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Campo eléctrico

Vector campo eléctrico

En electrostática se estudia la fuerza que se ejercen mutuamente dos cargas eléctricas puntuales Q, Q' entre ellas; si fijamos sólo en una de las cargas, digamos la Q, nos damos cuenta de que si colocamos cualquier carga Q' en cualquier posición del espacio que rodea a Q, se ejercerá una fuerza sobre Q', es como si el espacio que rodea a Q tuviera una nueva propiedad, la de ejercer una fuerza sobre cualquier carga Q' en cualquier posición que la situemos.

Situemos una pequeña carga de prueba q de valor conocido en cualquier posición del espacio dada por el vector de posición v; si vemos que se ejerce una fuerza F (un vector) sobre la carga por el simple hecho de estar situada en ese punto, inferimos que el espacio está afectado por alguna otra carga Q desconocida que crea ese efecto, y entonces se cumplirá la ley de Coulomb,

F = r·k·qQ/r³ [1]

donde r es el vector de posición de q relativo a Q. La figura 1 muestra las cargas q, Q, sus vectores de posición v, w, el vector de posición relativo de q a Q, r = v - w, y la fuerza resultante F, en la dirección de r, que se supone repulsiva (las cargas son del mismo signo y se repelen entre sí).

Fig.1: fuerza electrostática entre dos cargas

Asumiendo el punto de vista de que el espacio alrededor de Q está afectado por esa carga, pues se ejerce una fuerza a distancia sobre cualquier carga q en cualquier posición v, podemos definir un vector E tal que la fuerza ejercida sobre cualquier carga q sea simplemente F = qE a partir de la expresión [1]:

E = k(r/)·Q [2]

Este vector se denomina vector campo eléctrico, y no depende de la carga de prueba q, sólo de la carga causante Q. Si tomamos dos cargas de prueba q, q', y medimos los vectores fuerza F, F', buscando la intersección de las rectas soporte de las fuerzas encontraremos el origen del campo: la posición de la la carga Q que lo genera (figura 2). Además, la magnitud de la fuerza F, conocida la carga q, nos determina también la carga Q a través de la ecuación [1], y por tanto nos determina el campo E.

Fig.2: dos cargas de prueba q, q' determinan el origen del campo eléctrico, la carga Q, y el vector campo E

La propiedad de que todas las rectas soportes de las fuerzas electrostáticas se corten en un punto se puede expresar diciendo que el campo eléctrico es un campo central pues todas las fuerzas parten de un punto central del espacio.

En Física se utiliza el concepto campo para describir cómo se "reparte" una magnitud física medible por el espacio; así, podemos hablar de campos eléctricos, campos magnéticos, e incluso de campos de velocidades en un fluido. Si la magnitud es escalar, el campo lo será, si es vectorial, el campo es vectorial, y si la magnitud es un tensor, el campo será tensorial. La matemática específica para describir campos se ha estudiado en profundidad, dando lugar a la rama de la Física Matemática conocida como Teoría de Campos.

Campo eléctrico producido por varias cargas puntuales

Fig.3: las líneas del campo eléctrico de una única carga puntual son rectas que se cortan en la carga

En el caso de una única carga puntual hemos visto que todas las las rectas soportes de las fuerzas, rectas que llamaremos líneas de fuerza del campo o simplemente líneas del campo  parten de un punto central donde se sitúa la única carga (fig. 3).

¿Qué pasa con las líneas si el campo es generado por dos cargas? Dado que la fuerza electrostática es acumulativa (se suman las contribuciones de todas las cargas) el campo eléctrico E también lo será, y en cada punto del espacio se sumaran los vectores de campo correspondientes a cada carga. Además, la fuerza F y el campo E decrecen con el cuadrado de la distancia, por ello, las líneas del campo se curvan; por cada punto del espacio pasa una línea de campo, de tal modo que el campo eléctrico en ese punto es tangente a la línea. En la figura 4 se representan dos cargas positivas iguales, y una pequeña carga de prueba en la que se suman los dos vectores E, E' generados por las fuentes del campo. Los vectores resultantes no apuntan a ningún centro, el campo resultante deja de ser central, y las líneas de campo (en color negro en la figura) se curvan.

Fig. 4: campo y lineas de campo generadas por dos cargas puntuales iguales

Hay que tener en cuenta que toda carga generará su propio campo eléctrico que se superpondrá a los ya existentes; por ello en lo expuesto hasta ahora hablamos de colocar "cargas de prueba" que se suponen mucho menores que las cargas generadoras del campo, de forma que se puede despreciar su contribución. Además, las cargas fuente, incluso siendo de mucha mayor magnitud que las de prueba, se supone que son de dimensiones puntuales para evitar complicaciones matemáticas.

Campo del dipolo eléctrico

Un caso particular importante es el del denominado dipolo eléctrico, que son dos cargas de igual magnitud q y de signo contrario separadas por una distancia d pequeña (fig. 5).

Fig. 5: líneas de campo producidas por un dipolo eléctrico, fuente: By Geek3 [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], from Wikimedia Commons
Se define el momento eléctrico del dipolo, p, por el vector

p = qd, [3]

siendo d el vector que parte de la carga negativa y acaba en la carga positiva. La distancia d se supone que es mucho menor que las distancias a las cuales colocaremos las cargas de prueba donde mediremos el campo E, ello permite simplificar su expresión matemática, que se obtiene de sumar las contribuciones de cada carga al campo total, resultando ser:

\boldsymbol E=qk\left(3\frac{d\cos\left(\theta\right)}{r^4}\boldsymbol r-\frac{\boldsymbol d}{r^3}\right) [4]

donde r es el vector que parte del punto central del dipolo (entre sus dos cargas); alternativamente, usando [3]:

\boldsymbol E=k\left(3p\frac{d\cos\left(\theta\right)}{r^4}\boldsymbol r-\frac{\boldsymbol p}{r^3}\right) [5]


Ejemplo 1: Situamos una carga de +10⁻³C en el origen de coordenadas, y otra carga de -10⁻³C en el punto (1, 0, 0). Calcular el campo eléctrico en el punto P(0.5, 1, 1). Si colocamos en ese punto una pequeña carga de +10⁻⁶C, ¿qué fuerza ejercerá el campo sobre ella?

El campo E' debido a la primera carga será, aplicando [2]:

\begin{array}{l}E'=k\cdot\lbrack{(0.5,1,1)-(0,0,0)}/\sqrt{(0.5²+1²+1²)\rbrack}^3\cdot(10⁻³)=\\\;(0.5,\;1,\;1)\cdot\frac{10⁻³k}{\left(3/2\right)^3}\end{array}

Para la segunda carga:

\begin{array}{l}E''=k\cdot\lbrack{(0.5,1,1)-(1,0,0)}/\sqrt{(0.5²+1²+1²)\rbrack}^3\cdot(-10⁻³)=\\-\;(-0.5,\;1,\;1)\cdot\frac{10⁻³k}{\left(3/2\right)^3}\end{array}

El campo total será la suma de los anteriores:

E=10^{-3}k\left(\frac23\right)^3\left(1,0,0\right).

La fuerza ejercida sobre la carga de prueba q viene dada por  F = qE:

\boldsymbol F=q\boldsymbol E=10^{-6}\cdot10^{-3}\cdot k\left(\frac23\right)^3\left(1,0,0\right)=9\cdot\cancel{10^9}\cdot\bcancel{10^{-9}}\frac8{27}\left(1,0,0\right)=\left(1,0,0\right)

una fuerza de 1 Newton en la dirección del eje X.


Campo eléctrico creado por una distribución de cargas

Cuando en vez de cargas puntuales tenemos cuerpos materiales cargados los modelamos como si contuvieran cargas puntuales distribuidas por el cuerpo, de forma que el campo eléctrico producido por el cuerpo se obtiene sumando las contribuciones de las cargas puntuales; dependiendo de la forma matemática que demos a la distribución, la suma puede ser más o menos directa, sencilla, o complicada. En el caso límite, que es de hecho el habitual, en el que consideremos que hay una infinidad de cargas puntuales será necesario usar el cálculo diferencial y el integral.

Campo eléctrico creado por una distribución de cargas plana y homogénea

El caso más sencillo de distribución de infinidad de cargas puntuales es el de una barra delgada de longitud 2L que tiene cargas sólo en una cara y además están distribuidas de forma uniforme; llamemos ρ a la densidad de carga eléctrica por unidad de longitud, que evidentemente será ρ = Q/2L siendo Q la carga total de la barra. y limitémonos a calcular al campo eléctrico en un punto P situado sobre la bisectriz de la barra, a una altura h:

Fig. 6: geometría para el cálculo del campo E producido por una línea homogénea de carga en un punto situado sobre la bisectriz de la línea

Tomando un elemento diferencial de longitud dx y situado a una distancia x del centro de la barra, por la geometría del problema vemos que la distancia r² será igual a x² + h², y la carga diferencial de ese elemento será dQ =  ρ·dx, por ello el campo diferencial creado por ese elemento en el punto P (punto azul en la figura) tendrá un módulo

\operatorname dE_1=k\frac{dQ}{r^2}=k\frac{\rho\cdot dx}{x^2+h^2}

Dada la situación simétrica el punto P con respecto a la barra, existirá otro elemento dx situado en -x que producirá un campo diferencial dE_2 tal que al sumar los vectores dE_1 con dE_2 se anularan las componentes horizontales y la resultante será vertical, dE con un módulo:

\operatorname dE=\operatorname dE_1\sin\left(\theta\right)+\operatorname dE_2\sin\left(\theta\right)=2\cdot k\frac{\rho\cdot dx}{x^2+h^2}\cdot\sin\left(\theta\right)

Esto sucederá a lo largo de toda la barra, por ello concluimos que el campo resultante ha de ser vertical. Tenemos ahora que sumar todas las contribuciones diferenciales a lo largo de la barra:

E=\int_0^L\operatorname dE=2k\int_0^L\frac{\rho\cdot dx}{x^2+h^2}\cdot\sin\left(\theta\right)

Notemos que los límites de integración son [0, L] y no [-L, L] pues para cada elemento dx a la derecha de la barra (en x) ya hemos sumado la contribución del elemento simétrico a la izquierda (en -x). Teniendo en cuenta que \sin\left(\theta\right)=\frac hr=\frac h{\sqrt{x^2+h^2}} llegamos a la integral

E=2k\int_0^L\frac{\rho\cdot dx}{x^2+h^2}\cdot\frac h{\sqrt{x^2+h^2}}=2kh\rho\int_0^L\frac{dx}{\left(x^2+h^2\right)^{3/2}}

Sin entrar en detalles del cálculo de la integral (podemos calcularla por ejemplo usando WolframAlpha), nos quedará:

E=2kh\rho\frac L{h^2\sqrt{h^2+L^2}}=\frac{2k\rho L}{h\sqrt{h^2+L^2}}

En el caso de que la barra sea muy larga comparado con la distancia h, o sea L >> h, podemos simplificar el valor del campo:

\lim_{L\rightarrow\infty}E=\frac{2k\rho}h\lim_{L\rightarrow\infty}\frac L{\sqrt{h^2+L^2}}=\frac{2k\rho}h [6]

El valor del campo variará según 1/h.


Flujo del campo vectorial. Ańgulo sólido

En el apartado anterior hemos visto que incluso en un caso simple (línea unidimensional de carga, homogénea, campo en un punto de la bisectriz...) cuando calculamos campos debidos a distribuciones continuas de cargas en seguida aparecen integrales complicadas, o muy complicadas. En este apartado y el siguiente vemos un punto de vista de la cuestión basado en la geometria que a menudo simplifica mucho los cálculos,

Consideremos un campo vectorial central, que es aquel que hace corresponder a cada punto P del espacio un vector V que sigue la dirección OP, siendo O el centro del campo, un punto fijo (figura 7).

Fig.7: Campo central, la masa agente situada en O

El caso especial de la forma V = r·c/r² donde r es el módulo de OP (la distancia al centro del campo), r el vector unitario que indica la dirección de OP, y c es una constante que denominamos masa agente del campo; se denomina campo newtoniano. Son campos newtonianos el campo electrico, el campo magnético y el campo gravitatorio. Vamos a definir el flujo del campo vectorial a través de una superfície infinitesimal dS, que denominamos d\phi, como el producto escalar V·dS, donde dS es el vector perpendicular a la superfície; siendo dS infinitesimal (muy pequeña), consideraremos que su curvatura es despreciable, y por tanto es plana (figura 8):

Fig. 8: elemento diferencial de superficie, vector dS, y campo vectorial V que suponemos pasa por el centro de la superficie

\operatorname d\phi=V\cdot dS=V\cdot dS\cdot\cos\left(\theta\right) [7]

Definamos a continuación el ángulo sólido de la superficie dS con respecto al origen del campo central O. Unamos los extremos de la superficie dS con el punto O usando líneas OP, y definamos una esfera C de radio 1 con centro en O; las lineas OP cortaran a la esfera definiendo sobre ella una pequeña superficie dΩ a la que llamamos ángulo sólido de dS sobre C (figura 9).

Fig. 9: ángulo sólido subtendido sobre la esfera C por el elemento de superficie dS

Veamos ahora una propiedad geometrica de los campos newtonianos: el flujo del campo a través de dS es:

\operatorname d\phi=V\cdot dS=V\cdot dS\cdot\cos\left(\theta\right)=\frac c{r^2}dS\cdot\cos\left(\theta\right)=\frac c{r^2}dS' [8]

donde hemos igualado dS\cdot\cos\left(\theta\right)=dS', que es la proyección de la superficie dS sobre la perpendicular al vector de campo V. Las superficies dS' y dΩ (Fig. 10) son paralelas, y están unidas por las mismas rectas al punto central O, se cumple entonces que la razón de sus áreas es igual a la razón de sus distancias al centro O al cuadrado:

Fig. 10: dS' y dΩ son paralelas, y están unidas por las mismas rectas al punto central O

\frac{\operatorname d\phi}{dS'}=\frac1{r^2}\Leftrightarrow dS'=r^2\operatorname d\phi

Si no ve el por qué el lector, piense que el área de la esfera es 4πr², el área de la esfera unitaria es 4π, y el área de una esfera que pase por dS' es 4πr², luego la razón de áreas es 4πr² : 4π = r². Usando esta proporción en la ecuación [8] obtenemos:

\operatorname d\phi=\frac c{r^2}r^2\cdot d\Omega=c\cdot d\Omega [9]

que nos dice que el flujo del vector campo newtoniano a través de una superficie diferencial cualquiera no depende de la distancia r, y es directamente igual al producto de la masa agente del campo por el ángulo sólido subtendido por la superficie sobre la esfera unidad centrada en el origen del campo.

Flujo del campo a traves de superficies cerradas

El producto escalar definido en [7] puede ser positivo o negativo dependiendo de la orientación relativa de los vectores campo V y dS; consideremos una superficie cerrada S, pdemos calcular el flujo total del campo a través de S integrando para cada elemento dS:

\phi=\int_S\operatorname d\phi=\int_SV\cdot dS  [10]

Si el flujo total es positivo, diremos que es un flujo entrante en S, y si es negativo, será un flujo saliente de S. Si el centro del campo O está en el exterior de S, las lineas OP desde el centro que pasen por S cortaran a S en un número par de puntos; en cambio si O está en el interior de S, las lineas cortaran a S en un número impar de puntos (figura 11).

Fig.11: flujos provenientes del centro O a través de superficies cerradas

Por tanto en el caso exterior cada linea creará una sucesión de flujos entrante-saliente-entrante-saliente-etc en número par, o sea, de flujos positivos y negativos alternados; hemos visto que el flujo no depende de la distancia al centro (ecuación [9]) sino sólo del ángulo sólido subtendido, que será el mismo para cada elemento de superficie sobre las lineas que parten de O. Por ello, para un punto O exterior, los flujos entrantes y salientes tienen el mismo valor y se anulan entre sí, resultando un flujo total nulo:

En un campo newtoniano, el flujo total a través de una superficie cerrada que no contiene al centro del campo es nulo.

En cambio si la superficie contiene al centro del campo tendremos un número impar de flujos entrantes-salientes, y su suma no se anulará; de hecho su valor viene dado por el teorema de Gauss, que se deriva de las ecuaciones [9] y [10]:

\phi=\int_S\operatorname d\phi=\int_Sc\cdot\operatorname d\Omega=c\cdot\int_S\operatorname d\Omega=4\pi c  [11]

Expresado en palabras:

En un campo newtoniano, el flujo total a través de una superficie cerrada que contiene al centro del campo es igual a 4\pi multiplicado por el valor de la masa agente.

En el caso del campo eléctrico, la masa agente vale k·Q, siendo Q la carga eléctrica.

Si tenemos un conjunto de cargas, cada carga creará su flujo de campo, y el flujo total será la suma de todos ellos.

Campo creado por una distribución infinita de cargas, plana y homogenea, usando el teorema de Gauss

Como ejemplo de la utilidad del concepto de flujo de campo y del teoriema de Gauss calcularemos el campo electrico creado por una placa cargada uniformemente, que supondremos de extensión muy grande, sobre un punto P situado a una altura h del plano.  Imaginemos otro punto P' situado al otro lado del plano, simétrico a P, y pensemos en un cilindro con eje PP' y de àrea superior dS (en la figura 12 vemos una vista lateral del plano cargado y de la situación).

Fig. 12: usando el teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico E

Por simetría el campo E ha de ser vertical y en las direcciones indicadas en la figura; los vectores dS normales a las bases del cilindro tendrán la misma dirección que E, luego el producto escalar resultante, teniendo en cuenta que no habrá flujo de E en las paredes laterales del cilindro por ser paralelas al campo (luego el vector normal a las paredes es perpendicular a E y su producto escalar, nulo) es \operatorname d\phi=E\cdot dS+E\cdot dS=2E\cdot dS.  Si llamamos \sigma a la densidad de carga por unidad de superfície de la placa, la carga encerrada dentro del cilindro será \operatorname dQ=\sigma\cdot\operatorname dS. Por el teorema de Gauss, el flujo ha de ser entonces \operatorname d\phi=4\mathrm\pi\cdot\mathrm k\cdot\mathrm\sigma\cdot\operatorname d\mathrm S; igualando las dos expresiones para el flujo obtenemos:

d\phi=4\pi k\sigma\cdot\cancel{dS}=2E\cdot\cancel{dS}\Leftrightarrow\boxed{E=2\pi k\sigma}

Vemos que la ingensidad de campo E creada por una placa infinita cargada homogéneamente no depende de la distancia h a la placa, un resultado notable.

Problemas

  1. Calcular el campo eléctrico producido por una esfera cargada con densidad de carga homogenea, tanto en el interior de la esfera como en el exterior.
  2. Una esfera  cargada con densidad de carga homogenea tiene una cavidad esférica en su interior, los centros de la esfera cargada y la cavidad estan a una distancia d. Calcular el campo electrico en la cavidad.

 


Soluciones

Problema 1 - En la figura vemos la geometría del problema: representamos una superficie esférica S interior y concéntrica  a la esfera cargada (en azul) y sobre S un punto cualquiera P, por la que trazamos una línea que pasa por el centro O y divide a las esferas en dos mitades simétricas; por simetría, el vector campo E(P) en el punto P no puede estar dirigido hacia ninguno de las dos mitades en particular, así que ha de ser radial. Además, el punto P podría ser cualquier punto situado en S pues tenemos simetría esférica, luego el módulo del campo E será el mismo en todo S, es decir, el valor de E depende sólo del radio de S.

Por simetría del problema respecto cualquier recta que pase por O, el campo E ha de tener el mismo módulo en toda esfera S interior, y ha de ser radial

Vamos a aplicar el teorema de Gauss a la superficie S: primero de todo damos forma matemática a las consideraciones anteriores sobre el campo E:

\overrightarrow E(P)=\frac1rE(r)\cdot\overrightarrow{OP},

o sea el vector campo E es igual al módulo E(r) por el vector radial OP dividido por el módulo de OP, que es r. Equivalentemente podemos definir el vector unitario radial \widehat r=\frac{\overrightarrow{OP}}r y la expresión del campo en todo punto P de S queda más compacto: \overrightarrow E(P)=E(r)\cdot\widehat r.

Ahora calculamos el flujo de E a través de la superfície S, aplicando [10]:

\phi=\int_S\operatorname d\phi=\int_S\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow S=\int_SE\left(r\right)\widehat r\cdot d\overrightarrow S=E\left(r\right)\int_SdS=E\left(r\right)\cdot4\pi r^2

donde hemos aplicado que el elemento diferencial vectorial de superfície dS es un vector radial de módulo dS, y por tanto su producto escalar con el vector radial unitario es simplemente dS, además E(r) es constante sobre S, luego puede salir fuera de la integral, y esta integral sobre S del elemento dS es simplemente la superfície de la esfera S. Este flujo que hemos calculado, según el  teorema de Gauss [11], ha de ser igual a \phi=4\pi kQ, donde Q es la carga contenida en el volumen interior a S; llamando \rho a la densidad de carga por unidad de volumen, tenemos que:

Q=\int_V\rho\cdot\operatorname dV=\frac43\rho\pi r^3\Rightarrow\phi=4\pi k\cdot\frac43\rho\pi r^3=\frac{16}3k\rho\pi^2r^3 [12]

Igualando este flujo dado por el teorema de Gauss con el que hemos calculado antes, hallamos el módulo del campo E:

E(r)\cdot4\pi r^2=\frac{16}3k\rho\pi^2r^3\Rightarrow\boxed{E(r)=\frac43k\rho\pi r} [13]

Vemos que la dependencia E(r) es lineal: aumenta linealmente con r. En el sistema internacional de unidades la constante k se expresa en funcion de la denominada permitividad eléctrica del vacío \varepsilon_0, y el campo se reduce a

E(r)=\frac43\frac1{4\pi\varepsilon_0}\rho\pi r=\frac1{3\varepsilon_0}\rho r. [14]

Esta expresión vale para r\leq a, siendo a el radio de la esfera cargada. Para distancias r al centro de la esfera que sean mayores que el radio a el cálculo es muy parecido, sólo que el valor de la carga Q es constante, siendo la carga total de la esfera, Q=\frac43\pi a^3\rho, y al sustituirla en el teorema de Gauss, el flujo total a través de una superficie de radio r > a vale\phi=\frac43\pi a^3\rho\cdot4\pi k, igualando este flujo con el calculado vectorialmente:

\phi=\frac43\pi a^3\rho\cdot\cancel{4\pi}k=E\left(r\right)\cdot\cancel{4\pi}r^2\Leftrightarrow\boxed{E\left(r\right)=\frac43\pi\frac{a^3}{r^2}\rho k} [14b]

que en función de \varepsilon_0 valdrá

E\left(r\right)=\frac43\pi\frac{a^3}{r^2}\rho\frac1{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0r^2}. [15]

O sea que en el interior de la esfera el campo E crece linealmente con la distancia a centro, y en el exterior decrece cuadráticamente:

Variación del campo E con la distancia r al centro en el caso de una esfera de radio a cargada uniformemente

Problema 2 - La complicación de este problema está en ver como tratar la cavidad dentro de la esfera; la forma más fácil consiste en darse cuenta de que la situación es equivalente, en cuanto al cálculo del campo E, a suponer que la esfera, de radio R y centro en O, está cargada uniformemente en su totalidad con una densidad de carga \rho, y que la cavidad es otra superficie esférica, de radio r < R y centro O', a la que añadimos, superponiéndola, otra densidad de carga de igual valor pero signo contrario, -\rho, con ello, la carga neta en la cavidad será cero. Entonces, debido a que el campo electrico es acumulativo, podemos calcular el campo E por superposición del campo creado por toda la esfera de radio R, al que llamamos E_O, más el campo creado por la carga negativa en la esfera de radio r, al que llamamos E'_O. La geometría de este esquema lo vemos en la imagen, donde hemos dibujado un punto P cualquiera dentro de la cavidad, los dos campos generados en ese punto y el campo total.

Vectores E y geometria del problema

Para calcular cada campo aplicamos [13] pues el punto P es interior a las dos esferas consideradas:

\overrightarrow E\left(P\right)={\overrightarrow E}_O\left(P\right)+\overrightarrow E'_O\left(P\right)=\frac43k\pi\rho r\cdot\widehat r-\frac43k\pi\rho r'\cdot\widehat r'=\frac43k\pi\rho\left(r\cdot\widehat r-r'\cdot\widehat r'\right)

Tenemos que r\cdot\widehat r=\overrightarrow r,\;r'\cdot\widehat r'=\overrightarrow r' y observando la figura deducimos que r\cdot\widehat r-r'\cdot\widehat r=\overrightarrow r-\overrightarrow r'=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{O'P}=\overrightarrow{OO}'.  Por tanto nos queda la siguiente expresión para el campo en el interior de la cavidad:

\overrightarrow E\left(P\right)=\frac43k\pi\rho\cdot\overrightarrow{OO}'=\frac43k\pi\rho\cdot\overrightarrow d

Observemos que E es un vector constante dirigido según la recta OO' (el vector d de módulo igual a la distancia d entre centros).

El campo en el interior de una cavidad dentro de una esfera uniformemente cargada es constante

Electrostática

Tales de Mileto (600 aC) observó que una barra de ámbar (una resina vegetal) frotada con fuerza atraía y levantaba objetos pequeños; en griego el ámbar se llama "elektron", y de aquí vino que se llamara a estos fenómenos como "eléctricos".  William Gilbert (siglo XVI) descubre que sucede lo mismo con otros materiales, a los que llama materiales eléctricos, que hoy en dia llamamos  materiales aislantes, los cuales presentan este fenómeno de electrización por frotamiento.

Dos tipos de electrización

Si frotamos dos varillas de vidrio y las acercamos nortaremos que se repelen mútuamente; lo mismo ocurre si lo hacemos con dos varillas de ámbar. En cambio si acercamos una varilla electrizada de vidrio y una de ámbar, se atraen.  Experimentalmente se encuentra que, dados dos materiales electrizados, algunos se repelen entre sí y otros se atraen; más aún, se pueden agrupar sólo en dos categorias: los que son atraidos por la varilla de vidrio y repelidos por la varilla de ámbar, y los que reaccionan al contrario. B. Franklin (siglo XVIII) llamó a estas categorias, de forma arbitraria, "positiva" (para las cargas similares a la del vidrio) y "negativa" (para las similares al ámbar). La experiencia probaba que electrificaciones del mismo signo se repelen y de distinto signo se atraen.

Creando péndulos con pequeñas masas electrificadas (fig. 1) se puede deducir la fuerza con que se atraen o repelen, midiendo la desviación de la verticalidad y sabiendo las masas.

Fig. 1: Dos péndulos con material electrificados del mismo signo se repelen entre sí

Supongamos que hemos realizado las mediciones de la fuerza F_A que un cuerpo A ejerce sobre otro C de distinto signo, y también la fuerzaF_B de otro cuerpo B sobre C, también de distinto signo (por tanto A y B deben de ser del mismo signo). Podemos conjeturar que si las fuerzas anteriores no son iguales en magnitud, debe de ser por que los materiales A y B no tienen la misma "cantidad de electrificación", cantidad que llamaremos carga eléctrica, y simbolizaremos por Q. Entonces, la fuerza deberá ser proporcional a la carga, y al dividir las fuerzas entre sí se cumplirá la proporción

\frac{F_A}{F_B}=\frac{Q_A}{Q_B} [1]

Si ahora medimos la fuerza que ejercen A y B (unidos por ejemplo con cola) sobre C, encontraremos que es F_{A+B}=F_A+F_B (figura 2).

Fig. 2: Al añadir cuerpos cargados, la fuerza electrica aumenta en el mismo grado

Usando  la proporción [1] con la fuerza resultante obtenemos:

\frac{F_{A+B}}{F_B}=\frac{F_A+F_B}{F_B}=\frac{F_A}{F_B}+1=\frac{Q_A}{Q_B}+1=\frac{Q_A+Q_B}{Q_B} [2]

expresión que nos dice que el efecto de acumular el objeto con carga Q_A más el objeto con carga Q_B es el mismo que produciría un objeto con la carga Q_A+Q_B, es decir, que la carga es una magnitud física escalar, se pueden comparar cantidad de cargas, sumarlas, etc.

Ley de conservación de la carga eléctrica

Supongamos que henos frotado una varilla de vidrio con un paño suave para electrificarla con una carga Q_A que será positiva. Con instrumentos más precisos que el péndulo se puede medir que también el paño se ha electrificado, y lo ha hecho con una carga de igual magnitud pero de signo contrario a la de la varilla, -Q_A: antes de electrificar la varilla no había carga electrica, y después si consideramos el conjunto varilla + paño tampoco, pues la suma algebraica de cargas sigue siendo cero. Es un caso particular de la ley física de la conservación de la carga eléctrica:

En un sistema aislado la carga eléctrica permanece constante.

En general la materia es eléctricamente neutra; si un objeto adquiere una carga positiva será porque otro cuerpo se la ha cedido, adquiriendo carga negativa, y siendo la suma total de cargas cero.

Electrones ligados y electrones libres

Sabemos que la materia está constituida por átomos, con un núcleo cargado positivamente rodeado de una nube de electrones cargados negativamente; el núcleo es muy estable, y sólo puede verse afectado por reacciones nucleares o por desintegración natural, si es un elemento radiactivo, en cambio la nube de electrones es mucho más inestable, y es relativamente fácil extraer electrones de esa nube. Eso es lo que sucede al frotar un material aislante con un paño: algunos electrones, por efecto del frotamiento, "cambian de bando", por ejemplo pasan de la varilla al paño, con el efecto de alterar la neutralidad de cargas, el material que pierde elecrones queda con carga neta positiva, y el que los recibe con carga negativa.

También sabemos que la carga eléctrica del electrón Q_e es la unidad básica de carga, no existen cargas inferiores. Por ello, se podrá expresar cualquier carga Q como un múltiplo de Q_e.

En los metales los átomos estan en un estado tal que algunos de sus electrones puede "saltar" con facilidad de un átomo a otro; la carga total sigue siendo neutra, pero esos electrones no estan fijados en un átomo en particular sino que se van moviendo por el material, por ejemplo debido a la agitación térmica de las moléculas, que las hace vibrar.  Son los electrones libres, o electrones de conducción.  Los demás electrones que están fijados a un átomo son los electrones ligados. Los materiales se consideran conductores si disponen de abundantes electrones libres y por el contrario aislantes si sus electrones son mayoritariamente ligados.

Al frotar el vidrio, la energía cinética que suministramos es suficientemente fuerte para arrancar algunos de sus electrones ligados, que pasan al paño, y el vidrio queda con déficit de electrones; en cambio al frotar ámbar, siendo sus electrones ligados más fijos que el vidrio, sucede lo contrario, algunos electrones del paño saltan al ámbar, cargándolo negativamente.  Si lo intentamos con una varilla de madera no conseguiremos que atraiga pequeños objetos, pues los electrones de la madera estan más ligados que los del vidrio y además no admite electrones externos, como sí hace el ámbar: decimos que la madera es muy aislante pues no se electrifica.

Electrificación por inducción

Fig.3: separación de cargas en el volumen de un conductor

Si acercamos un cuerpo A cargado, por ejemplo positivamente, a un conductor neutro, sus electrones libres seran atraídos cerca de A, formando una región cargada negativamente (figura 3). Habrá una región central de la que habrán salido electrones hacia la izquierda pero que también recibirán electrones de la derecha, quedando neutra, y habrá una región a la derecha que, como no hay más material a su derecha, habrá perdido electrones y quedará cargada positivamente. Si acercamos un tercer cuerpo C por ejemplo con carga positiva, veremos que es repelido por el metal. Al retirar el cuerpo A, los electrones del metal vuelven a dispersarse por todo su volumen, y el cuerpo C dejaría de ser repelido.

Pero si mantenemos A cerca del metal y conectamos el metal con la tierra usando un cable conductor, los electrones libres de la tierra seran atraídos por la carga positiva del metal B y se incorporaran a éste. Si después retiramos tanto el cable como el cuerpo A, el metal quedará con una carga neta negativa distribuida por todo su volumen.

Fig. 4: electrificación de un conductor por inducción

Ley de Coulomb

Coulomb (siglo XVIII) usó una balanza de torsión para averiguar el efecto de la separación entre cuerpos cargados sobre la fuerza que se ejercen (figura 5).

Fig.5: Esquema de la balanza de torsión de Coulomb

Dispuso dos bolitas de saúco electrizadas A, B, la primera fijada a la tapa del cilindro por una varilla aislante rígida y la segunda en el extremo de otra varilla, balanceada por un peso, ámbos colgando de un hilo muy fino de plata. La repulsión entre A y B hace que éste se aleje, retorciendo el hilo. Midiendo la torsión del hilo puede deducirse la fuerza de respulsión. Colocando A en diversas posiciones, pudo estudiar el efecto que tenia la separación r entre A y B. Su conclusión se conoce como ley o fórmula de Coulomb de la electrostática:

F=k\frac{QQ'}{r^2} [3]

La k es una constante de proporcionalidad que depende del medio (aire, vacío, agua, ...), Q y Q' son las cargas y r la distancia que las separa. El hecho de que k dependa del medio indica que hay una transmisión de fuerza electrostática a través del medio, el cual puede ser más o menos permeable eléctricamente.

Inicialmente se propuso como unidad de carga aquella que, siendo Q = Q' = 1, y situadas a una distancia de 1cm produjeran una fuerza atractiva de 1 dina (que a su vez es la fuerza que acelera una masa de un gramo a un cm/s²). En este sistema de medidas cegesimal la constante k vale la unidad, y a relación entre carga eléctrica y las unidades básicas gr, cm, s son poco intuitivas, pues aparecen exponentes fraccionarios:

\left[gr\frac{cm}{s^2}\right]=\left[\frac{Q^2}{cm^2}\right]\Rightarrow\left[Q\right]=\left[\sqrt{gr\frac{cm^3}{s^2}}\right]=\left[\frac{gr^{1/2}cm^{3/2}}s\right]

Se propuso otra unidad de medida, el Coulomb C, derivada de la corriente eléctrica, evitando exponentes racionales: la unidad de carga se define como aquella que es transportada por una corriente de un Ampere en un segundo, [C] = [A/s]. Además, se dió un valor a k adecuado para simplificar expresiones:

El 4\pi evita que salga ese término en muchas formulas del electromagnetismo. Este sistema es el internacional de unidades.

Distribución de cargas

Como hemos mostrado en [2] las cargas son aditivas; entonces si colocamos diversas cargas en el espacio, para cada par de ellas se aplicará la ley de Coulomb [3]; ¿cuál será la fuerza resultante sobre una de las cargas? Siendo la fuerza un vector, necesitamos una versión vectorial de [3]. Denominando \overrightarrow r_{21} al vector que parte de la carga Q_2 y llega a la carga Q_1, podemos escribir:

\overrightarrow F(Q_1)=k\frac{Q_1Q_2}{r_{21}^3}{\overrightarrow r}_{21} [4]

en donde tenemos que especificar sobre qué carga estamos calculando la fuerza (el sentido sobre Q_1 es el contrario que sobre Q_2); observemos que la fuerza sobre Q_1 utiliza el vector r_{21} que va de la carga 2 a la 1. Para cargas del mismo signo este convenio proporciona una fuerza de repulsión entre cargas. Otra expresión equivalente es:

{\overrightarrow F}_{A\rightarrow B}=k\frac{Q_AQ_B}{\overrightarrow{\left\|AB\right\|}^3}\overrightarrow{AB} [4b]

que expresa la fuerza que ejerce la carga situada en A sobre la carga situada en B, siendo Q_A,Q_B las cargas y \overrightarrow{AB} el vector que va del punto A hasta el B.

Alternativamente, utilizando el vector unitario {\widehat r} que tiene la dirección de\overrightarrow r_{12} pero módulo 1, será:

\overrightarrow F(Q_1)=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}{\widehat r}_{21} [5]

Para un conjunto Q_1,Q_2,...,Q_n de cargas, la fuerza ejercida por todas ellas sobre la i-ésima carga Q_i será la suma de las fuerzas de cada pareja posible, o sea sumando las contribuciones dadas por [5]:

\overrightarrow F(Q_i)=k{\textstyle\sum_{j\neq i}}\frac{Q_iQ_j}{r_{ji}^2}{\widehat r}_{ji} [6]

donde el subíndice j recorre todos los valores 1 ... n excepto el propio i (no evaluamos la fuerza de Q_i sobre ella misma).

Ejemplo:  Tenemos tres cargas A, B, C todas de valor 10⁻⁴Coulomb;  A y B son positivas, C es negativa, y estan situadas en un plano, en las coordenadas A(0, 0), B(2,3), C(-1, 2). Calcular la fuerza resultante sobre la carga situada en C.

Aplicamos [4b] a la fuerza de la carga A sobre C, y después a la de B sobre C:

De A hasta C: AC = C(-1, 2) - A(0, 0) = (-1, 2);

{\overrightarrow F}_{A\rightarrow C}=9\cdot10^9\frac{-10^{-4}10^{-4}}{5^{3/2}}\overrightarrow{\left(-1,2\right)}=\frac{90}{5^{3/2}}\overrightarrow{\left(-1,2\right)}

De B hasta C: C(-1, 2) - B(2,3) = (-3, -1);

{\overrightarrow F}_{A\rightarrow C}=9\cdot10^9\frac{-10^{-4}10^{-4}}{10^{3/2}}\overrightarrow{\left(-3,-1\right)}=\frac{90}{10^{3/2}}\overrightarrow{\left(-3,1\right)}

Sumamos las fuerzas:

\begin{array}{l}\overrightarrow F\left(C\right)={\overrightarrow F}_{B\rightarrow C}+{\overrightarrow F}_{A\rightarrow C}=-\frac{90}{5^{3/2}}\overrightarrow{\left(-1,2\right)}-\frac{90}{10^{3/2}}\overrightarrow{\left(-3,-1\right)}=\\\frac{90}{5^{3/2}}\left[\overrightarrow{\left(-1,2\right)}+\frac1{2^{3/2}}\overrightarrow{\left(3,1\right)}\right]\cong\overrightarrow{\left(0.48,20\right)}\end{array}

Cuestiones y ejercicios resueltos

  1. ¿La formula de Coulomb se puede utilizar para calcular la fuerza electrostática entre dos cuerpos de dimensiones arbitrarias?
  2. Si acercamos una varilla de ámbar a otra varilla electrificada de vidrio, y vemos que se atraen, ¿debemos suponer que la de ámbar también está electrificada? ¿Y si en vez de atraerse se repelen?
  3. Calcular la proporción que guardan la fuerza de repulsión electrostática y la fuerza gravitatoria entre losprotones  constituyentes de una partícula alfa (idéntica a un núleo de helio; dos protones y dos neutrones). Comentar el valor obtenido, ¿tiene alguna implicación práctica? Datos: masa cada partícula = 1,5·10⁻²⁷kg, carga del protón = 1,6·10⁻¹⁹C, constante de gravitación universal G = 6,7·1⁻¹¹ Nm²Kg⁻¹.
  4. Dos pequeñas esferas electrificadas de masa 0.1gr  cuelgan de un mismo punto por hilos de longitud 1m. Sabiendo que los hilos forman un ángulo entre sí de 15⁰, calcular la carga eléctrica que poseen.

Soluciones

  1. No, sólo tiene sentido para cargas puntuales o de dimensiones despreciables. Para cuerpos cargados ha de desarrollarse una formula más compleja que usa diferenciales e integración.

2. No necesariamente, incluso si el ámbar es neutro, al acercarlo a la varilla cargada puede producirse el fenómeno de la inducción electrostática, que acumule cargas negativas en la parte del ámbar más cercana al vidrio. En cambio si observamos repulsión sí es seguro que el ámbar está cargado con el mismo signo que el vidrio.

3.  La fuerza de repulsión electrostática viene dada por la ley de Coulomb, en la forma no vectorial, donde d es la distancia entre protones:

F_e=9\cdot10^9\frac{\left(1,6\cdot10^{-19}\right)^2}{d^2}

La fuerza de atracción gravitatoria viene dada por la ley de Newton de la gravitación universal:

F_g=6,7\cdot10^{-11}\frac{\left(1,5\cdot10^{-27}\right)^2}{d^2}

Dividiendo la primera por la segunda obtenemos la proporción de ámbas fuerzas naturales:

\frac{F_e}{F_g}=\frac{9\cdot10^9}{6,7\cdot10^{-11}}\frac{\left(1,6\cdot10^{-19}\right)^2}{\left(1,5\cdot10^{-27}\right)^2}\approx0.2\cdot10^{9+11-38+54}\approx10^{35}

Vemos que la fuerza electrostática es prodigiosamente mayor que la gravitatoria. Imaginemos que tenemos dos máquinas de tren de 100 toneladas, que supondremos son de hierro,  cada una separadas a la distancia de 1 metro. La atracción gravitatoria entre ellas es despreciable comparada con la atracción de la Tierra sobre ellas. Supongamos que, por algún procedimiento, pudiéramos conseguir que uno de cada 100 millones de átomos del hierro (Fe) de las máquinas perdiera un sólo electrón, de los 55 que tiene cada uno. Sabiendo que un mol de Fe son 55gr, y que cada mol contiene el número de Avogradro de átomos, 6·10²³, obtenemos que cada locomotora contiene alrededor de 10³⁰ átomos de Fe, y por tanto 55·10³⁰ electrones. Al quitar uno de cada 100·10⁶ = 10⁸, quitariamos un total del 55·10²² electrones; como cada electrón tiene una carga de 1,6·10⁻¹⁹C, habría más carga positiva que negativa, siendo la carga total neta = 55·10²² · 1,6·10⁻¹⁹ = 8800 Coulomb ... esta es una carga enorme. En efecto, las dos locomotoras electrificadas se repelerian con una fuerza de 9·10⁹·(8800)² / 1 = 7·10¹⁷Newton, y serian aceleradas una respecto la otra con una aceleración a = F/m = 7·10¹⁷/10⁵ = 7·10¹², aproximadamente un billón de veces la aceleración de la gravedad: las locomotoras saldrian despedidas y en millonesimas de segundo alcanzarian una valocidad próxima a la de la luz.

4. Ejercicio para el lector. Si quereis la solución, podeis contactar por la página den Facebook.

 

 

Física -> Electricidad y Magnetismo -> Corriente alterna

En los orígenes de la industria eléctrica se descubrió que el transporte de la electricidad es más económico cuando se usa corriente alterna en vez de continua, y desde entonces las instalaciones de potencia cambian la polaridad de la corriente con una frecuencia de 50 ciclos por segundo, o 50 Hertz (en Europa), mientras que en las transmisiones por ondas electromagnéticas se usan frecuencias de millones de Hertz. Este artículo trata sobre cálculo de parámetros de circuitos simples en corriente alterna.

Corriente alterna

Es toda corriente eléctrica cuya intensidad es una función periódica del tiempo y con un sentido de circulación que se invierte también periódicamente. En Análisis Matemático se demuestra que estas funciones periódicas se pueden descomponer en serie de funciones sinusoidales de la forma A_i\sin\left(\omega_it\right), con unas frecuencias que son múltiplos de la más baja; por tanto, toda corriente alterna en general (abreviadamente c.a.) se puede considerar igual a la superposición de corrientes alternas sinusoidales; por ello, basta con estudiar éste último tipo de c.a.

Circuito RLC serie con corriente alterna

Fig. 1: Circuito RLC serie
Fig. 1: Circuito RLC serie

En la figura 1 vemos un tramo de circuito con una resistencia R, una inductancia L y un condensador C conectados en serie; supongamos que es recorrido por una c.a. de intensidad i=I\sin\left(\omega t\right), y que en un instante t circula de izquierda a derecha, provocando una caída de tensión V_A-V_B=iR en la resistencia, otra caída V_B-V_C=L·i' en la inductancia, siendo i' la derivada respecto del tiempo de la intensidad i, y por último una caída BV_c-V_D=q/C en el condensador, siendo q su carga y C su capacidad. En un instante dt la corriente lleva al condensador una carga dq = i·dt, por tanto la carga total es q=\int i\cdot\operatorname dt. La caída total de tensión en el tramo RLC es la suma:

\triangle V=Ri+L\frac{\operatorname di}{\operatorname dt}+\frac1C\int i\cdot\operatorname dt [1]

Como la intensidad es una función sinusoidal, y las derivadas e integrales de funciones sinusoidales también son sinusoidales, la caída de tensión será a su vez una función sinusoidal tal como

\triangle V=V_0\sin\left(\omega+\varphi\right)

corrent_alterna2
Fig. 2: el circuito RLC con los distintos puntos A, B, C, D a considerar para el cálculo de las diferencias de potencial

Sustituyendo en [1]:

V_0\sin\left(\omega+\varphi\right)=V_A-V_D=Ri+L\frac{\operatorname di}{\operatorname dt}+\frac1C\int i\operatorname dt

Esta es una ecuación que matemáticamente parece complicada; en el siguiente apartado vemos los instrumentos para operarla fácilmente, usando sólo geometría elemental.

Representación del potencial periódico mediante los vectores de Fresnel

Al derivar e integrar la intensidad sinusoidal el resultado tiene un desfase respecto la original; en efecto:

\frac{\operatorname d\;}{\operatorname dt}A\sin\left(\omega t\right)=A\omega\cos\left(\omega t\right)=A\omega\sin\left(\omega t+\frac{\mathrm\pi}2\right)

Propiedad 1: La derivada temporal de la función sinusoidal es también sinusoidal con la misma pulsación \omega, con amplitud modificada por el factor \omega, y con una fase adelantada en \frac{\mathrm\pi}2.

Obviamente para la integral tendremos un resultado como este:

Propiedad 2: La integral temporal de la función sinusoidal es también sinusoidal con la misma pulsación \omega, con amplitud modificada por el factor 1/\omega, y con una fase retrasada en \frac{\mathrm\pi}2.

Un movimiento oscilatorio simple de pulsación \omega y amplitud A puede representarse por un vector de módulo constante igual a la amplitud A, que efectúa un movimiento circular uniforme con velocidad angular constante \omega, es la denominada representación de Fresnel de la oscilación. Entonces, como tanto la intensidad i(t) como su derivada e integral tienen la misma pulsación, si las representamos con vectores de Fresnel girarán con la misma velocidad angular, con módulos distintos, y con un desfase de \frac{\mathrm\pi}2 entre ellos; la suma [1] se podrá obtener como suma de los tres vectores.

Fig. 3: representación de Fresnel de la intensidad en el circuito RLC
Fig. 3: representación de Fresnel de las diferencias de potencial en el circuito RLC en cada punto

 En la figura 3 se representan las diferencias de potencial: la V_A-V_B debido a la resistencia R tiene por módulo RI, y lo representamos sobre el eje X; a continuación, la V_B-V_C debida a la inductancia L tiene por módulo L\omegaI y forma un ángulo de 90⁰ en el sentido contrario a las agujas del reloj con el vector V_A-V_B (propiedad 1); por último, la V_C-V_D debida al condensador tiene por módulo I(C\omega)^{-1} y forma un ángulo de -90⁰ con el vector V_A-V_B (propiedad 2). La suma vectorial de estos tres vectores se representa en azul, y nos da la diferencia de potencial del tramo completo del circuito, V_A-V_D. Llamando \theta al ángulo del vector V_A-V_D, es evidente que

\tan\left(\theta\right)=\frac{L\omega I_0-I_0C^{-1}\omega^{-1}}{RI_0}\Rightarrow\theta=\tan^{-1}\left(\frac{L\omega I_0-{\displaystyle\frac1{C\omega}}}R\right) [2]

Por otro lado, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABE, y llamando V a la diferencia de potencial V_A-V_D, obtenemos:

V^2=I_0^2R^2+I_0^2\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^2\Rightarrow I_0=\frac V{\sqrt{R^2+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^2}} [3]

Las ecuaciones [2] y [3] relacionan la intensidad y la diferencia de potencial en un circuito RLC de corriente alterna.

Impedancia y reactancia

 La ecuación [3] podemos expresarla en forma compacta: I = V / Z, donde Z es la impedancia del circuito,

Z=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^2} [4]

De esta forma, la relación entre intensidad y tensión queda parecida a la ley de Ohm de corriente continua, I = V / R, sustituyendo la resistencia R por la impedancia Z, la cual es también una medida de a oposición del circuito al paso de corriente, y también se mide en Ohms.

De forma parecida, podemos simplificar la ecuación [2],

\theta=\tan^{-1}\left(\frac{L\omega I_0-{\displaystyle\frac1{C\omega}}}R\right)=\tan^{-1}\left(\frac XR\right)

hemos definido la reactancia del circuito, X:

X=L\omega I_0-\frac1{C\omega} [5]

que puede ser positiva o negativa; en los casos particulares de circuitos RC (sin inductancia) se dice que tenemos una reactancia capacitiva, que será negativa, y en circuitos RL (sin capacitancia) una reactancia inductiva, que será positiva.

Mirando la figura 3 veremos que, cuando la reactancia sea positiva, la intensidad, que está sobre el eje X, estará retrasada un ángulo \theta respecto la tensión V (la línea azul resultante), mientras que para reactancias negativas será al contrario, la intensidad irá avanzada respecto la tensión.

Usando la reactancia, la ecuación [4] queda aún más compacta:

Z=\sqrt{R^2+X)^2} [5]

Ejemplo 1: Tenemos en serie una resistencia R, una bobina y un condensador. La bobina tiene resistencia despreciable y un coeficiente de autoinducción de 25mH. El condensador tiene una capacidad de 50μF. Sabiendo que la tensión instantánea es V = 120·sen(400t) y que la intensidad está adelantada 60⁰ respecto a la tensión, calcular el valor de R, la caída de tensión en la resistencia y el diagrama de Fresnel de tensiones.

El esquema del circuito es semejante al de la figura 1, y el diagrama de tensiones será como el de la figura 3. Con los datos que tenemos podemos calcular la reactancia del circuito:

X=L\omega-\frac1{C\omega}=25\cdot10^{-3}\cdot400-\frac1{50\cdot10^{-6}\cdot400}=-40\Omega

Vemos que la reactancia es negativa, mirando la figura 3 deducimos que el ángulo entre intensidad y tensión ha de ser negativo, e igual a -60⁰. Usando la ecuación [2], en la cual el numerador es igual a la reactancia X:

\tan\left(-60⁰\right)=\frac XR=\frac{-40}R\Rightarrow R=\frac{40}{\tan\left(60⁰\right)}=\frac{40}{\sqrt3}\Omega.

La caída de tensión en la resistencia viene dada por la ley de Ohm V = IR, que es una función sinusoidal:

V=R\cdot I=\frac{40}{\sqrt3}\frac{3\sqrt3}2\sin\left(400t\right)=60\sin\left(400t\right).

Teniendo en cuenta el ángulo negativo, el diagrama de Fresnel del circuito tiene este aspecto:

Fig. 4: diagrama de Fresnel para una reactancia X negativa
Fig. 4: diagrama de Fresnel para una reactancia X negativa

separador2

Valor eficaz de una corriente alterna

Siendo las tensiones e intensidades variables con el tiempo, a menudo interesa conocer su valor medio, más que su valor instantáneo. Para una función periódica en general y(t) de período T, su valor medio en ese intervalo de tiempo se define como

\overline y=\sqrt{\int_0^Ty^2\left(t\right)\operatorname dt}

Para el caso particular de una función sinusoidal,

\overline y=\sqrt{\int_0^T\left[Y_0\sin\left(\omega t+\varphi\right)\right]^2\operatorname dt}

Esta integral se resuelve fácilmente teniendo en cuenta la condición de periodicidad y\left(t+T\right)=y\left(t\right) (que se puede expresar como \omega T=2\pi) y usando identidades trigonométricas, resulta:

\overline y=\sqrt{\int_0^T\left[Y_0\sin\left(\omega t+\varphi\right)\right]^2\operatorname dt}=\frac{Y_0}{\sqrt2}

A este valor medio de la función periódica se le conoce por valor eficaz; aplicado al caso de corriente alterna, tenemos la tensión eficaz \frac{I_0}{\sqrt2} y la intensidad eficaz \frac{V_0}{\sqrt2}.

Ejemplo 2: En el ejemplo 1, la tensión eficaz entre los extremos de la resistencia vale 60/\sqrt2=42.43V

Resonancia eléctrica

En un circuito de c.a. decimos que hay resonancia eléctrica cuando no hay desfase entre la intensidad y la tensión; en un circuito RLC para que ello ocurra la reactancia ha de valer cero, o sea que

L\omega=\frac1{C\omega}\Leftrightarrow\omega^2=\frac1{LC}

A esta pulsación se la llama pulsación de resonancia, y a su frecuencia asociada, frecuencia de resonancia (del circuito RLC):

f=\frac\omega{2\mathrm\pi}=\frac1{2\mathrm\pi\sqrt{LC}} [6]

El diagrama de Fresnel de un circuito RLC en resonancia tiene este aspecto:

Fig. 5: diagrama de Fresnel de un circuito RLC en resonancia
Fig. 5: diagrama de Fresnel de un circuito RLC en resonancia

Vemos que las variaciones de tensión en la inducción y el condensador tienen el mismo valor, pero con signos contrarios. Con ello, la variación en todo el circuito es la misma que en la resistencia, y las tensiones en la inducción y el con-

Fig. 6: diagrama de tensiones en un circuito RLC resonante usado como amplificador de tensión
Fig. 6: diagrama de tensiones en un circuito RLC resonante usado como amplificador de tensión

densador no tienen efectos externos al circuito, son valores internos. Ahora bien, podría darse el caso de que estas tensiones internas fueran grandes, incluso mucho mayores que la tensión externa aplicada (la que medimos en los extremos AD del circuito), apareciendo sobretensiones en los componentes L y C que hay que tener en cuenta en los aislamientos del circuito. Este hecho se puede aprovechar para diseñar amplificadores de tensión, en el que un circuito RLC produce internamente altas tensiones a partir de una tensión aplicada menor; una inductancia sometida a altas tensiones variables se comporta como un generador de ondas electromagnéticas: una antena emisora.

Potencia, corriente activa y reactiva

La energía disipada en un circuito de corriente continua durante un período de tiempo t es W = VIt; en el caso de un circuito en c.a. nos interesa conocer la energía disipada en un período de oscilación T:

W=\int_0^Tv\left(t\right)i\left(t\right)\operatorname dt

Sustituyendo en esta expresión los valores v, i por las funciones sinusoidales,

W=\int_0^TV_0I_0\sin\left(\omega t\right)\sin\left(\omega t+\theta\right)\operatorname dt

donde \theta es el desfase entre intensidad y corriente. Usando identidades trigonométricas, y la condición de periodicidad \omega T=2\pi llegamos a

W=\int_0^TV_0I_0\sin\left(\omega t\right)\sin\left(\omega t+\theta\right)\operatorname dt=\frac{V_0I_0}2T\cos\left(\theta\right)

y la potencia media por período será el trabajo anterior dividido por el tiempo T:

P=\frac WT=\frac{V_0I_0}2\cos\left(\theta\right)=\frac{V_0}{\sqrt2}\frac{I_0}{\sqrt2}\cos\left(\theta\right)=VI\cos\left(\theta\right) [7]

donde se han utilizado las definiciones de tensión e intensidad eficaces, I, V; a la cantidad \cos\left(\theta\right) se la llama factor de potencia del circuito considerado:

La potencia media disipada por período en un circuito c.a. es igual al producto de la intensidad y tensión eficaz por el factor de potencia del circuito.

El vector de corriente i(t) formalmente se puede descomponer en dos componentes: una paralela al vector v(t) y otra perpendicular a él; imaginemos que el circuito es atravesado por esas dos corrientes superpuestas, una en concordancia de fase con la tensión, llamada corriente activa, la otra a 90⁰ de desfase, llamada corriente reactiva. Como el ángulo entre i(t) y v(t) es \theta, de la ecuación [7] deducimos que

P=VI\cos\left(\theta\right)=VI_a [8]

o sea que la potencia consumida se debe a la intensidad activa I_a, la que está en fase con la tensión; esto puede verse como la consecuencia del hecho de que la potencia se consume sólo en las resistencias del circuito, la corriente activa es la que consume energía, mientras que las inductancias y condensadores (los ideales, que tienen resistencias internas despreciables) no consumen energía. Entonces la corriente reactiva no consume energía. Cuando en un circuito sólo tenemos resistencias, toda la corriente será activa; a medida que vamos conectando elementos capacitivos e inductivos, la intensidad y la tensión se van desfasando y aparece la corriente reactiva. Para una potencia P y una tensión eficaz V dadas, la ecuación [8] nos dice que como menor es el factor de potencia, mayor habrá de ser la intensidad: entonces, si tenemos una instalación de 220V con un factor de potencia bajo, las intensidades de corriente que necesitaremos para consumir una potencia dada fija será mayor que para un factor de potencia alto, es por tanto importante mantener todo lo alto posible el factor de potencia para disminuir la intensidad (altas intensidades calientan más los componentes y se pierde energía por disipación). el factor de potencia es un elemento clave en el diseño de componentes eléctricos y en la optimización de instalaciones.

Magnetismo: campo magnético

Magnetismo

 Magnetita (By Rob Lavinsky, iRocks.com – CC-BY-SA-3.0, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10139390)
Magnetita (By Rob Lavinsky, iRocks.com – CC-BY-SA-3.0, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10139390)

Se conoce la piedra imán,la magnetita, desde la antigüedad, y se aprovechó para las primeras brújulas usadas en navegación. Gilbert (1600) establece que los imanes tienen polos magnéticos,  y postula que el planeta Tierra es un enorme imán que actúa sobre la magnetita, orientándola según el eje de la Tierra Norte-Sur. Cavendish y Coulomb inician la experimentación y descripción matemática del magnetismo, y descubren que la fuerza magnética F_m tiene una expresión similar a la electrostática F_e, sustituyendo las cargas eléctricas por "masas magnéticas":

F_e=K\frac{q_1q_2}{d^2},\;F_m=\frac{m_1m_2}{d^2}

Viendo las dos leyes, parecía haber una relación entre electricidad y magnetismo no intuida hasta entonces; Oersted descubrió que una aguja imantada cerca de una corriente eléctrica recibía una fuerza, igual que si se ponía cerca de un imán.

Ampère impulsa el nuevo campo de conocimiento deduciendo que el magnetismo se relaciona con las cargas eléctricas en movimiento, poniendo las bases de la Electrodinámica; deduce también que si una corriente se comporta como un imán, entonces dos corrientes próximas se ejercerán efectos magnéticos como si fueran dos imanes, y propone, correctamente, que quizás los imanes permanentes tienen corrientes eléctricas en su interior, que son las que provocan su magnetismo, y que las "masas magnéticas" de Coulomb no existen, sólo existen las cargas eléctricas y sus efectos. Inventa el solenoide, el primer electroimán, y el galvanómetro.

Origen relativista de las fuerzas magnéticas

No deduciremos el origen del magnetismo a partir de la Relatividad especial, pero daremos una idea de por donde va. Imaginemos una carga libre positiva moviéndose a velocidad constante v de forma paralela a un conductor por la que circula una corriente eléctrica; esta corriente de hecho es un movimiento de los electrones del conductor, quedando fijas las cargas positivas .  Para simplificar, supondremos que la velocidad de los electrones es también v. Siendo dos sistemas de cargas en movimiento, deberán experimentar fuerzas magnéticas. Dado que el número de cargas positivas y negativas en el conductor está compensado, la carga libre no experimentará fuerza eléctrica alguna.

Fig. 1: carga en movimiento paralelo a una corriente eléctrica en un conductor
Fig. 1: carga en movimiento paralelo a una corriente eléctrica en un conductor. Fuente: http://galileo.phys.virginia.edu/

Cambiemos ahora al sistema de referencia que se mueve con la carga libre; desde esta referencia las cargas negativas del conductor están fijas y las que se  mueven son las positivas, en sentido contrario:

Fig. 2: la misma situación de la figura 1 vista desde el sistema de referencia de la partícula libre
Fig. 2: la misma situación de la figura 1 vista desde el sistema de referencia de la partícula libre

Ahora bien, siendo ésta referencia móvil respecto a la de la figura 1, debemos aplicar las transformaciones de Lorentz relativistas para tener una imagen real de lo que sucede; concretamente, si aplicamos la contracción de Lorentz (disminución de las distancias en la dirección del movimiento) obtenemos que las distancias entre las cargas positivas se verán como menores desde la referencia de la carga libre, algo así como:

Fig. 3: vista de las cargas móviles aplicando la contracción de Lorentz
Fig. 3: vista de las cargas móviles aplicando la contracción de Lorentz

Ahora las cargas en el conductor no están compensadas: hay más densidad de carga positiva que negativa, y en consecuencia la partícula libre experimentará un campo eléctrico, una fuerza, inducida por la velocidad relativa de las cargas positivas del conductor. Esta fuerza será perpendicular a la velocidad que la genera:

Fig. 6: fuerza debida a la desigual densidad de cargas negativa y positiva
Fig. 6: fuerza debida a la desigual densidad de cargas negativa y positiva

Esta fuerza, vista desde la referencia 1 en reposo, es la denominada fuerza magnética. Decir que la contracción mostrada en las figuras está muy exagerada pues en los casos reales las velocidades de las cargas son muchísimo más pequeñas que la velocidad de la luz, y la contracción relativista es casi despreciable. No obstante, incluso esa pequeña contracción a nivel microscópico (electrones del material) ejerce una fuerza apreciable a nivel macroscópico pues el número de electrones portadores de la electricidad es muy elevado. Estos detalles no se trataran aquí, el sitio adecuado seria un articulo sobre electricidad y magnetismo en la materia.

Así pues, el magnetismo es una de las pruebas, y de las más "cercanas" que tenemos, de los efectos predichos por la Relatividad de Einstein.

Vector campo magnético

Si reflejamos la vista de la figura 1, como si la viéramos en un espejo, ¿qué dirección tomará la fuerza magnética? La situación la vemos en la figura 7:

Fig. 7: hilo conductor recorrido por una corriente y carga en movimiento, y su reflejo
Fig. 7: hilo conductor recorrido por una corriente y carga en movimiento, y su reflejo respecto un plano perpendicular a la corriente I

El espejo invierte el sentido de los vectores velocidad e intensidad de corriente, pero el vector fuerza no se modifica; esto es porque el sentido de la fuerza sólo cambia si la velocidad de la carga no es la misma que la de la corriente, ya que entonces la contracción de Lorentz afectaría  a las cargas positivas y negativas del conductor justo al revés, haciendo que la densidad de negativas fuera mayor que la de positivas.

En el siglo XIX cuando se estudiaba el magnetismo los investigadores no tenían todavía la teoría de la Relatividad, pero ya encontraron este comportamiento extraño en sus experimentos. Este comportamiento anómalo del vector fuerza no se da en otros campos de la Física. En el artículo vectores en Física se explicó que hay dos tipos de vectores: los polares, que bajo una reflexión como la de la figura 7 cambian como lo hacen la velocidad y la intensidad de corriente, y los pseudovectores, que se modifican de otra forma. Parecería entonces que la fuerza magnética no es un vector polar, pero esto es difícilmente aceptable, ya que los vectores fuerza se comportan como vectores polares en todas las situaciones. ¿Cómo solucionamos este comportamiento anómalo del vector fuerza en este caso?  Recordando la propiedad del producto vectorial [vector] x [pseudovector] = [vector]  se planteó vector velocidad de la carga x pseudovector campo magnético = vector fuerza.  O sea, definimos de forma indirecta el pseudovector campo magnético B como aquel que cumple

\overrightarrow F=q\cdot\overrightarrow v\times\overrightarrow B [1]

Con esta definición, el vector fuerza sigue siendo un vector polar, como en el resto de la Física.

la fuerza de inducción magnética sobre una carga en movimiento siempre es perpendicular a la velocidad de la carga
Fig. 8; la fuerza inducida por el campo  magnético sobre una carga en movimiento siempre es perpendicular a la velocidad de la carga, su módulo depende del ángulo que forma con el vector campo magnético B

 

Producto Vectorial según el angulo entre vectores
Fig. 9: El producto vectorial de los vectores a, b siempre es otro vector perpendicular a los dos, pero no en el mismo plano que los contiene. Además, el módulo del producto es variable entre un valor máximo y cero. Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial
Tal como "funciona" el producto vectorial, si el campo B resulta ser paralelo a la velocidad v, la fuerza resultante vale cero, y si B y v son perpendiculares, entonces F toma su valor máximo. El producto a x b de dos vectores es perpendicular al plano que contiene a los vectores a, b.

El módulo de F viene dada por

 

F=qvB· \sin \left(\alpha \right) [2]

donde \alpha es el ángulo que forman el campo B y la velocidad v.

Como consecuencia de esta fuerza la carga móvil q variará su trayectoria, girando, pero sin perder velocidad, pues la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad; entonces la carga describirá una trayectoria curva en el campo, esta curva dependerá de como varía B en el espacio. En el caso más simple, si suponemos que B es constante en todo el espacio, la fuerza también será constante, y cuando la carga "entre" en el campo, describirá una trayectoria circular, con una aceleración normal a_n=F/m=v^2/R, siendo m la masa de la partícula y R el radio del círculo. Si además el campo B es perpendicular a v tendremos fuerza máxima F=qvB, sustituyendo tenemos qvB/m=v²/R y por tanto el radio de giro es R=\frac{qB}{mv}.

Fig. 4: la carga q con velocidad v curva su trayectoria al entrar en una región con campo magnético perpendicular al plano (aquí B se saldría de la pantalla apuntando hacia nosotros)
Fig. 10: la carga q con velocidad v curva su trayectoria al entrar en una región con campo magnético perpendicular al plano (aquí B se saldría de la pantalla apuntando hacia nosotros)

Si en vez de una corriente tenemos un conjunto de corrientes con diversas intensidades, cada una de ellas creará un campo de inducción magnética; puede demostrarse que el campo magnético conjunto será la suma de cada uno de los generados por cada corriente.

Fig. 4: Campo magnético B creado por un sistema de corrientes y fuerza ejercida sobre una carga q con velocidad v
Fig. 11: Campo magnético B creado por un sistema de corrientes y fuerza ejercida sobre una carga q con velocidad v

Ejemplo 1: En la figura 4 el campo magnético en cada punto del espacio próximo al origen de coordenadas puede considerarse uniforme y viene dado por B= (0, 5, 0) Tesla; la partícula de carga q = 1C tiene una velocidad v = (-3, 2, 0) m/s. Calcular el vector fuerza F ejercido sobre la partícula. Si la partícula tiene una masa de 100 gramos, describir su movimiento.

Aplicando [1]:

\overrightarrow F=q\overrightarrow v\times\overrightarrow B=1\cdot\begin{bmatrix}-3\\2\\0\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0\\5\\0\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}i&j&k\\-3&2&0\\0&5&0\end{vmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\-15\end{bmatrix}.

La fuerza perpendicular a la velocidad actúa como una fuerza centrípeta, produciendo una aceleración normal a = F/m perpendicular a la velocidad: la partícula gira con velocidad conatante, y como la fuerza también lo es, el movimiento será circular uniforme; dado que la aceleración normal en un movimiento  circular vale a = v²/R, siendo R el radio del círculo descrito, tendremos que F/m = v² / R, por tanto R\;=\;mv²/F=0.1\cdot\left(\sqrt{3^2+2^2+0}\right)^2/15=9\cdot10^{-2}m, la partícula gira con un radio de 9cm.

Una vez definido el pseudovector campo magnético, necesitamos saber calcularlo en situaciones diversas; como suele suceder en Física, sólo podremos hacerlo en casos simples, resultando bastante complicado en los casos más generales.

Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente eléctrica

Fig. 7: elemento de corriente
Fig. 5: elemento de corriente

Imaginemos una corriente rectilínea de portadores negativos de carga, todos ellos con la misma velocidad, y consideremos una pequeña porción de longitud dx. Definamos \rho como la densidad de portadores de carga por unidad de volumen (un dato que depende del material conductor) y S como la sección recta del conductor. En la sección considerada tendremos dn = \rho·S·dx portadores de carga (escribimos dn para indicar que es el número de cargas dentro de la pequeña sección dx). Si ahora aplicamos un campo magnético uniforme y constante B, cada una de las n cargas en movimiento experimentará una fuerza  dada por [1],  y la fuerza total sobre la sección del conductor será n veces esa fuerza:

\operatorname d\overrightarrow F=\left(q\overrightarrow v\times\overrightarrow B\right)\cdot\operatorname dn=\left(q\overrightarrow v\times\overrightarrow B\right)\cdot\rho S\operatorname dx=q\rho S\operatorname dx\cdot\left(\overrightarrow v\times\overrightarrow B\right)

Siendo la velocidad constante, podemos definir un vector unitario u en su dirección y sacar la celeridad fuera del producto vectorial:

\operatorname d\overrightarrow F=q\rho Sv\operatorname dx\cdot\left(\overrightarrow u\times\overrightarrow B\right)

Por definición, q\rho Sv es la intensidad de la corriente, I, luego

\operatorname d\overrightarrow F=I\operatorname dx\cdot\left(\overrightarrow u\times\overrightarrow B\right)

Definiendo el vector dl = u·dx, denominado elemento de corriente, obtenemos la fórmula de Laplace para la fuerza ejercida sobre un elemento de corriente por un campo magnético:

\operatorname d\overrightarrow F=I\cdot\left(\operatorname d\overrightarrow l\times\overrightarrow B\right)[3]

Dado que hemos trabajado con elementos diferenciales, que hemos supuesto rectilíneos, se puede aplicar [3] para encontrar la fuerza ejercida sobre corrientes en circuitos que no sean rectílineos pero si describan curvas "suaves" (diferenciables), integrando sobre la trayectoria L que recorre la corriente:

\overrightarrow F=\int_L\operatorname d\overrightarrow F=\int_LI\cdot\left(\operatorname d\overrightarrow l\times\overrightarrow B\right) [4].

Ejemplo 2: Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente que recorre una espira rectangular.

Fig. 6: corriente que recorre una espira en un campo magnético
Fig. 6: corriente que recorre una espira en un campo magnético

Una espira rectangular, de lados a, b, es recorrida por una corriente de intensidad I, y está situada en un campo magnético uniforme B que forma un ángulo θ con la recta normal al plano de la espira, como muestra la figura 6. Hallar la fuerza total ejercida sobre la espira.

Consideramos primero el segmento superior de la espira, y los descomponemos en elementos diferenciales de corriente dl; cada uno de ellos estará sometido a una fuerza dada por [3]; el producto vectorial \operatorname d\overrightarrow l\times\overrightarrow B nos indica que la fuerza dF estarà dirigida verticalmente hacia arriba (la dirección de giro desde dl hacia B es contraria a las agujas del reloj). Si nos fijamos ahora en el segmento inferior, obtenemos el mismo valor, sólo que aquí la fuerza estará dirigida hacia abajo; luego las fuerzas en los segmentos inferior y superior son iguales en valor pero de sentido contrario: se anulan entre sí.

Vamos por el segmento vertical izquierdo; el módulo del vector fuerza, dado por [3], teniendo en cuenta que el vector B está en el plano perpendicula al segmento, será

\left|\operatorname d\overrightarrow F\right|=I\cdot\left|\left(\operatorname d\overrightarrow l\times\overrightarrow B\right)\right|=I\cdot\operatorname dl\cdot B

A lo largo de todo el segmento vertical izquierdo, cada elemento de corriente estará sometido a esa misma fuerza constante, al integrarlas todas:

\int_L\left|\operatorname d\overrightarrow F\right|=\int_LI\cdot\operatorname dl\cdot B=IB\int_L\operatorname dl=IBa

donde a es la longitud del segmento; para el segmento vertical derecho obtenemos el mismo valor, pero en sentido contrario, sólo que ahora no se anulará con el segmento izquierdo, pues ambas fuerza resultantes no están aplicadas sobre la misma línea de acción:

Fig. 8: fuerzas sobre la espira. Las verticales se anulan, las horizontales no están sobre la misma recta
Fig. 8: fuerzas sobre la espira. Las verticales se anulan, las horizontales no están sobre la misma recta

En la figura podemos ver que la distancia d entre las líneas de aplicación de las fuerzas de los segmentos verticales es igual a b \sin\left(\theta\right); tenemos pues dos fuerzas de igual valor, sentido contrario, y diferente línea de acción, aplicadas sobre un objeto: constituyen un par de fuerzas, que ejercerán un momento angular que provocará un giro  de la espira (movimiento circular acelerado); el momento resultante será M=F\cdot d=IBa\cdot d=IBab\sin\left(\theta\right).

Usando cálculo integral, puede mostrarse que este resultado se cumple para espiras de cualquier forma, incluso circulares u ovaladas. (Fernandez-Pujal, 1973)

Campo magnético inducido por una corriente rectilínea

Hemos visto que una corriente eléctrica de intensidad I crea un campo magnético. En el caso ideal simple de que la corriente sea rectilínea "indefinida" (hilo conductor muy largo en comparación al espacio que estamos estudiando) por consideraciones de simetría tendremos que la magnitud de B sólo puede depender de la distancia r al conductor. Lo mismo puede decirse de la fuerza F resultante, dada por la expresión [2]. Además, vimos que esta fuerza puede deducirse por aplicación de la relatividad restringida, y vimos que será perpendicular al conductor (figura 6). Siendo además que esta fuerza F es a su vez perpendicular al campo B, encontramos que los vectores F, B han de ser como los de la figura 9.

Fig. 9: campo magnético y fuerza resultante inducida por una corriente rectilínea
Fig. 9: campo magnético y fuerza resultante inducida por una corriente rectilínea: F es radial, y B es tangencial.

Vectorialmente podemos expresar este resultado con la siguiente expresión, conocida como ley de Biot-Savart:

\overrightarrow B=K\cdot\frac{\overrightarrow l\times\overrightarrow r}{r^3}[5]

donde \overrightarrow l es el vector intensidad de corriente, que tiene por módulo la intensidad de corriente I y por dirección la del hilo conductor, el vector \overrightarrow r es el vector radial, que apunta al punto P donde queremos obtener el campo B, y es perpendicular al hilo conductor, y la constante K depende del medio, en el sistema internacional  y en el vacío vale 10⁻⁷

 Ejemplo 3: A lo largo de un hilo conductor muy largo, alineado en la dirección del vector unitario (1,0,0) circula una corriente de 1A; calcular el campo magnético en el punto P(1, 1, 1). Si colocamos en ese punto una carga q = 0.1C, ¿que fuerza se ejercerá sobre ella?

Aplicamos [5]; necesitamos antes obtener el vector radial de P, que en este caso será simplemente (0, 1, 1). Entonces:

\overrightarrow B=K\cdot\frac{\overrightarrow l\times\overrightarrow r}{r^3}=\frac K{2^{3/2}}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\frac K{2^{3/2}}\begin{vmatrix}i&j&k\\1&0&0\\1&1&1\end{vmatrix}=\frac K{2^{3/2}}\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}

La fuerza ejercida sobre la carga viene dada por [2], y será cero, pues la velocidad de la carga es cero: sólo se ejerce fuerza magnética sobre cargas en movimiento.

Bibliografía

  • Julián Fernández - Marcos Pujal: Iniciación a la Física
  • E. M. Purcell: Electricidad y Magnetismo
  • Feynmann: Física, volumen 3, Electromagnetismo y materia

Física -> Magnetismo

Magnetismo

Fig. 1: Magnetita (By Rob Lavinsky, iRocks.com – CC-BY-SA-3.0, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10139390)
Fig. 1: Magnetita (By Rob Lavinsky, iRocks.com – CC-BY-SA-3.0, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10139390)

Antiguamente ya se conocía la propiedad de la magnetita o piedra imán para atraer el hierro, y se utilizó en la primeras brújulas para navegación marítima. También se había observado que la atracción tenía una dirección y también un sentido: la aguja de la brújula se orienta siempre en la misma dirección y sentido.

El primero que dio una explicación al fenómeno de la brújula fue el investigador Willliam Gilbert hacia 1600 en su obra "De Magnete", en la que postula que toda la Tierra es un imán gigante que actúa sobre cualquier brújula, orientándola.

Coulomb experimentó con imanes hasta encontrar, empíricamente, la ley a la que obedecía la fuerza experimentada entre imanes, encontrando que era idéntica  a la ley de Coulomb para la electrostática, F=K·q·q'/d^2, sustituyendo las cargas eléctricas q, q' por "cargas magnéticas" m, m', i la constante K toma un valor distinto dependiendo de las unidades que tomemos (Coulomb consideró K=1). Ello parecía indicar que había alguna relación entre electrostática y magnetismo, pero no fue hasta 1820 que Oersted observó que una aguja imantada colocada cerca de una corriente eléctrica era afectada, como si hubiera un imán cerca; al comunicar su descubrimiento, Ampère propone que el magnetismo observado es creado por el movimiento de cargas eléctricas (o sea, por la corriente eléctrica); en el caso de los materiales magnéticos, como la magnetita, propone que deben haber corrientes eléctricas permanentes en esos materiales. Además postula que no existen las "cargas magnéticas", sólo las eléctricas.

Campo magnético creado por inducción

En Física un "campo" es una magnitud física, como por ejemplo la fuerza o la velocidad, que está distribuida en el espacio según alguna ley. Por ejemplo, las velocidades de un fluido en una corriente de una tubería definen un campo de velocidades.

Un conjunto de corrientes eléctricas producirán magnetismo a su alrededor, por lo que diremos que las corrientes inducen un campo magnético. Si consideramos que cualquier carga eléctrica en movimiento produce efectos magnéticos, también sucederá que quedará afectada por el campo magnético inducido. Así pues, si por esa región del espacio en la que hay un campo magnético de inducción pasa una pequeña carga eléctrica q con velocidad v, experimentará una fuerza F debida al campo magnético B. Experimentalmente se encuentra que la fuerza es siempre perpendicular a v, pero su magnitud depende de la dirección de v: hay una dirección en la que la fuerza es máxima, en las demás es inferior, y en la dirección perpendicular a la de fuerza máxima, la fuerza se anula.

Fig. 2: la fuerza de inducción magnética sobre una carga en movimiento siempre es perpendicular a la velocidad de la carga
Fig. 2: la fuerza de inducción magnética sobre una carga en movimiento siempre es perpendicular a la velocidad de la carga, su módulo depende de la dirección de la velocidad.

Matemáticamente esta relación entre los vectores v, F y sus direcciones se puede expresar diciendo que existe un vector B campo magnético, tal que:

boldsymbol F=qcdotboldsymbol vwedgeboldsymbol B [1]

donde "^" representa el producto vectorial de los vectores.

Producto Vectorial según el angulo entre vectores
Fig. 3: El producto vectorial de los vectores a, b siempre es otro vector perpendicular a los dos, pero no en el mismo plano que los contiene. Además, el módulo del producto es variable entre un valor máximo y cero. Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial

Tal como "funciona" el producto vectorial, si el campo B resulta ser paralelo a la velocidad v, la fuerza resultante vale cero, y si B y v son perpendiculares, entonces F toma su valor máximo. El producto a x b es perpendicular al plano que contiene a los vectores a, b.

Concretamente, la magnitud de F viene dada por

F=qvB·sinleft(alpharight)

donde alpha es el ángulo que forman el campo B y la velocidad v.

Como consecuencia de esta fuerza la carga móvil q variará su trayectoria, girando, pero sin perder velocidad, pues la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad; entonces la carga describirá una trayectoria curva en el campo, esta curva dependerá de como varía B en el espacio. En el caso más simple, si suponemos que B es constante en todo el espacio, la fuerza también será constante, y cuando la carga "entre" en el campo, describirá una trayectoria circular, con una aceleración normal a_n=F/m=v^2/R, siendo m la masa de la partícula y R el radio del círculo. Si además el campo B es perpendicular a v tendremos fuerza máxima F=qvB, sustituyendo tenemos qvB/m=v²/R y por tanto el radio de giro es R=frac{qB}{mv}.

Fig. 4: la carga q con velocidad v curva su trayectoria al entrar en una región con campo magnético perpendicular al plano (aquí B se saldría de la pantalla apuntando hacia nosotros)
Fig. 4: la carga q con velocidad v curva su trayectoria al entrar en una región con campo magnético perpendicular al plano (aquí B se saldría de la pantalla apuntando hacia nosotros)

Ecuación de Laplace para la fuerza magnética ejercida sobre un elemento de corriente

Fig. 4: sección de un conductor recorrido por una corriente de electrones
Fig. 4: sección de un conductor recorrido por una corriente de electrones

Pensemos en un cable eléctrico recorrido por una corriente de intensidad I; en su interior se desplazan cargas eléctricas: electrones, de los que tomaremos su velocidad media como v. Si nos fijamos en una pequeña sección longitudinal del cable de longitud dL, si el cable tiene una área transversal S, entonces el número de electrones en la sección de longitud dL y área S será proporcional al producto S·dL que es un volumen (superficie x longitud). Por otro lado la intensidad de corriente I es proporcional al producto S·v, sección recta x velocidad media, y vale

I=frac{triangle q}{triangle t}=frac{eNSvtriangle t}{triangle t}=eNSv

siendo N la densidad de electrones por m³, y e la carga del electrón.

Supongamos ahora que el cable está situado en una región del espacio en el que hay un campo magnético B. Entonces en cada una de las cargas en movimiento actuará una fuerza dada por la ecuación [1]. La fuerza total ejercida sobre el elemento de cable será la suma de fuerzas sobre cada electrón, un total de NSdL:

boxed{mathbf dmathbf F}=operatorname dqcdotboldsymbol vwedgeboldsymbol B=left(eNSoperatorname dLright)cdotboldsymbol vwedgeboldsymbol B=left(eNSvright)cdotboldsymbol dboldsymbol Lwedgeboldsymbol B=boxed{mathbf Iboldsymbolcdotmathbf dmathbf Lboldsymbolwedgemathbf B} [2]

Aquí la "d" significa "diferencial" y la "L" longitud: en Física la diferencial de una magnitud es una fracción muy pequeña de ella, y tiene relación con la diferencial y la derivada de una función, conceptos de análisis matemático, ver por ejemplo Uso de diferenciales en Física. Hemos definido el vector dL como el vector que tiene la dirección de v y la longitud dL, de esta forma en el sustituimos el vector velocidad por  el módulo de la velocidad.

Fuerza ejercida por un campo magnético B sobre la corriente I que circula por una espira cerrada

Fig.5: Espira rectangular de lado d por la que circula una corriente I, sometida a un campo magnético B
Fig.5: Espira rectangular de lado d por la que circula una corriente I, sometida a un campo magnético B

En la figura 5 vemos un circuito cerrado cuadrado de lado d por el que circula una corriente continua I; el circuito está en una región del espacio en el que hay un campo magnético B uniforme, que forma un cierto ángulo con la normal al plano del circuito. En estas condiciones, cada elemento diferencial del circuito estará sometido a una fuerza diferencial dada por la ecuación de Laplace [2]. En cada lado del rectángulo, la fuerza diferencial tendrá el mismo sentido y dirección, por lo que la suma total de fuerzas, en cada lado, será un vector fuerza resultante, dibujado en rojo en la figura 5, y que por simetría se aplicará en el punto medio de cada lado. En los lados superior e inferior las fuerzas resultantes  tienen sentidos opuestos, por lo que anulan entre sí, pero en los laterales las resultantes aunque son iguales en módulo, IBdsinleft(alpharight) no son opuestas, están giradas un ángulo, por lo que forman un par de fuerzas de valor  IBd^2sinleft(alpharight). Si definimos el vector momento magnético de la espira por boldsymbol M=IBScdotboldsymbol n, donde A=d² es el area de la espira y n es el vector unitario normal a la espira, entonces el par de fuerzas resultante se expresa como boldsymbol Pboldsymbol=boldsymbol Mboldsymboltimesboldsymbol B, el producto vectorial del momento magnético de la espira por el campo magnético. Este par tenderá a hacer girar la espira, alineando los vectores M y B (al estar paralelos su producto vectorial será cero). Usando [2] y cálculo integral, puede mostrarse que este resultado se cumple para espiras de cualquier forma, incluso circulares u ovaladas. (Fernandez-Pujal, 1973)

Ley de Ampère

 

Bibliografia

  • Julián Fernandez y Marcos Pujal: Iniciación a la Física, volumen II, 1973

Física -> Electricidad -> Circuitos CC

Generador eléctrico, f.e.m.

Las cargas eléctricas siempre se mueven desde la zona de más potencial eléctrico V hacia la de menor potencial (eléctrico); un símil fácil de recordar es el de comparar la corriente de cargas con una corriente de agua, que también se mueve desde las zonas más elevadas(con mayor energía potencial gravitatoria) hacia las más bajas (con menor energía potencial gravitatoria).

Diferencia de energía potencial y sentido de la corriente
Fig. 1:Diferencia de energía potencial y sentido de la corriente

En un circuito cerrado, para que haya circulación continua tendremos que volver a dar potencial a las cargas (o al agua) que la han perdido al "bajar" el desnivel; en el caso de una corriente de agua usaríamos una bomba para volver a subirla al nivel, en el caso de cargas usaremos un generador eléctrico:

Fig.2: Circuito cerrado, el Generador G devuelve la energía potencial perdida en el recorrido
Fig.2: Circuito cerrado, el Generador G devuelve la energía potencial perdida en el recorrido, aunque al tener una resistencia interna, parte de su fuerza electromotriz E se pierde según la ley de Ohm  V=Ir

Las características del generador son: su fuerza electromotriz E (f.e.m.) que és el potencial que es capaz de restituir a la corriente que lo atraviesa, y su resistencia interna r que produce una disminución de su f.e.m. efectiva que puede calcularse según la ley de Ohm: V = I·r. Así, la diferencia de potencial en el circuito de la figura 2 cumple V_A-V_B=E-rI. El símbolo utilizado para el generador en los diagramas eléctricos es generador electric con el polo negativo indicando la entrada donde tenemos potencial menor, y el polo positivo la salida con el potencial aumentado en +E. También suelen usarse como generadores de corriente pilas o asociaciones de pilas, con los símbolos pila o bien piles.

Fuerza contralectromotriz (f.c.e.m.)

Aparte de las resistencias, las cuales convierten la energía eléctrica en calor, hay otros elementos que convierten la energía eléctrica en otras formas de energía; el efecto que tienen sobre el potencial es reducirlo. Se suelen representar de igual modo que los generadores de corriente pero con los polos invertidos, para representar que en vez de aumentar el potencial, lo reducen. O sea: si la corriente atraviesa un elemento en el sentido de más potencial a menos el elemento disminuye el potencial en una cantidad E, que se denomina fuerza contraelectromotriz E (f.c.e.m.), y si lo atraviesa en el sentido de menos a más, entonces actúa como fuerza electromotriz.

Fig. 3: E1 actúa como f.e.m., E2 actúa como f.c.e.m.
Fig. 3: E1 actúa como f.e.m., E2 actúa como f.c.e.m.

Por ejemplo, en la figura 3, si la intensidad va de izquierda a derecha, entonces el primer elemento actúa como f.e.m. y el segundo como f.c.e.m., así que la diferencia de potencial entre los puntos A y B es V_B-V_A=E_1-E_2.

Circuitos de corriente continua

En un circuito de corriente continua (CC) suelen haber diversos componentes distribuidos: resistencias, f.e.m., f.c.e.m.,  y condensadores, como en la figura 4.

Fig. 4: Circuito simple completo en CC

Las baterías V1 y V2 aportaran una fem E1, E2 respectivamente. Supongamos que la corriente circula en el sentido ABCDEA, entonces aplicando la ley de Ohm sucesivamente a cada tramo:

V_A-V_B=IR_1+E_2

V_B-V_C=IR_2

V_C-V_D=IR_4

V_D-V_E=-E_1

V_E-V_A=0

En la última igualdad hemos supuesto que el condensador está totalmente cargado; sumando todas las ecuaciones anteriores, nos queda

0=IR_1+E_2+IR_2+IR_4-E_1Rightarrow-E_1+E_2+Ileft(R_1+R_2+R_4right)=0,

que equivale a decir que:

si fijamos un sentido arbitrario a la corriente, considerando positivas las fem que vayan en esa dirección y negativas a las que no, llamando R a la suma de todas las resistencias y E a la suma de todas las fem (teniendo en cuenta sus signos positivos o negativos), entonces se cumplirá I=E/R [1] que es la ley de Ohm para un circuito.

Asociaciones de resistencias

Asociaciones de resistencias
Fig. 5: Asociaciones de resistencias

En la figura 5 vemos, a la izquierda. dos resistencias en serie (por ambas circula la misma intensidad de corriente) y a la derecha, tres resistencias en paralelo (la diferencia de tensión entre sus extremos es la misma, la intensidad es distinta).

Para las resistencias en serie se cumple que la diferencia de potencial cuando la corriente I atraviesa las dos será V=IR_1+IR_2=I(R_1+R_2)=IR donde hemos definido la resistencia equivalente R como la suma de resistencias.

Para las resistencias en paralelo definamos la conductancia G como el inverso de la resistencia, G=1/R, con lo que la ley de Ohm, se expresa V=I/G o equivalentemente I=VG; entonces como en los extremos de cada rama tenemos la misma diferencia de potencial V, aplicando la ley de Ohm en las tres tenemos que I_1=VG_1, I_2=VG_2, I_3=VG_3, sumando las tres ecuaciones, I_1+I_2+I_3=V(G_1+G_2+G_3), pero la suma de las intensidades de las tres ramas es igual a la intensidad total que entra (y que sale)  I_1+I_2+I_3=I, o sea que I=V(G_1+G_2+G_3). Si definimos la conductancia equivalente G=G_1+G_2+G_3 entonces se cumple que begin{array}{l}I=VG=frac VR=Vleft(G_1+G_2+G_3right)=Vleft(frac1{R_1}+frac1{R_2}+frac1{R_3}right)Rightarrow\boxed{frac1R=frac1{R_1}+frac1{R_2}+frac1{R_3}}end{array}. Resumiendo:

La resistencia equivalente R a un conjunto de n resistencias en serie R_i es la suma de todas ellas, R={textstylesum_1^n}R_i; La resistencia equivalente R a un conjunto de n resistencias en paralelo R_i verifica frac1R={textstylesum_1^n}frac1{R_i}.

Ejemplo 1: circuito con asociaciones de resistencias.

asoc_resistencies_exemple
Fig. 6: circuito con asociaciones de resistencias

En el circuito de la figura 6 se nos pregunta por las intensidades I, I1, I2 e I3. Evidentemente I=I1+I2+I3. Para aplicar la ley de Ohm V=IR y calcular cada intensidad en cada tramo del circuito necesitamos saber los potenciales V y las resistencias. Entre los puntos A y B está claro que V=5 (proporcionados por la única f.e.m. E); pero no sabemos cual es la tensión en la entrada de las resistencias en paralelo, pues no sabemos que vale I. El que vamos a hacer es calcular la resistencia equivalente de todo el circuito, y así podemos hallar I.

  1. Resistencia equivalente en el tramo I2: están en serie, luego R_{eq}I2=R3+R5=2
  2. Resistencia equivalente a las resistencias en paralelo:

frac1{R_{eq.p.}}=frac1{R_2}+frac1{R_{eq}I2}+frac1{R_4}=frac11+frac12+frac11=frac52Rightarrow R_{eq.p.}=frac25

3. Resistencia equivalente a todo el circuito: están en serie, luego las sumamos: R=1+frac25=frac75

Ahora calculamos I = V/R = 5frac57=frac{25}7

La variación de tensión debida a la resistencia R1 es V=frac{25}7·1=frac{25}7; entonces la diferencia de potencial entre la entrada y la salida de las resistencias en paralelo será 5-frac{25}7=frac{10}7. Para el tramo I1, aplicamos Ohm: I1=V/R2=frac{10}7/1=frac{10}7. Para el tramo I3, lo mismo, I3=V/R2=frac{10}7/1=frac{10}7. Para el tramo I2 aplicamos que I=I1+I2+I3Leftrightarrow I=I-I1-I3=frac{25}7-frac{10}7-frac{10}7=frac57.

separador2

Asociaciones de generadores

También podemos encontrarnos con circuitos en los que hayan asociaciones de generadores (fig. 6).

Fig. 6: Asociaciones en paralelo y en serie de generadores
Fig. 6: Asociaciones en paralelo y en serie de generadores

En la figura 6, a la izquierda tenemos tres generadores dispuestos en paralelo; consideraremos el caso más simple en el que los tres son iguales: todos tienen f.e.m. e y resistencia interna r, y por cada uno circulará una intensidad de corriente I. Como los tres están conectados a un mismo punto, la intensidad total en ese punto será la suma de intensidades, 3I; por otro lado, las tres resistencias internas r están en paralelo, así que la resistencia equivalente cumple 1/R = 1/r + 1/r + 1/r = 3/r, por tanto R=r/3. Si imaginamos un generador equivalente a los tres, tendrá una intensidad de corriente 3I con una resistencia interna de r/3; su f.e.m. la obtenemos aplicando Ohm: E=I_{eq}R=3Icdot r/3=Ir=e, vemos que es la misma de los generadores en serie, en resumen:

la asociación de n generadores en paralelo todos iguales con f.e.m. E y resistencia interna r equivale a un único generador de f.e.m. E y resistencia interna r/n.

La asociación de la derecha, en la figura 6, representa dos generadores en serie, V2, V5, con f.e.m. E1 y E2 y resistencias internas r1, r2; por ambos circula la misma corriente I, con lo que el generador equivalente tendrá f.e.m. E1 + E2 y resistencia interna r1 + r2.

Ejemplo 2: circuito con asociación de generadores y de resistencias

Fig. 7: asociaciones de generadores y resistencias
Fig. 7: asociaciones de generadores y resistencias

En la figura 7, supongamos que E1=E2=6V, con resistencias internas r=1, y que E3=3V con resistencia interna r=1/3, las resistencias R1, R2 y R3 valen 2 Ohm. E1 y E2 equivalen a un generador de E12=6V y resistencia interna r=1/2; la asociación de este generador con E3 es en serie, luego la f.e.m. total será E = E12 + E3 = 6 + 3 = 9V, y la resistencia interna total es 1/2 + 1/3 = 5/6. En cuanto a las resistencias en paralelo R2 y R3, equivalen a una resistencia 1/R23 = 1/R2 + 1/R3 = 1/2 + 1/2 = 1, por tanto R23 = 1; por último, esta resistencia se suma a la R1, resultando la resistencia equivalente R = R23 + R1 = 1 + 2 = 2 Ohm. Nos queda un circuito equivalente a un generador E = 9V, r = 5/6 y R = 2, por el que circulará una corriente I = E / (R + r) = 9 / (2 + 5/6) = 54/17.

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Redes en CC: leyes de Kirchoff

Cuando combinamos las conexiones entre elementos de forma que aparecen puntos en los cuales se cruzan más de dos conexiones, diremos que tenemos una red eléctrica; los puntos de cruce se llaman nodos de la red.

Ejemplo 3: consideramos la siguiente red

Fig. 1: red eléctrica con dos circuitos.
Fig. 8: red eléctrica con dos circuitos.

Esta red consta de dos circuitos simples que comparten un hilo, y vemos que hay dos nodos en los que se cruzan tres hilos conectores, el nodo inferior tiene una conexión a tierra, indicando que está a potencial eléctrico cero. Aplicando la ley de Ohm reiteradamente a cada tramo de la red podemos obtener las intensidades en todo punto. Pero se puede sistematizar este procedimiento aplicando dos leyes debidas a Gustav Robert Kirchoff:

1ª ley de Kirchoff: la suma algebraica de intensidades en cada nudo es igual a cero;

2ª ley de Kirchoff: en cada circuito simple de la red se cumplirá la ley de Ohm para un circuito, ecuación [1], teniendo en cuenta que, fijado un sentido de recorrido escogido libremente, se consideraran positivas las intensidades y f.e.m. en ese sentido, y negativas en caso contrario.

Vamos a aplicar estas leyes al circuito de la figura 8; para ello, damos nombres a las intensidades que circulan por cada tramo de cada circuito de la red, y direcciones arbitrarias, teniendo en cuenta que en el hilo conector compartido por los dos circuitos  la intensidad será distinta:

La 1ª ley de Kirchoff aplicada al nudo superior, considerando que la intensidad que entra en el nudo B tiene signo positivo y la que sale negativo, da: I_1-I_2-I_3=0. En el nudo E no es necesario aplicar la ley, por motivos algebraicos (dependencia lineal de las ecuaciones) sólo hay que aplicarla a n-1 nodos de la red, en este caso esta red tiene sólo n = 2 nodos.

Para aplicar la 2ª ley, la de Ohm para un circuito simple completo, sum_{}E=Isum_{}R, fijamos el sentido del recorrido como el de las agujas del reloj; aplicada al circuito simple de la izquierda (a los circuitos simples en redes se les denomina mallas de la red) nos da el recorrido ABEFA y la ecuación V1 - V2 = I1·(R1 + R5) + I·R2.

La 2ª ley aplicada a la malla de la derecha recorrida en el sentido de las agujas del reloj nos da otra ecuación:

V2 + V3 = I3·(R3 + R4) - I2·R2

Tenemos un total de 3 ecuaciones con tres incógnitas; sustituimos los valores dados: I1-I2-I3=0; -16 = I1·3 + I2·2; 40 = I3·10 - I2·2. Escribiéndolo en forma estándar:

begin{array}{l}I_1-I_2-I_3=0\;3I_1;+;2I_2;=-16\;;;-2I_2+10I_3=40end{array}

Resolviendo este sistema, con calculadora o bine on-line con http://matrixcalc.org/es/slu.html o con wolfram ...

Resolviendo on-line el sistema lineal con Wolfram Alpha, llamamos x=I1, y=I2, z=I3
Resolviendo on-line el sistema lineal con Wolfram Alpha, llamamos x=I1, y=I2, z=I3

Las intensidades son pues  I1 = -2 (por tanto circula en sentido inverso al que hemos supuesto), I2 = -5 (misma observación) e I3 = 3.

Encontremos ahora los potenciales en los puntos A, B, C y D. Como V_E=0  y el punto F está al mismo potencial que E, nos fijamos en el tramo AF; la intensidad que circula en ese tramo es I1=-2 (por tanto circula en sentido A->F), aplicando la ley de Ohm a este tramo obtenemos:

tram_Ohm

V_F-V_A=E-IR=-8-2cdot1=-10Rightarrow V_A=V_F+10=0+10=10.

observemos que hemos tomado I1 = 2, pues hemos considerado que su dirección es la correcta, de A hacia F, y que el generador actúa como f.c.e.m. con signo negativo pues I1 la atraviesa de + a -

 

Para el punto B partimos del potencial en A: V_B-V_A=I_1R_1=2cdot2=4Rightarrow V_B=V_A+4=14V.

Para el punto C, partimos de B: V_B-V_C=I_3R_3=6Rightarrow V_c=V_B-6=8V

Finalmente para el punto D sumamos los 16V de la f.e.m. V3, resulta V_D=V_C+16=24V.

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Los circuitos de este post han sido dibujados con la herramienta on-line easyeda.com