;\text{, x=0}\end{array}\right.

Para la derivada segunda en x=0, haciendo el límite:

f''(0)=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{{\displaystyle\frac2{x^3}}e^{-{\displaystyle\frac1{x^2}}}-0}x=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac2{x^4e^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow\frac2{0\cdot e^\infty}\rightarrow\frac1\infty=0,

 y en general para la derivada n-èsima tendremos

f^n(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac2{x^ke^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow0.

Cálculo en R -> Funciones continuas – > Problemas resueltos

1. Consideramos las funciones que cumplen la igualdad f\left(\alpha x\right)=\alpha f\left(x\right) para cualquier \alpha\in\mathbb{R}. Encontrar la forma explícita de todas las funciones de ese tipo. ¿Son uniformemente continuas en \mathbb{R}.?

Consideremos dos puntos x_1, x_2=\alpha x_1. Se cumple:

\frac{y_2}{x_2}=\frac{f\left(x_2\right)}{x_2}=\frac{f\left(\alpha x_1\right)}{\alpha x_1}=\frac{\alpha f\left(x_1\right)}{\alpha x_1}=\frac{\alpha y_1}{\alpha x_1}=\frac{y_1}{x_1}.

Como \alpha puede ser cualquier valor, la igualdad anterior es cierta para todos los valores x_1,y_1,x_2,y_2, y la razón y/x es una constante: \frac yx=C\Leftrightarrow\boxed{y=Cx}. Ésta es la forma general de las funciones que buscábamos.

Es fácil ver ahora que son uniformemente continuas:

f\left(x\right)=Cx\Rightarrow\left|y_1-y_2\right|\leq R\Leftrightarrow\left|Cx_1-Cx_2\right|\leq R\Leftrightarrow\left|C\right|\cdot\left|x_1-x_2\right|\leq R\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|\leq\frac R{\left|C\right|}.

Tomando r=\frac R{\left|C\right|} se cumple la condición de continuidad uniforme: dado un R cualquiera, si se cumple \left|y_1-y_2\right|\leq R entonces existe un r tal que \left|x_1-x_2\right|\leq r (ver, si es necesario, la teoría de continuidad).


2. Estudiar la continuidad de la función dada por:

\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2-1}\;\text{si }x\in\left(-\infty,-1\right),\\x^2+2x+1\;\text{si }x\in\left[-1,10\right],\\\frac{121}{10}x\;\text{si }x\in\left(10,+\infty\right).\end{array}\right.

La primera expresión de la función, \sqrt{x^2-1}\;\text{si }x\in\left(-\infty,-1\right), es la composición de dos funciones:

f(x)=\sqrt{x^2-1}\;=f_1(x)\circ f_2(x),\;f_1(x)=\sqrt x,\;f_2(x)=x^2-1.

Ambas funciones f_1, f_2 son continuas, luego su composición también lo es. No obstante, la función f_1(x)=\sqrt x sólo está definida para x\geq0, por tanto la función compuesta también estará definida sólo en x^2-1\geq0\Rightarrow\left|x\right|\geq1, que es compatible con el intervalo de definición dado, x\in\left(-\infty,-1\right), hasta aquí tenemos continuidad.

La siguiente expresión es un polinomio de segundo grado, que es continuo en todo el dominio. La última expresión también lo es. Ahora queda estudiar los puntos de enlace entre las tres expresiones, donde tendremos que aplicar la definición de continuidad:

Definición 1: Si f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} y el punto a pertenece al conjunto de puntos de acumulación de A, a\in\text{Acum}\left(A\right), diremos que f es continua en a si existe el límite L=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\neq\pm\infty y además se cumple que L=f(a)

Para el punto x=-1, donde pasamos de la expresión 1 a la 2, hacemos los límites laterales:

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow-1^-}f(x)=\sqrt{-1^2-1}=0;\\\lim_{x\rightarrow-1^+}f(x)=-1^2+2(-1)+1=0;\\\end{array}

Puesto que coinciden entre sí en el valor L=-1, y además f(-1)=-1=L. la función es continua en x=-1. Para el otro punto de transición, x=10, procedemos igual:

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow10^-}f(x)=10^2+2(10)+1=121;\\\lim_{x\rightarrow-1^+}f(x)=\frac{121}{10}10=121;\\\end{array}

los límites laterales coinciden, luego el límite en x=10 toma el valor 121, que es el mismo que f(10), y la función es continua en ese punto. En conclusión, f(x) es continua en todo su dominio.


3. Estudiar la continuidad de  f(x)=\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+55x}}{x+\sqrt{x+1}}.

La función será continua en todo punto a en que \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right); como es una función irracional (por la presencia de raíces), será continua en todo su dominio. Además, como la expresión de la función tiene un cociente, también tendremos en cuenta el dominio de las funciones racionales:

  • funciones del tipo f\left(x\right)=\frac{g(x)}{h(x)}: tienen dominio \mathbb{R}-\left\{x:\;g(x)=0\right\}
  • funciones del tipo f\left(x\right)=\sqrt[n]x con n par: tienen dominio \mathbb{R}-\left\{x:\;g(x)<0\right\}

Lo aplicamos; primero el cociente:

\begin{array}{l}x+\sqrt{x+1}=0\Rightarrow x=-\sqrt{x+1}\Rightarrow x^2=x+1\Rightarrow x^2-x-1=0\Rightarrow\\x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}2=\left\{\begin{array}{l}\frac{1+\sqrt5}2\\\frac{1-\sqrt5}2\end{array}\right.\end{array}

Siempre que elevamos una expresión al cuadrado, se genera una solución que no lo es de la ecuación original; comprobamos las dos obtenidas:

\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt5}2\Rightarrow x+\sqrt{x+1}\approx3.236\neq0;\\x=\frac{1-\sqrt5}2\Rightarrow x+\sqrt{x+1}=0.\end{array}

La solución "buena" es por tanto x=\frac{1-\sqrt5}2. Ahora estudiamos el dominio de las funciones irracionales:

\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+55x}}{x+\sqrt{x+1}}\rightarrow\left\{\begin{array}{l}1+2x\geq0\Rightarrow x\geq\frac{-1}2\\1+55x\geq0\Rightarrow x\geq\frac{-1}{55}\\x+1\geq0\Rightarrow x\geq-1.\end{array}\right.

Para encontrar el dominio de f(x) imponemos todas las condiciones simultáneamente:

Dom\;f\left(x\right)=\left\{x\neq\frac{1-\sqrt5}2\right\}\;\text{y }\left\{x\geq\frac{-1}{55}\right\}\;\text{y }\left\{x\geq\frac{-1}2\right\}\;\text{y }\left\{x\geq-1\right\}

Imponer varias restricciones, como es el caso, equivale a encontrar la intersección de todas ellas: sustituimos algunas expresiones por sus valores calculados aproximados, para poder compararlas:

\begin{array}{l}\left\{x\neq-0.618\right\}\cap\left\{x\geq-0.0\overset\frown{18}\right\}\cap\left\{x\geq\frac{-1}2\right\}\cap\left\{x\geq-1\right\}=\\\left\{x\geq-0.0\overset\frown{18}\right\}\end{array}

La última condición implica todas las demás. Nos queda por tanto Dom\;f\left(x\right)=\left\{x:\;x\geq\frac{-1}{55}\right\} y la función es continua en ese dominio.


4. Demostrar que la ecuación x^5+4x^3-2x+2=0 tiene al menos una solución real.

Definimos la función f\left(x\right)=x^5+4x^3-2x+2 que es continua en todo \mathbb{R} por ser un polinomio. Buscamos algunos puntos para encontrar un cambio de signo en la función:

\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}\left.x\right|&-2&-1&0&1\\\left.f\left(x\right)\right|&-58&-1&2&5\end{array}\end{array}

Vemos que hay un cambio de signo entre x=-1 y x=0, por el Teorema de Bolzano ha de existir al menos un c\in\left(-1,0\right) tal que f(c)=0.


5. ¿Existe alguna función continua tal que no alcance (no tome valores en) su supremo ni si ínfimo? Si es así, ¿contradice el Teorema de Weierstrass de funciones continuas?

Hay infinitas funciones como las que nos piden: las funciones con asíntotas horizontales no alcanzan nunca ciertos valores. Por ejemplo, la función:

f(x)= 1+exp(x) si x=0
f(x)= 1+exp(x) si x<0, 1èxp(-x) si x>=0

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1+e^x\;\text{si }x<0\\1+e^{-x}\;\text{si }x\geq0\end{array}\right.

es continua en todos sitios, tiene una asíntota horizontal en y=1 y ademas está acotada; en efecto:

\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=1+e^0=2=\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=1+e^{-0}=f(0). luego es continua.

\begin{array}{l}{\text{Máx}}_{x<0}1+e^x=2;\;{\text{Mín}}_{x<0}1+e^x=1;\\{\text{Máx}}_{x\geq0}1+e^{-x}=2;\;{\text{Mín}}_{x\geq0}1+e^{-x}=1;\end{array}

Luego está acotada superiormente por 2 e inferiormente por 1.

\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=1+e^{-\infty}=1;\;\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=1+e^{-\infty}=1,

luego
y=1 es una asíntota horizontal.

Observemos que 1<f\left(x\right)\leq2 así que la función no alcanza nunca su valor ínfimo (la mayor de las cotas inferiores). En cambio si que alcanza su valor supremo y=2 en x=0. Necesitamos una función con dos asíntotas horizontales distintas, por ejemplo:

Función con dos asíntotas horizontales
Función con dos asíntotas horizontales

\left\{\begin{array}{l}\frac{5x^2-1}{x^2}\;\text{si }x<-1\\\frac{7-x}2\;\text{si }-1\leq x\leq1\\\frac{2x^2+1}{x^2}\;\text{si }x>1\end{array}\right.

El lector puede comprobar, por el mismo método del ejemplo anterior, que esta función tiene una asíntota a la derecha  y=2, otra asíntota a la izquierda y=5 y que es continua en todos los puntos. En este caso la función no alcanza ni su supremo y=5 ni su ínfimo y=2. Esto no contradice el teorema de Weierstrass (recordemos que nos dice que toda función continua en un compacto alcanza su valor máximo y su mínimo) puesto que el dominio de definición debería ser un compacto (un conjunto cerrado y acotado), mientras que para esta función el dominio es todo \mathbb{R}, que no es cerrado ni acotado.

En cambio, si limitamos el dominio de esta forma:

\left\{\begin{array}{l}\frac{5x^2-1}{x^2}\;\text{si}-2\leq x<-1\\\frac{7-x}2\;\text{si}-1\leq x\leq1\\\frac{2x^2+1}{x^2}\;\text{si}1<x\leq2\end{array}\right.

entonces el dominio de definición es el conjunto cerrado y acotado [-2, 2], el Teorema de Weierstrass es aplicable, y la función alcanza su mínimo en x=2 y su máximo en x=-2.


 6. ¿Es posible que la composición de dos funciones que no sean ambas continuas, pueda ser continua? Dar algún ejemplo.

Una de las propiedades de las funciones continuas es:

f,g funciones continuas \begin{array}{c}\Rightarrow\\\nLeftarrow\end{array}f\circ g,\;g\circ f continuas

o sea que, si f,g son continuas, seguro que f\circ g,\;g\circ f también lo son, en cambio si f o g no son continuas, no podemos concluir nada. Por tanto sí es posible que la composición de dos funciones que no sean ambas continuas, pueda ser continua.

Como ejemplo veamos las funciones valor absoluto f\left(x\right)=\left|x\right| y la función siguiente:

g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1\;\text{si }x<0\\-1\;\text{si }x\geq0\end{array}\right.

Esta segunda función es claramente discontinua en x=0, pero en cambio veamos que pasa con f\circ g:

f\circ g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)\;\text{si }x<0\\f\left(-1\right)\;\text{si }x\geq0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}1\;\text{si }x<0\\1\;\text{si }x\geq0\end{array}\right.

O sea que h=f\circ g es la función constante h(x)=1, que es continua.


7. Estudiar la continuidad de la función:

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x\;\text{ si }x\;\text{ es racional}\\1-x\;\text{ si }x\;\text{ es irracional}\end{array}\right.

Necesitamos recordar la siguiente propiedad de los números reales y racionales:

Entre dos números reales cualesquiera, existen infinitos números reales (racionales e irracionales). En particular, entre dos números racionales cualesquiera, existen infinitos números reales (racionales e irracionales). 

Entonces, dado un racional cualquiera a\in\mathbb{Q}, si intentamos calcular el límite \lim_{x\rightarrow a\in\mathbb{Q}}f\left(x\right), nos encontramos con problemas, pues tenemos que aplicar las dos definiciones de la función, no importa lo cerca que nos aproximemos al punto a. Más precisamente, si aplicamos la definición de límite, dado un \delta>0, no existe un \varepsilon>0 tal que, si \left|x-a\right|<\varepsilon entonces \left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|<\delta, pues en el intervalo centrado en a \left(a-x,\;a+x\right) con \left|a-x\right|<\varepsilon existen infinitos racionales e infinitos irracionales, y no todos ellos estarán dentro del intervalo \left(f\left(a\right)-\delta,\;f\left(a\right)+\delta\right). Hay una excepción: si vemos la gráfica de la función nos daremos cuenta.

Función discontinua en todos los puntos, excepto en x=1/2
Función discontinua en todos los puntos, excepto en x=1/2

Las dos rectas contienen infinitos puntos, pero no todos: la de pendiente positiva contiene los racionales, la otra los irracionales.  Vemos pues que dado cualquier x=a, por ejemplo, a=1, en cualquier entorno de ese punto hay infinitas imágenes en las dos rectas, cuando nos acercamos al punto a la función va oscilando entre las dos rectas. Pero en el punto x=1/2 se cruzan ambas . En ese punto:

\lim_{x\rightarrow1/2}f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac12\;\text{si }x\;\text{es racional}\\1-\frac12\;=\frac12\;\text{si }x\;\text{es irracional}\end{array}\right.

Entonces el límite existe y vale 1/2, que además coincide con el valor de la función en x=1, con lo cual podemos afirmar que f(x) es continua en x=1 y discontinua en cualquier otro punto.


8. Supongamos que f(x) es continua en todo \mathbb{R}, y que f(x)=0 para todo x racional. Probar que f(x) ha de ser la función nula f(x)=0 para todo \mathbb{R}.

Definimos f como sigue:

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0\;\;\;\;\;\text{si }x\;\text{esracional}\\g\left(x\right)\;\text{si }x\;\text{esirracional}\end{array}\right.

donde g(x) es desconocida. Nos piden que demostremos que g(x)=0. Siguiendo el razonamiento del ejercicio anterior, dado un racional cualquiera a\in\mathbb{Q}, si intentamos calcular el límite \lim_{x\rightarrow a\in\mathbb{Q}}f\left(x\right), nos encontramos con problemas, pues tenemos que aplicar las dos definiciones de la función, no importa lo cerca que nos aproximemos al punto a. Entonces, la única forma de que la función sea continua en todos los puntos es que tomen el mismo valor en las dos ramas de la función, esto es, que g(x)=0.


9. Sea la función continua f(x) definida en el intervalo cerrado [a,b]. Definimos la función g(x) de la siguiente forma: g(a)=f(a), y para valores distintos de a, definimos g\left(x_0\right)=\text{Max }\left\{f\left(x\right)\left|x\in\left[a,x_0\right]\right.\right\}. Estudiar la continuidad de g(x).

En primer lugar nos damos cuenta de que la función g(x) tiene sentido, está bien definida, esto es, para cada valor x existe la imagen g(x); en efecto, como f(x) es continua, alcanzará su valor máximo en todo intervalo cerrado (Teorema de Weierstrass). Al definir g(y) com el valor máximo de f(x) en el intervalo cerrado [a,x], aseguramos que ese máximo existe.

En segundo lugar, es fácil ver que g(x) es una función creciente: a medida que aumentamos los valores de x, el máximo de f(x) en el intervalo  [a,x] no puede disminuir por definición: o bien no aumenta, o bien encontramos un nuevo máximo mayor que el anterior.

Además, siendo f continua, al movernos de un valor x a otro próximo x+\varepsilon las imágenes no pueden variar "demasiado", esto es, la variación estará acotada, y también los valores máximos de f  han de estarlo; por ello, dado un \delta>0, siempre podremos encontrar un \varepsilon>0 tal que si \left|x_1-x_2\right|<\varepsilon entonces la variación en los máximos en los intervalos [a,x_1] y [a,x_2] no será mayor que \varepsilon: la función g es continua.

Como ejemplo concreto, consideremos f(x)=\sin\left(x\right) en \left[0,2\pi\right], y representemos f,g:

Función f(x)=Sin(x) (azul), y función g(x) (verde)
Función f(x)=Sin(x) (azul), y función g(x) (verde)

Vemos que g(x) coincide con f(x) en \left[0,\pi/2\right] hasta que f(x) alcanza su valor máximo absoluto en x=\pi/2, a partir de ahí g(x) queda constante.


 

10. Estudiar la continuidad de la función

\left\{\begin{array}{l}\frac2x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\leq-2\\\frac1{x+2},\;\;\;\;\;\;\;-2<x\leq1\\\frac{x-1}{x^2-5x+4},\;x>1,\;x\neq4\\2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=4\end{array}\right.

2/x es continua para todo x\ne0, como esta rama de la función está definida para x\leq-2, esta primera rama es continua.

Igualmente, \frac1{x+2} es continua excepto en x=-2, que no pertenece al dominio de esta rama: -2<x\leq1.

\frac{x-1}{x^2-5x+4} es continua excepto en los puntos que cumplen x^2-5x+4=0, que son x=1,\;x=4, que tampoco pertenecen al dominio de esta tercera rama de la función.

Así pues, la función es continua en cada rama de su definición; falta comprobar los puntos de unión de cada rama; en esos puntos, como tenemos una definición "doble" de la función (el punto está en la intersección de dos ramas) hay que calcular los límites laterales.

En x=-2 tenemos:

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow-2^-}f\left(x\right)=\frac2{-2}=-1;\\\lim_{x\rightarrow-2^+}f\left(x\right)=\frac1{-2^++2}=\frac1{0^+}=+\infty\end{array}

El límite no existe, y f(x) no es continua en x=-2. Para el siguiente punto,  x=1 tenemos:

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\frac1{1+2}=\frac13;\\\lim_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\frac{1^+-1}{1^+-5^++4}=\frac{0^+}{0^{}}=?\end{array}

Para resolver la indeterminación del segundo límite simplificamos la fracción:

\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x-1}{x^2-5x+4}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x-1}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac1{x-4}=\frac1{-3}

Como no coinciden los límites laterales, no existe el límite, y la función es discontinua en x=1. Para x=4 los límites laterales  izquierda no existen, por ejemplo, por la izquierda: \lim_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac1{x-4}=\frac1{0^-}=-\infty, y la función tampoco es continua en ese punto.

En resumen, f(x) es continua en todo \mathbb{R} excepto en x=-2,\;1,\;4.

a_trossos


11. Una función lineal f(x) se define por los siguientes valores de la función:

x

2

6

50

n

f(x)

-1

-13

m

-100

 

Encontrar los valores m, n.

Solución: las funciones lineales tienen la forma f(x) = Ax + B. Con los datos de la tabla podemos encontrar A, B. Planteamos dos ecuaciones, usando las parejas de valores (x, f(x)) de la tabla (2, -1) y (6, -13):

\begin{array}{l}-1\;=\;2A\;+\;B\\-13\;=\;6A\;+\;B\end{array}

Este es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas; restamos las dos ecuaciones (método de reducción) para eliminar la B, que està en las dos, para ello, cambiamos todos los signos de la primera ecuación y sumamos ámbas:

\begin{array}{l}\begin{array}{l}1\;=\;-2A\;-\;B\\\underline{-13\;=\;6A\;+\;B}\end{array}\\-12=4A\Leftrightarrow A=-12/4=-3\\\end{array}

Luego B = -1 -2A = -1 +6 = 5. Ya tenemos que f(x) = -3x + 5.

Ahora es inmediato encontrar m, n:

m = f(50) = -3·50 + 5 = -145,

-100 = f(n) = -3·n + 5 → n = (-100 – 5) / -3 = -105/-3 = 35.


 

 

 

Càlculo de integrales (funciones reales de variable real)

Este es un post eminentemente práctico: se dan métodos de obtención de la función primitiva F(x) de una función real de variable real f(x) dada, simbólicamente:

F(x)=\int f(x)\operatorname{d}x


 

Integrales inmediatas

Tiene este nombre debido a que son las más sencillas de calcular, se trata de aplicar algunas fórmulas que solo tienen validez para funciones continuas. En Internet y en la bibliografía se encuentran muchas tablas de integrales inmediatas, a continuación presentamos la que vamos a utilizar aquí:

Tabla de integrales inmediatas

En esta tabla, a es un número real cualquiera, u(x) una función derivable cualquiera, y du su diferencial.

  1. \int a\operatorname{d}x=ax
  2. \int af(x)\operatorname{d}x=a\int f(x)\operatorname{d}x
  3. \int u^n(x)\operatorname{d}u=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}, siendo n un número real cualquiera diferente de -1
  4. \int\frac{\operatorname{d}u}u=\ln\left|u\right|, siendo u(x) una función derivable cualquiera distinta de cero, du su diferencial
  5. \int e^udu=e^u,
  6. \int a^udu=\frac{a^u}{\ln\left(a\right)}, siendo a un real positivo distinto de 1.
  7. \int\sin\left(u\right)du=-\cos\left(u\right)
  8. \int\cos\left(u\right)du=\sin\left(u\right)
  9. \int\tan\left(u\right)du=-\ln\left|\cos\left(u\right)\right|
  10. \int\cot\left(u\right)du=\int\frac{du}{\tan\left(\right)}=\ln\left|\sec\left(u\right)\right|
  11. \int\sec\left(u\right)du=\int\frac{du}{\cos\left(u\right)}=\ln\left|\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right|
  12. \int\csc\left(u\right)du=\int\frac{du}{\sin\left(u\right)}=\ln\lef
  13. \int\frac{du}{u^2+a^2}=\frac1a\tan^{-1}\left(\frac ua\right), siendo a distinto de cero
  14. \int\frac{du}{u^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|, siempre que u+a no valga 0.
  15. \int\frac{du}{a^2-u^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{a+u}{a-u}\right| siempre que a-u no valga 0.
  16. \int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=\sin^{-1}\left(\frac ua\right), siendo a distinto de cero
  17. \int\frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}=\ln\left|u+\sqrt{u^2+a^2}\right|
  18. \int\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}=\ln\left|u+\sqrt{u^2-a^2}\right|, siempre que u^2-a^2\geq0
  19. \int\frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac1a\sec^{-1}\left|\frac ua\right| siempre que u^2-a^2\geq0 y a no sea cero.
  20. \int\frac{du}{u\sqrt{u^2+a^2}}=\frac{-1}a\ln\left|\frac{a+\sqrt{u^2+a^2}}u\right|, siempre que u y a no sean cero.
  21. \int\frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=\frac{-1}a\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2-u^2}}u\right|,  siempre que u y a no sean cero.

Nota: Al calcular la primitiva F(x) de una función f(x), también llamada integral indefinida, se suele añadir al resultado una constante (un número real), que suele denominarse C. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo, según el cual existe no una única función primitiva, sino infinitas, tantas como valores puede tomar la constante C. Entonces todas la primitivas de la tabla anterior pueden expresarse con la C añadida. Por ejemplo la primera de la lista: \int a\operatorname{d}x=ax+C

 Ejemplo 1: \int3x^2\operatorname{d}x=3\int x^2\operatorname{d}x=3\frac{x^3}3+C=x^3+C. Hemos aplicado las fórmulas (1) y (3) de la tabla.

Ejemplo 2: \int\sqrt[3]x\operatorname{d}x=\int x^\frac13\operatorname{d}x=\frac{x^{\frac13+1}}{\frac13+1}+C=\frac34\sqrt[3]{x^4}+C. Hemos aplicado la fórmula (3) de la tabla.

NOTA: la diferencial de una función, a efectos prácticos, podemos asimilarla a la derivada de la función, añadiendo el \operatorname{d}x, como vemos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3: \int\frac{-2\sin\left(x\right)}{\cos\left(2x\right)}\operatorname{d}x=\int\frac{\operatorname{d}u}u=\ln\left|u\right|+C=\ln\left|\cos\left(2x\right)\right|+C, ya que la derivada del denominador es igual al numerador \operatorname{d}\left(\cos\left(2x\right)\right)=-2\sin\left(2x\right)\operatorname{d}x.

Integrales casi inmediatas

Son aquellas que mediante transformaciones algebraicas sencillas pueden expresarse en la forma de una de las integrales inmediatas.

Ejemplo 4:

\int5\sin\left(x\right)\cos^2\left(x\right)\operatorname{d}x=5\int\left(\cos\left(x\right)\right)^2\sin\left(x\right)\operatorname{d}x=5\int\left(-\cos\left(x\right)\right)^2\operatorname{d}\left(-\cos\left(x\right)\right)=5\frac{-\left(\cos\left(x\right)\right)^3}3+C. Hemos aplicado la fórmula (3), teniendo en cuenta que la derivada de cos(x) es -sin(x), hemos tenido que añadir el signo menos para que sea aplicable.

Ejemplo 5:

\int e^x\frac{e^{2x}+5}{\sqrt{e^{2x}+4}}\operatorname{d}x=\int\left[\frac{e^x\left(e^{2x}+4\right)}{\sqrt{e^{2x}+4}}+\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4}}\right]\operatorname{d}x=\int e^x\sqrt{e^{2x}+4}\operatorname{d}x+\int\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4}}\operatorname{d}x.

La primera integral es del tipo (3):

=\int e^x\sqrt{e^{2x}+4}\operatorname{d}x=\int e^x\left(e^{2x}+4\right)^\frac12\operatorname{d}x=\frac12\int2e^x\left(e^{2x}+4\right)^\frac12\operatorname{d}x=\frac12\int\left(e^{2x}+4\right)^\frac12\operatorname{d}\left(e^{2x}+4\right)=\frac12\frac{\left(e^{2x}+4\right)^\frac32}{\displaystyle\frac32}=\frac{\sqrt[{}]{\left(e^{2x}+4\right)^3}}3.

La segunda integral es del tipo (7):

=\int\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4}}\operatorname{d}x=\int\frac{e^x}{\sqrt{\left(e^x\right)^2+4}}\operatorname{d}x=\int\frac{\operatorname{d}\left(e^x\right)}{\sqrt{e^{2x}+4}}=\ln\left|e^x+\sqrt{e^{2x}+4}\right|.

Resultado: \int e^x\frac{e^{2x}+5}{\sqrt{e^{2x}+4}}\operatorname{d}x==\frac{\sqrt[{}]{\left(e^{2x}+4\right)^3}}3+\ln\left|e^x+\sqrt{e^{2x}+4}\right|+C.

Integración por partes

Teorema: Sean u(x), v(x) dos funciones derivables con derivada continua. Entonces se cumple que

\int u(x)\operatorname{d}v(x)=u(x)\cdot v(x)-\int v(x)\operatorname{d}u(x)

La aplicación práctica consiste en, dado un problema de integración I=\int f(x)\operatorname{d}x que no es inmediato y en el cual la función a integrar sea el producto de otras funciones, identificar a qué llamaremos u(x) y a qué llamaremos \operatorname{d}v(x), de esa forma la integral original se divide en dos partes: hallar v(x) integrando \operatorname{d}v(x), y a continuación hallar \int v(x)\operatorname{d}u(x).

Ejemplo 6:

 I=\int e^x\sin\left(x\right)\operatorname{d}x=\int u(x)\operatorname{d}v(x), donde u(x)=e^x,\;\operatorname{d}v(x)=\sin\left(x\right)\operatorname{d}x.

Primera parte, hallar v(x)=\int\sin\left(x\right)\operatorname{d}x=-\cos\left(x\right).

Segunda parte,  calcular \int v(x)\operatorname{d}u(x)=\int-\cos\left(x\right)\operatorname{d}\left(e^x\right)=-\int\cos\left(x\right)e^x\operatorname{d}x.

De momento tenemos:

 I=u(x)\cdot v(x)-\int v(x)\operatorname{d}u(x)=-e^x\cos\left(x\right)-\int-\cos\left(x\right)e^x\operatorname{d}x.

La segunda integral es parecida a la original, cambiando la función seno por la función coseno. Aplicamos de nuevo el mètodo de integración por partes a esta segunda integral, que llamamos I_2:

I_2=\int\cos\left(x\right)e^x\operatorname{d}x.\;u(x)=e^x,\;\operatorname{d}v(x)=\cos\left(x\right)\operatorname{d}x,\;\operatorname{d}u(x)=e^x\operatorname{d}x,\;v(x)=\int\cos\left(x\right)\operatorname{d}x=\sin\left(x\right).

Aplicamos el teorema de integración por partes a la integral I_2:

I_2=e^x\sin\left(x\right)-\int\sin\left(x\right)e^x\operatorname{d}x=e^x\sin\left(x\right)-I.

Hemos recuperado la integral original I. Ordenando todo lo que tenemos:

\begin{array}{l}I=-e^x\cos\left(x\right)+\;I_2=-e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)-I\Leftrightarrow\\2I=-e^x\cos\left(x\right)+e^x\sin\left(x\right)\Leftrightarrow\\I=\frac12e^x\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)\right)+C.\end{array}.

Ejemplo 7:

\begin{array}{l}I=\int x\cos\left(x\right)\operatorname{d}x;\;\\u(x)=x,\;\operatorname{d}u(x)=1\cdot dx;\;\operatorname{d}v(x)=\cos\left(x\right)\operatorname{d}x,\;v(x)=\int\cos\left(x\right)\operatorname{d}x=\sin\left(x\right).\\I=x\sin\left(x\right)-\int1\cdot\sin\left(x\right)\operatorname{d}x=x\sin\left(x\right)-\left(-\cos\left(x\right)\right)+C=x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)+C.\end{array}

Integración por cambio de variable

En ocasiones al integrar I=\int f\left(x\right)\operatorname{d}x podemos darnos cuenta de que si hiciéramos un cambio de variable x=g(t) la integral con la nueva variable t es más sencilla. Hay que tener en cuenta que el cambio también afecta a la diferencial de x:

I=\int f\left(x\right)\operatorname{d}x=\int f\left(g\left(t\right)\right)\operatorname{d}\left(g\left(t\right)\right).

Ejemplo 8:

La integral I=\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{d}x no es inmediata. Recordando la identidad trigonométrica sin^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1\Leftrightarrow1-\;\sin^2\left(x\right)=\cos^2\left(x\right) vemos que si en vez de la x^2 tuviéramos un sin^2\left(x\right) podríamos anular la raíz con el x=\cos^2\left(t\right). Intentamos pues el cambio de variable x=\sin\left(t\right):

\begin{array}{l}x=\sin\left(t\right)\Rightarrow\\I=\int\frac1{\sqrt{1-\left(\sin\left(t\right)\right)^2}}\operatorname{d}\left(\sin\left(t\right)\right)=\\\int\frac1{\cos\left(t\right)}\cos\left(t\right)\operatorname{d}t=\int\operatorname{d}t=t+C.\end{array}

Deshaciendo el cambio: x=\sin\left(t\right)\Rightarrow t=\sin^{-1}\left(x\right)\Rightarrow I=\sin^{-1}\left(x\right)+C.

Ejemplo 9:

\begin{array}{l}I=\int e^x\sin\left(e^x\right)\operatorname{d}x.\;\\e^x=t\Rightarrow x=\ln\left(\left|t\right|\right)\Rightarrow\operatorname{d}x=\frac1t\operatorname{d}t.\\I=\int t\sin\left(t\right)\frac1t\operatorname{d}t=\int\sin\left(t\right)\operatorname{d}t=-\cos\left(t\right)+C=-\cos\left(e^x\right)+C.\end{array}.

Ejemplo 10:

\begin{array}{l}I=\int x^3\cos\left(x^4\right)\operatorname{d}x.\\t=x^4;\;\operatorname{d}t=4x^3\operatorname{d}x.\\I=\frac14\int\cos\left(x^4\right)4x^3\operatorname{d}x=\frac14\int\cos\left(t\right)\operatorname{d}t=\frac14\sin\left(t\right)+C=\frac14\sin\left(x^4\right)+C.\end{array}.

Integración de funciones racionales

Para las integrales de la forma "cociente de polinomios", \int\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\operatorname{d}x tendremos en cuenta lo siguiente:

  1. Si el grado n del numerador es superior al grado m del denominador, dividimos para obtener \frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=D\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}, donde D es un polinomio de grado n-m y el polinomio R es el resto de la división, con grado r menor que m. Entonces: \int\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\int D\left(x\right)+\int\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}, la integral de un polinomio (inmediata) y otra integral racional con grado del numerador inferior al grado del denominador.
  2. Si el grado n del numerador es inferior al grado m del denominador, descomponemos la fracción racional según el siguiente Teorema:

Teorema: todo polinomio P(x) con coeficientes reales admite una descomposición en producto de factores de dos tipos:

La dificultad práctica en la aplicación de este teorema reside en cómo hallar las raíces (equivalentemente, los ceros) del polinomio. En casos simples puede aplicarse la regla de Ruffini (para raíces enteras) pero en general para polinomios de grado superior a cuatro se necesitan métodos numéricos aproximados. En todo caso, el mètodo de integración es el siguiente:

Método de integración por descomposición en fracciones simples (Bernoulli, 1702)

Sea la integral \int\frac{P\left(x\right)} Q\left(x\right)}\operatorname{d}x donde P y Q son polinomios tales que el grado n del numerador es inferior al grado m del denominador.

1r paso) Resolver la ecuación Q(x)=0, calculando todas las raíces tanto reales como complejas (polinomios de grado 2 sin raíces reales). Por el teorema de descomposición, podremos escribir:

Q(x)=\left(x-a\right)^{m_1}\left(x-b\right)^{m_2}\dots\left(\alpha_1x^2+\beta_1x+\gamma_1\right)^{n_1}\left(\alpha_2x^2+\beta_2x+\gamma_2\right)^{n_2}\dots.

2n paso) Para cada factor de la forma \left(x-a\right)^{m} tendremos una suma de m fracciones

\frac{A_1}{\left(x-a\right)^1}+\frac{A_2}{\left(x-a\right)^2}+\dots+\frac{A_m}{\left(x-a\right)^m},

y para cada factor \left(\alpha_1x^2+\beta_1x+\gamma_1\right)^{n} tendremos una suma de n fracciones

\frac{B_1x+C_1}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)}+\frac{B_2x+C_2}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)^2}+\dots+\frac{B_nx+C_n}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)^n}.

Determinamos todos los coeficientes indeterminados A_1, A_2, \dots, A_m, B_1, \dots, B_n, C_1, \dots, C_n igualando la suma de todas las fracciones generadas a \frac{P\left(x\right)} Q\left(x\right)}, que nos proporciona un sistema de ecuaciones.

3r paso) La integral nos ha quedado en la forma:

\int\frac{P(x)}{Q(x)}=\int\frac{A_1}{\left(x-a\right)}+\int\frac{A_2}{\left(x-a\right)^2}+\cdots+\int\frac{A_m}{\left(x-a\right)^m}+\int\frac{B_1x+C_1}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)}+\int\frac{B_2x+C_2}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)^2}+\dots+\int\frac{B_nx+C_n}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)^n}.

Casi todas estas integrales son inmediatas:

\begin{array}{l}\int\frac{A_1}{\left(x-a\right)}=A_1\ln\left(x-a\right)\\\int\frac{A_2}{\left(x-a\right)^2}=\frac{A_2}{\left(x-a\right)}\\\int\frac{A_m}{\left(x-a\right)^m}=\frac{A_m}{\left(1-m\right)\left(x-a\right)^{m-1}}\\\int\frac{B_1x+C_1}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)}=\int\frac{B_1x}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)}+\int\frac{C_1}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)}\end{array}.

Las dos últimas integrales son inmediata del tipo (4) y casi inmediata del tipo (13), respectivamente.

Las integrales con raíces complejas múltiples del tipo \int\frac{B_{}x+C_{}}{\left(\alpha_{}x^2+\beta_{}x+\gamma_{}\right)^n} no son inmediatas, pueden resolverse por partes, reduciendo progresivamente el orden del exponente.

Ejemplo 11: \int\frac1{x^2-5x+6}.

1) Resolvemos x^2-5x+6=0

x^2-5x+6=0\Rightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}2=\left\{\begin{array}{l}3\\2\end{array}\right.

2) Descomponemos la fracción original:

\begin{array}{l}\begin{array}{l}x^2-5x+6=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\Leftrightarrow\\\frac1{x^2-5x+6}=\frac{A_1}{x-3}+\frac{A_2}{x-2}\Leftrightarrow\end{array}\\\frac1{x^2-5x+6}=\frac{A_1\left(x-2\right)+A_2\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}\Rightarrow\\A_1\left(x-2\right)+A_2\left(x-3\right)=1.\\\end{array}

Todas las raíces son reales y simples. Para hallar los coeficientes hay varios métodos. Uno de ellos, de aplicación aquí, es útil cuando todas las raíces son reales simples, y consiste en sustituir en la expresión anterior la variable x por los valores de las raíces:

\begin{array}{l}x=2\Rightarrow A_1\left(2-2\right)+A_2\left(2-3\right)=1\Leftrightarrow-A_2=1\Leftrightarrow A_2=1.\\x=3\Rightarrow A_1\left(3-2\right)+A_2\left(3-3\right)=1\Leftrightarrow A_1=1.\\\end{array}

3) Usamos la tabla de integrales inmediatas:

\begin{array}{l}\int\frac1{x-3}=\ln\left(x-3\right),\;\int\frac{-1}{x-3}=-\ln\left(x-2\right)\Rightarrow\\\int\frac1{x^2-5x+6}=\ln\left(x-3\right)-\ln\left(x-2\right)+C.\end{array}

Ejemplo 12: \int\frac{x-1}{x\left(x^2+1\right)}.

1) En el denominador una raíz es evidente que es x=0. El factor x^2+1 es irreducible (no tiene raíces reales).

2) Descomponemos la fracción:

\begin{array}{l}\int\frac{x-1}{x\left(x^2+1\right)}=\int\frac Ax+\int\frac{Bx+C}{x^2+1}\Leftrightarrow\\\frac{x-1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(Bx+C\right)x}{x\left(x^2+1\right)}\Leftrightarrow\\x-1=A\left(x^2+1\right)+\left(Bx+C\right)x.\end{array}.

Para el valor x=0:

x=0\Leftrightarrow0-1=A\left(0^2+1\right)+\left(B0+C\right)0\Leftrightarrow-1=A.

Para los otros dos valores indeterminados, operamos como sigue:

\begin{array}{l}x-1=-\left(x^2+1\right)+\left(Bx+C\right)x\Leftrightarrow\\x-1=-x^2-1+Bx^2+Cx\Leftrightarrow\\x-1=x^2\left(B-1\right)+Cx-1.\\\end{array}.

Comparando los polinomios a ambos lados de la igualdad concluimos que:

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}B-1=0\Rightarrow B=1\\C=1\end{array}\right.\\\end{array}.

3) Integramos, tenemos dos inmediatas y una casi inmediata:

\begin{array}{l}I=\int\frac{-1}x+\int\frac{x+1}{x^2+1}=-\ln\left(x\right)+\int\frac1{x^2+1}+\int\frac x{x^2+1}=\\-\ln\left(x\right)+\tan^{-1}\left(x\right)+\frac12\int\frac{2x}{x^2+1}=\\-\ln\left(x\right)+\tan^{-1}\left(x\right)+\frac12\ln\left(x^2+1\right).\\\end{array}.

Límites de sucesiones de funciones

Recientemente he estado ayudando a un alumno con un problema relativo a la convergencia de una sucesión de funciones; a parte de la técnica de resolución, que puede más o menos aprenderse de memoria, comprobé que mi alumno no había entendido ni el significado ni la utilidad de los conceptos, de forma que, por así decirlo, navegaba entre la niebla. De hecho, recordé que yo mismo en mi época de estudiante tampoco lo entendí. Estoy seguro de que se debe a la forma de explicarlo, demasiado formal. Voy a intentar en este post explicar claramente tres conceptos, que son:

  • Sucesión de funciones
  • Convergencia puntual de una sucesión de funciones
  • Convergencia uniforme de una sucesión de funciones

 

Sucesión de funciones

Una sucesión de funciones, a semejanza de una sucesión numérica, es una colección infinita de funciones. Por ejemplo:

\begin{array}{l}f_1(x)=x,\\f_2(x)=x^2,\\f_3(x)=x^3,\\\dots,\\f_n(x)=x^n\end{array}

Más formalmente, si tenemos una función F:\mathbb{N}\rightarrow\Omega, donde \mathbb{N}: números naturales,  \Omega: conjunto de funciones reales de variable real, tal que a cada número natural n hace corresponder una función real f_n(x), diremos que tenemos definida una sucesión de funciones reales. En el ejemplo anterior:

\begin{array}{l}1\rightarrow f_1(x)=x,\\2\rightarrow f_2(x)=x^2,\\3\rightarrow f_3(x)=x^3,\\\dots,\\n\rightarrow f_n(x)=x^n\end{array}

A la función de la sucesión correspondiente al número n, f_n(x) se le llama el término general de la sucesión.

Ejemplo 1: Escribir los tres primeros términos de la sucesión de funciones de término general f_n(x)=\frac1{1-nx^2}.

Son:

\begin{array}{l}n=1\rightarrow f_1(x)=\frac1{1-x^2},\\n=2\rightarrow f_2(x)=\frac1{1-2x^2},\\n=3\rightarrow f_3(x)=\frac1{1-3x^2}\end{array}


Convergencia puntual de una sucesión de funciones

En las sucesiones numéricas ya se ha visto el concepto de convergencia: informalmente hablando, es un número x al que progresivamente se va acercando la sucesión, sin alcanzarlo nunca. Extendiendo el concepto a sucesiones de funciones, el límite también ha de ser una función a la que la sucesión de funciones se va acercando, pero, ¿que entendemos por "acercarse a una función"? Con números reales x, y sabemos que si la diferencia \left|x-y\right| es pequeña, entonces los números  x, y  estan cerca. ¿Cómo lo hacemos con funciones? Bueno, hay varias formas de hacerlo.

Definición 1: Convergencia puntual de una sucesión de funciones.

Sean las funciones f_n\left(x\right) con dominio D. Si existe una función f(x) tal que se cumpla, para todo x\in D:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=f\left(x\right)

diremos que f(x) es la función límite de la sucesión f_n\left(x\right) y que esta sucesión converge puntualmente a f(x).

Ejemplo 2: La sucesión f_n(x)=\frac1{1+nx^2} tiende a la función

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\;\text{si }x\neq0\\1\;\text{si }x=0\end{array}\right.

en efecto:

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{1+nx^2}=\left\{\begin{array}{l}\frac1{1+\infty\cdot x^2}=\frac1{\infty}=0\;\text{si }x\neq0\\\frac1{1+n\cdot0}=\frac11=1\;\text{si }x=0\end{array}\right.

Gráficamente, representamos los términos 1, 2, 3, 50 y 1000 de la sucesión :

fn(x) = 1/(1+nx²)
fn(x) = 1/(1+nx²)

Vemos que,  a medida que avanzamos en la sucesión, la gráfica de f_n(x) se va estrechando; en el límite vale cero en todo punto excepto en x=0, donde vale 1.

En este ejemplo vemos que, aun siendo todas las funciones de la sucesión f_n(x) funciones continuas, la función límite f(x) no lo es. Por tanto, la definición que hemos dado de convergencia de series de funciones no conserva la continuidad. En el siguiente apartado encontramos la segunda definición de convergencia que conservará la continuidad.


 

Convergencia uniforme de una sucesión de funciones

Para ver el motivo de por qué la convergencia puntual no conserva la continuidad, y como puede solucionarse, veamos un ejemplo. Sea la sucesión funcional definida por f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}. En la imagen hemos representado los términos n=1, 2, 3, 100, así como las rectas y=0.3, e y=-0.3.

fn(x) = |x| / (1 + nx²)
fn(x) = |x| / (1 + nx²). Los términos a partir del tercero  estan dentro de la franja -0,3 < y < 0,3.

La función límite es:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}=\left\{\begin{array}{l}0\;\text{si }x=0\\\frac{\left|x\right|}{1+\infty}\rightarrow0\;\text{si }x\neq0\end{array}\right.

Luego f(x)=0. En la imagen observamos que, a partir de cierto término (el tercero, f_3(x)) todas las funciones quedan dentro de la franja delimitada por las rectas y=0,3, e y=-0,3, o sea que la distancia entre la gráfica de f(x) y de f_n(x) es menor que d=0,3.  Dicho de otro modo,  toda la gráfica de cada función f_n(x) se acerca uniformemente a la función límite f(x)=0. Cuando sucede esto, queda asegurada la continuidad de la función límite, como en este caso sucede. Tenemos pues una nueva definición de convergencia:

Definición 2: Convergencia uniforme de una sucesión de funciones.

f_n(x) tiende uniformemente a f(x) si converge puntualmente a f(x) y además, dada una distancia d cualquiera, la separación entre la función límite y todas las funciones de la sucesión a partir de una de ellas es menor que d.

Ejemplo 3:  la sucesión funcional f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2} converge puntualmente a f(x)=0. ¿Convergerá uniformemente? Sea un número d>0 cualquiera; queremos que

\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\left|\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}-0\right|=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}<d\Leftrightarrow\frac x{1+nx^2}<d

siempre que n>n_0. Operando:

\frac x{1+nx^2}<d\Leftrightarrow-ndx^2+x-d>0\Leftrightarrow n>\frac{x-d}{dx^2}.

Para asegurar que se cumpla la última desigualdad para todo x, buscamos el valor máximo del término de la derecha; lo consideramos una función de x, derivamos respecto x e igualamos a cero:

D_x\left(\frac{x-d}{dx^2}\right)=\frac{1\left(dx^2\right)-\left(x-d\right)\cdot2dx}{\left(dx^2\right)^2}=0\Leftrightarrow-dx^2+2d^2x=0\Leftrightarrow x=2d.

Para ver que es un máximo y no un mínimo basta con observar que la expresión \frac{x-d}{dx^2} tiende al valor cero para x\rightarrow\infty, mientras que si sustituimos el valor x=2d obtenemos el valor \frac{2d-d}{d\cdot4d^2}=\frac d{4d^3}=\frac1{4d^2}>0..

Así pues, dado un valor d>0 cualquiera (de hecho, se supone que damos valores "pequeños" a d) hemos encontrado que, tomando los términos n>n_0 con n_0=\frac1{4d^2}, todos ellos cumpliran la condición \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<d. Por ejemplo, sea d=0,3 (recordar que en la imagen anterior hemos trazado la región -0,3 < y <0,3); entonces n_0=\frac1{4d^2}=\frac1{4\cdot0,3^2}=2,7.\;. Cogiendo n\geq3 todos los términos iguales o posteriores al tercero entrarán dentro de la franja -0,3 < y <0,3, tal como se observa en la figura anterior. Por tanto concluimos que esta sucesión de funciones converge uniformemente a f(x)=0.


Procedimiento práctico para estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de sucesiones de funciones

1. Dada una sucesión de funciones f_n(x), primero estudiamos el límite \lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right) para ver si es puntualmente convergente. Hay que tener en cuenta al hacer el límite que la variable x puede tomar cualquier valor en el dominio de la función. Si no es puntualmente convergente hemos terminado, pues ya no puede ser uniformemente convergente.

2. Si las funciones f_n(x) son continuas pero la función límite es discontinua, también hemos terminado, pues no puede ser uniformemente convergente, dado que uniformemente convergente \Rightarrow se conserva la continuidad en la función límite.

3. Si tenemos convergencia puntual a la función f(x) y queremos comprobar la convergencia uniforme, podemos aplicar la definición 2, demostrando que para todo d>0 siempre existe un n_0 tal que, para todo n>n_0 se cumple la desigualdad \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<d. Esto puede ser inmediato, o no. En los casos que no sea fácil, podemos intentar aplicar un criterio equivalente:

Criterio de convergencia uniforme de una sucesión f_n(x)

f_n(x) converge uniformemente al límite puntual f(x) siempre que se cumpla:

\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\text{=0}.

Ejemplo 4: La sucesión f_n(x)=\frac1{1+nx^2} de los ejemplos 1 y 2 no converge uniformemente a su límite puntual f(x)=0 para x\neq0,  f(x)=1 para x=0, pues todas las funciones \frac1{1+nx^2} son continuas en todo su dominio, pero la función límite es discontinua.

Ejemplo 5: apliquemos el criterio de convergencia uniforme a la sucesión del ejemplo 3. Primero calculamos el valor {\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|:

{\text{Sup}}_x\left|\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}-0\right|={\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{.}

Derivamos la expresión para obtener el valor máximo:

D_x\left(\frac x{1+nx^2}\right)=\frac{1\left(1+nx^2\right)-x\left(2nx\right)}{\left(1+nx^2\right)^2}=0\Rightarrow1-nx^2=0\Rightarrow x=\frac1{\sqrt n}.

Hemos ignorado el valor absoluto pues la expresión h(x)=\frac x{1+nx^2} es impar: h(-x)=-h(x), entonces un máximo digamos en un punto x_0 implica un mínimo en -x_0 y viceversa.

Tenemos que {\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{=}\frac1{\sqrt n} (observamos que no puede ser un mínimo pues para x=0 la expresión vale 0). Pasamos ahora al límite:

\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{=}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt n}\text{=0.}

Efectivamente se cumple la condición dada por el criterio, luego la sucesión converge uniformemente.

Ejemplo 6: Estudiar la convergencia de la sucesión f_n\left(x\right)=\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}.

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}=0, ya que el valor del numerador oscila entre -1 y 1 mientras que el denominador tiende a \infty. Luego la función límite es f(x)=0.

{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|={\text{Sup}}_x\left|\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}\right|=\frac1{\sqrt n}, por la misma razón:  el valor del numerador oscila entre -1 y 1. Pasamos al límite: \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt n}=0, luego la sucesión converge uniformemente. En la imagen siguiente vemos los términos 1, 5 y 100 de la serie (éste último en rojo). La amplitud de las oscilaciones tiende a 0.

sin(nx) / n^(1/2)
sin(nx) / n^(1/2)

Ejemplo 7: Estudiar la convergencia de la sucesión f_n\left(x\right)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}.

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=\left\{\begin{array}{c}0\;\text{si }x=0\\\frac12\;\text{si }x=1\\1\;\text{si }\left|x\right|>1\end{array}\right.\\\end{array}

La función límite es discontinua, pero las funciones de la sucesión son todas continuas, por tanto no puede ser uniformemente convergente. En la figura siguiente vemos los términos 1, 2, 3 y 10, éste último en rojo. Todas las funciones de la sucesión pasan por el punto (x,y)=(1, 0.5). En el límite, este punto pasa a ser un punto aislado de la gráfica, resultando una función límite discontínua.

(x^2n)/(1+x^2n)
(x^2n)/(1+x^2n)

Ejemplo 8: Estudiar la convergencia de la sucesión \begin{array}{l}f_n\left(x\right)=x\left(1+\frac1n\right)\\\end{array}.

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}x\left(1+\frac1n\right)=x\\\end{array}, luego la función límite es f(x)=x. Todas las funciones de la sucesión, y también la función límite, son continuas, por lo que no podemos decir nada de la convergencia uniforme, debemos comprobarla.

\begin{array}{l}{\text{Sup}}_x\left|x\left(1+\frac1n\right)-x\right|={\text{Sup}}_\mathrm x\left|\frac{\mathrm x}{\mathrm n}\right|\\\end{array}. Esta expresión no está acotada, no existe el supremo. No obstante, si nos restringimos a cualquier intervalo (a, b) de la recta real, entonces:

\begin{array}{l}{\text{Sup}}_\mathrm x\left|\frac{\mathrm x}{\mathrm n}\right|=\frac{\mathrm b}{\mathrm n}\;\text{si }\mathrm x\in\left(\mathrm a,\mathrm b\right)\\\end{array}

Pasando al límite:

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\mathrm b}{\mathrm n}=0\;\text{si }\mathrm x\in\left(\mathrm a,\mathrm b\right)\\\end{array}.

Por tanto la función es uniformemente convergente en cualquier intervalo (a, b) pero no lo es en todo el dominio \mathbb{R}.

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Bibliografía

 

Análisis Matemático: un buen libro de teoría de nivel más bien elevado; el capítulo 9 se dedica a las series funcionales

Problemas de límites y continuidad en el plano real

1. Ver si la función f(x,y) es continua en (0,0), donde

f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{x^2-y^2}\;\;\text{si }x^2-y^2\neq0\\0\;\;\text{si }\;x^2-y^2=0\end{array}\right.

Solución:

Para ser continua en (0,0) debe cumplirse que \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f(x,y)=f(0,0). Según la definición de la función, en (0, 0) se cumple la condición x^2-y^2=0, luego f(0,0)=0. Para calcular el límite debemos usar la otra expresión de la función válida en x^2-y^2\neq0: \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{x^3}{x^2-y^2}=?. Para calcular este límite, usamos el siguiente teorema:

Teorema: criterio de convergencia para funciones de dos variables reales

Una condición necesaria y suficiente para que \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(a,b\right)}f(x,y)=L es que, al hacer el cambio de variables de cartesianas a polares:

x=\rho\cos\left(\theta\right),\;y=\rho\sin\left(\theta\right), 0\leq\theta<2\pi,

con lo que la función f(x,y) se transforma en f\left(\rho,\theta\right), se cumpla lo siguiente:

Para cada valor \varepsilon>0 , por pequeño que sea, existe un \delta>0, tal que si 0<\rho<\delta entonces se verifica que \left|f\left(\rho,\theta\right)-L\right|<\varepsilon, independientemente del valor que tome \theta

 Hacemos el cambio de variables de cartesianas a polares:

f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{x^2-y^2}\;\;\text{ si }x^2-y^2\neq0\Rightarrow\frac{\rho^3\cos^3\left(\theta\right)}{\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)}\;\text{ si }\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)\neq0\\0\;\;\text{si}\;x^2-y^2=0\Rightarrow0\;\;\text{si }\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)=0\end{array}\right.

 En nuestro caso actual, queremos ver si L=0 para \left(x,y\right)=\left(0,0\right). Deberá cumplirse que

\left|\frac{\rho^3\cos^3\left(\theta\right)}{\rho^2\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)}-0\right|<\varepsilon

\Leftrightarrow\rho\left|\frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}\right|<\varepsilon

La \rho ha salido fuera del valor absoluto porque \rho>0.  Esta desigualdad ha de cumplirse para valores todo lo pequeños que queramos, independientemente de \theta, siempre que 0<\rho<\delta. Para ello será necesario que la expresión \frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)} sea acotada, y lo será siempre que el denominador no se anule. ¿Cuándo se anulará el denominador?

\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)=0\Leftrightarrow\theta=\frac{\mathrm\pi}4,\frac{\mathrm\pi}4+\frac{\mathrm\pi}2,\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm\pi

Entonces, sea cual sea el valor que damos a \rho, cuando nos acercamos a alguno de esos valores de \theta:

\lim_{\theta\rightarrow\frac{\mathrm\pi}4}\frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}=\frac{1/\sqrt2}{1/2-1/2}=\infty

O sea que no se cumple la condición necesaria y suficiente para todo \theta, por tanto la función no es contínua en \left(0,0\right).

Para que quede más claro, veamos un ejemplo: fijamos \varepsilon=0.01, y queremos conseguir que

\rho\left|\frac{\cos^3\left(\theta\right)}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}\right|<0.01,

y lo queremos para cualquier 0\leq\theta<2\pi. Entonces:

0<\rho<0.01\left|\frac{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}{\cos^3\left(\theta\right)}\right|,

pero cuando \theta=\frac{\mathrm\pi}4,\frac{\mathrm\pi}4+\frac{\mathrm\pi}2,\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm\pi, resulta que \left|\frac{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}{\cos^3\left(\theta\right)}\right|=0, y no existe ningún 0<\rho que verifique la condición. \square


2. Calcular \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\sin\left(x\right)}{x^2+1}

Solución:

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\sin\left(x\right)}{x^2+1}=\frac\infty\infty=?; separemos el límite en dos componentes: la fracción racional y la función trigonométrica:

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\sin\left(x\right)}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{x^2+1}\cdot\lim_{x\rightarrow\infty}\sin\left(x\right)=L_1\cdot L_2.

El primer límite es:

L_1=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x/x^2}{\left(x^2+1\right)/x^2}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1/x}{1+1/x^2}=\frac0{1+0}=0.

El segundo límite no existe, pues la función \sin(x) es oscilante; ahora bien, el producto de los límites sí existe, pues L_1=0 y L_2 está acotado entre los valores \left[-1,1\right], por tanto el producto L_1·L_2 es igual a 0\square


3. Calcular \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right).

Solución:

Es indeterminado: \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right)=\infty-\infty=?. Podemos convertirlo al tipo fracción racional para deshacer la indeterminación:

\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-x\right)\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}+x\right)}{\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}+x\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\left(x+1\right)-x^2}{\sqrt{x\left(x+1\right)}+x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{\sqrt{x\left(x+1\right)}+x}=\frac\infty\infty,

que sigue siendo indeterminado.  Dividimos numerador y denominador por x elevado al mayor exponente de ambos:

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{\sqrt{x\left(x+1\right)}+x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x/x}{\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}+x\right)/x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\left(\sqrt{\displaystyle\frac{x\left(x+1\right)}{x^2}}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\left(\sqrt{1+\displaystyle\frac1x}+1\right)}=\frac12. \square


4. Calcular \lim_{x\rightarrow0}e^\frac{\left|x\right|}x.

Solución:

La expresión del exponente vale:

\frac{\left|x\right|}x=\left\{\begin{array}{l}1\;\text{ si }x>0\\-1\;\text{ si }x<0\end{array}\right.,

para x=0 la expresión no está definida, y es precisamente en este punto que nos piden el límite. Por tanto debemos calcular los límites laterales, y comprobar si coinciden.

\lim_{x\rightarrow0^-}e^\frac{\left|x\right|}x=e^{-1}=\frac1e

\lim_{x\rightarrow0+}e^\frac{\left|x\right|}x=e^1=e.

Vemos que no coinciden, luego el límite en x=0 no existe. \square


5.  Calcular L=\lim_{x\rightarrow\infty}x^{2/3}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]x\right).

Solución:

Es un límite indeterminado debido al signo menos entre las dos raíces cúbicas: \lim_{x\rightarrow\infty}x^{2/3}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]x\right)=\infty\cdot\left(\infty-\infty\right)=?. Cuando tenemos un límite indeterminado que contiene raíces cuadradas tal como \left(\sqrt a-\sqrt b\right) lo que hacemos es usar la igualdad \left(\sqrt a+\sqrt b\right)\left(\sqrt a-\sqrt b\right)=a-b para transformar la expresión original en una expresión racional que no tiene diferencias  entre raíces:

\left(\sqrt a-\sqrt b\right)=\frac{\left(\sqrt a-\sqrt b\right)\left(\sqrt a+\sqrt b\right)}{\left(\sqrt a+\sqrt b\right)}=\frac{a-b}{\left(\sqrt a+\sqrt b\right)}.

Ahora nos interesa hacer lo mismo, pero con raíces cúbicas, usando alguna expresión combinando a^3 y b^3 para dar a^3-b^3. Esta expresión es:

\left(a-b\right)\left(\left(a+b\right)\left(a+b\right)\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)=a^3+ab^2+a^2b-ba^2-b^3-ab^2=a^3-b^3.

Identificando a=x^\frac23\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x^2\left(x+1\right)};\;b=x^\frac23\sqrt[3]x=\sqrt[3]{x^3}=x y usando la expresión

\left(a-b\right)=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}{a^2+b^2+ab}=\frac{a^3-b^3}{a^2+b^2+ab}

obtenemos:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2\left(x+1\right)-x^3}{\left(x^2\left(x+1\right)\right)^{2/3}+x^2+\sqrt[3]{x^5\left(x+1\right)}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\left(x^3+x^2\right)^{2/3}+x^2+\left(x^6+x^5\right)^{1/3}},

 un límite en el infinito de una expresión racional (polinomios en el numerador y en el denominador), podemos aplicar la regla que dice: fíjate sólo en los términos de mayor grado del numerador y del denominador, ignorando los de grado inferior:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\left(x^3+x^2\right)^{2/3}+x^2+\left(x^6+x^5\right)^{1/3}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\left(x^3\right)^{2/3}+x^2+\left(x^6\right)^{1/3}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{x^2+x^2+x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{3x^2}=\frac13.

Formalmente, llegamos al mismo resultado dividiendo numerador y denominador por el término de mayor grado:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}{\displaystyle\frac{\left(x^3+x^2\right)^\frac23+x^2+\left(x^6+x^5\right)^{\displaystyle\frac13}}{x^2}}

Simplificando, y luego haciendo el paso al límite:

L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\left({\displaystyle\frac{x^3+x^2}{x^3}}\right)^{\displaystyle\frac23}+1+\left({\displaystyle\frac{x^6+x^5}{x^6}}\right)^{\displaystyle\frac13}}=\frac1{\left(1+0\right)^\frac23+1+\left(1+0\right)^\frac13}=\frac13.\square


6. Calcular L=\lim_{x\rightarrow2}\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8}.

Solución:

L=\lim_{x\rightarrow2}\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8}=\frac10-\frac10=\infty-\infty=?. Fijémonos en que es un límite en un punto, no en el infinito, así pues, debemos deshacer la indeterminación de otro modo. El hecho de que los dos denominadores valgan cero en el punto x=2 significa que este punto es una raíz de esos polinomios, y por tanto podemos descomponerlos en producto de binomios para simplificar la expresión:

x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right);\;x^3-2x^2-4x+8=\left(x-2\right)\cdot P(x)

Obtenemos el polinomio P(x) como el resto de la división de x^3-2x^2-4x+8 entre x-2, usando la regla de Ruffini:

\begin{array}{l}2\;\left|+1\;-2\;-4\;+8\right.\\\;\;\;\;\underline{\;\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;0\;\;-8}\\\;\;\;\;\;+1+0\;-4\;\;\;\left|\underline0\right.\end{array}.

Tenemos que P(x)=x^2-4, por tanto:

\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8}=\frac1{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac3{\left(x^2-4\right)\left(x-2\right)}=\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)

Pasando al límite:

\lim_2\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)=\frac10\left(\frac14-\frac30\right)=\infty\cdot\left(-\infty\right)=-\infty

Siempre que tengamos un límite infinito en un punto debemos calcular los límites laterales, pues es posible que tengamos un cambio de signo:

\lim_{2^-}\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)=\frac1{0^-}\left(\frac1{4^-}-\frac3{0^-}\right)=-\infty\cdot\left(+\infty\right)=-\infty

\lim_{2^+}\frac1{x-2}\left(\frac1{x+2}-\frac3{x^2-4}\right)=\frac1{0^+}\left(\frac1{4^+}-\frac3{0^+}\right)=+\infty\cdot\left(-\infty\right)=-\infty

En este caso coinciden, la función f(x)=\frac1{x^2-4}-\frac3{x^3-2x^2-4x+8} tiene una asíntota vertical en x=2:

problema4-tema4-apunts
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7. Estudiar la continuidad y la existencia de derivadas parciales de la función

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x\cos\left(\frac1{x^2+y^2}\right),\;\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\0,\;\;\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{array}\right.

En \left(x,y\right)\neq\left(0,0\right) la función es claramente continua, por serlo la función cos(x) así como el cociente \frac1{x^2+y^2}. El punto dudoso es pues el (0,0). En él debemos aplicar la definición de continuidad:

La función f(x) es continua en el punto x_0 si y solo si se cumple la condición:

\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)

Lo aplicamos pues:

\begin{array}{l}\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}x\cos\left(\frac1{x^2+y^2}\right)=\lim_{r\rightarrow0}r\cos\left(\theta\right)\cos\left(\frac1{r^2\cos^2\left(\theta\right)+r^2\sin^2\left(\theta\right)}\right)=\\\lim_{r\rightarrow0}r\cos\left(\theta\right)\cos\left(\frac1{r^2}\frac1{\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)}\right).\end{array}

Sabiendo que la función cos está acotada, podemos tomar el valor absoluto de este límite y acotarlo:

\underset{r\rightarrow0}{\lim\;}\left|r\cos\left(\theta\right)\cos\left(\frac1{r^2}\right)\right|\leq\underset{r\rightarrow0}{\lim\;}\left|r\cos\left(\theta\right)\right|\leq\underset{r\rightarrow0}{\lim\;}\left|r\right|=0.

Por tanto \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}f\left(x,y\right)=0=f\left(0,0\right) y la función es continua en todo el dominio.

Para ver la existencia de derivadas parciales, vemos que si \left(x,y\right)\neq\left(0,0\right) la función tiene las siguientes derivadas parciales:

\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\left(\frac1{x^2+y^2}\right)-x\sin\left(\frac1{x^2+y^2}\right)\cdot\frac{-2x}{\left(x^2+y^2\right)^2},\\\frac{\partial f}{\partial y}=-x\sin\left(\frac1{x^2+y^2}\right)\cdot\frac{-2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}.\end{array}

En el punto \left(x,y\right)=\left(0,0\right) no podemos derivar con las reglas usuales pues tenemos la bifurcación de la definición de la función, hay que usar la definición de derivada parcial:

\begin{array}{l}\frac{\partial f\left(0,0\right)}{\partial x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h,0\right)-f\left(0,0\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{h\cos\left({\displaystyle\frac1{h^2}}\right)-0}h=\lim_{h\rightarrow0}\cos\left(\frac1{h^2}\right).\end{array}

Pero este límite no existe, pues el cos oscila entre [-1,1] indefinidamente, luego no existe la derivada parcial respecto a x en el punto (0,0). Para la otra derivada parcial:

\begin{array}{l}\frac{\partial f\left(0,0\right)}{\partial y}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0,0+h\right)-f\left(0,0\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{0\cdot\cos\left({\displaystyle\frac1{h^2}}\right)-0}h=0.\end{array}

Luego sí existe  la derivada parcial respecto a y en el punto (0,0), y por tanto en todos los puntos. Tenemos pues que esta función es contínua en todos los puntos, también tiene derivada parcial respecto a y, pero en el punto (0,0) no tiene derivada parcial respecto a x.


8. Calcular el límite de la función vectorial de variable vectorial \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(x\sin\left(x+y\right),\left(1+x\right)^x\right).

Se trata de una función f(x,y) que asigna a cada vector (x,y) del plano otro vector del plano, de forma que podemos ver este segundo vector imágen del primero como el resultado de aplicar dos funciones vectoriales de variable real, que juntas componen la función original:

f\left(x,y\right)=\left(x\sin\left(x+y\right),\left(1+x\right)^x\right)=\left(f_1\left(x,y\right),f_2\left(x,y\right)\right).

Calculamos el límite por separado para cada función componente, pasando a coordenadas polares x=r\cos\left(\theta\right), y=r\sin\left(\theta\right):

\begin{array}{l}\lim_{r\rightarrow0}f_1\left(x,y\right)=r\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\cos\left(\theta\right)+r\sin\left(\theta\right)\right)=\\\lim_{r\rightarrow0}r\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(r\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)=\\0\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(0\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right)\right)=0\cdot0\;=\;0\end{array}

ya que la función coseno está acotada, y al multiplicarla por cero resulta cero, y la expresión \left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\right) también está acotada, al multiplicarla por cero da cero, y la función seno en cero también vale cero. Para la segunda función componente:

\begin{array}{l}f_2\left(x,y\right)=\left(1+x\right)^\frac1x\Rightarrow f_2\left(r,\theta\right)=\left(1+r\cos\left(\theta\right)\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}\Rightarrow\\\underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{\lim\;}f_2\left(x,y\right)\;=\lim_{r\rightarrow0\;}\left(1+r\cos\left(\theta\right)\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}=\left(1+0\right)^\frac10=1^\infty=?\end{array}

tenemos una indeterminación del tipo:

\lim_{x\rightarrow x_0}\left(1+\frac1{f\left(x\right)}\right)^{f\left(x\right)}=e.

Operando:

\lim_{r\rightarrow0\;}\left(1+r\cos\left(\theta\right)\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}=\lim_{r\rightarrow0\;}\left(1+\frac1{\left({\displaystyle\frac1{r\cos\left(\theta\right)}}\right)}\right)^\frac1{r\cos\left(\theta\right)}=e.

En conclusión, \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(x\sin\left(x+y\right),\left(1+x\right)^x\right)=\left(0,e\right).


Límites de funciones reales de variable real

Introducción

limit_funció_1
El límite de f(x) en x=a es L si y=f(x) se acerca al valor L a medida que x se acerca al valor a

Intuitivamente, decimos que el límite de la función f(x) en el punto x=a es L, y escribimos \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L, si se cumple que, cuanto más nos acercamos al punto x=a, más se acerca el valor correspondiente de la función a L.

Más formalmente (o sea, con más exactitud), definimos:

Definición 1: límite de una función f(x)  en un punto x=a

Sea la función f(x) con dominio A. Decimos que \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L si y sólo si para cada entorno del punto L con radio R, B(L, R), existe otro entorno del punto a  con radio rB(a, r), tal que los valores f(x) de la función pertenecen al entorno B(L, R) para todo x\in B^\ast(a,r)\bigcap A. La notación B^\ast(a,r) indica un entorno reducido de a, que es igual al entorno  al cual se le ha "extraído" el propio punto a: B^\ast(a,r)=B(a,r)-\left\{a\right\}.

En particular, tanto el punto a como el límite L pueden tomar valores infinitos \infty.

Nota: El uso del entorno reducido B^\ast(a,r)  es equivalente a decir que el punto a pertenenece al conjunto de puntos de acumulación del dominio A de la función: a\in Acum\left(A\right).  Dicho con menos tecnicismo: en cualquier entorno del punto a han de haber puntos del dominio de la función, excluido el propio a.

Las definiciones matemáticas, exactas, sin ambigüedades,  suelen sin embargo ser "oscuras" para los no "iniciados", por ello vamos a ver algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Limite finito en un punto. 

limit_funció_2

 

La función f(x)=x^2 tiene dominio A=\mathbb{R}. El límite de f(x) en x=\frac12 es L=\frac14. Entonces, dado un R>0, por ejemplo R=0.001 (se suelen tomar valores "pequeños" de R, para comprobar que podemos acercarnos al límite L todo lo que queramos), existirá un r>0, por ejemplo tomemos r=0.0001, tal que para cualquier punto x dentro del entorno B(\frac12, 0.0001), la imágen y=f(x) estará dentro del entorno  B(\frac14, 0.001). En efecto,

x\in B(\frac12,0.0001)\Leftrightarrow\frac12-0.0001\leq x\leq\frac12+0.0001\Leftrightarrow0.4999\leq x\leq0.5001

Elevando al cuadrado:

0.24990001\leq x^2\leq0.25001\Leftrightarrow0.249\;\leq x^2\leq0.251\Leftrightarrow\frac12-0.001\leq f(x)\leq\frac12+0.001,

por tanto se cumple la condición. Lo hemos probado para un valor concreto de R, y hemos encontrado el valor correspondiente r por tanteo. Para hacerlo bien, habría que demostrar que podemos encontrar un r para cualquier R dado. En los ejercicios resueltos lo veremos.

Ejemplo 2. Límite infinito en un punto. Límite en el infinito.

limit_funció_3

El dominio de la función Ln(x) es \mathbb{R}^+-\left\{0\right\}, o, equivalentemente, \left\{x\left|0<x<+\infty\right.\right\}.

En el caso \lim_{x\rightarrow0}Ln(x)=-\infty tenemos que el límite L en un punto tiene un valor infinito. ¿Cómo afecta entonces la definición que hemos dado usando entornos? Siendo L=-\infty el entorno B(L, R)  se convierte en B(-\infty, R) que equivale al valor -\infty, ya que para cualquier R los entornos de -\infty estan en el -\infty. Por tanto la definición de límite es ahora: dado cualquier valor -\infty<L<0, existirá un r>0 tal que, si x\in B^\ast(0,r)\bigcap A, entonces f(x)>L. Observemos que x\in B^\ast(0,r)\bigcap A\Leftrightarrow0<x<r.

El otro caso interesante es \lim_{x\rightarrow\infty}Ln(x)=+\infty, no es un límite en un punto x=a sino en el infinito. La definición con entornos también ha de ajustarse en este caso. Intuitivamente, \lim_{x\rightarrow\infty}Ln(x)=+\infty indica que cuando  los valores de x se hacen arbitrariamente grandes, los valores de la función  también lo hacen.

Ejemplo 3. Límite finito en el infinito.

limit_funció_4

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1x=0, el límite en el infinito és un valor finito, en este caso cero.

Proposición 1, unicidad del límite:

Si existe el límite L=\lim_{x\rightarrow a}f(x) entonces L es el único limite de la función f(x) en el punto x=a.

Límites laterales

Consideremos la función y=f(x)=tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}, y fijémonos en una parte de su gráfica, entre los puntos x=0 y x=\mathrm\pi

limit_funció_5

¿Que vale el límite \lim_{\mathrm x\rightarrow\mathrm\pi/2}\mathrm f(\mathrm x)? Cerca del punto x=\mathrm\pi/2 \approx 1.57 el valor de f(x) se hace infinito, pero con distinto signo dependiendo si nos acercamos por la izquierda, +\infty en este caso, o por la derecha, -\infty. De hecho, el punto x=\mathrm\pi/2 no es del dominio de la función, pero ya sabemos que esto no es un problema para el cálculo de límites, basta con que sea un punto de acumulación del dominio.

Entonces en este caso no está bien definido el \lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}2}\tan\left(x\right), en cambio sí lo tenemos definido si lo calculamos o bien por la derecha o bien por la izquierda. Por tanto, tiene sentido definir los límites laterales:

Definición 2límite lateral por la izquierda de una función f(x)  en un punto x=a

Si el punto a pertenece al conjunto de puntos de acumulación del dominio A del la función f(x), definimos el conjunto A^-=\left(-\infty,a\right)\cap A, y el límite lateral por la izquierda en a es

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow a^{-\;\;}}f(x)=\lim_\overset{x\rightarrow a}{x\in A^-}f(x)\\\end{array}

Definición 3límite lateral por la derecha de una función f(x)  en un punto x=a

Si el punto a pertenece al conjunto de puntos de acumulación del dominio A de la función f(x), definimos el conjunto A^+=\left(a,+\infty\right)\cap A y el límite lateral por la derecha en a es

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow a^{+\;\;}}f(x)=\lim_\overset{x\rightarrow a}{x\in A^+}f(x)\end{array}

 Proposición 2, límites laterales y convergéncia:

El \lim_{x\rightarrow a}f(x) existe si y solo si existen los  límites laterales y además coinciden entre sí:  \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{}}f(x)

Ejemplo 4: no coincidencia de límites laterales en la función tg(x)

\lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}2^+}tg(x)=-\infty,\lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}2^-}tg(x)=+\infty. Por tanto el \lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}2^{}}tg(x) no existe, la función tg(x) no es convergente en el punto x=\frac{\mathrm\pi}2

Ejemplo 5: no coincidencia de límites laterales en la función parte entera.

La función parte entera se define así:

f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\;\text{si }x\in\mathbb{Z}\\max\;\left\{k\in\mathbb{Z}\left|k\leq x\right.\right\}\end{array}\right.

Por ejemplo, f(1) =1 , f(1.5) = 1, pues 1 es el mayor entero menor o igual a 1.5 .

part_entera

Si estudiamos los límites laterales en, por ejemplo, x=1:

\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=0,\;\lim_{x\rightarrow1+}f(x)=1

Por tanto no existe el \lim_{x\rightarrow1}f(x)=0. En cambio, en el punto x=1.5 si coinciden los límites laterales: \lim_{x\rightarrow1.5^-}f(x)=1,\;\lim_{x\rightarrow1.5+}f(x)=1, luego \lim_{x\rightarrow1.5}f(x)=1.

Ejemplo 6: una función no convergente en ningún punto.

Sea la función de Dirichlet:

 f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\;\text{si }x\in\mathbb{Q}\\0\;\text{si }x\not\in\mathbb{Q}\end{array}\right.

Entonces para cualquier punto a\in\mathbb{R} no existen los límites laterales en ese punto, y por tanto la función no tiene límite en ningún punto.  Esto es debido a las propiedades de los números reales: entre dos números racionales cualquiera, hay infinitos números reales e infinitos números racionales, y al acercarnos lateralmente la función va tomando valores distintos, sin converger a ningún valor particular.

 

Propiedades de los límites de funciones

Propiedades de orden

Si f:A\rightarrow\mathbb{R}  tiene límite L en x=a, y g:A\rightarrow\mathbb{R}  tiene límite M en x=a, y además se cumple que f(x)\leqg(x), entonces L\leqM.

Si f,g,h:A\rightarrow\mathbb{R} , f(x)\leqg(x)\leqh(x) y además \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L, entonces \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L.

Propiedades aritmèticas

\lim_{x\rightarrow a}\left(f\pm g\right)(x)=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\pm\lim_{x\rightarrow a}g(x)

\lim_{x\rightarrow a}\left(f\cdot g\right)(x)=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrow a}g(x)

\lim_{x\rightarrow a}\left(f/g\right)(x)=\lim_{x\rightarrow a}f(x)/\lim_{x\rightarrow a}g(x) siempre que \lim_{x\rightarrow a}g(x)\neq0.

Límite de un polinomio

Si f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0, entonces \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).

Ejemplo 7

\lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}2}x^2\sin\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}2}x^2\cdot\lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}2}\sin\left(x\right)=\frac{\mathrm\pi^2}4\cdot1=\frac{\mathrm\pi^2}4  por la propiedad de la suma de límites.

Límites de funciones racionales

Una función racional f(x) es la que tiene como expresión un cociente de polinomios \frac{g(x)}{h(x)}. En general hemos visto que \lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}{\underset{x\rightarrow a}{\lim\;h(x)}}, excepto si \underset{x\rightarrow a}{\lim\;h(x)}=0. Vamos a estudiar este caso.

Caso particular f(x)=\frac1{\left(x-a\right)^n} 

Comencemos por la función racional f(x)=\frac1{\left(x-a\right)^n} estudiando el límite \lim_{x\rightarrow a}f(x). Supongamos que n es un entero par. En este caso, el denominador \left(x-a\right)^n será mayor que cero para todo x. En la siguiente figura vemos representada la función para n=2 y a=1.

racional1
f(x) = 1/(x-1)²

Vemos que los límites laterales en x=a son ambos coincidentes y valen +\infty.  En el caso de que n sea impar, el signo de \left(x-a\right)^n  será positivo para x>a y negativo para  x<a. En la siguiente figura vemos el caso f(x)=\frac1{x-1}.

racional3
f(x) = 1/(x-1)

Ahora los límites laterales en x=1 no coinciden, así que no tenemos ĺimite en ese punto.

Concluimos pues:

  • Si n es par, \lim_{x\rightarrow a}\frac1{\left(x-a\right)^n}=+\infty
  • Si n es impar, no existe el límite \lim_{x\rightarrow a}\frac1{\left(x-a\right)^n}

Caso general

Estudiamos ahora L=\lim_{x\rightarrow a}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_mx^{m-1}+\dots+b_1x+b_0}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)}{h(x)}.  Observemos que el numerador es un polinomio de grado n y el denominador otro polinomio de grado m.

1) Si h(a)\neq0 entonces simplemente L=f(a).

2) Si h(a)=0, pero g(a)\neq0, significa que x=a es una raíz (o un "cero") del polinomio h(x) con multiplicidad p, lo cual significa que se cumple la siguiente igualdad:

h(x)=\left(x-a\right)^p\cdot h_r(x)

donde p es un entero menor o igual al grado m del polinomio, y h_r(x) es otro polinomio de grado m-p que cumple h_r(a)\neq0. En notación de división de polinomios:

\begin{array}{l}h(x)\;\left|\underline{\left(x-a\right)}^p\right.\\\underline0\;\;\;\;\;\;\;h_r(x)\end{array}

Entonces:

L=\underset{x\rightarrow a}{\lim\;\;}\frac{g(x)}{h(x)}=\underset{x\rightarrow a}{\lim\;\;}\frac{g(x)}{\left(x-a\right)^p\cdot h_r(x)}=\underset{x\rightarrow a}{\lim\;\;}\frac1{\left(x-a\right)^p}\cdot\underset{x\rightarrow a}{\lim\;\;}\frac{g(x)}{h_r(x)}

Pero del caso particular que hemos estudiado sabemos que

\underset{x\rightarrow a}{\lim\;\;}\frac1{\left(x-a\right)^p}=\left\{\begin{array}{l}+\infty\text{ si }p\;\text{es par}\\\text{no existe si }p\;\text{es impar}\;\end{array}\right.

Por tanto

L=\left\{\begin{array}{l}+\infty\text{ si }p\;\text{es par}\\\text{no existe si }p\;\text{es impar}\;\end{array}\right.

3) Si g(a)\eq0 pero h(a)\neq0 entonces L\eq0.

4) El último caso posible es g(a)\eq0 y simultáneamente h(a)\eq0, con lo que tenemos un límite indeterminado del tipo \frac00. Sabemos que x\eqa es una raíz tanto del numerador como del denominador:

\left.\begin{array}{r}g(x)=\left(x-a\right)^pg_r(x)\\h(x)=\left(x-a\right)^qh_r(x)\end{array}\right\}\Rightarrow\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{\left(x-a\right)^pg_r(x)}{\left(x-a\right)^qh_r(x)}=\left(x-a\right)^{p-q}\frac{g_r(x)}{h_r(x)},

con g_r(a)\ne0h_r(a)\ne0. Entonces:

  • Si p-q>0 entonces L=0·\frac{g_r(a)}{h_r(a)}=0.
  • Si p-q<0 vale lo dicho en el caso 2: L=\left\{\begin{array}{l}+\infty\text{ si }p\;\text{es par}\\\text{no existe si }p\;\text{es impar}\;\end{array}\right.
  • Si p-q=0 entonces L = 1·\frac{g_r(a)}{h_r(a)}=\frac{g_r(a)}{h_r(a)}.

Ejemplos de límites de funciones racionales

Sea la función f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}.

(a) L=\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\frac{0+1}{0-1}=-1.

(b) L=\lim_{x\rightarrow1}f(x)=\frac20=?. Observamos que a=1 es una raíz del polinomio h(x)=x^2-1, ¿cuál es su multiplicidad p? Igualando a cero y resolviendo la ecuación: x^2-1=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1, la multiplicidad p=1, un número impar, por lo tanto no existe el límite L. En efecto, si estudiamos los límites laterales en x=1 vemos que no coinciden:

\left\{\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x+1}{x^2-1}=\frac2{0^-}=-\infty\\\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x+1}{x^2-1}=\frac2{0^+}=+\infty\end{array}\right.

(c) L=\lim_{x\rightarrow-1}f(x)=\frac00=?. ¿Cuál es la multiplicidad de la raíz a=-1? En este caso es inmediato ver que tanto para el numerador como para el denominador la multiplicidad es 1.  Por tanto,  L=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x+1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac1{\left(x-1\right)}=\frac1{-2}.

(d) Sea ahora la función f(x)=\frac{\left(x+1\right)^3}{x^2-1}. ¿Qué vale el límite de la función en el punto x=-1?. Si sustituimos el valor resulta \frac00=?. Evidentemente, la multiplicidad del numerador es p=3, y la del numerador hemos visto antes que es q=1.  Así pues p-q>0, y por tanto L=0.


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Problemas resueltos de sucesiones en R

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1. Calcular los siguientes límites.

a) L = lim_n\frac{3n^2+2}{5n-1}

Aplicando la regla de los límites de fracciones polinómicas, L = +∞, pues el numerador tiene mayor grado que el denominador.

b) L=lim_n\frac{2n^3-5n-2}{-n^3-n^2+2n1+1}

Siendo los grados de numerador y denominador iguales, el límite es el cociente de los factores de mayor grado,  L =\frac{2}{-1} = -2

c) L=lim_n\frac{2n^2-5n-2}{-n^3-n^2+2n1+1}

L = 0, pues el numerador tiene menor grado que el denominador.

d) L=lim_n\frac{\sqrt{n^{2\;}+3}\;-\;\sqrt[{}]{n^2+5}}{\sqrt{n^{2\;}+3}\;+\;\sqrt[{}]{n^2+5}}

Tenemos L=lim_n\frac{\infty\;-\;\infty}{\infty\;+\;\infty}=\frac?\infty, el límite del numerador es uno de los casos de indeterminación. Observamos que el "grado" del numerador y del denominador es \sqrt{n^{2\;}}=n. Por ello, para eliminar la indeterminación probemos a dividir por n:

L=lim_n\frac{\left(\sqrt{n^{2\;}+3}\;-\;\sqrt[{}]{n^2+5}\right)/n}{\left(\sqrt{n^{2\;}+3}\;+\;\sqrt[{}]{n^2+5}\right)/n\;}=\frac{\sqrt{1+3/n^2}\;-\;\sqrt[{}]{1+5/n^2}}{\sqrt{1+3/n^2}\;+\;\sqrt[{}]{1+5/n^2}}

Cuando n → ∞ resulta L = L=\frac{\sqrt{1+0}-\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{1-1}{1+1}=0

e) L=\lim_n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt n\right)

El límite es indeterminado del tipo +∞ -∞. Para deshacer la indeterminación, convertimos el término general en una expresión racional, multiplicando y dividiendo por el conjugado:

L=\lim_n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt n\right)\frac{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}

L=\lim_n\frac{\left(n^2+1\right)-\left(n\right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}

De esta forma aprovechamos el hecho de que \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2 para eliminar los radicandos del numerador. Pero el límite sigue siendo indeterminado:

L=\lim_n\frac{\left(n^2+1\right)-\left(n\right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt n}=\frac{\infty-\infty}{\infty+\infty}=\frac?\infty

Para deshacer la indeterminación dividimos todo per n elevado al mayor grado de los términos: n²

L=\lim_n\frac{\left(n^2+1-n\right)/n^2}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt n\right)/n^2}=\lim_n\frac{1+1/n^2-1/n}{\sqrt{1/n^{2\;}+1/n^4}+\sqrt{1/n^3}}=\frac{1+0-0}{0+0+0}=\frac10

Recordando las propiedades de los límites infinitos, concluimos L = +∞


2. Calcular L=\lim_n\frac{n!}{n^n}

L=\lim_n\frac{n!}{n^n}=\lim_n\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\dots\cdot2\cdot1}{n\cdot n\cdot n\dots n\cdot n}=\frac\infty\infty=?

Observemos que \frac{n!}{n^n}>0 para todo n, y que \left(x_n\right)=\left\{1,\frac12,\frac6{27},\dots\right\} es decreciente y acotada, por lo que ha de ser convergente (no demostraremos estas afirmaciones, y que no nos lo piden explícitamente en el enunciado).

Si comparamos \left(x_n\right) con la sucesión \left(y_n\right) de términos \left(y_n\right)=\left(\frac{n^{n-1}}{n^n}\right)=\frac{n\cdot n\dots n\cdot1}{n\cdot n\dots n\cdot n}=\frac1n  vemos que se cumple, para todo n:

0\leq\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\dots\cdot2\cdot1}{n\cdot n\cdot n\dots n\cdot n}\leq\frac{n\cdot n\dots n\cdot1}{n\cdot n\dots n\cdot n}=\frac1n\Rightarrow0\leq\left(x_n\right)\leq\left(y_n\right)

Pero \left(y_n\right)\rightarrow0, con lo que tenemos que 0\leq\underset{}{\lim\left(x_n\right)\leq0\Rightarrow\lim\left(x_n\right)=0.}


3. Mediante la definición de límite basada en puntos de acumulación, comprobar que la sucesión \left(a_n\right)=\left(\frac{n-3}{2n}\right)  es convergente.

El teŕmino general es del tipo fracción racional polinómica, aplicando el criterio de convergéncia adecuado concluimos inmediatamente que \lim_{}\left(a_n\right)=\frac12.

Para demostrar que es convergente con límite \frac12 hemos de ver que x=\frac12 es un punto de acumulación del conjunto \left\{-1,\frac-14,0,\frac18,\dots\right\}, que equivale a decir que siempre podemos encontrar elementos de la sucesión x_n a medida que nos acercamos a distancias progresivamente menores r del punto x = 1/2:

recta
xn está situado a una distancia menor que r del  punto  x=1/2

 

Planteamos pues x_n > 1/2 - r (ver figura), o sea:

\frac{n-3}{2n}>\frac12-r\Leftrightarrow n-1>n-2rn\Leftrightarrow-1>2rn\Leftrightarrow1<2rn\Leftrightarrow n>\frac1{2r}

Para todo n>\frac1{2r} los valores x_n quedan más cerca de x=1/2 que el valor r, sea cual sea r, por lo que x=1/2 es punto de acumulación, y también el límite de la sucesión.


 

4. Mediante la definición clásica de límite basada en entornos, probar que la sucesión definida por a_n=1 si n es impar, \frac1n en otro caso, no es convergente.

Los primeros términos de la sucesión son \left\{1,\frac12,1,\frac14,1,\frac16,\dots\right\}. Vemos que la sucesión no es monótona. Procedemos por reducción al absurdo: supongamos que el límite es x. Entonces, para todo r>0 existirá un m\in\mathbb{N} tal que x_n\in\Beta\left(x,r\right) siempre que n\geq m,  equivalentemente, tendremos x_n\in\left(x-r,x+r\right), que implica x-r\leq x_n\leq x+r. Entonces tendremos, simultaneamente,

\left\{\begin{array}{l}x-r\leq\frac1n\leq x+r,\;n\;par\\x-r\leq1\leq x+r,\;n\;impar\end{array}\right.

De la segunda desigualdad, sumando -x-1 obtenemos -1-r<-x<r-1\Leftrightarrow1+r>x>1-r, que ha de ser cierto para cualquier r>0, lo cual nos lleva a concluir que x=1. Sustituimos este valor de x en la primera desigualdad para obtener 1-r<\frac1n<1+r. pero para n suficientemente grande, tenemos que \frac1n tiende a 0, entonces para valores de r pequeños la desigualdad es imposible. En conclusión no existe el límite de la sucesión.


 

 

5. Mediante las propiedades de las sucesiones de Cauchy, probar que la sucesión definida por a_n=1 si n es impar, \frac1n en otro caso, no es convergente.

En las sucesiones de Cauchy, la distancia entre los términos posteriores a uno dado puede hacerse tan pequeña como se quiera, esto es, para cualquier valor r>0, existirá un m\in\mathbb{N} tal que para cualquiera valores n, p>m se cumplirá \left|x_n-x_p\right|<r. ¿Es esto cierto para la sucesión del enunciado?

Supongamos que n>m es par y que p>m es impar; podemos suponerlo por que la propiedad anterior que define la sucesión de Cauchy ha de cumplirse para cualesquiera términos posteriores a uno dado. Entonces \left|x_n-x_p\right|=\left|\frac1n-1\right|=1-\frac1n, pero este valor aumenta con n, acercándose a 1 cuando n es muy grande, por lo tanto no podemos hacerlo menor que un r dado para valores grandes de n. En conclusión, la sucesión no es de Cauchy, y tampoco puede ser convergente.


 

6. Clasificar (¿acotada? ¿creciente? ¿decreciente? ¿monótona? ¿convergente?) la sucesión de término general:

\left(a_n\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{n+1}n,\;n\;\text{par}\\1-\frac1{2n},\;n\;\text{impar}\end{array}\right.

Escribamos los primeros términos de la sucesión:

\left(a_n\right)=\left\{\frac12,\frac32,\frac56,\frac54,\frac9{10},\frac76,\frac{13}{14},\frac98,\dots\right\}

Vemos que a medida que avanzamos no hay un orden estricto, a veces aumentan los valores, a veces decrecen: no es una sucesión ni creciente ni decreciente, y por tanto tampoco es monótona. Para ver si es convergente consideremos cómo se comporta la diferencia entre dos términos cualesquiera \left(a_p\right),\left(a_q\right),\;p,q>m\in\mathbb{N} cuando avanzamos en la sucesión; como tenemos dos términos generales, dependiendo de si p, q son pares o impares, tendremos que distinguir cada caso por separado. Suponemos que q>p.

Tanto p como q son pares:

\frac{q+1}q-\frac{p+1}p=\left(1+\frac1q\right)-\left(1+\frac1p\right)=\frac1q-\frac1p\xrightarrow[\infty]{}\frac1\infty-\frac1\infty=0..

Tanto p como q son impares:

\left(1-\frac1{2q}\right)-\left(1-\frac1{2p}\right)=\frac1{2p}-\frac1{2q}\xrightarrow[\infty]{}\frac1\infty-\frac1\infty=0.

p es par, q es impar:

\left(1-\frac1{2q}\right)-\left(1+\frac1p\right)=\frac1p-\frac1{2q}\xrightarrow[\infty]{}\frac1\infty-\frac1\infty=0.

El caso restante p es impar, q es par es análogo y lo dejamos para el lector. Vemos que en todos los casos la diferencia entre términos sucesivos cualesquiera se hace más y más pequeña conforme avanzamos en la sucesión, por tanto podremos hacer que sea menor que cualquier r>0 dado siempre que p, q > m para cierto m que dependerá de r, en otras palabras, la sucesión es de Cauchy, y por tanto convergente.

Si queremos calcular el límite, que ahora sabemos que existe, lo hacemos para ambas expresiones:

\left(a_n\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{n+1}n\xrightarrow[\infty]{}1\\1-\frac1{2n}\xrightarrow[\infty]{}1-0=1\end{array}\right.

Vemos que en cualquier caso la sucesión se acerca progresivamente a 1, que es el límite de la sucesión.


7. Clasificar la sucesión de números racionales \left(a_n\right)=1-\frac13+\frac15-\dots+\left(-1\right)^{n+1}\frac1{2n-1}=\sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i+1}\frac1{2i-1}  teniendo en cuenta que sólo contiene números racionales, esto es, \left(a_n\right)\in\mathbb{Q}

Escribamos los primeros términos de la sucesión:

  • n=1) 1
  • n=2) 1 - 1/3 = 2/3
  • n=3) 1 - 1/3 + 1/5 = 2/3 + 1/5 = 13/15
  • n=4) 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 = 76/105

Vemos que  a veces aumentan los valores, a veces decrecen: no es una sucesión ni creciente ni decreciente, y por tanto tampoco es monótona. Para ver si es una sucesión de Cauchy calculamos la diferencia entre dos términos cualesquiera:

\left(a_p\right)-\left(a_q\right)=\left(1-\frac13+\frac15-\dots+\left(-1\right)^{p+1}\frac1{2p-1}\right)-\left(1-\frac13+\frac15-\dots+\left(-1\right)^{q+1}\frac1{2q-1}\right)

\left(a_p\right)-\left(a_q\right)=\left(-1\right)^{p+1}\frac1{2p-1}-\left(-1\right)^{q+1}\frac1{2q-1}

Como solo nos interesa el valor absoluto de la diferencia, ignoramos los signos:

\left|\left(a_p\right)-\left(a_q\right)\right|=\left|\frac1{2p-1}-\frac1{2q-1}\right|\xrightarrow[\infty]{}\left|\frac1\infty-\frac1\infty\right|=0.

Por tanto la sucesión es de Cauchy, no obstante, ahora no implica que sea convergente, pues la implicación Cauchy \Rightarrow convergente sólo es válida para sucesiones de números reales, y esta sucesión es de números racionales. De hecho, esta sucesión se conoce como serie de Leibniz y se puede probar que converge a \mathrm\pi/4, que es un número irracional, por lo tanto la sucesión no converge a ningún número racional: es divergente.

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Bibliografia

 

Sucesiones y series infinitas (Curso programado de Cálculo C.E.M.). Un libro antiguo e injustamente olvidado, en mi opinión. El Curso programado sigue la didáctica constructivista, introduciendo cada concepto con ejemplos, de forma que el alumno va construyendo su conocimiento en vez de simplemente memorizarlo.