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Momentos de vectores

Introducción

En el artículo Vectores en Física se habló de algunas propiedades geométricas de los vectores (la invariancia respecto de transformaciones de coordenadas) que son importantes para representar magnitudes físicas como la fuerza o la velocidad angular. En este artículo vemos el concepto teórico de momento de un vector respecto a un punto o a una recta, que físicamente tiene importancia para calcular el efecto que un vector ejerce respecto a ese punto o recta; un ejemplo práctico es la antigua ley de la palanca de Arquímedes, que nos muestra cómo varía el efecto de una fuerza con el punto de aplicación: la fuerza P, más alejada del punto de apoyo, ejerce una acción de giro igual a la fuerza mayor R que está más cerca; esa "acción de giro" se materializa usando el concepto de momento de cada fuerza respecto al punto de apoyo.

Fig. 1: Ley de la palanca (By Dnu72 (Own work) [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0-3.0-2.5-2.0-1.0)], via Wikimedia Commons)
Otro ejemplo lo vemos en la siguiente figura, en la que se representa la sección de un rodillo situado en un plano horizontal, al que hemos atado una cuerda r también horizontal en su parte superior.

Fig. 2: un cilindro sujeto a una fuerza tangente efectuada tirando de una cuerda, el efecto de giro no depende del punto exacto de aplicación de la fuerza

Si ahora aplicamos una fuerza a lo largo de la cuerda, digamos F_1 o F_2, el efecto será que el rodillo adquirirá una velocidad angular w, que no dependerá más de la magnitud de la fuerza: fuerzas de magnitud igual producirán la misma velocidad angular, independientemente del punto de aplicación de la fuerza (círculos en azul). Físicamente, diremos que la rotación del cilindro es causada por el momento de la fuerza aplicada, y ese momento depende de la magnitud y de la dirección de la fuerza, pero no de su posición a lo largo de la recta r.

Cuando en una situación física encontramos vectores que se comportan de este modo, causando el mismo efecto independientemente de si movemos su punto de aplicación a lo largo de una recta, decimos que los vectores son deslizantes. Tiene pues sentido estudiar los momentos ya no de fuerzas, sino de vectores deslizantes en general.

Momento de un vector respecto a un punto

Si un vector v tiene su origen (o está aplicado en) en punto P, el momento m de v con respecto a otro punto O se define por:

\boldsymbol m=\left(P-O\right)\times\boldsymbol v [1]

donde la expresión (P-O) simboliza la diferencia de las coordenadas de los dos puntos, y el producto \times representa el producto vectorial.

Fig. 3: momento m del vector v, aplicado en P, respecto del punto O

Recordemos que (P-O) puede verse como el vector OP con orígen en O y extremo en P; además, recordando las propiedades del producto vectorial, el vector momento m será perpendicular al plano formado por los vectores v y OP, y será un pseudovector, o vector polar (ver  Vectores en Física), su módulo valdrá el doble del área del triángulo formado por los vectores v y OP, o analíticamente,

\left|\mathbf m\right|=\left|\left(\mathbf P\boldsymbol-\mathbf O\right)\boldsymbol\times\mathbf v\right|=\left|\left(\mathbf P\boldsymbol-\mathbf O\right)\right|\cdot\left|\boldsymbol v\right|\cdot\sin\left(\alpha\right)

siendo \alpha el ángulo formado por los vectores v y OP.

Ejemplo 1: en el caso de la palanca (figura 1) llamamos O al punto de apoyo, y los puntos P, R de aplicación de las fuerzas y R estan situados a una distancia Bp y Br respectivamente, además, los vectores OP y OR son perpendiculares a las fuerzas y R y todos estos vectores están en un mismo plano que llamamos XY (son coplanarios). En estas condiciones, si aplicamos la definición para calcular el moment total respecto a O:

\begin{array}{l}\boldsymbol m(\boldsymbol P)=\boldsymbol O\boldsymbol P\times\boldsymbol P=\begin{vmatrix}\widehat i&\widehat j&\widehat k\\B_P&0&0\\0&-P&0\end{vmatrix}=-\widehat kPB_P;\\\boldsymbol m(R)=\boldsymbol O\boldsymbol R\times\boldsymbol R=\begin{vmatrix}\widehat i&\widehat j&\widehat k\\-B_R&0&0\\0&-R&0\end{vmatrix}=\widehat kRB_R\end{array}

Luego la suma de momentos es -\widehat k\left(RB_R-PB_P\right), un vector en la dirección del versor \widehat k, que "sale" de la pantalla. En la condición de equilibrio el momento debe de ser cero, para ello debe de cumplirse que PB_P=RB_R, expresión que coincide con la ley de la palanca.

Propiedades del vector momento

Una primera propiedad es que el vector momento es un pseudovector (o vector axial) debido a que se obtiene del producto vectorial de dos vectores polares (ver por ejemplo Vectores en Física).

Si el vector v lo desplazamos a lo largo de su recta soporte r hasta aplicarlo en otro punto P' (figura 2), geométricamente el nuevo triángulo formado por OP' - v tendrá la misma área que el OP - v , pues la base v es la misma y la altura h (obtenida trazando la perpendicular a la recta r pasando por O) de los dos triángulos es la misma. Además, el plano que contiene al vector v y a OP es el mismo que contiene a v y a OP' (es el plano definido por el punto O y la recta r), por tanto vemos que:

Propiedad 1: El momento m de un vector v respecto a un punto O no depende del punto de aplicación del vector, siempre que esté sobre la recta r que contiene al vector.

Fig. 4: el momento m de un vector v respecto un punto fijo O no depende del punto de aplicación P, P', etc

Por tanto los vectores en lo que respecta a su momento respecto a un punto fijo O se comportan como vectores deslizantes. En cambio si variamos del punto O al O', entonces si obtenemos un cambio en el vector momento m: podemos verlo planteando P - O' = (P - O) + (O - O') y sustituyendo en la expresión del momento m':

\begin{array}{l}\boldsymbol m\boldsymbol'=\left(P-O'\right)\times\boldsymbol v=\left[\left(P-O\right)+\left(O-O'\right)\right]\times\boldsymbol v\Rightarrow\\\boldsymbol m\boldsymbol'=\left(P-O\right)\times\boldsymbol v+\left(O-O'\right)\times\boldsymbol v\Rightarrow\\\boxed{\mathbf m\boldsymbol'\boldsymbol=\mathbf m\boldsymbol+\left(\mathbf O\boldsymbol-\mathbf O\boldsymbol'\right)\boldsymbol\times\mathbf v}\;\lbrack2\rbrack\end{array}

Viendo al producto \left(\mathrm O-\mathrm O'\right)\boldsymbol\times\mathbf v como el momento de v estando aplicado en O con respecto a O' (comparar con la definición [1]), podemos expresarlo en palabras:

Propiedad 2: El momento de un vector aplicado en P respecto a un punto O' es igual al momento de ese vector aplicado en P respecto a otro punto O más el momento respecto a O' del vector aplicado en el punto O.

Otra propiedad del vector momento es el denominado teorema de Varignon:

Propiedad 3 (Varignon): El momento total respecto a un punto O cualquiera de un conjunto de vectores concurrentes en un punto P es igual al momento de la suma del conjunto de vectores respecto a ese punto O.

Cálculo vectorial con vectores deslizantes

Las operaciones con vectores las realizamos usando un sistema de coordenadas y los componentes de los vectores respecto a ese sistema; así, el vector PQ con origen en el punto P y extremo en el punto Q, al restar las coordenadas Q - P obtenemos un vector v con origen en el origen de coordenadas, no en el punto P. Si deslizamos el vector PQ a lo largo de su recta soporte, pasando a estar en los puntos P', Q', el nuevo vector P'Q' tendrá las mismas coordenadas Q'-P' coincidentes con v. Dos vectores de la misma magnitud y direcciones paralelas se dice que son equipolentes; así pues, cuando trabajemos con las coordenadas de vectores deslizantes, realmente estaremos trabajando con las coordenadas de vectores equipolentes con origen en el origen de coordenadas, pero los  momentos que calculemos los supondremos aplicados en los puntos dados.

Fig. 5: vector equipolente a un vector deslizante

Ejemplo 1: obtener el momento respecto al punto O(0,0) de los vectores v, w, ambos aplicados en el punto P(1,1), y con los extremos en Q(2,2) y R(2,3) respectivamente.

Fig. 6: momento de dos vectores concurrentes respecto a un punto O

Las coordenadas son en dos dimensiones, pero el momento, calculado según la definición [1] es un vector perpendicular al plano que contiene los vectores v, w y el punto O; "ampliamos" pues nuestra referencia con una tercera coordenada que "saldrá" del plano de la pantalla hacia nuestro rostro (regla de la mano derecha):

O(0, 0, 0), P(1, 1, 0), OP = P - O = (1, 1, 0);

El vector PQ = (2, 2, 0) - (1, 1, 0) = (1, 1, 0) es paralelo a v con el mismo módulo y origen en (0,0, 0) (v y PQ son vectores equipolentes), por tanto el producto \boldsymbol OP\times\boldsymbol v  es el mismo que el producto \boldsymbol OP\timesPQ, que calculamos usando determinantes:

\boldsymbol OP\times \boldsymbol PQ=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&1&0\\1&1&0\end{vmatrix}=\left(0,0,0\right)

obviamente el momento es cero, pues OP y v estan sobre la misma recta; procedemos igual con w: tomamos en su lugar el vector PR  = R-P = (0, 1, 0) y obtenemos el producto vectorial \boldsymbol OP \times \boldsymbol PR:

\boldsymbol OP\times \boldsymbol PR=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&1&0\\0&1&0\end{vmatrix}=\left(0,0,-1\right)

este vector momento "entra" verticalmente en la pantalla. El momento total de los dos vectores es la suma de sus momentos. Como v, w son concurrentes, también podemos llegar al mismo resultado aplicando la propiedad 3: sumamos los dos vectores y calculamos el momento de la suma: sustituimos v + w por los vectores que parten de O: (1, 1, 0) + (0, 1, 0) = (1, 2, 0), calculamos el momento:

OP\times PQ=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&2&0\\0&1&0\end{vmatrix}=\left(0,0,-1\right)

Momento de un vector respecto a un eje

En los apartados que siguen, se estudian las propiedades de los momentos y de los sistemas de momentos respecto a rectas (ejes); los resultados nos serviran para reducir conjuntos de vectores a un conjunto mínimo equivalente a efectos del momento resultante. También nos interesará encontrar los puntos respecto a los cuales el momento resultante de un sistema de vectores resulta ser mínimo, la cual cosa permitirá resolver problemas de equilibrio.

Fig. 7: momentos de un vector v respecto a los puntos situados en un eje E

Imaginemos un eje E, esto es, una recta sobre la que hemos definido un vector unitario u para definir un sentido, y sobre el eje dos puntos distintos O, O'. Nos preguntamos por los momentos m, m' de un vector cualquiera v respecto a esos puntos. Recordemos la igualdad [2]:

\mathbf m\boldsymbol'\boldsymbol=\mathbf m\boldsymbol+\left(\mathbf O\boldsymbol-\mathbf O\boldsymbol'\right)\boldsymbol\times\mathbf v

Multiplicando escalarmente los dos lados de esta igualdad por el vector unitario u:

\mathbf m\boldsymbol'\boldsymbol\cdot\boldsymbol u\boldsymbol=\mathbf m\boldsymbol\cdot\mathbf u\boldsymbol+\left(\mathbf O\boldsymbol-\mathbf O\boldsymbol'\right)\boldsymbol\times\mathbf v\boldsymbol\cdot\mathbf u

El vector \left(\mathbf O\boldsymbol-\mathbf O\boldsymbol'\right)\boldsymbol\times\mathbf v es perpendicular al plano que contiene a u y v, por tanto el producto escalar es cero, nos queda pues

\mathbf m\boldsymbol'\boldsymbol\cdot\boldsymbol u\boldsymbol=\mathbf m\boldsymbol\cdot\mathbf u

Recordando la interpretación geométrica del producto escalar, tenemos que la proyección sobre el eje E del momento del vector v respecto a cualquier punto del eje E es constante; a este valor, que es un escalar, se le llama momento del vector v respecto al eje E.

En particular, el momento de un vector respecto a un eje paralelo al vector será nulo, pues el vector y el eje serán coplanarios, y el momento será perpendicular a ese plano, luego el producto escalar del vector u con el momento será cero, siendo perpendiculares.

Entonces para un vector v cualquiera, podemos descomponerlo en suma de dos vectores, uno paralelo al eje E y otro perpendicular; el primero tendrá momento respecto al eje nulo, por tanto vemos que:

Propiedad 4: el momento respecto al eje E de un vector v será igual al momento respecto al eje E del vector proyección ortogonal de v respecto a un plano perpendicular a E.

Ejemplo 2: obtener el momento respecto a los ejes Y, Z del vector w, aplicado en el punto P(1,1), y con extremo en R(2,3).

El vector u para el eje Y es u(0, 1, 0), y para calcular el momento de w respecto al eje Y nos vale cualquier punto O sobre el eje, por ejemplo, el (0, 0, 0) que ya hemos obtenido en el ejemplo 1, siendo m = (0, 0, -1); el producto escalar es m·u = (0, 0, -1)·(0, 1, 0) = 0, resultado esperado, pues el momento m es perpendicular al plano que contiene el eje Y. Para el momento respecto del eje Z tomamos u(0, 0, 1), entonces m·u = (0, 0, -1)·(0, 0, 1) = -1.

Momento resultante de un sistema de fuerzas

Si tenemos un conjunto de vectores v_1,v_2,...,v_n podemos calcular sus momentos m_1,m_2,..._m_n respecto a un único punto fijo O; si consideramos otro punto O', aplicando [2] a cada vector y sumando:

\begin{array}{l}m'_i=m_i+\left(O-O'\right)\times v_i\Rightarrow\\\sum_{}m'_i=\sum_{}m_i+\left(O-O'\right)\times\sum_{}v_i\end{array}

Llamando M y M' al momento suma, y R al vector suma (llamado resultante del sistema de vectores), nos queda:

\boldsymbol M'=\boldsymbol M+\left(O-O'\right)\times\sum_{}{\boldsymbol v}_i=\boldsymbol M+\left(O-O'\right)\times\boldsymbol R [3]

Propiedad 5: El momento resultante respecto a O' es la suma del momento resultante respecto a O y el momento respecto a O' del vector  resultante del sistema aplicado en O.

En el caso especial de que la resultante sea nula, R = 0, vemos que debe de ser M = M': para sistemas de vectores con resultante nula el momento del sistema es independiente del punto que se tome. Un sistema de vectores con resultante nula pero con momento total distinto de cero se llama un par vectorial. En el caso particular de vectores fuerza, será un par de fuerzas.

Otro caso especial es cuando el vector OO' es paralelo a la resultante R, pues entonces el producto vectorial de [3] es cero, y el  momento respecto a O es igual al momento respecto a O':

Propiedad 6: El momento resultante de un sistema de vectores es el mismo para cualquier punto situado en una recta paralela a la resultante del sistema.

Trinomio invariante

Si multiplicamos la expresión [3] por la resultante R (producto escalar) obtenemos:

\boldsymbol M'\cdot\boldsymbol R=\boldsymbol M\boldsymbol\cdot\boldsymbol R+\cancel{\left(\mathbf O\boldsymbol-\mathbf O\boldsymbol'\right)\boldsymbol\times\mathbf R\boldsymbol\cdot\mathbf R}=\boldsymbol M\boldsymbol\cdot\boldsymbol R

luego el producto escalar del momento resultante por la resultante \boldsymbolM\cdot\boldsymbolR es invariante, no depende del punto escogido para el cálculo de los momentos. Cuando se expresa en función de las componentes x, y, z en la forma T=M_xR_x+M_yR_y+M_zR_z se llama trinomio invariante. Para un sistema de un sólo vector T siempre vale cero, pues el vector es perpendicular a su momento.

Eje central de momentos

Momento mínimo

El que la expresión \boldsymbol M'\cdot\boldsymbol R=\boldsymbol M\boldsymbol\cdot\boldsymbol R=\left|M\right|\cdot\left|R\right|\cdot\cos\left(\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf M\mathbf R}\right) sea invariante para cualquier punto de cálculo del momento, implica que si en un cierto punto O el momento resultante es paralelo a la resultante R, entonces para ese punto \cos\left(\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf M\mathbf R}\right)=1, y comparando con otro punto O' con momento no paralelo a R, será \left|M'\right|\cdot\left|R\right|\cdot cos\left(\widehat{\mathrm{MR}}\right)=\left|M\right|\cdot\left|R\right|,  como cos\left(\widehat{\mathrm{MR}}\right) es en módulo menor que uno (estamos suponiendo que R y M no estan en la misma dirección) , se deduce que \left|M'\right|\cdot\left|R\right|>\left|M\right|\cdot\left|R\right|para M paralelo a R, que significa que el momento resultante M respecto a puntos O en los cuales M es paralelo a la resultante R es el momento mínimo posible.

Lugar geométrico de puntos que generan el mínimo momento

La pregunta siguiente que nos hacemos es: ¿cuáles son esos puntos en los cuales el momento resultante M del sistema es paralelo a la resultante R, y por tanto el momento M es el mínimo posible?

Fijémonos en que si existieran dos puntos O, O' con esa propiedad, tendríamos que sus momentos M, M' son iguales, y por [3], que

\boldsymbol M'=\boldsymbol M+\left(O-O'\right)\times\boldsymbol R=\boldsymbol M\Rightarrow\left(O-O'\right)\times\boldsymbol R=0

por tanto OO' sería un vector paralelo a la resultante R; esto valdría para cualquier punto que proporcionara un momento paralelo a R:

El lugar geométrico de los puntos respecto a los cuales los momentos de un sistema de vectores C son paralelos a la resultante R, es una recta también paralela a R, denominada eje central de momentos del sistema.

Caracterización del eje central de momentos

Encontremos ahora las condiciones que ha de cumplir un punto O' del eje central.  Sea O el origen de coordenadas, y O' el punto de intersección de la perpendicular al eje central que pasa por O (figura 8).

Fig. 8: situación para la deducción de las ecuaciones del eje central

El  momento M' serà paralelo a la resultante R y al eje central; si aplicamos [3], multiplicando vectorialmente toda la expresión por la izquierda por la resultante R obtenemos:

\boldsymbol R\times\boldsymbol M'=\boldsymbol R\times\boldsymbol M+R\times\left(O-O'\right)\times\boldsymbol R

Como R y M' son paralelos, el producto del primer miembro es nulo. Para el doble producto vectorial aplicamos la propiedad A x (B x C) = B · (A·C) - C · (A·B), y resulta:

\begin{array}{l}\mathbf0=\boldsymbol R\times\boldsymbol M+\left(O-O'\right)\cdot\left(\mathbf R\boldsymbol\cdot\mathbf R\right)-\boldsymbol R\boldsymbol\cdot\left(\cancel{\left(\mathbf O\boldsymbol-\mathbf O\boldsymbol'\right)\boldsymbol\cdot\mathbf R}\right)\Rightarrow\\0=\boldsymbol R\times\boldsymbol M+\left(O-O'\right)\cdot R^2\Leftrightarrow\\\left(O'-O\right)=\boldsymbol O\boldsymbol O\boldsymbol'=\frac1{R^2}\boldsymbol R\times\boldsymbol M\end{array} [4]

El producto escalar (O-O')·R es nulo porque OO' es perpendicular a R. La expresión [4] es el vector de posición de un punto O' del eje central, en función de la resultante R y del momento respecto al orígen de coordenadas M.  Ele eje central es la recta paralela a R que pasa por el punto O', quedando así totalmente determinada.

Ejemplo 3: dado el sistema de  vectores deslizantes v(1, 2, 3) aplicado en P(1, 1, 1) y w(0, 1, -1) aplicado en Q(0, 0, 1),  obtener la ecuación de su eje central de momentos, así como el momento mínimo del sistema.

Utilizamos vectores los equipolentes  v' = v - P = (0, 1, 2) y w' = w - Q = (0, 1, -2), obtenemos la resultante R = v' + w' = (0, 2, 0) y seguidamente el momento resultante respecto al origen de coordenadas:

M(v') = (P - O) x v' = [(1, 1, 1) - (0, 0, 0)] x (0, 1, 2) = (1, 1, 1) x (0, 1, 2) = (1, -2, 1);

M(w') = (Q - O) x v' = [(0, 0, 1) - (0, 0, 0)] x (0, 1, -2) = (0, 0, 1) x (0, 1, -2) = (-1, 0, 0);

MM(v') + M(w') = (0, -2, 1), el módulo de M es √5.

Calculamos ahora el punto O' del eje central:

R = |(0, 2, 0)| = 2; R x M = (0, 2, 0) x (0, -2, 1) = (2, 0, 0), por tanto las coordenadas de O' son (1, 0, 0); el eje central pasa por O' y es paralelo a R(0, 2, 0), sus ecuaciones paramétricas son (x, y, z) = (1, 0, 0) + t·(0, 2, 0) -> x = 1, y = t, z = 0. El momento del sistema respecto del eje central, M',  puede obtenerse usando el valor del trinomio invariante y el hecho de que es paralelo a R:

condición trinomio invariante: M'·R = M·R = (0, -2, 1)·(0, 2, 0)= -4

es paralelo a R: M' = t·(0, 2, 0)

Luego M'·R = t·(0, 2, 0)·(0, 2, 0) = 4t, igualando al trinomio invariante, 4t = -4 -> t = -1, el momento M' es (0, -2, 0). Observemos que el módulo de M' es 2, que es menor que el módulo de M, como esperábamos, ya que M' es el momento mínimo.

Reducción de sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores equivalentes

Consideramos que dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si ambos tiene la misma resultante R y el mismo momento resultante M respecto a un punto fijo O. De hecho, aplicando la identidad [3], el momento resultante será también idéntico para cualquier punto del espacio; en efecto, llamando M_1, R_1, M_2,R_2 a los momentos y resultantes del sistema 1 y 2, se cumple:

\begin{array}{l}M_1'=M_1+\left(O-O'\right)\times R_1,\\M_2'=M_2+\left(O-O'\right)\times R_{1;}\\M_1=M_2=M,\;R_1=R_2=R\Rightarrow\\M_1'=M_{}+\left(O-O'\right)\times R_{}=M_2'\end{array}

Operaciones para obtener un sistema equivalente

Las siguientes transformaciones, aplicadas a un sistema de vectores deslizantes, proporcionan otro sistema equivalente:

  1. Decomposición de un vector en varios concurrentes
  2. Composición de vectores concurrentes en uno solo
  3. Sumar o restar dos vectores situados en una misma línea

Respecto a la obtención de un sistema equivalente que sea más simple, tenemos el siguiente teorema:

Teorema: todo sistema de vectores deslizantes puede reducirse a otro que contenga como máximo sólo dos vectores.

Veamos como: si R es la resultante y M el momento resultante respecto a O, un sistema equivalente será el constituido por un vector equipolente a R que pase por O (por tanto de momento nulo) más un par (dos vectores opuestos v, w con resultante nula, uno de ellos, digamos el v, pasando por O) cuyo momento sea M; si sumamos el vector v con R, obtenemos un sistema de sólo dos vectores, (v+R) y w, equivalente al sistema inicial.

 Ejemplo 4:  Sea el sistema de vectores  deslizantes a(1,2,3), b(-1,0,1), c(0, 2, 0), con puntos de aplicación p(0,0,0), q(0, 1,0) y r(0,0,1) respectivamente, y sea el punto O(-1, 2, 1). Encontrar un sistema equivalente de sólo dos vectores.

Primero hallamos las coordenadas de los vectores equipolentes aplicados en el origen:

a' = (1,2,3) - (0,0,0) = (1,2,3); b' = (-1,0,1) - (0, 1,0) = (-1,-1,1); c' = (0, 2, 0) - (0,0,1) = (0, 2, 0).

La resultante será la suma R = a' + b' + c' = (0, 3, 4); el momento resultante respecto a O lo calculamos para cada vector según la definición. recordando de utilizar los vectores equipolentes a', b', c' para los vectores (P-O) y los vectores originales a, b, c para el producto vectorial:

\begin{array}{l}M_a=\left[(0,0,0)-\left(-1,2,1\right)\right]\times\left(1,2,3\right)=\left(-4,-4,4\right);\\M_b=\left[(0,1,0)-\left(-1,2,1\right)\right]\times\left(-1,-1,1\right)=\left(-2,0,-2\right);\\M_c=\left[(0,0,1)-\left(-1,2,1\right)\right]\times\left(0,2,0\right)=\left(0,0,2\right);\\M=M_a+M_b+M_c=\left(-6,-4,4\right).\end{array}

Un sistema equivalente a {a, b, c} aplicados a los puntos p, q, r respecto al punto O será el formado por el vector R aplicado en O más un par de vectores v, w con momento M, estando v aplicado en O.

Como la resultante del par (v,w) ha de ser nula, los vectores equipolentes v', w' situados en el origen de coordenadas han de cumplir v' + w' = 0. Llamando x, y, z a las componentes de v:

v'=\left(x,y,z\right)-\left(-1,2,1\right)=\left(x-1,y-2,z-1\right)\Rightarrow w'=\left(1-x,2-y,1-z\right)

Como el momento de v respecto a O es nulo, ha de ser que el momento de w respecto a O sea igual a M. Lo planteamos así:

M=\left(-6,-4,4\right)=(S-O)\times w'\left(0,0,1\right)

Detallando las coordenadas, y llamando al punto S(s,t,u):

\begin{array}{l}\begin{array}{l}M=\left(-6,-4,4\right)=(s+1,t-2,u-1)\times\left(1-x,2-y,1-z\right)\Rightarrow\\\begin{vmatrix}i&j&k\\s+1&t-2&u-1\\1-x&2-y&1-z\end{vmatrix}=\left(-6,-4,4\right)\end{array}\\\end{array}

Resulta un sistema  de ecuaciones:

\left.\begin{array}{r}\left(t-2\right)\left(1-z\right)-\left(u-1\right)\left(2-y\right)=-6\\-\left(s+1\right)\left(1-z\right)+\left(u-1\right)\left(1-x\right)=-4\\\left(s+1\right)\left(2-y\right)-\left(t-2\right)\left(1-x\right)=4\end{array}\right\}

Tenemos 6 incógnitas, las coordenadas del punto S y las del vector w, y sólo tres ecuaciones; esto significa que tenemos tres grados de libertad al escoger el par, aunque no todas las combinaciones son posibles, pues algunas de ellas pueden conducirnos a sistemas incompatibles. Una posible elección es la que sigue (se definen  algunos parámetros y de ellos se deducen los otros):

\begin{array}{l}t=2;\;s=2;\Rightarrow y=\frac23,\;u=\frac{11}2;\\\;x=z\Rightarrow x=-\frac{11}6=z\\\\\end{array}

Los vectores del par resultan:

v'=\left(-\frac{11}6,\frac23,-\frac{11}6\right),\;w'=\left(1+\frac{11}6,2-\frac23,1+\frac{11}6\right)=\left(\frac{17}6,\frac43,\frac{17}6\right)

y estan aplicados en los puntos O(-1, 2, 1) y S(2,2,11/2). Junto con el vector R'= (0, 3, 4) aplicado también en O, constituyen un sistema equivalente al inicial. Sumamos ahora R' y v' (ámbos aplicados al mismo punto O) para obtener R''= (0, 3, 4) + (-11/6, 2/3, -11/6) = (-11/6, 11/6, -11/6) = (11/6)·(-1, 1, -1), vector aplicado en O. Hemos reducido el sistema original a sólo dos vectores:

  1. R''=\frac{11}6\left(-1,1,-1\right) aplicado en O(-1, 2, 1)
  2. vector equipolente w'=\left(\frac{17}6,\frac43,\frac{17}6\right) aplicado en S(2,2,11/2)

 

 

Tensores en Física

Magnitudes tensoriales

En Física nos encontramos frecuentemente con magnitudes escalares que son aquellas que numéricamente se expresan mediante un único número real, como el tiempo o la temperatura, también con magnitudes vectoriales que se expresan mediante un vector (ver vectores en Física), como la fuerza o el campo eléctrico. A menudo estas magnitudes se refieren a puntos del espacio o bien a objetos puntuales, como por ejemplo objetos puntuales, cargas eléctricas puntuales, etc. Así, hablamos de "el vector fuerza F aplicado a un punto material P de masa m", que ejercerá una aceleración, etc, como vemos a la izquierda de la figura 1, y todo queda bien determinado conociendo la posición de P, su masa m, y la fuerza F.

Para objetos no puntuales, como el de la figura 1 a la derecha, nos encontramos que una misma fuerza F aplicada en partes distintas del cuerpo C produce efectos distintos: el cuerpo C girará sobre sí mismo de forma distinta según el punto de aplicación de la fuerza. Notemos que, a pesar de haber rotulado las fuerzas F_1,F_2,F_3 de distinto modo, de hecho como vectores tienen la misma representación numérica, ya que tienen el mismo módulo, dirección y sentido (se dice que son vectores equipolentes). Entonces tenemos que la masa m del cuerpo C, un escalar, por sí sola, no nos da suficiente información para deducir la velocidad angular del cuerpo en función de la fuerza aplicada.

Fig. 1: fuerza F aplicada sobre un objeto puntual (izquierda) y sobre un cuerpo (derecha)
Fig. 1: fuerza F aplicada sobre un objeto puntual (izquierda) y sobre un cuerpo (derecha)

Otro ejemplo lo encontramos en el electromagnetismo en la materia: cuando aplicamos un campo eléctrico E a un material susceptible de polarización, se induce la creación de dipolos eléctricos atómicos, caracterizados por la magnitud  momento dipolar P que es proporcional al campo: \overrightarrow P=\alpha\overrightarrow E, donde \alpha es una constante escalar que depende del material; ahora bien, para los sólidos cristalinos, como por ejemplo la calcita, la constante de proporcionalidad  depende de la dirección del campo eléctrico aplicado. De nuevo la información proporcionada por la constante escalar \alpha es insuficiente para definir la situación física.

Vemos pues que abundan las situaciones reales en las que las magnitudes escalares y vectoriales aportan información insuficiente para describir la situación; en estos casos necesitamos las magnitudes tensoriales:

Las magnitudes tensoriales son útiles para describir propiedades físicas que varían con la dirección en la que se aplica una magnitud vectorial.

 Tensores y vectores

Consideremos un sólido localizado según unos ejes en el espacio XYZ al que aplicamos una fuerza F paralela al eje X; dependiendo del punto de aplicación sobre el sólido, éste girará de forma distinta, expresada por las velocidades angulares \Omega.

Fig. 2: vectores fuerza equipolentes y vectores velocidad angular producidos
Fig. 2: vectores fuerza equipolentes y vectores velocidad angular producidos

En general, para una fuerza \overrightarrow F=\left(F_x,0,0\right) obtendremos una velocidad angular proporcional a la fuerza pero que puede tener cualquier dirección: \overrightarrow\Omega=\left(\alpha_xF_x,\alpha_yF_x,\alpha_zF_x\right), donde los coeficientes \alpha_x,\alpha_y,\alpha_z son las constantes de proporcionalidad, propiedades del material. Si ahora aplicamos la fuerza F paralelamente al eje Y, obtendremos unas velocidades angulares distintas, con unas constantes de proporcionalidad también distintas, para distinguirlas de las obtenidas en la dirección del eje X, añadimos un subíndice:

  • fuerza en la dirección del eje X: \overrightarrow\Omega=\left(\alpha_{xx}F_x,\alpha_{xy}F_x,\alpha_{xz}F_x\right)
  • fuerza en la dirección del eje Y: \overrightarrow\Omega=\left(\alpha_{yx}F_x,\alpha_{yy}F_x,\alpha_{yz}F_x\right)

Por último, consideramos que la fuerza es paralela al eje Z, entonces:

  • fuerza en la dirección del eje Z: \overrightarrow\Omega=\left(\alpha_{zx}F_x,\alpha_{zy}F_x,\alpha_{zz}F_x\right)

Para una fuerza en dirección arbitraria, sabemos que la podemos descomponer en suma de tres fuerzas, cada una en la dirección de un eje: \overrightarrow F=F_x\widehat x+F_y\widehat y+F_z\widehat z, entonces la velocidad angular resultante será también la suma de la producida para cada componente de la fuerza:

\overrightarrow\Omega=\left(\alpha_{xx}F_x,\alpha_{xy}F_x,\alpha_{xz}F_x\right)+\left(\alpha_{yx}F_y,\alpha_{yy}F_y,\alpha_{yz}F_y\right)+\left(\alpha_{zx}F_z,\alpha_{zy}F_z,\alpha_{zz}F_z\right)=\;\sum_{ij}\alpha_{ij}\cdot{\overrightarrow F}_i\cdot\widehat j[1]

donde el sumatorio recorre los índices i, j con los valores X, Y, Z, o bien 1, 2, 3, identificando el eje X como el primero, etc, y el vector \widehat j simboliza el vector unitario en la dirección de cada eje coordenado.

En la expresión [1] tenemos que la relación entre los vectores F y \overrightarrow\Omega viene dada por 3 x 3 = 9 escalares \alpha_{ij}; en general, dados dos vectores \overrightarrow a, \overrightarrow b si la relación entre ellos viene dada por una doble suma sobre los coeficientes \alpha_{ij}, diremos que los \alpha_{ij} son un tensor de rango 2 (de rango 2 significa que el tensor tiene dos índices, el i y el j):

 

a_j=\underset{1\leq i\leq3}{\sum\alpha_{ij}b_i}[2]

Definición 1un tensor de rango 2 en el espacio R³ es un conjunto de 3 x 3 = 3² = 9 valores \alpha_{ij},\; 1\leq i,j\leq3 que sirven para transformar un vector en otro vector.

Ejemplos de tensores en Física

  • En mecánica, un objeto sólido que gira alrededor de un eje fijo tiene un vector momento angular L proporcional al vector velocidad angular \Omega, y la proporcionalidad viene dada por el tensor de inercia I del sólido: \overrightarrow L=I\cdot\overrightarrow\Omega, un tensor de rango 2.
  • En electromagnetismo los vectores polarización P inducida sobre un sólido por el  vector campo eléctrico E vienen relacionados por el tensor de polarizabilidad del sólido, \overrightarrow P=\alpha\cdot\overrightarrow E, un tensor de rango 2.
  • Cuando una corriente eléctrica recorre un cristal conductor, la relación entre el vector densidad de corriente j y el vector campo eléctrico E viene dada por el tensor de conductividad del cristal, \overrightarrow j=\sigma\cdot\overrightarrow E, un tensor de rango 2.
  • Dado un vector axial v (o pseudovector), sus componentes v_x,v_y,v_z forman un tensor de rango 2 que sólo tiene 3 componentes distintas de cero; se comprueba aplicando la expresión [2] al vector axial, para comprobar que para todo vector b la expresión [2] produce un vector a (ver la definición 1). En general, las componentes de todo producto vectorial a x b forman un tensor de grado 2.
  • En un sólido sometido a una fuerza externa, las fuerzas internas de resistencia dependen de la dirección de la fuerza externa aplicada y también del punto de aplicación; para cada punto (x,y,z), la relación entre el vector fuerza y el vector deformación es el tensor de esfuerzo del material en ese punto, \overrightarrow F=S\left(x,y,z\right)\cdot\left(x,y,z\right). Como para cada punto (x,y,z) tenemos un tensor de esfuerzo S(x,y,z), para caracterizar todo el sólido necesitamos una función S(x,y,z) que asigna a cada punto del sólido un tensor de grado 2, a estas funciones se les llama campos tensoriales, por analogía a los campos vectoriales, que asignan un vector a cada punto (x,y,z) del espacio.
  • En un sólido elástico sometido a una fuerza externa, las deformaciones en cada punto dependen del punto considerado, formando un tensor de rango 2 de deformaciones T; el valor de estas deformaciones dependen a su vez del tensor de esfuerzos S en ese punto, también de rango 2; aquí tenemos pues una relación entre tensores, no entre vectores como en los ejemplos anteriores. No es difícil ver que para relacionar dos tensores de rango 2 entre sí, cada uno con 9 componentes, necesitamos 9 x 9 = 81 componentes, organizados en 4 índices de 3 valores (ejes x, y, z), que forman un tensor de rango superior, concretamente de rango 4: T_{ij}=\sum_{k,l}\alpha_{ijkl}S_{kl}. Es el tensor de deformación elástica.

 

Cinemática vectorial: velocidad angular, ángulos de Euler

Velocidad angular y rotaciones en el espacio

En el artículo Vectores en Física explicamos que la velocidad angular es un tipo especial de vector: un vector axial, o pseudovector, y decíamos que estos vectores se diferencian de los vectores "normales" o polares en que se comportan de forma distinta bajo un transformaciones lineales del tipo "reflexión respecto un plano". En el caso de la velocidad angular además podemos decir que, pese a ser una velocidad, no se obtiene derivando un vector respecto al tiempo.

Esto ocurre por que no podemos definir una base para los "vectores rotación", tal como hacemos para los vectores posición, para después descomponer cualquier rotación dada en sus componentes,  derivarlos y obtener velocidades de rotación, y no podemos porque las rotaciones son transformaciones lineales, que además no conmutan entre sí. Esto quiere decir que el orden en que se aplican las rotaciones influye en el resultado.

En el espacio euclídeo, podemos escoger cualesquiera tres direcciones ortogonales, definir sobre cada una un vector unitario, y descomponer, de forma única, cualquier vector v según una combinación lineal de los vectores unitarios:

\overrightarrow v=v_1\overrightarrow{e_1}+v_2\overrightarrow{e_2}+v_3\overrightarrow{e_3}

Para hacer lo mismo con las rotaciones, necesitamos una base de rotaciones; podemos pensar que una posibilidad seria escoger rotaciones alrededor de cada eje cartesiano:

Fig. 1: rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
Fig. 1: rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

Las matrices de cada una de estas rotaciones son, llamando respectivamente R_x, R_y, R_z a las efectuadas sobre los ejes X, Y, Z:

R_x=\begin{bmatrix}1&0&\\0&\cos\left(\alpha\right)&-\sin\left(\alpha\right)\\0&\sin\left(\alpha\right)&\cos\left(\alpha\right)\end{bmatrix},\;R_y=\begin{bmatrix}cos\left(\alpha\right)&0&sin\left(\alpha\right)\\0&1&0\\-sin\left(\alpha\right)&0&cos\left(\alpha\right)\end{bmatrix},\;R_z=\begin{bmatrix}cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)&0\\sin\left(\alpha\right)&1&0\\0&cos\left(\alpha\right)&1\end{bmatrix}

Esta matrices no son simétricas, y por lo tanto no conmutan entre si; cualquier combinación lineal que hagamos con ellas dará un resultado distinto dependiendo del orden en el que escribamos las matrices, no es que cambien los coeficientes como cuando cambiamos de base, es que la rotación resultante no es la misma:

\alpha R_1+\beta R_2+\gamma R_3\neq\beta R_2+\gamma R_3+\alpha R_1\neq\gamma R_3+\alpha R_1+\beta R_2

Siendo toda el Álgebra vectorial que conocemos una Álgebra conmutativa, las rotaciones definidas de este modo no la siguen, y nos obligaría a usar álgebras no conmutativas, demasiadas complicaciones.

Es fácil ver que las rotaciones no conmutan sin necesidad de álgebra; la figura 2 muestra como afectan a una ficha de dominó dos rotaciones, en dos columnas.  En la primera fila vemos la ficha en la posición inicial; en la columna de la izquierda,  segunda fila,  se rota la ficha  un ángulo recto en torno a un eje perpendicular a la pantalla en el sentido inverso  de las agujas del reloj, en la segunda fila se vuelve a rotar la ficha en torno al eje Y vertical, en el sentido del reloj, la posición final muestra el lateral de la ficha.

Fig. 2: combinación de dos rotaciones en el espacio, tomadas en distinto orden
Fig. 2: combinación de dos rotaciones en el espacio, tomadas en distinto orden

En la columna de la izquierda, realizamos las dos mismas rotaciones, pero esta vez cambiando el orden. Comparando las posiciones finales, vemos que son distintas.

Ángulos de Euler

Una forma de descomponer cualquier rotación en el espacio según tres rotaciones elementales, de forma que la suma de las tres determine unívocamente la rotación original, es usar los denominados ángulos de Euler; nosotros aquí los utilizaremos en el contexto de dar la orientación de una base móvil Ref2 respecto a una fija Ref1. Se trata de dar la orientación de una base móvil Ref2 cualquiera en base a tres ángulos, que corresponden a tres rotaciones:

  • 1a rotación: respecto a un eje fijo cualquiera, aquí tomamos el eje rotulado como X, puede ser cualquier otro. Respecto a este eje X, efectuar una rotación de la base XYZ con un ángulo \alpha, resulta la base X'Y'Z':
Fig. 3: Rotaciones según ángulos de Euler, 1ª rotación
Fig. 3: Rotaciones según ángulos de Euler, 1ª rotación
  • 2a rotación: respecto a uno de los nuevos ejes desplazados en la 1a rotación, en nuestro ejemplo, el Y' o el Z'; por ejemplo, escogemos el eje Y' para efectuar una rotación de la base con un ángulo \beta, resulta la nueva base X''Y''Z'':
Fig. 4: segunda rotación de Euler
Fig. 4: segunda rotación de Euler
  • 3a rotación: sobre el eje que ha estado afectado sólo por la 2a rotación, en nuestro caso, el eje X'; sobre él, giramos la base un ángulo \gamma para obtener la base X'''Y'''Z''':
Fig. 5: tercera rotación de Euler, posición final, se indican los vectores rotación en rojo

Otra forma de resumirlo es: los ejes de la base girada cumplen

  1. un eje está afectado por las rotaciones 1a y 3a, en el ejemplo, es el Y
  2. un segundo eje está afectado sólo por la rotación 2a, es el X
  3. el eje restante está afectado por todas las rotaciones, es el Z.

Tal como los hemos descrito, estas rotaciones tienen la siguiente propiedad, que no demostramos:

Propiedad 1: Dada una base móvil con una velocidad angular arbitraria \overrightarrow\Omega, siempre podrá expresarse esta velocidad como suma de las derivadas temporales de los tres ángulos de Euler:

\overrightarrow\Omega=\overset\rightharpoonup\alpha'+\overset\rightharpoonup\beta'+\overset\rightharpoonup\gamma'

Los pseudovectores \overset\rightharpoonup\alpha,\;\overset\rightharpoonup\beta,\;\overset\rightharpoonup\gamma se definen como es habitual: si giramos en el sentido de las agujas del reloj en sobre un eje, el vector giro estará sobre el eje en sentido positivo, si el sentido de giro es el contrario, estará en sentido negativo. Teniendo esto en cuenta, y observando la figura 5, en la que vemos en rojo las posiciones que ocupan los vectores de rotación de Euler, podemos deducir las componentes del vector \overrightarrow\Omega en la base X'''Y'''Z''':

{\left\{\overset\rightharpoonup\alpha'+\overset\rightharpoonup\beta'+\overset\rightharpoonup\gamma'\right\}}_{X'''Y'''Z'''}=\begin{bmatrix}\gamma'+\alpha'\cos\left(\beta\right)\\\alpha'\sin\left(\beta\right)\sin\left(\gamma\right)+\beta'\cos\left(\gamma\right)\\\alpha'\sin\left(\beta\right)\cos\left(\gamma\right)-\beta'\sin\left(\gamma\right)\end{bmatrix}.

Este seria el caso más general de composición de tres rotaciones de Euler; a menudo, en las aplicaciones prácticas, sólo necesitaremos uno o dos giros para representar la velocidad angular. Dependerá de la geometría de cada problema cuáles ejes y rotaciones serán los más adecuados.

En general es complicado manejar velocidades y aceleraciones angulares en referencias móviles; no obstante, hay casos especiales que pueden simplificar el problema. Uno a considerar se presenta en la figura 5:

Fig. 6: composición simple de rotaciones
Fig. 6: composición simple de rotaciones

Supongamos que tenemos una referencia móvil Ref2 de la cual tenemos su vector velocidad angular \Omega respecto la referencia fija Ref1 (en la figura es el vector en rojo, representado verticalmente, pero puede tener cualquier dirección), y hay un objeto que está girando con velocidad angular w respecto Ref2 en torno a un eje fijo en Ref2; entonces, la velocidad angular del objeto respecto la referencia fija Ref1 es simplemente \left.\overrightarrow\Omega\right|+\overrightarrow w [1] : podemos sumar las velocidades angulares sin recurrir a ángulos de Euler.

Ejemplo 1: En este ejemplo, basado en los apuntes de la asignatura de Mecánica de los estudios de Ingenieria Industrial debidos al profesor Joaquim Agulló (ETSEIB - cpda, 1980), estudiamos la cinemática de un punto en una base móvil usando los ángulos de Euler. En la figura 6 vemos un volante que gira en torno al eje aa', el cual está sujeto a una plataforma mediante una articulación de tal forma que el eje aa' puede oscilar en torno al eje bb'. La propia plataforma puede oscilar respecto a un tercer eje cc'. Se pide: a) expresar la velocidad angular del volante en una base móvil adecuada usando ángulos de Euler, b) dar los componentes de la velocidad de un punto P de la periferia del volante en la base móvil del punto anterior.

Fig. 6: volante que gira solidariamente a una plataforma giratoria
Fig. 7: volante que gira en torno al eje aa', el cual a su vez puede oscilar en torno al eje bb' solidariamente a una plataforma que a su vez, puede oscilar según el eje cc'

Primero hay que decidir, atendiendo a la geometría del problema, los ejes fijos y móviles que usaremos; en este caso, parece bastante evidente que los propios ejes aa', bb' y cc' son los más adecuados para describir el movimiento del volante respecto a una referencia fija. De hecho, tomando los ejes moviles aa',  bb' y el tercer eje simplemente el perpendicular al plano bb'-cc', sólo necesitaremos dos ángulos de Euler para describir la rotación de la base móvil pues el eje aa' será directamente el tercer eje. En este caso, podemos ya describir los ángulos de Euler \alpha, \beta de la base XYZ móvil, y los ejes fijos XYZ:

Fig. 7: ejes y ángulos de Euler para el volante del problema
Fig. 8: una elección posible de ejes y ángulos de Euler para el volante del problema

El origen O de las referencias fija y móvil es el mismo: el centro de la plataforma. Encontremos ahora los componentes de las velocidades de las rotaciones de Euler (vectores en rojo en la figura 7) respecto los ejes girados X''Y''Z'', proyectándolos según los ángulos \alpha, \beta, esto equivale a decir, encontrar la velocidad angular de la referencia móvil X''Y''Z'', expresada en su propia base, que es, llamando Ref2 a la referencia de ejes X''Y''Z'', y origen O:

{\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}\alpha'\cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'\sin\left(\beta\right)\end{bmatrix}, [2]

que se interpreta así: velocidad angular de la Ref2, \overrightarrow\Omega}_{Ref2}, relativa a la referencia fija Ref1, {\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}, con componentes expresados en la base móvil Ref2, {\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}.

Expresemos ahora la velocidad angular del volante respecto Ref1 en la base de Ref2, suponiendo que el volante gira con velocidad angular \gamma' en el sentido contrario a las agujas del reloj respecto del eje aa'. Visto desde la referencia 2 el volante sólo gira en torno al eje fijo (en la Ref2) aa', así pues,

{\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_V\right|}_{Ref2}\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}0\\0\\\gamma'\end{bmatrix},

que se interpreta: velocidad angular del volante V, relativa a la referencia móvil Ref2, expresada en a base móvil de la Ref2. Para convertir esta velocidad a la relativa a la referencia fija Ref1 observamos que el volante gira en torno a un eje fijo, el Z'', en la Ref2 con velocidad angular que, expresada en la base de la Ref2, es {\left\{{\left.\overrightarrow\omega\right|}_{Ref2}\right\}}_{Ref2}=\left(0,0,\gamma'\right), y a su vez la Ref2 gira con velocidad angular [2] respecto a la Ref1; aplicando [1], encontramos que:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\overrightarrow\omega\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}={\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}+{\left\{{\left.\overrightarrow\omega\right|}_{Ref2}\right\}}_{Ref2}=\\\begin{bmatrix}\alpha'cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'sin\left(\beta\right)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\gamma'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha'cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'sin\left(\beta\right)+\gamma'\end{bmatrix}\end{array} [3].

Para encontrar la velocidad respecto de la referencia fija Ref1 de un punto P cualquiera de la periferia del disco derivaremos el vector OP, expresado en la base móvil Ref2; para ello usaremos la formula de derivación de vectores expresados en bases móviles respecto de una referencia fija (ver Cinemática vectorial: sistemas de referencia, vectores posición, velocidad y aceleración, ecuación [4]):

\boxed{{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\right\}}_{base}} [4],

que para el vector de posición OP será:

{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overrightarrow{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}={\left\{\frac{\operatorname d\overrightarrow{OP}}{\operatorname dt}\right\}}_{Ref2}+{\left\{\Omega\times\overrightarrow{OP}\right\}}_{Ref2} [5]

Las componentes de OP en la base Ref2 serán, considerando el centro O' del disco de radio r, y tomando el ángulo \gamma de giro alrededor del eje Z'', como muestra la figura 9,

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P}=\begin{bmatrix}0\\0\\L\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}r\cos\left(\gamma\right)\\r\sin\left(\gamma\right)\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}rcos\left(\gamma\right)\\rsin\left(\gamma\right)\\L\end{bmatrix}. [6]

Fig. 8: coordenadas de un punto del disco
Fig. 9: coordenadas de un punto del disco

Aplicamos [5] usando [6] y [2]:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overrightarrow{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}=\frac d{dt}\begin{bmatrix}rcos\left(\gamma\right)\\rsin\left(\gamma\right)\\L\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\alpha'cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'sin\left(\beta\right)\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}rcos\left(\gamma\right)\\rsin\left(\gamma\right)\\L\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}-r\gamma'\sin\left(\gamma\right)\\r\gamma'cos\left(\gamma\right)\\0\end{bmatrix}+\begin{vmatrix}i&j&k\\\alpha'cos\left(\beta\right)&\beta'&-\alpha'sin\left(\beta\right)\\rcos\left(\gamma\right)&rsin\left(\gamma\right)&L\end{vmatrix}=\\\begin{bmatrix}-r\gamma'sin\left(\gamma\right)\\r\gamma'cos\left(\gamma\right)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\beta'L+\alpha'rsin\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)\\-L\alpha'cos\left(\beta\right)-\alpha'rsin\left(\beta\right)cos\left(\gamma\right)\\\alpha'rcos\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)-\beta'rcos\left(\gamma\right)\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}\beta'L+\alpha'rsin\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)-r\gamma'sin\left(\gamma\right)\\-L\alpha'cos\left(\beta\right)-\alpha'rsin\left(\beta\right)cos\left(\gamma\right)+r\gamma'cos\left(\gamma\right)\\\alpha'rcos\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)-\beta'rcos\left(\gamma\right)\end{bmatrix}.\\\end{array}

 

Cinemática vectorial: sistemas de referencia, vectores posición, velocidad y aceleración

La Cinemática se ocupa de describir matemáticamente el movimiento de los cuerpos materiales, en este artículo sólo trataremos cuerpos de dimensiones puntuales, y en este caso simple la descripción del movimiento se basa en los conceptos de posición, velocidad y aceleración. La Cinemática Vectorial, parte de la Mecánica Vectorial, usa la matemática de los vectores, el Álgebra vectorial y el Cálculo diferencial vectorial, para describir y calcular posiciones, velocidades y aceleraciones.

El movimiento es siempre relativo a quién lo describe; el pasajero de un tren de alta velocidad describirá el movimiento dentro del tren de forma distinta a un observador que ve pasar el tren y mira en su interior. Es por esto que se necesita decidir un sistema de referencia antes de calcular nada. En Mecánica Vectorial, escoger un sistema de referencia equivale a escoger un punto O origen de coordenadas, y una base vectorial del espacio, que serán dos o tres vectores (dependiendo de si el espacio que consideramos es plano o tridimensional) unitarios (de módulo igual  la unidad) y perpendiculares entre sí (ortogonales), en el caso del espacio tridimensional, además escogemos una orientación de la base.

Referencias y vector posición

La cinemática del punto usa el concepto de espacio euclídeo para representar el espacio físico real: para definir un marco de referencia euclídeo debemos dar un origen de coordenadas O y una base, que para el espacio tridimensional es un conjunto de tres vectores ortogonales unitarios e_1,e_2,e_3 (también llamados ortonormales).

Fig. 1: ejes ortogonales, base ortogonal, origen de coordenadas, definen una referencia euclídea
Fig. 1: ejes ortogonales, base ortogonal, origen de coordenadas, definen una referencia euclídea

Cualquier punto P en el espacio tendrá asociado un vector de posición OP, que se expresará según una combinación lineal de los vectores de la base; esto significa que, dados dos sistemas de referencia con el mismo origen O pero distintas bases, los vectores de posición de un mismo punto del espacio P serán distintos en cada referencia. También, dos referencias con la misma base pero distintos orígenes O, O' darán, para un mismo punto del espacio, diferentes vectores de posición.

Ejemplo 1: En el sistema de referencia Ref1, el vector posición OP de un punto tiene por coordenadas (0, 2, 2); otro sistema de referencia Ref2 tiene los ejes paralelos a Ref1, y la misma base, pero su origen O' tiene coordenadas en Ref1 (0, 0, -2). Determinar el vector posición O'P en la referencia Ref2.

Fig. 2: dos referencias con distintos orígenes y la misma base
Fig. 2: las dos referencias del ejemplo 1

En la figura 2 vemos la geometría del problema; el vector O'P forma un triángulo con los vectores OP, OO'. Usando las propiedades de los vectores, O'P = O'O + OP; el vector O'O es el inverso de OO', el cual a su vez es el vector posición de O' respecto a O, que es un dato del problema: O'O = -OO' = - (0, 0, -2) = (0, 0, 2). Nos queda:

O'P = O'O + OP = (0, 0, 2) + (0, 2, 2) = (0, 2, 4).

Ejemplo 2: Cuando dos referencias Ref1, Ref2 difieren en sus bases, puede determinarse el vector posición en una referencia conociendo el de la otra usando la matriz de cambio de base [S]; se cumple, para un vector cualquiera u:

{\left\{\overset\rightharpoonup u\right\}}_{Ref1}=\left[S\right]{\left\{\overset\rightharpoonup u\right\}}_{Ref2} [1]

donde la matriz [S]  tiene por columnas los componentes de la base de Ref2 en la base de Ref1. Por ejemplo, sea la base de Ref1 la habitual (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), y la base de Ref2 expresada según la base de Ref1, \left(1/\sqrt2,1/\sqrt2,0\right),\;\left(1/\sqrt2,-1/\sqrt2,0\right),\;(0,0,1). La matriz de cambio de base es

\left[S\right]=\begin{bmatrix}1/\sqrt2&1/\sqrt2&0\\1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\\0&0&1\end{bmatrix}

Si el punto P tiene coordenadas (1,1,1) en Ref2, entonces en Ref1 serán

\left[S\right]\cdot\left(1,1,1\right)=\begin{bmatrix}1/\sqrt2&1/\sqrt2&0\\1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/\sqrt2\\0\\1\end{bmatrix}.

Referencias móviles, y referencias galileanas

Se da el caso de que puede haber movimiento entre referencias: diremos que son referencias móviles; en el caso especial de que el movimiento sea rectilíneo uniforme, diremos que son referencias galileanas, también denominadas sistemas de referencia inerciales. Un espacio euclídeo descrito por referencias galileanas representa un espacio físico homogeneo (todos los puntos tienen las mismas propiedades) e isótropo (en todas las direcciones posibles el espacio tiene las mismas propiedades), y un tiempo uniforme (transcurre al mismo ritmo en todo el espacio). Las leyes de Newton fueron enunciadas, y sólo se cumplen en, sistemas de referencia inerciales.

Si la referencia móvil tiene aceleración (no describe un movimiento rectilíneo uniforme), decimos que es una referencia no galileana, o equivalentemente,  una referencia no inercial. En estas referencias no se cumplen las leyes de Newton.

Dado que, en la práctica, se dan muchos casos de movimientos complicados, que son composición de diversos movimientos, y dan lugar a ecuaciones y expresiones también complicadas, es muy útil expresar esos movimientos según vectores usando una base móvil, que "acompañe" al cuerpo móvil, para simplificar las expresiones. Pero hemos dicho que una base móvil con aceleración, no es un sistema de referencia inercial, y por tanto en ella no se cumplen las leyes de Newton. Para resolver este punto, se recurre al "truco" de encontrar los vectores posición, velocidad y aceleración respecto a una base fija inercial, en la que se cumplen las leyes de Newton, pero expresando las componentes de los vectores en una base móvil adecuada para simplificar las expresiones. Dado que la velocidad es la derivada de la función posición, y la aceleración es a su vez la derivada de la velocidad, lo que acabamos de decir implica que tenemos que saber derivar un vector que está expresado en una base que es móvil (no inercial, en general), respecto a otra base que es fija (más exactamente, inercial).

Vector velocidad

El vector velocidad de un punto P relativo a la referencia Ref se define por la expresión

{\overset\rightharpoonup v}_{Ref}\left(P\right)={\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\underset{\triangle t\rightarrow0}{lim}\frac{\overset\rightharpoonup{OP}\left(t+\triangle t\right)-\overset\rightharpoonup{OP}\left(t\right)}{\triangle t}

Es importante notar que la derivada se define también respecto a la referencia; si la referencia no es fija sino que se está moviendo, la derivada tendrá que tener en cuenta la variación creada por este movimiento. Pensemos que, un punto fijo en una referencia Ref1, se verá como móvil en otra referencia Ref2 que se está moviendo respecto a Ref1.

Derivación de vectores respecto a bases móviles

Supongamos que tenemos un vector cualquiera u expresado respecto a una base móvil. Para calcular su derivada respecto a una referencia fija:

{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}={\textstyle\sum_{i=1}^3}\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}\cdot{\overset\rightharpoonup e}_i+{\textstyle\sum_{i=1}^3}u_i\cdot{\left.\frac{\operatorname d{\overset\rightharpoonup e}_i}{\operatorname dt}\right|}_{Ref} [2]

donde las e_i son los vectores de la base móvil, u_i las componentes del vector u en la base móvil.  Damos ahora la siguiente propiedad algebraica, que no demostramos:

Propiedad 1: la derivada temporal de una base móvil respecto a una referencia fija puede expresarse mediante el producto vectorial de la velocidad angular de la base por cada uno de los vectores de la base.

{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{e_i}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\overset\rightharpoonup\omega\times\overset\rightharpoonup{e_i} [3]

Usando [3] en [2] obtenemos

\begin{array}{l}{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}={\textstyle\sum_{i=1}^3}\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}\cdot{\overset\rightharpoonup e}_i+{\textstyle\sum_{i=1}^3}u_i\cdot\overset\rightharpoonup\omega\times\overset\rightharpoonup{e_i}=\\{\textstyle\sum_{i=1}^3}{\textstyle\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}}{\textstyle\cdot}{\textstyle\overset\rightharpoonup e}{\textstyle+}{\textstyle\overset\rightharpoonup\omega}{\textstyle\times}{\textstyle\sum_{i=1}^3}{\textstyle u}{\textstyle{}_i}{\textstyle\cdot}{\textstyle\overset\rightharpoonup{e_i}}{\textstyle=}{\textstyle\;}{\textstyle\sum_{i=1}^3}{\textstyle\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}}{\textstyle\cdot}{\textstyle\overset\rightharpoonup e}{\textstyle+}{\textstyle\overset\rightharpoonup\omega}{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\end{array}

Podemos resumir este resultado así:

\boxed{{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\right\}}_{base}} [4],

que se expresará como propiedad así:

Propiedad 2: La derivada temporal respecto de una referencia fija de un vector u expresado en una base móvil es igual a la derivada temporal respecto a la base móvil más el producto vectorial de la velocidad angular de la base móvil (respecto la referencia fija) por el vector u.

Ejemplo 2: Un disco de radio R está girando respecto nuestro sistema de referencia fijo con una velocidad angular Ω. Encima del disco, a una distancia r del centro, una partícula P se está moviendo a velocidad constante y siguiendo una línea paralela al diámetro del disco, como muestra la figura 3; en el instante t = 0 ocupaba la posición O'. Definimos la referencia Ref1 como la fija, y la Ref2 con origen en O', un eje que sigue la trayectoria del punto, y el otro eje perpendicular al anterior; esta Ref2 vista desde la Ref1 gira con el disco, como se ve en la figura 3. Notar que, al no tener movimiento rectilíneo uniforme, Ref2 no es galileana. Hallar el vector velocidad de P respecto la Ref1 en (a) la base de Ref2, (b) la base de Ref1.

 

Fig. 3: referencias fijas y móviles

 La velocidad de P respecto la Ref1 viene dada por la derivada del vector OP respecto a Ref1; queremos expresar este vector en la base de la Ref2, que es móvil. Para ello, usamos la expresión [4], siendo el vector \overrightarrow u=\overrightarrow{OP}. El vector OP cumple OP = OO' + O'P, tenemos que expresar estos vectores en la base móvil de la Ref2:

\begin{array}{l}{\left\{\overrightarrow{OP}\right\}}_{Ref2}={\left\{\overrightarrow{OO'}\right\}}_{Ref2}+{\left\{\overrightarrow{O'P}\right\}}_{Ref2}=\\\begin{bmatrix}0\\r\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}vt\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}vt\\r\\0\end{bmatrix}\end{array}

El vector velocidad angular de Ref2, expresado en la base de Ref2, es

{\left\{\Omega\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}

ya que los ejes Z son paralelos en Ref1 y Ref2. Aplicamos [4]:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\right\}}_{base}=\\\frac d{dt}\begin{bmatrix}vt\\r\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}vt\\r\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{vmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\vt&r&0\end{vmatrix}=\begin{bmatrix}v\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}\end{array}. [5]

Para pasar este vector velocidad de la base de Ref2 a la de Ref1, usamos la matriz de cambio de base S, que recordemos que cumple {\left\{u\right\}}_{Ref1}=\left[S\right]\cdot{\left\{u\right\}}_{Ref2}, donde S es la matriz que tiene por columnas los vectores de la base Ref2 expresados según la base Ref1:

\left[S\right]=\begin{bmatrix}\sin\left(\theta\right)&\cos\left(\theta\right)&0\\-\cos\left(\theta\right)&\sin\left(\theta\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix} [6]

donde \theta es el ángulo formado por los ejes de Ref2 y Ref1, que será igual a la velocidad angular por el tiempo: \theta=\omega t. Los coeficientes de la matriz S los deducimos de la geometría del problema:

Fig. 4: Los vectores e1, e2 de la base móvil Ref2 pueden descomponerse según las direcciones de los ejes de Ref1
Fig. 4: Los vectores e1, e2 de la base móvil Ref2 pueden descomponerse según las direcciones de los ejes de Ref1

Aplicamos el cambio de base:

{\left\{\overrightarrow v\left(P\right)\right\}}_{Ref1}=\left[S\right]\cdot{\left\{\overrightarrow v\left(P\right)\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}\sin\left(\theta\right)&\cos\left(\theta\right)&0\\-\cos\left(\theta\right)&\sin\left(\theta\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\left(v-r\omega\right)\cdot sin\left(\omega t\right)+\omega vt\cdot cos\left(\omega t\right)\\-\left(v-r\omega\right)\cdot cos\left(\omega t\right)+\omega vt\cdot sin\left(\omega t\right)\\0\end{bmatrix} [7].

Comparando [5] con [7] vemos que el último tiene una expresión bastante más complicada, aunque hay que recordar que ambas expresiones son el mismo vector velocidad del punto P respecto Ref1, sólo que expresadas en bases distintas. Es por esto que puede ser conveniente trabajar con bases móviles, para simplificar las expresiones.  En la figura 5 vemos las gráficas de las componentes del vector velocidad [7] respecto al tiempo; son oscilantes con módulo creciente, ya que a medida que P se mueve hacia la periferia del disco, su distancia al centro de giro O aumenta, y por tanto también su velocidad lineal respecto Ref1 (respecto Ref2 es constante). Los picos de velocidad respecto a cada eje corresponden a ceros en el otro eje perpendicular.

Fig. 6: gráficas de las componentes de la velocidad respecto Ref1
Fig. 5: gráficas de las componentes de la velocidad respecto Ref1

Ejemplo 3: Consideramos el mismo disco del ejemplo 2, pero ahora el punto se está moviendo a lo largo de un radio.

velocitat base mòbil6
Fig. 6: movimiento radial de un punto P sobre un disco giratorio

En la referencia móvil Ref2, que está girando con el disco, la posición O'P es simplemente (0, r(t), 0), y el vector OP expresado en la base móvil será el mismo, {OP}ref2 = {O'P}ref2, ya que O y O' coinciden. La velocidad de P respecto la referencia fija Ref1 expresada en función de la base de Ref2 es:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{OP}}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup{OP}}\right\}}_{base}=\\\frac d{dt}\begin{bmatrix}0\\r(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0\\r(t)\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\r'(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{vmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\0&r(t)&0\end{vmatrix}=\begin{bmatrix}0\\r'(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}\end{array}

La componente -r(t)\omega es perpendicular a la trayectoria de P, siendo la velocidad tangencial que sabemos del movimiento circular, la componente r'(t) es simplemente la derivada respecto al tiempo de la función r(t), con el sgnificado de velocidad en sentido radial.

Vector aceleración, aceleraciones centrípeta y de Coriolis

El vector aceleración de un punto P relativo a la referencia Ref se define por la expresión

{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)={\left.\frac{\operatorname d{\overrightarrow v}_{Ref}\left(P\right)}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\underset{t\rightarrow0}{lim}\frac{{\overrightarrow v}_{Ref}\left(t+\triangle t\right)-{\overrightarrow v}_{Ref}\left(t\right)}{\triangle t} [8]

Es importante destacar que, al derivar respecto al tiempo el vector velocidad de un punto respecto a una referencia Ref, la derivada ha de realizarse respecto a la misma referencia Ref para que el resultado sea una aceleración, de lo contrario, ¡el vector obtenido puede no tener significado físico!

Además, la derivada nos da la variación instantánea, respecto a la referencia, del vector velocidad, que puede ser en módulo, en dirección, en sentido, o en una combinación de las tres. Por tanto, si una velocidad es nula en un momento dado, o bien tiene un módulo constante, no implica que su derivada sea nula.

Ejemplo 4: Calcular la aceleración de P del ejemplo 3 respecto a la referencia fija Ref1 en las coordenadas móviles de Ref2, considerando que la velocidad de rotación del disco es variable (el disco está acelerando).

Aplicamos la definición [8]

{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)={\left.\frac{\operatorname d{\overrightarrow v}_{Ref}\left(P\right)}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\frac d{dt}{\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}}_{Ref}

El vector velocidad viene dado según la base móvil Ref2, pero derivamos respecto a la base fija Ref1, por tanto usamos la expresión [4], abreviamos las derivadas respecto al tiempo usando apóstrofes: r' significa dr/dt, r'' significa d²r/dt², etc:

\begin{array}{l}{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)=\frac d{dt}{\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}}_{Ref}=\frac d{dt}\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}+\overrightarrow\Omega\times\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}-r'(t)\omega+r(t)\omega'\\r''(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\-r(t)\omega&r'(t)&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-r'\omega+r\omega'-\omega r'\\r''(t)-\omega^2r\\0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}r\omega'-2\omega r'\\r''(t)-\omega^2r\\0\end{bmatrix}\end{array}.

Tenemos aceleración en dos direcciones perpendiculares: ll componente r''-r\omega^2 da cuenta de la aceleración del punto P según r''(t) y además aparece una aceleración adicional, que tiene la misma dirección que el movimiento de P pero sentido contrario, y es la denominada aceleración centrípeta, que sería la única componente que tendríamos si el punto P tuviera velocidad constante o nula respecto el disco.

Como P además se mueve respecto al disco, aparece un componente adicional de aceleración perpendicular al movimiento de P. En el caso particular de que el disco gire con velocidad angular constante, \omega'=0, este término perpendicular se reduce a -2\omega r': esta aceleración tangencial se conoce como aceleración de Coriolis.

Ejemplo 5: calcular la aceleración del punto P del ejemplo 2 respecto a la referencia fija Ref1.

El vector velocidad viene dado según la base móvil Ref2, pero derivamos respecto a la base fija Ref1, por tanto usamos la expresión [4]:

\begin{array}{l}{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)=\frac d{dt}{\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}}_{Ref}=\frac d{dt}\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}+\overrightarrow\Omega\times\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}0\\\omega v\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\omega v\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\v-r\omega&\omega vt&0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}0\\\omega v\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-\omega^2vt\\\omega\left(v-r\omega\right)\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\omega^2vt\\-r\omega^2\\0\end{bmatrix}\end{array}

Sobre las aceleraciones y fuerzas "ficticias", o "pseudofuerzas"

Es una costumbre generalizada llamar ficticias a las aceleraciones que hemos visto que "aparecen" en el cálculo, al derivar vectores expresados en bases no inerciales respecto de bases inerciales, como la aceleración centrípeta o la de Coriolis; el motivo de rebajar estas aceleraciones, que de hecho existen, al rango de "ficticias", es por que, según nos dicen, no hay ningún agente que las provoque, "nadie hace fuerza" para provocar esas aceleraciones. Dado que la 2ª ley de Newton, F = ma, relaciona aceleración con fuerza, se sigue que a cada aceleración ficticia le podemos asociar una fuerza ficticia, o "pseudofuerza". Por ejemplo es esa (pseudo)fuerza centrífuga que, cuando vamos en un coche que coge una curva a gran velocidad, nos presiona contra la puerta que tenemos al lado.

Para mi humilde opinión, esta forma de discriminación entre aceleraciones confunde más que ayuda a comprender la realidad física. Todas las aceleraciones son reales, no existen las ficticias.

Las aceleraciones lo que son es cambios temporales de la velocidad: siempre que el vector velocidad cambie, hay una aceleración. En el caso de un sistema de referencia no inercial, es el propio espacio que tomamos como referencia el que está cambiando las velocidades, que recordemos, son relativas al sistema de referencia, y por tanto, por definición, hay aceleraciones. Estas aceleraciones son las responsables de, por ejemplo, variar la velocidad para que el móvil efectúe un movimiento circular (por tanto no rectilíneo uniforme)

Esto se ve muy bien en la teoría de la Relatividad General y su principio de equivalencia:   la presencia de masa deforma el espacio circundante, que deja de ser euclídeo, por tanto cualquier sistema de referencia que lo represente será no inercial (recordemos que los inerciales se relacionan con espacios euclídeos), y aparecen aceleraciones vinculadas a  la referencia no inercia, en este caso especial, la aceleración no inercial es la gravedad.  De hecho, la gravedad no es una fuerza, sino una aceleración. El peso es la fuerza que contrarresta la aceleración de la gravedad, que nos sostiene en equilibrio; por eso en la caída libre no se experimenta peso alguno, hay sensación de ingravidez. Una explicación de este hecho, muy sencilla, a nivel divulgativo, es esta: Espacio-tiempo curvo para todos los públicos.

Entonces, hay una aceleraciones producidas directamente por fuerzas aplicadas, y hay otras producidas por el espacio de referencia no inercial; en este último caso, también pueden existir fuerzas reales vinculadas: en el caso del coche que toma la curva, la fuerza que hace el asiento, el cinturón de seguridad, y quizás la puerta, sobre nosotros, es la que genera la aceleración centrípeta necesaria para que nuestra masa tome la curva; si soltamos el cinturón y abrimos la puerta, salimos despedidos hacia fuera del coche, en dirección tangencial a la curva, debido a que en ausencia de fuerzas nuestra masa vuelve a la referencia inercial sin aceleración: a la trayectoria recta. En cambio, la fuerza centrífuga si podría llamarse una pseudo-fuerza, pero creo que es más apropiado no llamarla de ningún modo, pues simplemente no existe: no hay ninguna fuerza que nos empuje fuera del coche en la curva, al contrario, hay una única fuerza real, la centrípeta, que nos obliga a tomar la curva.

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Vectores en Física

Invariancia y vectores

Muchas leyes físicas tienen la propiedad llamada invariancia frente a transformaciones de coordenadas, concretamente presentan invariancia respecto a la traslación y a la rotación de los ejes. Por ejemplo, pensemos en una fuerza aplicada sobre un objeto de masa m = 1Kg tal que su magnitud es de 10N y su dirección forma un ángulo de 45 con el eje X, siendo su sentido positivo. Esa fuerza provocará una aceleración sobre el cuerpo, de magnitud dada por la ley de Newton a = F / m = 10N / 1Kg = 10 m/s² y dirección coincidente con la de la fuerza. Si nos preguntamos que cambiará cuando movemos los ejes de coordenadas hacia la derecha, y los giramos 30 grados en sentido antihorario, la respuesta es que la aceleración será exactamente la misma.

La aceleración producida por la fuerza no depende de la traslación o rotación de los ejes de referéncia
Fig. 1: La aceleración producida por la fuerza no depende de la traslación o rotación de los ejes de referencia, lo que varia es su expresión en términos de coordenadas, pero no su magnitud, dirección y sentido

Para aprovechar esta característica de la invariancia y simplificar los enunciados de las leyes y la resolución de problemas se desarrollaron técnicas matemáticas: el álgebra vectorial y el análisis vectorial.

Cuando expresamos una igualdad física en términos de vectores, estamos asegurando que se cumplirá en cualquier sistema de coordenadas.  Las propiedades de transformación de un vector cuando modificamos las coordenadas son las mismas que las de un movimiento en línea recta de un punto A hasta otro B.

Fig. 2: el movimiento de A hasta B puede definirse por las coordenadas según unos ejes de los puntos A, B
Fig. 2: el movimiento de A hasta B puede definirse por las coordenadas según unos ejes de los puntos A, B. En la figura se indican las coordenadas de A en dos ejes de coordenadas distintos.

De la figura 2, usando la geometría del problema y las funciones trigonométricas, y llamando \theta al ángulo que forman los ejes X'Y' con los ejes XY, puede deducirse que las ecuaciones de transformación para pasar de las coordenadas (x, y) a las (x', y') son:

x'=x\cos\left(\theta\right)+y\sin\left(\theta\right),\;y'=ycos\left(\theta\right)-xsin\left(\theta\right) [1]

Como los vectores y los movimientos en linea recta se transforman igual, suele representarse gráficamente un vector como un segmento orientado: una flecha que va de un punto a otro. También se representan por letras en negrita, como F (vector fuerza), o con flechas encima de la letra: \overrightarrow F. A menudo se adjunta al vector sus componentes en unos ciertos ejes, como por ejemplo \overrightarrow F\left(3,4,-1\right), en este caso es importante recordar que implícitamente se está dando también unos ejes de coordenadas. Esto significa que, dados unos números cualesquiera ordenados, como (1, 2, 3), no tienen porque ser un vector, excepto si nos dicen que son las componentes de un vector en unos ejes determinados.

Álgebra vectorial

El álgebra vectorial describe las operaciones matemáticas que podemos efectuar con vectores: podemos sumar y restar vectores entre sí, multiplicarlos entre sí, multiplicarlos por un número real; no podemos dividir un vector por otro, esa operación no está definida. Las reglas de definición de estas operaciones han estado "diseñadas" de forma que se cumpla la invariancia respecto a diferentes ejes de coordenadas. De hecho, las transformaciones de coordenadas dadas por las ecuaciones [1] son transformaciones lineales, por lo que el álgebra vectorial forma parte del álgebra lineal. A partir de estas transformaciones puede demostrarse que si definimos la suma a + b de los vectores \boldsymbol a\left(a_x,a_y\right),\;\boldsymbol b\left(b_x,b_y\right) es tambien un vector, con componentes \left(a_x+b_x,a_y+b_y\right), y que esta suma verifica las propiedades conmutativa, asociativa, tiene  un elemento neutro (el vector nulo) y un elemento opuesto: el opuesto de un vector \boldsymbol a\left(a_x,a_y\right) es también un vector -a de componentes \left(-a_x,-a_y\right).

Definiendo el producto de un vector \boldsymbol a\left(a_x,a_y\right) por un número real k como el vector k\cdot\boldsymbol a\boldsymbol=\left(ka_x,ka_y\right) tenemos completada la denominada estructura de espacio vectorial.

Vectores polares y vectores axiales, o pseudovectores

En Física, los vectores que se transforman según las leyes [1] se denominan vectores polares (o simplemente vectores), pero no cualquier "montaje" \boldsymbol a\boldsymbol=\left(a_x,a_y,a_z,\cdots\right) con cantidades físicas arbitrarias cumplirá las expresiones [1]. Por ejemplo, definamos en cada punto del espacio (x, y, z) la terna (P, T, H) que contiene la presión P, temperatura T y humedad H en ese punto; si cambiamos el sistema de ejes de forma que el punto (x, y, z) pasa a tener coordenadas (x', y', z'), la terna correspondiente seguirá siendo la misma (P, T, H) en ese punto (no cambian la presión ni la temperatura ni la humedad en el punto). Por tanto (P, T, H) no se transforma según las ecuaciones [1] y (P, T, H) no es un vector polar.

En la Física aparecen frecuentemente unos vectores especiales, llamados vectores axiales, o pseudovectores, que se diferencian de los vectores polares al realizar la transformación lineal llamada reflexión respecto de un plano, en la cual dado un vector a y un plano P se busca el vector simétrico b de a respecto de P. En el caso simple de dos dimensiones la reflexión es respecto a una recta, por ejemplo, la reflexión de (x, y) por el eje X (recta y = 0) es el punto (x, -y):

Fig. 3: reflexión de un punto sobre el eje de abscisas X
Fig. 3: reflexión de un punto sobre el eje de abscisas X

Los vectores polares, cuando se reflejan respecto a un plano paralelo a los ejes coordenados, sólo cambian una coordenada, como en el ejemplo de la figura 3. Equivalentemente, un vector polar a(x, y) se transforma en su inverso b(-x, -y)  cuando se cambian de signo sus coordenadas (doble reflexión por planos ortogonales, equivale a girarlo 180⁰), de forma que a + b = 0. Los pseudovectores por su parte cambian todas las coordenadas cuando se reflejan según un plano, equivalentemente, cuando los reflejamos dos veces según los planos coordenados ortogonales obtenemos el pseudovector original.

Fig. 4: dos reflexiones consecutivas de un vector polar respecto de los ejes coordenados resultan en el vector polar inverso del original
Fig. 4: dos reflexiones consecutivas de un vector polar respecto de los ejes coordenados resultan en el vector polar inverso del original

Los vectores axiales necesitan 3 dimensiones para ser visualizados, pero podemos extender su definición a las magnitudes escalares: una magnitud que sólo necesita un número real para expresarse, como por ejemplo la temperatura, se denomina magnitud escalar. Pues bien, igual que existen vectores y pseudovectores, también existen escalares y pseudoescalares.  Los escalares no quedan afectados por una reflexión de los ejes XY, en cambio los pseudoescalares cambian de signo. El ejemplo más simple de pseudoescalar es el módulo de la velocidad angular w en un movimiento circular plano de radio R, en dos dimensiones, con velocidad tangencial v, que numéricamente es w = v²/R; de hecho, la velocidad angular se define como perpendicular al plano de rotación (se "sale" del plano), con un valor positivo si el giro es de derecha a izquierda, y negativo en caso contrario.

Fig. 5: pseudovector velocidad angular, fuente: LP. via Wikimedia Commons

En la figura 6 vemos un movimiento circular plano con dos sistemas de coordenadas, el XY habitual, y otro X'Y' obtenido reflejando sobre el eje X, con lo cual Y' = -Y, y X' = X. En la tabla de la izquierda vemos, en la columna W > 0, la dirección del movimiento cuando la velocidad angular es positiva: en el primer cuadrante se mueve desde el eje X hacia el Y, después del Y hacia el -X, después del -X al -Y, y para terminar del -Y volvemos al X. En la 2ª columna tenemos el movimiento para una velocidad angular negativa. En la 3ª columna está el movimiento visto desde los ejes X'Y', y observamos que coincide con la 2ª columna: este movimiento, según los ejes XY, tiene velocidad angular positiva, pero al reflejar según un eje para obtener los ejes X'Y' la velocidad angular pasa a ser negativa, luego la velocidad angular es un pseudoescalar (en tres dimensiones, será un pseudovector).

Fig. 6: movimiento circular plano y signo de la velocidad angular
Fig. 6: movimiento circular plano y signo de la velocidad angular

Obtención de las coordenadas de un vector axial

La regla de formación habitual de un vector axial en 3 dimensiones w, es formando el denominado producto vectorial de dos vectores polares u, v, denotado por \boldsymbol a\times\boldsymbol b y que se calcula usando el determinante:

\boldsymbol w=\boldsymbol u\times\boldsymbol v\boldsymbol\;=\begin{vmatrix}i&j&k\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix} [2]

donde i, j, k son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y, Z (también llamados versores) o equivalentemente, desarrollando el determinante, por las expresiones:

Fig.7: pseudovector w como producto vectorial de vectores polares u, v
Fig.7: pseudovector w como producto vectorial de vectores polares u, v. Fuente: es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial

El producto vectorial cumple que:

  • [vector] x [vector] = [pseudovector]
  • [pseudovector] x [pseudovector] = [pseudovector]
  • [vector] x [pseudovector] = [vector]

Otros ejemplos importantes de vectores axiales son el momento angular L , el par de fuerzas o momento de una fuerza, el campo magnético H , y el momento del dipolo magnético.

Orientación de los ejes y vectores

Hemos visto que las transformaciones de coordenadas denominadas reflexiones afectan de forma distinta a los vectores polares que a los axiales. Otra forma de exponerlo se refiere a la orientación del sistema de referencia en 3 dimensiones, que puede ser de dos tipos, como vemos en la figura 7.

Fig. 7: orientación relativa de los ejes en tres dimensiones. Fuente: Wikipedia under GFDL by en:User:Tarquin

En el sistema de la izquierda pasamos de X a Y siguiendo el movimiento de las agujas del reloj, en el de la derecha vamos al contrario que el reloj; éste último es el que se utiliza habitualmente. Según lo que hemos explicado del producto vectorial, el de la derecha cumple, llamando x al vector unitario según X, y al vector unitario según Y, z al vector unitario según Z, que

\boldsymbol x\times\boldsymbol y\boldsymbol\;=\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}=\left(0,0,1\right)=\boldsymbol z

Abreviadamente, \boldsymbol x\times\boldsymbol y\boldsymbol\;=\boldsymbol z, en cambio en el sistema de referencia de la izquierda se cumple que \boldsymbol x\times\boldsymbol y\boldsymbol\;=-\boldsymbol z. Ambos sistemas de coordenadas cartesianos son igualmente válidos para describir las leyes de la Física, aunque de forma estándar se usa el de la derecha.

Análisis vectorial

La otra rama matemática que se ha desarrollado en torno a los vectores tiene que ver con el cálculo diferencial e integral. Considerando que los vectores pueden ser funciones, podemos aplicarles el análisis matemático, teniendo en cuenta sus propiedades como vectores.

Por ejemplo, dado un vector velocidad v variable, que es función del tiempo, como \boldsymbol v=3t\boldsymbol i+t^2\boldsymbol j-6=\left(3t,t^2,-6\right), su derivada será otro vector, el vector aceleración a, que se obtiene derivando cada coordenada por separado:

\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup v}{\operatorname dt}=\left(3t\overset\rightharpoonup i+t^2\overset\rightharpoonup j-6\overset\rightharpoonup k\right)'=3\overset\rightharpoonup i+2t\overset\rightharpoonup j=(3,2t,0),

donde el apostrofe indica la derivada respecto al tiempo: \frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup v}{\operatorname dt}=\overset\rightharpoonup v'.

Leyes de Newton en notación vectorial: mecánica vectorial

Como ejemplo importante de análisis vectorial podemos dar la 2ª ley de Newton en forma vectorial, y usando derivadas vectoriales:

\overset\rightharpoonup F=\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup p}{\operatorname dt}=\frac{\operatorname d\left(m\overset\rightharpoonup v\right)}{\operatorname dt} [3]

donde F es el vector fuerza, p es el vector impulso, y v el vector velocidad. La expresión vectorial [3] indica que se cumplen tres igualdades (una para cada componente de los vectores), en un sistema de ejes cartesianos cualquiera. A esta presentación de la dinámica de Newton usando vectores se la denomina Mecánica Vectorial.

Ejemplo 1: un punto material se mueve describiendo una trayectoria curva complicada, de forma que en el instante t = 1 su vector velocidad es (3, 1, -1) y en el instante t = 2 es (2, 0, 0). Calcular su vector aceleración media en ese intervalo de tiempo.

Como no tenemos la expresión de la velocidad como función del tiempo, no podemos usar derivadas, hay que proceder con la definición de aceleración media usando diferencias:

\boldsymbol a=\frac{\triangle\boldsymbol v}{\triangle t}=\frac{(2,\;0,\;0)-(3,\;1,\;-1)}{2-1}=\left(-1,-1,+1\right)

Ejemplo 2: un objeto puntual P se mueve radialmente encima de un disco, moviéndose desde el centro O hacia la periferia, viniendo dada su distancia al centro por la función r(t) = t²+2t.

Fig. 8: partícula con un movimiento radial sobre un disco giratorio
Fig. 8: partícula con un movimiento radial sobre un disco giratorio

El disco gira con velocidad angular \psi'  respecto a nuestro sistema de referencia en reposo, donde \psi es el ángulo que forma el radio que está recorriendo el objeto respecto a su posición inicial, y el apostrofe indica la derivada respecto al tiempo: \psi'=\frac{\operatorname d\psi}{\operatorname dt}.  Calcular la velocidad del objeto respecto a nosotros.

Este tipo de problemas se resuelve considerando la composición de movimientos: tenemos el movimiento del disco, con vector velocidad angular \overset\rightharpoonup\psi=\left(0,0,\psi'\right), ya que hemos visto que al girar en el sentido contrario a las agujas del reloj, el vector velocidad angular saldrá del plano XY en sentido positivo. Por otro lado si definimos otro sistema de coordenadas X'Y'Z' que gira solidariamente con el disco, de forma que su eje X' coincide con la trayectoria del punto P, y su eje Z' coincide con el vector velocidad angular, entonces el vector posición del punto P respecto a X'Y'Z' será \overset\rightharpoonup{OP}=\left(r\left(t\right),0,0\right).

El vector velocidad se obtiene derivando el vector posición, pero como lo queremos respecto al sistema de referencia fijo, usaremos el siguiente resultado del análisis vectorial referente a derivadas con respecto a referencias que se mueven uno respecto a la otra, como es el caso de XYZ y X'Y'Z':

\boxed{{\left.\frac d{dt}\right|}_{XYZ}\overset\rightharpoonup{OP}={\left.\frac d{dt}\right|}_{X'Y'Z'}\overset\rightharpoonup{OP}+\overset\rightharpoonup\psi\times OP}

Lo aplicamos al problema dado:

\begin{array}{l}{\left.\frac d{dt}\right|}_{XYZ}\overset\rightharpoonup{OP}={\left.\frac d{dt}\right|}_{X'Y'Z'}\left(t^2+2t,0,0\right)+\left(0,0,\psi'\right)\times\left(t^2+2t,0,0\right)=\\\left(2t+2,0,0\right)+\left(0,\left(2t+2\right)\psi',0\right)=\left(2t+2,\left(2t+2\right)\psi',0\right)=\\\boxed{\left(2t+2\right)\left(1,\psi',0\right)}\end{array}.

Campos vectoriales y teoría de campos

Cuando asociamos a cada punto del espacio, localizado por su vector posición, otro vector, que representa una magnitud vectorial, estamos definiendo una aplicación vectorial de variable vectorial, que denominamos campo vectorial. Por ejemplo, en el movimiento de un fluido por un conducto, por cada punto del espacio tendremos un vector velocidad del fluido. El análisis matemático aplicado a campos vectoriales proporciona herramientas para obtener analíticamente propiedades del campo físico real; por ejemplo la ley de Faraday que relaciona el campo eléctrico \overset\rightharpoonup E con el campo magnético \overset\rightharpoonup B utiliza derivadas e integrales de línea:

Ley de Faraday. Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell

La rama de la Física Matemática que relaciona los campos vectoriales con los campos físicos reales, como el campo gravitatorio, el eléctrico, etc, es la teoría de campos. Siendo que esta teoría se ha desarrollado hasta abarcar la Mecánica Cuántica y la Física de partículas (como por ejemplo hace la teoría de campos llamada Cromodinámica Cuántica), resulta que prácticamente todo en Física moderna son campos, aunque no vectoriales, sino de un tipo más general.