Archivo de la categoría: Cinemática

Radio y centro de curvatura de una trayectoria

Trayectorias diferenciables: radio y centro de curvatura

Cuando un punto móvil P se mueve en el espacio describe una trayectoria que en el caso más general es una curva; en el caso de que esta curva sea "suave", esto es, sin cambios de trayectoria bruscos, será diferenciable, esto es, podrá aproximarse localmente por una circunferencia (en el caso de un movimiento plano) o una esfera (caso de movimiento en el espacio). En la figura 1 se representa una trayectoria plana con dos puntos no diferenciables (en rojo); se denomina a esta curva diferenciable a trozos, pues podemos distinguir en ella tres secciones en las cuales la curva sí es suave.

Fig. 1: Trayectoria curva en general
Fig. 1: Trayectoria curva, en dos dimensiones, en general

Así, en las cercanías del punto móvil P, podemos aproximar la trayectoria por una circunferencia (o esfera) de centro C y radio R, siempre que la curva sea suave en P (figura 2). Llamamos a C al centro de curvatura de la trayectoria en P, y a R el radio de curvatura de la trayectoria en P.

Fig. 2: aproximación local en el punto P por una circunferencia
Fig. 2: aproximación local en el punto P por una circunferencia

En general, el centro y el radio van variando conforme P se mueve, esto es, C y R son propiedades locales de la trayectoria (figura 3). En el caso particular de movimiento circular evidentemente serán constantes. Otro caso particular es el del movimiento rectilíneo, en el que consideramos que R es infinito y que el centro C está en el infinito.

Fig. 3: El centro C y radio de curvatura R van variando a medida que el punto describe la trayectoria
Fig. 3: El centro C y radio de curvatura R van variando a medida que el punto describe la trayectoria

Aceleración y curvatura

Siempre que hay un cambio de dirección en una trayectoria de un móvil, ha de existir una aceleración; es por ello que es de esperar que exista alguna relación entre las propiedades puramente geométricas radio y centro de curvatura de la trayectoria en un punto P y el vector aceleración de P.  Sabiendo esa relación, podríamos deducir la geometría de la trayectoria a partir del vector aceleración, o bien calcular la aceleración a partir del conocimiento de la trayectoria.

Consideremos un movimiento Δs del punto P en la trayectoria s (figura 4) suficientemente pequeña para que se pueda considerar que en esa sección la trayectoria sea aproximadamente circular con radio R y centro C.

Fig. 4: el punto P se mueve hasta otra posición muy próxima P' a lo largo de la trayectoria s
Fig. 4: el punto P se mueve hasta otra posición muy próxima P' a lo largo de la trayectoria s

Consideremos también una referencia fija Ref, con centro en O. El vector velocidad en el punto P se puede expresar como el límite de la velocidad media en el sector Δs:

\overrightarrow v=\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{\overrightarrow{OP}'-\overrightarrow{OP}}{\triangle t}=\frac{\operatorname d\overrightarrow{OP}}{\operatorname dt}=\frac{\overrightarrow t\cdot\operatorname ds}{\operatorname dt}=\overrightarrow t\cdot v,

donde hemos definido el vector \overrightarrow t como un vector  unitario en la dirección del vector velocidad (también llamado versor velocidad), que sabemos que es tangente a la trayectoria s en el punto P, y v es el módulo de la velocidad en el punto, también llamado celeridad. Observemos que al hacer el límite la cuerda Δs y el segmento PP' van a coincidir.

Ahora que tenemos la velocidad, obtenemos la aceleración derivando respecto la referencia fija:

\overrightarrow a=\frac{\operatorname d\overrightarrow v}{\operatorname dt}=\frac{\operatorname d\overrightarrow t}{\operatorname dt}v+\overrightarrow t\cdot\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}=\frac{\operatorname d\overrightarrow t}{\operatorname dt}v+\overrightarrow t\cdot a; [1]

para obtener la derivada del vector unitario tangente, primero pensamos que a medida que el punto P cambia de dirección, el versor t irá girando, moviéndose en un círculo (esfera en el caso de movimiento en el espacio) de radio 1 (pues es un vector unitario).

Fig. 5: el versor velocidad, tangente a la trayectoria, describe un círculo unitario

Si el versor gira un ángulo θ en radianes, siendo el radio la unidad, la longitud de arco valdrá también θ; definiendo el vector unitario n como muestra la figura 5, y llamando t, t' a los versores tangentes, tendremos,

\overrightarrow t'-\overrightarrow t\approx\theta\cdot\overrightarrow n

la aproximación será buena si el ángulo θ es pequeño, pues el arco y la cuerda serán casi coincidentes, y en el límite será exacta:

\operatorname d\overrightarrow t=\operatorname d\theta\cdot\overrightarrow n,

además, en el límite dθ el vector normal n será perpendicular al versor velocidad t; como éste es a su vez tangente a la trayectoria s, tendremos que el vector n será perpendicular a la trayectoria: es un vector normal unitario a la trayectoria, llamado versor normal.

Fig. 6: el versor normal n és perpendicular al versor velocidad, apunta siempre al centro de curvatura de la trayectoria
Fig. 6: el versor normal n és perpendicular al versor velocidad, apunta siempre al centro de curvatura de la trayectoria

Ahora podemos expresar la derivada temporal del versor velocidad tangencial en función del versor normal:

\frac{\operatorname d\overrightarrow t}{\operatorname dt}=\frac{\operatorname d\theta\cdot\overrightarrow n}{\operatorname dt}=\frac{\operatorname d\theta}{\operatorname ds}\frac{\operatorname ds}{\operatorname dt}\cdot\overrightarrow n. [2]

En la figura 4 vemos que podemos expresar el arco recorrido en función del ángulo girado y del radio de curvatura R: \nabla s=R\nabla\theta, que pasado al límite es

\operatorname ds=R\operatorname d\theta\Leftrightarrow R=\frac{\operatorname ds}{\operatorname d\theta} [3]

Usando [3] en [2]:

\frac{\operatorname d\overrightarrow t}{\operatorname dt}=\frac{\operatorname d\theta}{\operatorname ds}\frac{\operatorname ds}{\operatorname dt}\cdot\overrightarrow n=\frac1Rv\cdot\overrightarrow n [4]

Sustituimos [4] en [1] y resulta:

\boxed{\overrightarrow a=\frac{\operatorname d\overrightarrow t}{\operatorname dt}v+\overrightarrow t\cdot a=\frac{v^2}R\overrightarrow n+\overrightarrow t\cdot a={\overrightarrow a}_n+{\overrightarrow a}_t} [5]

que es una generalización de los resultados conocidos del movimiento circular a trayectorias en general, siendo a_n la aceleración normal y a_t la aceleración tangencial, también llamadas componentes intrínsecas de la aceleración. Dado un movimiento con una trayectoria diferenciable la ecuación [5] relaciona el vector aceleración con el radio de curvatura y la celeridad. Para obtener el centro de curvatura C, observamos en la figura 6 que el vector \overrightarrow{PC} será igual a R \overrightarrow{n} [7].

Procedimiento general de obtención del radio y centro de curvatura de una trayectoria

Dados los vectores velocidad y aceleración \overrightarrow{v}, \overrightarrow{a}, encontramos la celeridad v, el versor tangente \overrightarrow t=\overrightarrow v/v, el módulo a de la aceleración, la aceleración tangencial y la normal {\overrightarrow a}_t=a\cdot\overrightarrow t,\;{\overrightarrow a}_n=\overrightarrow a-{\overrightarrow a}_t, el módulo de la velocidad normal, a_n=\left|\left|\;{\overrightarrow a}_n\right|\right|, e igualamos este valor con v²/R, para obtener el radio: R=\frac{v^2}{\left|\left|\;{\overrightarrow a}_n\right|\right|}. Por último, usamos [7] para obtener el centro de curvatura C.

Ejemplo: Desde un punto O de la costa observamos un barco situado en P, midiendo la distancia r = 1000m y el ángulo θ = 30⁰ formado por su visual y el eje de dirección Norte-Sur tal como muestra la figura 7, en la que también se incluyen el supuesto centro de curvatura C de la trayectoria del barco. Medimos también, en un instante dado, las velocidades radial y angular, dr/dt = 19m/s, dθ/dt = 0.3 ⁰/s, y las aceleraciones radial y angular, d²r/dt² = 2 m/s², d²θ/dt² = 0.05 ⁰/s². Calcular la posición del centro de curvatura C y el radio de curvatura R de la trayectoria del barco usando la base vectorial móvil {12} de la figura y la referencia móvil que usa estos ejes y el origen P. Este ejemplo está tomado de los apuntes de la asignatura de Mecánica de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales, escritos por el catedrático Joaquím Agulló.

Fig. 6: Esquema del movimiento de un barco visto desde la costa
Fig. 7: Esquema del movimiento de un barco visto desde la costa

Primero de todo necesitamos obtener los vectores velocidad y aceleración en la base móvil {123}, siendo el eje 3 perpendicular al plano definido por {12}; el vector posición de P en esta base es evidentemente (r, 0 , 0). Derivamos este vector expresado en la base móvil respecto a la referencia fija (ver "Derivación de vectores respecto a bases móviles" en el post Cinemática vectorial: sistemas de referencia, vectores posición, velocidad y aceleración) teniendo en cuenta que la velocidad angular de la base {123} es el vector \left(0,0,\overset.\theta\right), con lo cual:

 

\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\left\{\frac d{dt}\overrightarrow{OP}\right\}}_{Ref\;fija}=\\\frac d{dt}\;\begin{bmatrix}r\\0\\0\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}0\\0\\\overset.\theta\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}r\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overset.r\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\\overset.\theta r\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overset.r\\\overset.\theta r\\0\end{bmatrix}\end{array}\\\end{array}

Sustituimos los valores del enunciado, y calculamos la celeridad:

\overrightarrow v=\begin{bmatrix}\overset.r\\\overset.\theta r\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19\\\left(0.3\frac{2\mathrm\pi}{360}\right)\cdot1000\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19\\5\mathrm\pi/3\\0\end{bmatrix};\;v=\sqrt{19^2+\left(5\mathrm\pi/3\right)^2}\approx20\frac ms.

Derivamos la velocidad para obtener la aceleración, recordando de volver a aplicar la fórmula de derivación respecto referencias fijas de vectores en bases móviles:

{\left\{\frac d{dt}\overrightarrow v\right\}}_{Ref\;fija}=\frac d{dt}\begin{bmatrix}\overset.r\\r\overset.\theta\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\overset.\theta\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}\overset.r\\r\overset.\theta\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overset{..}r\\\overset.r\overset.\theta+r\overset{..}\theta\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-r\overset.\theta^2\\\overset.r\overset.\theta\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overset{..}r-r\overset.\theta^2\\2\overset.r\overset.\theta+r\overset{..}\theta\\0\end{bmatrix}.

Sustituimos valores:

\overrightarrow a=\begin{bmatrix}\overset{..}r-r\overset.\theta^2\\2\overset.r\overset.\theta+r\overset{..}\theta\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}\;m/s^2

La aceleración tangencial será la proyección de la aceleración sobre la dirección del vector velocidad tangente:

{\overrightarrow a}_t=a\cdot\frac{\overrightarrow v}v=\sqrt{4+1}\cdot\frac1{20}\begin{bmatrix}19\\5\mathrm\pi/3\\0\end{bmatrix}\;=\begin{bmatrix}19\sqrt5/20\\\sqrt5\mathrm\pi/60\\0\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}2\\0.6\\0\end{bmatrix}\;m/s^2

la aceleración normal la obtenemos restando:

{\overrightarrow a}_n=\overrightarrow a-{\overrightarrow a}_t\approx\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\0.6\\0\end{bmatrix}\;=\begin{bmatrix}0\\0.4\\0\end{bmatrix},

igualamos el módulo de este vector con v²/R, para obtener el radio de curvatura: 0.4=20^2/R\Rightarrow R=1000m. El centro de curvatura lo encontramos a partir de la expresión [7]:

\overrightarrow{PC}=R\overrightarrow n=1000\cdot\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1000\\0\end{bmatrix}.

Cinemática vectorial: velocidad angular, ángulos de Euler

Velocidad angular y rotaciones en el espacio

En el artículo Vectores en Física explicamos que la velocidad angular es un tipo especial de vector: un vector axial, o pseudovector, y decíamos que estos vectores se diferencian de los vectores "normales" o polares en que se comportan de forma distinta bajo un transformaciones lineales del tipo "reflexión respecto un plano". En el caso de la velocidad angular además podemos decir que, pese a ser una velocidad, no se obtiene derivando un vector respecto al tiempo.

Esto ocurre por que no podemos definir una base para los "vectores rotación", tal como hacemos para los vectores posición, para después descomponer cualquier rotación dada en sus componentes,  derivarlos y obtener velocidades de rotación, y no podemos porque las rotaciones son transformaciones lineales, que además no conmutan entre sí. Esto quiere decir que el orden en que se aplican las rotaciones influye en el resultado.

En el espacio euclídeo, podemos escoger cualesquiera tres direcciones ortogonales, definir sobre cada una un vector unitario, y descomponer, de forma única, cualquier vector v según una combinación lineal de los vectores unitarios:

\overrightarrow v=v_1\overrightarrow{e_1}+v_2\overrightarrow{e_2}+v_3\overrightarrow{e_3}

Para hacer lo mismo con las rotaciones, necesitamos una base de rotaciones; podemos pensar que una posibilidad seria escoger rotaciones alrededor de cada eje cartesiano:

Fig. 1: rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
Fig. 1: rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

Las matrices de cada una de estas rotaciones son, llamando respectivamente R_x, R_y, R_z a las efectuadas sobre los ejes X, Y, Z:

R_x=\begin{bmatrix}1&0&\\0&\cos\left(\alpha\right)&-\sin\left(\alpha\right)\\0&\sin\left(\alpha\right)&\cos\left(\alpha\right)\end{bmatrix},\;R_y=\begin{bmatrix}cos\left(\alpha\right)&0&sin\left(\alpha\right)\\0&1&0\\-sin\left(\alpha\right)&0&cos\left(\alpha\right)\end{bmatrix},\;R_z=\begin{bmatrix}cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)&0\\sin\left(\alpha\right)&1&0\\0&cos\left(\alpha\right)&1\end{bmatrix}

Esta matrices no son simétricas, y por lo tanto no conmutan entre si; cualquier combinación lineal que hagamos con ellas dará un resultado distinto dependiendo del orden en el que escribamos las matrices, no es que cambien los coeficientes como cuando cambiamos de base, es que la rotación resultante no es la misma:

\alpha R_1+\beta R_2+\gamma R_3\neq\beta R_2+\gamma R_3+\alpha R_1\neq\gamma R_3+\alpha R_1+\beta R_2

Siendo toda el Álgebra vectorial que conocemos una Álgebra conmutativa, las rotaciones definidas de este modo no la siguen, y nos obligaría a usar álgebras no conmutativas, demasiadas complicaciones.

Es fácil ver que las rotaciones no conmutan sin necesidad de álgebra; la figura 2 muestra como afectan a una ficha de dominó dos rotaciones, en dos columnas.  En la primera fila vemos la ficha en la posición inicial; en la columna de la izquierda,  segunda fila,  se rota la ficha  un ángulo recto en torno a un eje perpendicular a la pantalla en el sentido inverso  de las agujas del reloj, en la segunda fila se vuelve a rotar la ficha en torno al eje Y vertical, en el sentido del reloj, la posición final muestra el lateral de la ficha.

Fig. 2: combinación de dos rotaciones en el espacio, tomadas en distinto orden
Fig. 2: combinación de dos rotaciones en el espacio, tomadas en distinto orden

En la columna de la izquierda, realizamos las dos mismas rotaciones, pero esta vez cambiando el orden. Comparando las posiciones finales, vemos que son distintas.

Ángulos de Euler

Una forma de descomponer cualquier rotación en el espacio según tres rotaciones elementales, de forma que la suma de las tres determine unívocamente la rotación original, es usar los denominados ángulos de Euler; nosotros aquí los utilizaremos en el contexto de dar la orientación de una base móvil Ref2 respecto a una fija Ref1. Se trata de dar la orientación de una base móvil Ref2 cualquiera en base a tres ángulos, que corresponden a tres rotaciones:

  • 1a rotación: respecto a un eje fijo cualquiera, aquí tomamos el eje rotulado como X, puede ser cualquier otro. Respecto a este eje X, efectuar una rotación de la base XYZ con un ángulo \alpha, resulta la base X'Y'Z':
Fig. 3: Rotaciones según ángulos de Euler, 1ª rotación
Fig. 3: Rotaciones según ángulos de Euler, 1ª rotación
  • 2a rotación: respecto a uno de los nuevos ejes desplazados en la 1a rotación, en nuestro ejemplo, el Y' o el Z'; por ejemplo, escogemos el eje Y' para efectuar una rotación de la base con un ángulo \beta, resulta la nueva base X''Y''Z'':
Fig. 4: segunda rotación de Euler
Fig. 4: segunda rotación de Euler
  • 3a rotación: sobre el eje que ha estado afectado sólo por la 2a rotación, en nuestro caso, el eje X'; sobre él, giramos la base un ángulo \gamma para obtener la base X'''Y'''Z''':
Fig. 5: tercera rotación de Euler, posición final, se indican los vectores rotación en rojo

Otra forma de resumirlo es: los ejes de la base girada cumplen

  1. un eje está afectado por las rotaciones 1a y 3a, en el ejemplo, es el Y
  2. un segundo eje está afectado sólo por la rotación 2a, es el X
  3. el eje restante está afectado por todas las rotaciones, es el Z.

Tal como los hemos descrito, estas rotaciones tienen la siguiente propiedad, que no demostramos:

Propiedad 1: Dada una base móvil con una velocidad angular arbitraria \overrightarrow\Omega, siempre podrá expresarse esta velocidad como suma de las derivadas temporales de los tres ángulos de Euler:

\overrightarrow\Omega=\overset\rightharpoonup\alpha'+\overset\rightharpoonup\beta'+\overset\rightharpoonup\gamma'

Los pseudovectores \overset\rightharpoonup\alpha,\;\overset\rightharpoonup\beta,\;\overset\rightharpoonup\gamma se definen como es habitual: si giramos en el sentido de las agujas del reloj en sobre un eje, el vector giro estará sobre el eje en sentido positivo, si el sentido de giro es el contrario, estará en sentido negativo. Teniendo esto en cuenta, y observando la figura 5, en la que vemos en rojo las posiciones que ocupan los vectores de rotación de Euler, podemos deducir las componentes del vector \overrightarrow\Omega en la base X'''Y'''Z''':

{\left\{\overset\rightharpoonup\alpha'+\overset\rightharpoonup\beta'+\overset\rightharpoonup\gamma'\right\}}_{X'''Y'''Z'''}=\begin{bmatrix}\gamma'+\alpha'\cos\left(\beta\right)\\\alpha'\sin\left(\beta\right)\sin\left(\gamma\right)+\beta'\cos\left(\gamma\right)\\\alpha'\sin\left(\beta\right)\cos\left(\gamma\right)-\beta'\sin\left(\gamma\right)\end{bmatrix}.

Este seria el caso más general de composición de tres rotaciones de Euler; a menudo, en las aplicaciones prácticas, sólo necesitaremos uno o dos giros para representar la velocidad angular. Dependerá de la geometría de cada problema cuáles ejes y rotaciones serán los más adecuados.

En general es complicado manejar velocidades y aceleraciones angulares en referencias móviles; no obstante, hay casos especiales que pueden simplificar el problema. Uno a considerar se presenta en la figura 5:

Fig. 6: composición simple de rotaciones
Fig. 6: composición simple de rotaciones

Supongamos que tenemos una referencia móvil Ref2 de la cual tenemos su vector velocidad angular \Omega respecto la referencia fija Ref1 (en la figura es el vector en rojo, representado verticalmente, pero puede tener cualquier dirección), y hay un objeto que está girando con velocidad angular w respecto Ref2 en torno a un eje fijo en Ref2; entonces, la velocidad angular del objeto respecto la referencia fija Ref1 es simplemente \left.\overrightarrow\Omega\right|+\overrightarrow w [1] : podemos sumar las velocidades angulares sin recurrir a ángulos de Euler.

Ejemplo 1: En este ejemplo, basado en los apuntes de la asignatura de Mecánica de los estudios de Ingenieria Industrial debidos al profesor Joaquim Agulló (ETSEIB - cpda, 1980), estudiamos la cinemática de un punto en una base móvil usando los ángulos de Euler. En la figura 6 vemos un volante que gira en torno al eje aa', el cual está sujeto a una plataforma mediante una articulación de tal forma que el eje aa' puede oscilar en torno al eje bb'. La propia plataforma puede oscilar respecto a un tercer eje cc'. Se pide: a) expresar la velocidad angular del volante en una base móvil adecuada usando ángulos de Euler, b) dar los componentes de la velocidad de un punto P de la periferia del volante en la base móvil del punto anterior.

Fig. 6: volante que gira solidariamente a una plataforma giratoria
Fig. 7: volante que gira en torno al eje aa', el cual a su vez puede oscilar en torno al eje bb' solidariamente a una plataforma que a su vez, puede oscilar según el eje cc'

Primero hay que decidir, atendiendo a la geometría del problema, los ejes fijos y móviles que usaremos; en este caso, parece bastante evidente que los propios ejes aa', bb' y cc' son los más adecuados para describir el movimiento del volante respecto a una referencia fija. De hecho, tomando los ejes moviles aa',  bb' y el tercer eje simplemente el perpendicular al plano bb'-cc', sólo necesitaremos dos ángulos de Euler para describir la rotación de la base móvil pues el eje aa' será directamente el tercer eje. En este caso, podemos ya describir los ángulos de Euler \alpha, \beta de la base XYZ móvil, y los ejes fijos XYZ:

Fig. 7: ejes y ángulos de Euler para el volante del problema
Fig. 8: una elección posible de ejes y ángulos de Euler para el volante del problema

El origen O de las referencias fija y móvil es el mismo: el centro de la plataforma. Encontremos ahora los componentes de las velocidades de las rotaciones de Euler (vectores en rojo en la figura 7) respecto los ejes girados X''Y''Z'', proyectándolos según los ángulos \alpha, \beta, esto equivale a decir, encontrar la velocidad angular de la referencia móvil X''Y''Z'', expresada en su propia base, que es, llamando Ref2 a la referencia de ejes X''Y''Z'', y origen O:

{\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}\alpha'\cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'\sin\left(\beta\right)\end{bmatrix}, [2]

que se interpreta así: velocidad angular de la Ref2, \overrightarrow\Omega}_{Ref2}, relativa a la referencia fija Ref1, {\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}, con componentes expresados en la base móvil Ref2, {\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}.

Expresemos ahora la velocidad angular del volante respecto Ref1 en la base de Ref2, suponiendo que el volante gira con velocidad angular \gamma' en el sentido contrario a las agujas del reloj respecto del eje aa'. Visto desde la referencia 2 el volante sólo gira en torno al eje fijo (en la Ref2) aa', así pues,

{\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_V\right|}_{Ref2}\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}0\\0\\\gamma'\end{bmatrix},

que se interpreta: velocidad angular del volante V, relativa a la referencia móvil Ref2, expresada en a base móvil de la Ref2. Para convertir esta velocidad a la relativa a la referencia fija Ref1 observamos que el volante gira en torno a un eje fijo, el Z'', en la Ref2 con velocidad angular que, expresada en la base de la Ref2, es {\left\{{\left.\overrightarrow\omega\right|}_{Ref2}\right\}}_{Ref2}=\left(0,0,\gamma'\right), y a su vez la Ref2 gira con velocidad angular [2] respecto a la Ref1; aplicando [1], encontramos que:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\overrightarrow\omega\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}={\left\{{\left.{\overrightarrow\Omega}_{Ref2}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}+{\left\{{\left.\overrightarrow\omega\right|}_{Ref2}\right\}}_{Ref2}=\\\begin{bmatrix}\alpha'cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'sin\left(\beta\right)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\gamma'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha'cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'sin\left(\beta\right)+\gamma'\end{bmatrix}\end{array} [3].

Para encontrar la velocidad respecto de la referencia fija Ref1 de un punto P cualquiera de la periferia del disco derivaremos el vector OP, expresado en la base móvil Ref2; para ello usaremos la formula de derivación de vectores expresados en bases móviles respecto de una referencia fija (ver Cinemática vectorial: sistemas de referencia, vectores posición, velocidad y aceleración, ecuación [4]):

\boxed{{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\right\}}_{base}} [4],

que para el vector de posición OP será:

{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overrightarrow{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}={\left\{\frac{\operatorname d\overrightarrow{OP}}{\operatorname dt}\right\}}_{Ref2}+{\left\{\Omega\times\overrightarrow{OP}\right\}}_{Ref2} [5]

Las componentes de OP en la base Ref2 serán, considerando el centro O' del disco de radio r, y tomando el ángulo \gamma de giro alrededor del eje Z'', como muestra la figura 9,

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P}=\begin{bmatrix}0\\0\\L\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}r\cos\left(\gamma\right)\\r\sin\left(\gamma\right)\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}rcos\left(\gamma\right)\\rsin\left(\gamma\right)\\L\end{bmatrix}. [6]

Fig. 8: coordenadas de un punto del disco
Fig. 9: coordenadas de un punto del disco

Aplicamos [5] usando [6] y [2]:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overrightarrow{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref1}\right\}}_{Ref2}=\frac d{dt}\begin{bmatrix}rcos\left(\gamma\right)\\rsin\left(\gamma\right)\\L\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\alpha'cos\left(\beta\right)\\\beta'\\-\alpha'sin\left(\beta\right)\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}rcos\left(\gamma\right)\\rsin\left(\gamma\right)\\L\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}-r\gamma'\sin\left(\gamma\right)\\r\gamma'cos\left(\gamma\right)\\0\end{bmatrix}+\begin{vmatrix}i&j&k\\\alpha'cos\left(\beta\right)&\beta'&-\alpha'sin\left(\beta\right)\\rcos\left(\gamma\right)&rsin\left(\gamma\right)&L\end{vmatrix}=\\\begin{bmatrix}-r\gamma'sin\left(\gamma\right)\\r\gamma'cos\left(\gamma\right)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\beta'L+\alpha'rsin\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)\\-L\alpha'cos\left(\beta\right)-\alpha'rsin\left(\beta\right)cos\left(\gamma\right)\\\alpha'rcos\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)-\beta'rcos\left(\gamma\right)\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}\beta'L+\alpha'rsin\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)-r\gamma'sin\left(\gamma\right)\\-L\alpha'cos\left(\beta\right)-\alpha'rsin\left(\beta\right)cos\left(\gamma\right)+r\gamma'cos\left(\gamma\right)\\\alpha'rcos\left(\beta\right)sin\left(\gamma\right)-\beta'rcos\left(\gamma\right)\end{bmatrix}.\\\end{array}

 

Cinemática vectorial: sistemas de referencia, vectores posición, velocidad y aceleración

La Cinemática se ocupa de describir matemáticamente el movimiento de los cuerpos materiales, en este artículo sólo trataremos cuerpos de dimensiones puntuales, y en este caso simple la descripción del movimiento se basa en los conceptos de posición, velocidad y aceleración. La Cinemática Vectorial, parte de la Mecánica Vectorial, usa la matemática de los vectores, el Álgebra vectorial y el Cálculo diferencial vectorial, para describir y calcular posiciones, velocidades y aceleraciones.

El movimiento es siempre relativo a quién lo describe; el pasajero de un tren de alta velocidad describirá el movimiento dentro del tren de forma distinta a un observador que ve pasar el tren y mira en su interior. Es por esto que se necesita decidir un sistema de referencia antes de calcular nada. En Mecánica Vectorial, escoger un sistema de referencia equivale a escoger un punto O origen de coordenadas, y una base vectorial del espacio, que serán dos o tres vectores (dependiendo de si el espacio que consideramos es plano o tridimensional) unitarios (de módulo igual  la unidad) y perpendiculares entre sí (ortogonales), en el caso del espacio tridimensional, además escogemos una orientación de la base.

Referencias y vector posición

La cinemática del punto usa el concepto de espacio euclídeo para representar el espacio físico real: para definir un marco de referencia euclídeo debemos dar un origen de coordenadas O y una base, que para el espacio tridimensional es un conjunto de tres vectores ortogonales unitarios e_1,e_2,e_3 (también llamados ortonormales).

Fig. 1: ejes ortogonales, base ortogonal, origen de coordenadas, definen una referencia euclídea
Fig. 1: ejes ortogonales, base ortogonal, origen de coordenadas, definen una referencia euclídea

Cualquier punto P en el espacio tendrá asociado un vector de posición OP, que se expresará según una combinación lineal de los vectores de la base; esto significa que, dados dos sistemas de referencia con el mismo origen O pero distintas bases, los vectores de posición de un mismo punto del espacio P serán distintos en cada referencia. También, dos referencias con la misma base pero distintos orígenes O, O' darán, para un mismo punto del espacio, diferentes vectores de posición.

Ejemplo 1: En el sistema de referencia Ref1, el vector posición OP de un punto tiene por coordenadas (0, 2, 2); otro sistema de referencia Ref2 tiene los ejes paralelos a Ref1, y la misma base, pero su origen O' tiene coordenadas en Ref1 (0, 0, -2). Determinar el vector posición O'P en la referencia Ref2.

Fig. 2: dos referencias con distintos orígenes y la misma base
Fig. 2: las dos referencias del ejemplo 1

En la figura 2 vemos la geometría del problema; el vector O'P forma un triángulo con los vectores OP, OO'. Usando las propiedades de los vectores, O'P = O'O + OP; el vector O'O es el inverso de OO', el cual a su vez es el vector posición de O' respecto a O, que es un dato del problema: O'O = -OO' = - (0, 0, -2) = (0, 0, 2). Nos queda:

O'P = O'O + OP = (0, 0, 2) + (0, 2, 2) = (0, 2, 4).

Ejemplo 2: Cuando dos referencias Ref1, Ref2 difieren en sus bases, puede determinarse el vector posición en una referencia conociendo el de la otra usando la matriz de cambio de base [S]; se cumple, para un vector cualquiera u:

{\left\{\overset\rightharpoonup u\right\}}_{Ref1}=\left[S\right]{\left\{\overset\rightharpoonup u\right\}}_{Ref2} [1]

donde la matriz [S]  tiene por columnas los componentes de la base de Ref2 en la base de Ref1. Por ejemplo, sea la base de Ref1 la habitual (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), y la base de Ref2 expresada según la base de Ref1, \left(1/\sqrt2,1/\sqrt2,0\right),\;\left(1/\sqrt2,-1/\sqrt2,0\right),\;(0,0,1). La matriz de cambio de base es

\left[S\right]=\begin{bmatrix}1/\sqrt2&1/\sqrt2&0\\1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\\0&0&1\end{bmatrix}

Si el punto P tiene coordenadas (1,1,1) en Ref2, entonces en Ref1 serán

\left[S\right]\cdot\left(1,1,1\right)=\begin{bmatrix}1/\sqrt2&1/\sqrt2&0\\1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/\sqrt2\\0\\1\end{bmatrix}.

Referencias móviles, y referencias galileanas

Se da el caso de que puede haber movimiento entre referencias: diremos que son referencias móviles; en el caso especial de que el movimiento sea rectilíneo uniforme, diremos que son referencias galileanas, también denominadas sistemas de referencia inerciales. Un espacio euclídeo descrito por referencias galileanas representa un espacio físico homogeneo (todos los puntos tienen las mismas propiedades) e isótropo (en todas las direcciones posibles el espacio tiene las mismas propiedades), y un tiempo uniforme (transcurre al mismo ritmo en todo el espacio). Las leyes de Newton fueron enunciadas, y sólo se cumplen en, sistemas de referencia inerciales.

Si la referencia móvil tiene aceleración (no describe un movimiento rectilíneo uniforme), decimos que es una referencia no galileana, o equivalentemente,  una referencia no inercial. En estas referencias no se cumplen las leyes de Newton.

Dado que, en la práctica, se dan muchos casos de movimientos complicados, que son composición de diversos movimientos, y dan lugar a ecuaciones y expresiones también complicadas, es muy útil expresar esos movimientos según vectores usando una base móvil, que "acompañe" al cuerpo móvil, para simplificar las expresiones. Pero hemos dicho que una base móvil con aceleración, no es un sistema de referencia inercial, y por tanto en ella no se cumplen las leyes de Newton. Para resolver este punto, se recurre al "truco" de encontrar los vectores posición, velocidad y aceleración respecto a una base fija inercial, en la que se cumplen las leyes de Newton, pero expresando las componentes de los vectores en una base móvil adecuada para simplificar las expresiones. Dado que la velocidad es la derivada de la función posición, y la aceleración es a su vez la derivada de la velocidad, lo que acabamos de decir implica que tenemos que saber derivar un vector que está expresado en una base que es móvil (no inercial, en general), respecto a otra base que es fija (más exactamente, inercial).

Vector velocidad

El vector velocidad de un punto P relativo a la referencia Ref se define por la expresión

{\overset\rightharpoonup v}_{Ref}\left(P\right)={\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\underset{\triangle t\rightarrow0}{lim}\frac{\overset\rightharpoonup{OP}\left(t+\triangle t\right)-\overset\rightharpoonup{OP}\left(t\right)}{\triangle t}

Es importante notar que la derivada se define también respecto a la referencia; si la referencia no es fija sino que se está moviendo, la derivada tendrá que tener en cuenta la variación creada por este movimiento. Pensemos que, un punto fijo en una referencia Ref1, se verá como móvil en otra referencia Ref2 que se está moviendo respecto a Ref1.

Derivación de vectores respecto a bases móviles

Supongamos que tenemos un vector cualquiera u expresado respecto a una base móvil. Para calcular su derivada respecto a una referencia fija:

{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}={\textstyle\sum_{i=1}^3}\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}\cdot{\overset\rightharpoonup e}_i+{\textstyle\sum_{i=1}^3}u_i\cdot{\left.\frac{\operatorname d{\overset\rightharpoonup e}_i}{\operatorname dt}\right|}_{Ref} [2]

donde las e_i son los vectores de la base móvil, u_i las componentes del vector u en la base móvil.  Damos ahora la siguiente propiedad algebraica, que no demostramos:

Propiedad 1: la derivada temporal de una base móvil respecto a una referencia fija puede expresarse mediante el producto vectorial de la velocidad angular de la base por cada uno de los vectores de la base.

{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{e_i}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\overset\rightharpoonup\omega\times\overset\rightharpoonup{e_i} [3]

Usando [3] en [2] obtenemos

\begin{array}{l}{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}={\textstyle\sum_{i=1}^3}\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}\cdot{\overset\rightharpoonup e}_i+{\textstyle\sum_{i=1}^3}u_i\cdot\overset\rightharpoonup\omega\times\overset\rightharpoonup{e_i}=\\{\textstyle\sum_{i=1}^3}{\textstyle\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}}{\textstyle\cdot}{\textstyle\overset\rightharpoonup e}{\textstyle+}{\textstyle\overset\rightharpoonup\omega}{\textstyle\times}{\textstyle\sum_{i=1}^3}{\textstyle u}{\textstyle{}_i}{\textstyle\cdot}{\textstyle\overset\rightharpoonup{e_i}}{\textstyle=}{\textstyle\;}{\textstyle\sum_{i=1}^3}{\textstyle\frac{\operatorname du_i}{\operatorname dt}}{\textstyle\cdot}{\textstyle\overset\rightharpoonup e}{\textstyle+}{\textstyle\overset\rightharpoonup\omega}{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\end{array}

Podemos resumir este resultado así:

\boxed{{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\right\}}_{base}} [4],

que se expresará como propiedad así:

Propiedad 2: La derivada temporal respecto de una referencia fija de un vector u expresado en una base móvil es igual a la derivada temporal respecto a la base móvil más el producto vectorial de la velocidad angular de la base móvil (respecto la referencia fija) por el vector u.

Ejemplo 2: Un disco de radio R está girando respecto nuestro sistema de referencia fijo con una velocidad angular Ω. Encima del disco, a una distancia r del centro, una partícula P se está moviendo a velocidad constante y siguiendo una línea paralela al diámetro del disco, como muestra la figura 3; en el instante t = 0 ocupaba la posición O'. Definimos la referencia Ref1 como la fija, y la Ref2 con origen en O', un eje que sigue la trayectoria del punto, y el otro eje perpendicular al anterior; esta Ref2 vista desde la Ref1 gira con el disco, como se ve en la figura 3. Notar que, al no tener movimiento rectilíneo uniforme, Ref2 no es galileana. Hallar el vector velocidad de P respecto la Ref1 en (a) la base de Ref2, (b) la base de Ref1.

 

Fig. 3: referencias fijas y móviles

 La velocidad de P respecto la Ref1 viene dada por la derivada del vector OP respecto a Ref1; queremos expresar este vector en la base de la Ref2, que es móvil. Para ello, usamos la expresión [4], siendo el vector \overrightarrow u=\overrightarrow{OP}. El vector OP cumple OP = OO' + O'P, tenemos que expresar estos vectores en la base móvil de la Ref2:

\begin{array}{l}{\left\{\overrightarrow{OP}\right\}}_{Ref2}={\left\{\overrightarrow{OO'}\right\}}_{Ref2}+{\left\{\overrightarrow{O'P}\right\}}_{Ref2}=\\\begin{bmatrix}0\\r\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}vt\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}vt\\r\\0\end{bmatrix}\end{array}

El vector velocidad angular de Ref2, expresado en la base de Ref2, es

{\left\{\Omega\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}

ya que los ejes Z son paralelos en Ref1 y Ref2. Aplicamos [4]:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup u}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup u}\right\}}_{base}=\\\frac d{dt}\begin{bmatrix}vt\\r\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}vt\\r\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{vmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\vt&r&0\end{vmatrix}=\begin{bmatrix}v\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}\end{array}. [5]

Para pasar este vector velocidad de la base de Ref2 a la de Ref1, usamos la matriz de cambio de base S, que recordemos que cumple {\left\{u\right\}}_{Ref1}=\left[S\right]\cdot{\left\{u\right\}}_{Ref2}, donde S es la matriz que tiene por columnas los vectores de la base Ref2 expresados según la base Ref1:

\left[S\right]=\begin{bmatrix}\sin\left(\theta\right)&\cos\left(\theta\right)&0\\-\cos\left(\theta\right)&\sin\left(\theta\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix} [6]

donde \theta es el ángulo formado por los ejes de Ref2 y Ref1, que será igual a la velocidad angular por el tiempo: \theta=\omega t. Los coeficientes de la matriz S los deducimos de la geometría del problema:

Fig. 4: Los vectores e1, e2 de la base móvil Ref2 pueden descomponerse según las direcciones de los ejes de Ref1
Fig. 4: Los vectores e1, e2 de la base móvil Ref2 pueden descomponerse según las direcciones de los ejes de Ref1

Aplicamos el cambio de base:

{\left\{\overrightarrow v\left(P\right)\right\}}_{Ref1}=\left[S\right]\cdot{\left\{\overrightarrow v\left(P\right)\right\}}_{Ref2}=\begin{bmatrix}\sin\left(\theta\right)&\cos\left(\theta\right)&0\\-\cos\left(\theta\right)&\sin\left(\theta\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\left(v-r\omega\right)\cdot sin\left(\omega t\right)+\omega vt\cdot cos\left(\omega t\right)\\-\left(v-r\omega\right)\cdot cos\left(\omega t\right)+\omega vt\cdot sin\left(\omega t\right)\\0\end{bmatrix} [7].

Comparando [5] con [7] vemos que el último tiene una expresión bastante más complicada, aunque hay que recordar que ambas expresiones son el mismo vector velocidad del punto P respecto Ref1, sólo que expresadas en bases distintas. Es por esto que puede ser conveniente trabajar con bases móviles, para simplificar las expresiones.  En la figura 5 vemos las gráficas de las componentes del vector velocidad [7] respecto al tiempo; son oscilantes con módulo creciente, ya que a medida que P se mueve hacia la periferia del disco, su distancia al centro de giro O aumenta, y por tanto también su velocidad lineal respecto Ref1 (respecto Ref2 es constante). Los picos de velocidad respecto a cada eje corresponden a ceros en el otro eje perpendicular.

Fig. 6: gráficas de las componentes de la velocidad respecto Ref1
Fig. 5: gráficas de las componentes de la velocidad respecto Ref1

Ejemplo 3: Consideramos el mismo disco del ejemplo 2, pero ahora el punto se está moviendo a lo largo de un radio.

velocitat base mòbil6
Fig. 6: movimiento radial de un punto P sobre un disco giratorio

En la referencia móvil Ref2, que está girando con el disco, la posición O'P es simplemente (0, r(t), 0), y el vector OP expresado en la base móvil será el mismo, {OP}ref2 = {O'P}ref2, ya que O y O' coinciden. La velocidad de P respecto la referencia fija Ref1 expresada en función de la base de Ref2 es:

\begin{array}{l}{\left\{{\left.\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{OP}}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}\right\}}_{base}={\left\{\frac{\operatorname d\overset\rightharpoonup{OP}}{\operatorname dt}\right\}}_{base}+{\left\{\overset\rightharpoonup\omega{\textstyle\times}{\textstyle\overset\rightharpoonup{OP}}\right\}}_{base}=\\\frac d{dt}\begin{bmatrix}0\\r(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0\\r(t)\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\r'(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{vmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\0&r(t)&0\end{vmatrix}=\begin{bmatrix}0\\r'(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}\end{array}

La componente -r(t)\omega es perpendicular a la trayectoria de P, siendo la velocidad tangencial que sabemos del movimiento circular, la componente r'(t) es simplemente la derivada respecto al tiempo de la función r(t), con el sgnificado de velocidad en sentido radial.

Vector aceleración, aceleraciones centrípeta y de Coriolis

El vector aceleración de un punto P relativo a la referencia Ref se define por la expresión

{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)={\left.\frac{\operatorname d{\overrightarrow v}_{Ref}\left(P\right)}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\underset{t\rightarrow0}{lim}\frac{{\overrightarrow v}_{Ref}\left(t+\triangle t\right)-{\overrightarrow v}_{Ref}\left(t\right)}{\triangle t} [8]

Es importante destacar que, al derivar respecto al tiempo el vector velocidad de un punto respecto a una referencia Ref, la derivada ha de realizarse respecto a la misma referencia Ref para que el resultado sea una aceleración, de lo contrario, ¡el vector obtenido puede no tener significado físico!

Además, la derivada nos da la variación instantánea, respecto a la referencia, del vector velocidad, que puede ser en módulo, en dirección, en sentido, o en una combinación de las tres. Por tanto, si una velocidad es nula en un momento dado, o bien tiene un módulo constante, no implica que su derivada sea nula.

Ejemplo 4: Calcular la aceleración de P del ejemplo 3 respecto a la referencia fija Ref1 en las coordenadas móviles de Ref2, considerando que la velocidad de rotación del disco es variable (el disco está acelerando).

Aplicamos la definición [8]

{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)={\left.\frac{\operatorname d{\overrightarrow v}_{Ref}\left(P\right)}{\operatorname dt}\right|}_{Ref}=\frac d{dt}{\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}}_{Ref}

El vector velocidad viene dado según la base móvil Ref2, pero derivamos respecto a la base fija Ref1, por tanto usamos la expresión [4], abreviamos las derivadas respecto al tiempo usando apóstrofes: r' significa dr/dt, r'' significa d²r/dt², etc:

\begin{array}{l}{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)=\frac d{dt}{\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}}_{Ref}=\frac d{dt}\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}+\overrightarrow\Omega\times\begin{bmatrix}-r(t)\omega\\r'(t)\\0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}-r'(t)\omega+r(t)\omega'\\r''(t)\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\-r(t)\omega&r'(t)&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-r'\omega+r\omega'-\omega r'\\r''(t)-\omega^2r\\0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}r\omega'-2\omega r'\\r''(t)-\omega^2r\\0\end{bmatrix}\end{array}.

Tenemos aceleración en dos direcciones perpendiculares: ll componente r''-r\omega^2 da cuenta de la aceleración del punto P según r''(t) y además aparece una aceleración adicional, que tiene la misma dirección que el movimiento de P pero sentido contrario, y es la denominada aceleración centrípeta, que sería la única componente que tendríamos si el punto P tuviera velocidad constante o nula respecto el disco.

Como P además se mueve respecto al disco, aparece un componente adicional de aceleración perpendicular al movimiento de P. En el caso particular de que el disco gire con velocidad angular constante, \omega'=0, este término perpendicular se reduce a -2\omega r': esta aceleración tangencial se conoce como aceleración de Coriolis.

Ejemplo 5: calcular la aceleración del punto P del ejemplo 2 respecto a la referencia fija Ref1.

El vector velocidad viene dado según la base móvil Ref2, pero derivamos respecto a la base fija Ref1, por tanto usamos la expresión [4]:

\begin{array}{l}{\overrightarrow a}_{Ref}\left(P\right)=\frac d{dt}{\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}}_{Ref}=\frac d{dt}\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}+\overrightarrow\Omega\times\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}0\\\omega v\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\\omega\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}v-r\omega\\\omega vt\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\omega v\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}i&j&k\\0&0&\omega\\v-r\omega&\omega vt&0\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}0\\\omega v\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-\omega^2vt\\\omega\left(v-r\omega\right)\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\omega^2vt\\-r\omega^2\\0\end{bmatrix}\end{array}

Sobre las aceleraciones y fuerzas "ficticias", o "pseudofuerzas"

Es una costumbre generalizada llamar ficticias a las aceleraciones que hemos visto que "aparecen" en el cálculo, al derivar vectores expresados en bases no inerciales respecto de bases inerciales, como la aceleración centrípeta o la de Coriolis; el motivo de rebajar estas aceleraciones, que de hecho existen, al rango de "ficticias", es por que, según nos dicen, no hay ningún agente que las provoque, "nadie hace fuerza" para provocar esas aceleraciones. Dado que la 2ª ley de Newton, F = ma, relaciona aceleración con fuerza, se sigue que a cada aceleración ficticia le podemos asociar una fuerza ficticia, o "pseudofuerza". Por ejemplo es esa (pseudo)fuerza centrífuga que, cuando vamos en un coche que coge una curva a gran velocidad, nos presiona contra la puerta que tenemos al lado.

Para mi humilde opinión, esta forma de discriminación entre aceleraciones confunde más que ayuda a comprender la realidad física. Todas las aceleraciones son reales, no existen las ficticias.

Las aceleraciones lo que son es cambios temporales de la velocidad: siempre que el vector velocidad cambie, hay una aceleración. En el caso de un sistema de referencia no inercial, es el propio espacio que tomamos como referencia el que está cambiando las velocidades, que recordemos, son relativas al sistema de referencia, y por tanto, por definición, hay aceleraciones. Estas aceleraciones son las responsables de, por ejemplo, variar la velocidad para que el móvil efectúe un movimiento circular (por tanto no rectilíneo uniforme)

Esto se ve muy bien en la teoría de la Relatividad General y su principio de equivalencia:   la presencia de masa deforma el espacio circundante, que deja de ser euclídeo, por tanto cualquier sistema de referencia que lo represente será no inercial (recordemos que los inerciales se relacionan con espacios euclídeos), y aparecen aceleraciones vinculadas a  la referencia no inercia, en este caso especial, la aceleración no inercial es la gravedad.  De hecho, la gravedad no es una fuerza, sino una aceleración. El peso es la fuerza que contrarresta la aceleración de la gravedad, que nos sostiene en equilibrio; por eso en la caída libre no se experimenta peso alguno, hay sensación de ingravidez. Una explicación de este hecho, muy sencilla, a nivel divulgativo, es esta: Espacio-tiempo curvo para todos los públicos.

Entonces, hay una aceleraciones producidas directamente por fuerzas aplicadas, y hay otras producidas por el espacio de referencia no inercial; en este último caso, también pueden existir fuerzas reales vinculadas: en el caso del coche que toma la curva, la fuerza que hace el asiento, el cinturón de seguridad, y quizás la puerta, sobre nosotros, es la que genera la aceleración centrípeta necesaria para que nuestra masa tome la curva; si soltamos el cinturón y abrimos la puerta, salimos despedidos hacia fuera del coche, en dirección tangencial a la curva, debido a que en ausencia de fuerzas nuestra masa vuelve a la referencia inercial sin aceleración: a la trayectoria recta. En cambio, la fuerza centrífuga si podría llamarse una pseudo-fuerza, pero creo que es más apropiado no llamarla de ningún modo, pues simplemente no existe: no hay ninguna fuerza que nos empuje fuera del coche en la curva, al contrario, hay una única fuerza real, la centrípeta, que nos obliga a tomar la curva.

separador2