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Las transformaciones de Lorentz pueden ser a veces algo laboriosas de utilizar en cierto problemas, dando lugar a largos cálculos; H. Minkowski introdujo en 1908 unos diagramas en donde se representa el espacio-tiempo de forma que permite obtener las transformaciones de Lorentz de forma gráfica. En el eje de abscisas se representa el espacio unidimensional, x, y en el eje de abscisas el tiempo, pero multiplicado por c.

Para resolver transformaciones de Lorentz entre dos sistemas inerciales S y S', éste último moviéndose a velocidad v con respecto al primero, se considera que los ejes x, ct de S son rectangulares, y en ese caso los ejes x', ct' de S' serán oblicuos. La línea punteada en la figura 1 representa la trayectoria en el espacio-tiempo de una señal luminosa que en el tiempo t = 0 parte del origen de coordenadas, y es la bisectriz de los ejes x, ct, pues la luz recorre en un tiempo ct = 1 -> t = 1/c una distancia x = c·t = c/c = 1, de hecho se escoge la escala de tiempos ct por esta razón.

Además, cualesquiera otros ejes x', ct' relacionados con una referencia S' que se mueve a velocidad v < c tendrán también como bisectriz a la línea punteada de la señal luminosa, ya que c es la misma para todos los sistemas de referencia. Como mayor sea v, más cercanos estarán los ejes x' , ct' la la línea bisectriz. En efecto, en un tiempo ct = 1 -> t = 1/c el sistema S' recorrerá una distancia x = vt = v/c; el ángulo theta entre el eje ct' y el eje x cumplirá

tanleft(thetaright)=frac1{v/c}=frac cv [1]

Supondremos que en t=0 los orígenes de ambos sistemas de referencia coinciden. Siendo c la velocidad límite, cualquier otra referencia móvil tendrá unos ejes más cercanos a la bisectriz.

Ejemplo 1: Si el sistema de referencia S' se mueve a v = c/2 con respecto a S', entonces

theta=tan^{-1}left(frac c{c/2}right)=tan^{-1}left(2right)=63.4^text o

Aunque para dibujar los ejes es más sencillo simplemente dibujar primero ct' usando la ratio "una unidad según el eje de abscisas corresponde a 1/2 del eje de ordenadas".

Minkowski1c
Fig. 2: tres sistemas de referencia, el S' con v = c/2, el S'' con v = c/3

En general, si S' se mueve a velocidad v, entonces su recta ct' pasará por los puntos (0, 0) y (v/c, 1). En cuanto a la recta x', pasará por los puntos (0, 0 ) y (1, v/c). No es necesario calcular el ángulo theta para dibujarlos. En la figura 3 vemos un S' con v=c/2 y otro S'' con v=c/3.

Unidad de medida en las referencias móviles

Es importante recordar que la escala de los ejes no es la misma para la referencia S que para las S', S'', etc. No podemos usar la misma regla de medir en S que en los demás sistemas. Para definir la distancia unidad en cada referencia se usa el denominado invariante espacio-tiempo:

x^2-left(ctright)^2=1 [2]

Haciendo una tabla de valores (x, ct) para esta ecuación, encontramos los puntos que la cumplen, que resultan formar una hipérbola (en amarillo en la figura 3):

x ct
1 0
1,1180339887 0,5
1,4142135624 1
1,8027756377 1,5
2,2360679775 2
2,6925824036 2,5
3,1622776602 3
Fig. 3: hipérbola de calibración x² - (ct)² = 1
Fig. 3: hipérbola de calibración x² - (ct)² = 1

Vemos que la hipérbola corta al eje x en el punto 1, use acerca asintóticamente a la línea espacio-tiempo de la luz; los puntos de corte con los ejes x', x'', etc, de las otras referencias determinan la unidad de longitud en esas referencias vistas desde la referencia x en reposo. Claramente se ve que la longitud unidad, en cualquier sistema en movimiento, vista desde el reposo, es mayor que la unidad del sistema en reposo, tendiendo a infinito para referencias que se muevan a velocidades cercanas a la de la luz, esto es una consecuencia de la fórmula de la contracción de longitudes de Lorentz:

triangle x=gammatriangle x'=gammacdot1xrightarrow{vrightarrow c}infty

Ejemplo 2: Si el sistema de referencia S' se mueve a v = c/2 con respecto a S', dibujar la hipérbola de calibración para obtener la distancia equivalente a x = 2 en el sistema S' en el instante t = 0.

Fig. 4: determinar una longitud x'=2 vista desde el sistema S en reposo
Fig. 4: determinar una longitud x'=2 vista desde el sistema S en reposo

Con la hipérbola obtenemos su punto de corte del eje x', la distancia entre el origen y ese punto será la distancia unidad, la duplicamos sobre el eje x' para llegar al punto A' de coordenadas en el sistema S' (x'=2, t' = 0).

Ejemplo 3: con los mismos sistemas S, S' del ejemplo anterior, situar en el diagrama los sucesos A: x = 1, ct = 1 y B: x' = 1, ct' = 1.

Fig. 4: diagrama de Minkowski para situar los sucesos B, C
Fig. 5: diagrama de Minkowski para situar los sucesos A, B

 El punto A es inmediato: estará sobre la línea espacio-tiempo de la luz. Para el punto B usamos la hipérbola de calibración que nos da la coordenada (x'=1, ct'=0) sobre el eje x'. Esta misma distancia la medimos sobre el eje ct' (con una regla o la trasladamos con un compás) para obtener el punto (x'=0, ct'=1); entonces trazamos por estos puntos paralelas a los ejes (líneas punteadas en rojo en la figura), la intersección de estas líneas nos da el punto B(x'=1, ct'=1).

Ejemplo 4: Mediante el diagrama obtener las coordenadas en S' del punto A, y las coordenadas en S del punto B del ejemplo anterior.

Fig. 6: Diagrama para obtener las coordenada de los puntos del ejemplo anterior en otro sistema
Fig. 6: Diagrama para obtener las coordenada de los puntos del ejemplo anterior en otro sistema

Para el punto A trazamos paralelas a los ejes x', ct', los puntos de corte con esos ejes (rombos azules en la figura) nos dan las coordenadas, vemos que son, aproximadamente, x' = 0.6 (recordar que hay que comparar con la unidad de longitud en el sistema S', dada por la hipérbola de calibración) y ct' = 0.5. Si trazamos el gráfico en papel milimetrado y usamos herramientas de dibujo lineal la precisión mejorará bastante.

Para el punto B trazamos paralelas a los ejes x,  ct, obtenemos aproximadamente x = 1.6, ct = 1.6.

Para comparar procedimientos y comprobar resultados, vamos a calcular las coordenadas analíticamente. Para pasar de A: x = 1, ct = 1 a una referencia que se mueve a velocidad v = 0.5c usamos:

begin{array}{l}gamma=left(1-frac{v^2}{c^2}right)^{-1/2}=left(1-frac{left(c/2right)^2}{c^2}right)^{-1/2}=left(frac34right)^{-1/2}=frac2{sqrt3};\x'=gammaleft(x-vtright)=frac2{sqrt3}left(1-0.5ccdotfrac1cright)=frac1{sqrt3}approx0.58;\t'=gammaleft(t-vx/c^2right)=frac2{sqrt3}left(frac1c-0.5ccdot1/c^2right)=frac1{csqrt3}approxfrac{0.58}cend{array}

Recordemos que en el diagrama de Minkowski el tiempo viene multiplicado por c; así, el valor ct = 1 implica que t = 1/c. De la misma forma, en el resultado final para t', si multiplicamos por c para obtener ct', el resultado es el mismo que en el diagrama, ct'=frac{ccdot0.58}c=0.58.

Ejemplo 5: El siguiente diagrama representa una nave espacial moviéndose a velocidad v = 0.5c, en el punto-suceso A se produce una explosión, propagándose la radiación en todas direcciones a velocidad c. La nave despliega un escudo anti-radiación en el punto-suceso B. La pregunta que nos hacemos es, ¿cuando la radiación alcance la nave, estará protegida por el escudo, o por el contrario lo habrá desplegado demasiado tarde?

Fig. 6: dos sucesos A, B, el primero representa una explosión, el segundo el despliegue de un escudo
Fig. 7: dos sucesos A, B, el primero representa una explosión, el segundo el despliegue de un escudo

La radiación viajará a velocidad c tanto en el sentido positivo como en el negativo; las dos trayectorias opuestas estarán a 90⁰ entre sí, y a 45⁰ con los ejes x, ct

Fig. 8: la radiación (líneas naranja) viajan a velocidad c (45⁰ con los ejes de S) en los dos sentidos posibles
Fig. 8: la radiación (líneas naranja) viajan a velocidad c (45⁰ con los ejes de S) en los dos sentidos posibles

La radiación que viaja en el sentido negativo de x alcanza al eje ct' en el punto marcado en rojo, ese punto tiene coordenada x'=0, lo que significa que la radiación ha alcanzado a la nave, pero además lo ha hecho un poco antes de que se despliegue el escudo (suceso B), por tanto la nave ha tenido mala suerte con este diagrama. Ejercicio para el lector: ¿cómo se resolvería este problema usando transformaciones de Lorentz?

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En este artículo nos introducimos en la cinemática y dinámica relativistas a partir de ejemplos, buscando la máxima comprensión en detrimento del rigor, para exposiciones rigurosas podemos acudir a la bibliografía.

La relación entre masa y energía, E=mc^2

Según la mecánica cuántica, un fotón de frecuencia f tiene una energía asociada E=hf, donde h es la constante de Planck; por otro lado, De Broglie propuso que toda partícula de masa m en movimiento con velocidad v, y cantidad de movimiento p=mv, tenía asociada una "onda de materia" de longitud de onda lambda=frac hp (dualidad onda-partícula). Teniendo en cuenta que la relación entre longitud de onda, frecuencia y velocidad de la luz es lambda f=c, operamos y obtenemos E=hf=hfrac clambda=hfrac c{h/p}=cp.

Entonces un haz de luz conteniendo un número muy elevado de fotones transportará una cantidad de movimiento p=E/C, donde E es la energía del haz; incluso sin tener masa, pues la luz es inmaterial, posee una cantidad de movimiento, por lo que cuando "choque" (más usualmente se dice que incide sobre ...) con un objeto material, por la ley de la conservación de movimiento, transferirá una parte de p al cuerpo material, de la misma forma que cuando chocan dos cuerpos materiales. es la denominada "presión de radiación". Todo esto es consecuencia de la Física cuántica básica, desarrollada a principios del siglo XX. En vez de luz, podemos llegar a la misma conclusión pensando en cualquier radiación. Dado que la radiación, en sí inmaterial (caso de la radiación electromagnética) es emitida y absorbida por la materia, nos encontramos que materia y energía radiante pueden "chocar" e intercambiar energía.

Ejemplo 1: Emisión de radiación dentro de una caja aislada.

relativitat1
Fig. 1: caja ideal dentro de la cual hay una emisión y absorción de radiación

Imaginemos una caja aislada, en reposo, de masa M, dentro de la cual hemos hecho el vacío, que contiene un material radiactivo (fig.1, parte superior); en un momento dado (t = 0) el material emite una haz de radiación de energía E, el cual viaja por el interior de la caja hasta llegar al otro extremo donde es reabsorbida por la pared de la caja. Al emitirse la radiación, se genera una cantidad de movimiento p=E/c; siendo el sistema aislado, la cantidad de movimiento total se conserva, así que la caja deberá adquirir una cantidad de movimiento igual e opuesta -p=-E/c, pero para la caja p=Mv luego -E/c=mvRightarrow v=-frac E{mc}, la caja retrocede con esta velocidad. Despues de un tiempo t, se habrá desplazado una distancia x=vt=frac E{mc}t.

Cuando la radiación alcance el otro extremo, habrá transcurrido un tiempo que será, aproximadamente, t=L/c; estamos suponiendo que x<<L pues de hecho la radiación ha de recorrer la distancia L-x. Entonces tenemos que el desplazamiento x es igual a x=frac E{mc}tapproxfrac E{mc}frac Lc=frac{EL}{mc^2} [1], que efectivamente ha de ser despreciable respecto a L pues tenemos el valor c² en el denominador, siendo c = 3·10⁹ m/s.

Pero observando el sistema "desde fuera", está aislado, no actúa nada sobre él, así que no si fuerzas que actúen no puede moverse en absoluto ... x debería ser exactamente cero,  ¿tenemos una contradicción?  Afinando un poco más el argumento, lo que no puede moverse en un sistema aislado es su centro de masas; la caja de masa M se ha movido una distancia x a la izquierda, pero al mismo tiempo se ha emitido una masa m (la masa asociada a la radiación) a la derecha una distancia aproximadamente igual a L. Para que el centro de gravedad del sistema caja-radiación no se mueva, ha de cumplirse mL=Mx, sustituyendo el valor del desplazamiento x obtenemos:

mL=MxLeftrightarrow mL=Mfrac{EL}{Mc^2}=frac{EL}{c^2}Leftrightarrowboxed{E=mc^2} [2]

Hemos obtenido la famosa ecuación de Einstein que relaciona masa con energía, en este caso relaciona la masa m inercial de la radiación con su energía, pues masa material hemos supuesto que no tiene. También se puede ver como la afirmación de que toda energía radiante lleva asociada una masa inercial.

Energía cinética relativista

Si [2] implica que toda energía radiante tiene una masa inercial asociada, nos podemos preguntar si, dado un cuerpo material de masa en reposo M, al comunicarle energía cinética al cuerpo, podemos asociarle a esa energía cinética una masa inercial m, con lo cual la masa total del cuerpo en movimiento será M + m, habrá aumentado. Dado que hemos visto que la materia y la energía radiante pueden "chocar" e intercambiar energía y momento, esta suposición de asignar masa inercial a la energía ya no radiante sino cinética parece fundamentada.

De la dinámica clásica sabemos que el incremento de energía cinética triangle E al trabajo producido: triangle E=Fcdot x=W, para el caso de masa variable, la expresión a usar para la fuerza es F=frac{operatorname dp}{operatorname dt}. Tomando una fuerza F que actúa en un pequeño intervalo dx, obtenemos operatorname dE=operatorname dW=frac{operatorname dp}{operatorname dt}operatorname dx=operatorname dpfrac{operatorname dx}{operatorname dt}=vcdotoperatorname dp [3].

Por otro lado, en Física clásica no relativista la cantidad de movimiento es p=mv, luego la masa cumple m=p/v. Si sustituimos esta masa en la expresión [2] obtenemos E=mc^2=frac pvc^2 [4].

Multipliquemos las ecuaciones [3] y [4] y operemos:

 left.begin{array}{r}operatorname dE=vcdotoperatorname dp\E=mc^2=frac pvc^2end{array}right}Rightarrow Eoperatorname dE=cancel vcdotoperatorname dpcdotfrac p{cancel v}c^2Rightarrowint Eoperatorname dE=int c^2poperatorname dp

integrando llegamos a E^2=c^2p^2+E_0^2. Pero usando [4] resulta que cp=Ev/c, sustituyendo:

E^2=left(frac{Ev}cright)^2+E_0^2Leftrightarrow E^2left(1-frac{v^2}{c^2}right)=E_0^2Leftrightarrowboxed{E=frac{E_0}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}} [5]

que es la expresión de la energía total de un cuerpo en movimiento, siendo E_0 la energía en reposo, cuando v = 0.

Masa relativista

Suponiendo que la ecuación E=mc² nos da la energía total de la partícula tanto si está en reposo como si está en movimiento, el incremento de energía ha de ser debido al incremento relativista de la masa inercial triangle E=triangleleft(mc^2right)=c^2triangleleft(mright), pues c es una constante; entonces:

mc^2=frac{m_0c^2}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}Leftrightarrow m=frac{m_0}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} [6]

expresión que nos permite calcular la masa inercial total de un cuerpo en movimiento.

Velocidad límite

Si en la expresión de la energía [5], o equivalentemente, en el de la masa [6], hacemos que la velocidad del cuerpo se acerce a la velocidad de la luz c, obtenemos valores infinitos:

underset{vrightarrow c}{lim}m=underset{vrightarrow c}{lim}frac{m_0}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}=frac{m_0}{sqrt{1-1}}=+infty

Con una masa inercial tendiendo a infinita, la fuerza necesaria para acelerarla tenderá también a infinito, sin llegar nunca al límite v = c. Por tanto los desarrollos anteriores nos llevan a afirmar que c es el límite superior absoluto de la velocidad, no superable por nada, y sólo alcanzable por la energía con masa "material" en reposo nula.

Transformación de velocidades entre sistemas de referencia

Fig. : dos sistemas de referencia inerciales
Fig. : dos sistemas de referencia inerciales

En la figura tenemos el conocido esquema que muestra dos sistemas de referencia inerciales: el LAB que representa el del laboratorio, que suponemos estático, y el Ref, con una velocidad u relativa al laboratorio. Hay un móvil en la posición x' que se mueve con una velocidad v' respecto a Ref. En la referencia LAB la posición es x y la velocidad v. En estas condiciones se cumple:

v=frac{v'+u}{1+v'u/c^2};;;v'=frac{v-u}{1-vu/c^2}

Al usar estas fórmulas han de tenerse en cuenta los signos de v, v', u a partir de la representación de la figura.

Ejemplo: dos cuerpos se acercan el uno al otro con una velocidad relativa entre ellos de 0.89c. Un observador exterior los ve moverse uno hacia el otro a la misma velocidad; hallar esta velocidad.

Fig. : dos móviles acercándose uno al otro
Fig. : dos móviles acercándose uno al otro

En la figura representamos la situación: desde el punto de vista del laboratorio estático los dos móviles se mueven a la misma velocidad u, desde el punto de vista de uno de los móviles (referencia Ref) el otro móvil se acerca a una velocidad 0.89c.  Comparando este esquema con el de transformación de velocidades, identificamos variables: u: velocidad en la ref. LAB de la referencia Ref (el móvil de la izquierda), v: velocidad del móvil de la derecha respecto a LAB, que cumple v = -u, v': velocidad del móvil de la derecha respecto a Ref (móvil de la izquierda) que cumple v'=-0.89c. Aplicamos la ley de transformación de velocidades para obtener u, y operamos:

begin{array}{l}v=-u=frac{-0.89c+u}{1+left(-0.89ccdot uright)/c^2}=frac{-0.89c+u}{1-0.89u/c}=cfrac{-0.89c+u}{c-0.89u}Rightarrow\-cu+0.89u^2=-0.89c^2+cuRightarrow\0.89u^2-2cu+0.89c^2=0Rightarrow\u=frac{2cpmsqrt{4c^2-4cdot0.89^2c^2}}{2cdot0.89}=cfrac{1pmsqrt{1-0.89^2}}{0.89}approx cfrac{1pm0.46}{0.89}end{array}

De las dos soluciones descartamos la que da un resultado mayor que c por imposible físicamente, nos queda: uapprox0.61c.

Como comprobación, si encontramos la velocidad relativa v'  a una referencia que se mueve a velocidad u=0.61c, sabiendo que el móbil se mueve a velocidad v=-0.61c respecto del sistema LAB, encontramos:

v'=frac{0.61c-(-0.61c)}{1-0.61ccdot(-0.61c)/c^2}=frac{2cdot0.61c}{1+0.61^2}=0.89c

que es la velocidad dada en el enunciado.