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Física del sonido

En anteriores artículos de la categoría "Acústica" hemos sobre todo realizado una descripción de las características del sonido y de la música, un tipo especial de sonido. En este  artículo tratamos los detalles desde un punto de vista más matemático.

Intensidad del sonido

El sonido es una onda elástica de presión, la intensidad que percibimos en el sonido es proporcional al cuadrado de de la amplitud de la vibración (esto es así para el movimiento ondulatorio en general). También podemos expresar la intensidad en función de la variación máxima de presión del aire originada por el sonido al propagarse, como vamos a ver a continuación.

La presión del aire, cuando propaga el sonido, es variable en cada punto, y por tanto el volumen que ocupa una cantidad fija de aire también varia con la presión.

Fig. 1: Onda longitudinal de presión: desplazamientos instantáneos

Imaginemos (figura 1) un volumen de aire dentro de un pequeño cilindro de área S y longitud dx, situado inicialmente entre las posiciones x, x + dx, con volumen V = S·dx,  que es atravesado por la onda de expansión (el sonido) en la dirección de el eje X; decimos que sea pequeño para aproximar el frente de onda a una onda plana, cuando en realidad es esférica. El cilindro se desplazará y ensanchará sólo en la dirección X (la base S es transversal a X, y la onda es longitudinal según X) de forma que las posiciones de los extremos serán (x + dy) y (x + dx + dy), donde llamamos y a la elongación de la onda, que recordemos es longitudinal y por tanto paralela al eje X.

El el nuevo volumen será S(dx + dy), luego el incremento de volumen es dV = S·dy. Luego:

\frac{\operatorname dV}V=\frac{S\operatorname dy}{Sdx}=\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} [1]

No confundamos la variable y con la dimensión vertical del eje de ordenadas: aquí y representa la elongación de la onda longitudinal en la dirección horizontal.

Por otro lado, la velocidad de propagación de una onda longitudinal en un medio elástico sólo depende de su densidad \rho y del denominado módulo de compresibilidad \chi=-V\frac{\triangle p}{\triangle V} [2], donde p es la presión, según la igualdad:

v=\sqrt{\frac\chi\rho} [3]

Combinando las expresiones [1] y [2], e identificando las variaciones finitas \triangle con las diferenciales:

\chi=-\cancel{\operatorname dV}\frac{\operatorname dx}{\operatorname dy}\frac{\operatorname dp}{\cancel{\operatorname dV}}=-\operatorname dp\frac{\operatorname dx}{\operatorname dy}

Sustituimos en la expresión de la velocidad [3]:

v=\sqrt{-\operatorname dp\frac{\operatorname dx}{\rho\operatorname dy}}\Rightarrow-\operatorname dp=v^2\rho\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} [4]

Supongamos ahora que el sonido es un movimiento ondulatorio armónico (por tanto, es un sonido musical simple, puro) con elongación dada por

y=A\sin\omega\left(t-\frac xv\right) [5]

Derivamos respecto x manteniendo t constante:

\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=-\frac Av\omega\cos\left(t-\frac xv\right)

Sustituimos el valor de dy/dx en [4]:

\operatorname dp=Av\rho\omega\cos\omega\left(t-\frac xv\right)=\widehat A\cos\omega\left(t-\frac xv\right) [6]

que nos dice que la variación de presión debida al sonido se propaga como una onda de presión, con amplitud \widehat A y que, comparada con la onda de elongación [5], está adelantada en fase 90⁰ (ya que depende de la función coseno en vez de la seno).

El valor máximo de la sobrepresión es \operatorname dp_{MAX}=Av\rho\omega; en general, la intensidad de una onda (energía que atraviesa la unidad de superficie normalmente a ella en la unidad de tiempo) es I=\frac12A^2\rho\omega^2v, de donde deducimos, usando [6]:

\frac{\operatorname d{p^2}_{MAX}}I=\frac{A^2v^2\rho^2\omega^2}{\frac12A^2\rho\omega^2v}=2v\rho\Rightarrow\boxed{I=\frac{\operatorname d{p^2}_{MAX}}{2v\rho}}

La intensidad del sonido es proporcional al cuadrado de la sobrepresión  máxima asociada a la onda de presión.

Cálculo de la velocidad del sonido en el medio ambiente

En el aire y en condiciones normales, las variaciones de presión son muy rápidas, y se puede considerar que no da tiempo al intercambio de calor (un gas al ser comprimido se calienta y al ser expandido se enfría), en términos termodinámicos, son variaciones de presión adiabáticas. Supongamos que el aire se comporta aproximadamente como un gas perfecto, cumpliendo la ecuación de los gases ideales en expansión adiabática, pV^\gamma=cte [7], donde \gamma es el coeficiente adiabático. Diferenciando: \operatorname dp\cdot V^\gamma+\gamma V^{\gamma-1}\cdot\operatorname dV=0\Rightarrow\operatorname dp\cdot V+\gamma\operatorname dV=0, de donde \operatorname dp=-\gamma p\frac{\operatorname dV}V. Sustituyendo en la expresión [2]:

\operatorname dp=-\gamma p\frac{\operatorname dV}V,\;\chi=-V\frac{-\gamma p\frac{\operatorname dV}V}{\operatorname dV}=\gamma p

Sustituyendo en la velocidad [3]:

v=\sqrt{\frac\chi\rho}=\sqrt{\frac{\gamma p}\rho} [8]

Para el aire es \gamma=1.4; además, a 0⁰ grados Celsius y presión p = 1atm = 1.013·10⁵ N/m², la densidad del aire es ρ = 1.293  kg/m³, sustituyendo en [8] obtenemos

v=\sqrt{\frac{1.4\cdot1.013\cdot10^5}{1.293}}=331

Vemos que con consideraciones teóricas obtenemos un valor muy de acuerdo con las mediciones experimentales. Nos damos cuenta, además, de que la velocidad del sonido en el aire dependerá de la temperatura, pues con ella variará la presión atmosférica. Usando la ecuación de los gases perfectos pV = nRT, para eliminar la presión p de la ecuación [8] se obtiene (T en grados Kelvin):

v=\sqrt{\frac{\gamma RT}M} [9]

En la figura 2 vemos la variación de v según la temperatura obtenida aplicando [9] para un rango de [0, 30] grados centígrados, es prácticamente lineal, variando unos 0,6 m/s por cada grado.

Fig. 2: Variación de la velocidad del sonido con la temperatura

Efecto Doppler

Cuando oímos un tren que se acerca con el silbato actuando, nos parece que el sonido es más agudo que si el tren se aleja de nosotros. El mismo efecto se observó con la luz, su frecuencia parece más alta cuando el foco emisor se acerca a nosotros que cuando se aleja, si la luz es visible, en el primer caso vemos la luz "más azul" (corrimiento al azul) y en el segundo, "más roja" (corrimiento al rojo). Veamos la expresión exacta que nos da el corrimiento en frecuencia.

Fig. 3: foco de sonido y receptor en movimiento mutuo. Efecto Doppler.

En la figura 3 representamos la situación: un observador O se mueve hacia la derecha con velocidad v y un foco de luz se mueve en dirección contraria con velocidad u (todo con respecto a un sistema de referencia que suponemos fijo); los frentes de onda se suponen planos (realmente son esféricos). La velocidad del sonido relativa al foco es w, y la absoluta (respecto al suelo) será u + w, mientras que la velocidad relativa al observador O será u + w - v (estamos suponiendo que las velocidades son mucho menores que la de la luz, y por ellos despreciando los efectos relativistas).

La frecuencia percibida del sonido es el número de ondas que llegan al receptor por segundo; en el caso de observador y foco en reposo, esa frecuencia será ν, y está relacionada con la velocidad w de la onda y su longitud λ por la relación w = λ·ν, de donde ν = w/ λ.  Cuando el foco de sonido se mueve, el número de ondas por segundo que  llegan a un receptor no será el mismo, y se percibirá una frecuencia ν' distinta. La onda de sonido en sí no cambia: su longitud de onda, su amplitud, su forma, no cambian, sólo que su velocidad relativa al observador sí lo hace (figura 4).

Fig. 4: onda sinusoidal, se desplaza a velocidad w relativa a una referencia fija

Desde el punto de vista del foco, que se mueve en la misma dirección que los frentes de onda y con velocidad u, se emiten ν ondas por segundo, y se "ven" los frentes de onda alejándose del foco a velocidad (w - u), por ello el foco verá una longitud de onda de λ = (w - u) / ν.

Veamos ahora el punto de vista del observador O, que se mueve a velocidad v acercándose al foco, y por tanto verá moverse a los frentes de onda a velocidad (v + w). Razonando de la misma forma que para el foco, verá una longitud de onda λ = (v + w ) / ν'. Igualando las dos expresiones para λ:

\lambda=\frac{w-u}\nu=\frac{w+v}{\nu'}

que nos proporciona la relación buscada entre frecuencia emitida f y frecuencia observada f'. Por ejemplo, si el silbato de un tren emite un sonido de frecuencia f = 440 Hz (440 ondas por segundo), estamos parados respecto al suelo (luego v = 0) y el tren se acerca hacia nosotros a velocidad u = 30 m/s, la frecuencia percibida será:

\frac{331-30}{440}=\frac{331+0}{f'}\Rightarrow f'=484 m/s

donde hemos tomado para la velocidad del sonido w = 331 m/s. Cuando el tren llega a nuestra posición para empezar a alejarse de nosotros, tendremos una velocidad  u = -30 m/s, luego:

\frac{331-(-30)}{440}=\frac{331+0}{f'}\Rightarrow f'=403 m/s

Vemos que se aprecian claramente variaciones de frecuencia de aproximadamente un 9% del valor real, en más o en menos.

Acústica de salas

Para terminar con este breve paseo por la física del sonido, vemos la física del acondicionamiento de salas para escuchar música.

Cuando en una sala un emisor emite un sonido breve (una nota musical o una sílaba si es un orador), la onda sonora se expande por la sala, reflejándose en las paredes, suelo y techo. A un oyente que esté en el otro extremo le llegará el sonido primero por el camino directo más corto, pero un instante más tarde recibirá las ondas reflejadas, con menor intensidad. Las reflejadas siguen expandiéndose por la sala y se vuelven a reflejar una y otra vez, llegando cada vez más atenuadas al oyente, hasta que son demasiado débiles para ser percibidas. Decimos que hay reverberación en la sala para resumir este fenómeno de estar oyendo el sonido directo y reflejado. La reverberación refuerza el sonido: si salimos al aire libre se oirá menos. Tiene también un grave inconveniente: si se emiten más notas o sílabas, puede pasar que se mezclen en nuestro oído varias notas: las que llegan de forma directa y las anteriores que todavía están reverberando, las notas "se pisan" unas a otras.

En las iglesias antiguas se tenia en cuenta esto: la reverberación es grande allí, ayudando a que se oiga bien en el otro extremo, pero obliga a hablar lentamente, para dar tiempo a que se disipen las palabras anteriores. El tiempo de reverberación de una sala se define como el tiempo que tarda en hacerse inaudible el sonido reflejado. más exactamente, se define como es tiempo después del cual la intensidad del sonido es la millonésima parte. Se intuye que el tiempo de reverberación óptimo depende de la finalidad de la sala: para conferencias estará cerca de un segundo, para un concierto de rock será inferior y para un concierto de órgano será mayor.

Para ajustar la reverberación de una sala podemos usar materiales más o menos absorbentes del sonido en las paredes; en cada reflexión se pierde una parte de la energía: el coeficiente de absorción sonora α es la fracción de energía absorbida: si I es la energía incidente,  I' es la reflejada, entonces se cumple I' = I·(1-α). Para α cercano a 1, el sonido es absorbido totalmente por la superficie. En la página del portal de Acústica y Sonido encontraremos más detalles del coeficiente α y una tabla de valores para distintos materiales. Sucede que α no es constante para cada material, sino que depende de la frecuencia del sonido; algunos valores típicos son 0.02 para paredes de hormigón, 0.08 para el yeso, o 0.80 para el poliuretano, a una frecuencia de 1 KHz. Para ajustar la reverberación podemos poner o quitar superficies con α cercano a 1: alfombras, cortinas gruesas, etc. Incluso la ropa que llevan puesta los espectadores influye en la reverberación: una sala repleta de gente en verano con poca ropa reverbera más que en invierno con más ropa.

Puede demostrarse, haciendo un estudio estadístico de todas las múltiples reflexiones en las diversas superficies, que la intensidad del sonido decrece exponencialmente con el tiempo, y que el tiempo de reverberación de la sala viene dado aproximadamente por la fórmula de Sabine:

T=0.16\frac V{S\overline\alpha}

donde S es la superficie total de las paredes, V el volumen de la sala, y \overline\alpha es el coeficiente de absorción medio de la sala, calculado promediando todos las superficies de la sala:

\overline\alpha=\frac{{\overline\alpha}_1S_1+{\overline\alpha}_2S_2+\dots}{S_1+S_1+\dots}

Se puede tener en cuenta también la absorción del sonido por el aire: en salas grandes el recorrido del sonido entre reflexiones será también mayor, y el efecto será más notable, especialmente a frecuencias altas. Se puede demostrar que el recorrido libre medio L, que se define como la media de los tramos recorridos entre reflexiones sucesivas, vale

L=\frac{4V}S

Podemos pues complementar el coeficiente de absorción α con un término adicional que tenga en cuenta la absorción por el aire, que a su vez depende del recorrido libre medio:

\alpha'=\overline\alpha+kL

donde k es una constante que depende de las condiciones físicas del aire (temperatura, humedad, presión ...).

Ejemplo práctico

Una habitación destinada a audición musical tiene un tiempo de reverberación de 1s. Se pone un tabique hecho del mismo material que las paredes, de forma que la superficie total S de la habitación aumenta un 20%, evidentemente el volumen V no varia. Calcular el nuevo tiempo de reverberación.

Antes de poner el tabique teníamos, por la formula de Sabine,

T=0.16\frac V{S\overline\alpha}=1

Con el tabique será

T'=0.16\frac V{1.2S\overline\alpha}

dividiendo la 1a por la 2a:

\frac T{T'}=1.2\Rightarrow T'=\frac T{1.2}=\frac{\displaystyle1}{\displaystyle1.2}=\frac56\approx0.8s

Acústica: música

La sucesión de sonidos con ciertas características especiales la denominamos música. El oído es capaz de percibir, dados dos sonidos emitidos en sucesión, la relación entre sus frecuencias (o tonos), esa relación se denomina intervalo musical. Por ejemplo, dados dos sonidos a 300Hz y 150Hz, el oído notará que entre ellos existe la misma relación que entre otros dos de 800Hz y 400Hz, ya que el intervalo es el mismo para las dos secuencias, 300:150 = 800:400 = 2. En la siguiente grabación puede escucharse dos secuencias de 11 notas cada una formando las denominadas escalas musicales (concretamente la escala pentatónica);  las relaciones de frecuencias entre las notas son las mismas en ambas escalas, pero la primera escala tiene una frecuencia superior.

Si se producen dos sonidos simultáneamente, o muy cercanos en el tiempo, nos producirá una sensación agradable (acorde musical) cuanto más simple sea su intervalo musical. Los más simples son 2:1 (intervalo llamado octava), 3:2 (quinta), 4:3 (cuarta) y 5:4 (tercera mayor), que eran los más utilizados en la música clásica antigua.

Escalas musicales

Como la musicalidad de una secuencia de sonidos no depende de sus frecuencias sino de la relación entre sus frecuencias, podemos escoger libremente una frecuencia base cualquiera. Tomemos un sonido de frecuencia f como base (tono fundamental, o tónico), y lo denominamos do. A continuación definimos los intervalos musicales, por ejemplo, si tomamos los intervalos (5:4)f, (4:3)f, (3:2)f, (5:3)f y (2:1)f obtendremos los sonidos que, relativos al base do, se denominan mi, fa, sol, la, do'.  Habremos obtenido una escala musical. ¿Que relación guardan entre si las frecuencias de esta escala? En la siguiente tabla vemos las relaciones f:f' de cada nota respecto a la fundamental do, una columna donde, multiplicando las relaciones f:f' por el factor 12 se convierten a enteros, y una última columna que descompone en producto de dos factores esos enteros.

 Nota f:f’ 12·f:f’ factores
do 1 12 4x3
mi 1 1/4 15 5x3
fa 1 1/3 16 4x4
sol 1 1/2 18 6x3
la 1 2/3 20 5x4
do’ 2 24 6x4

Hay subgrupos de tres acordes con relaciones especialmente simples: do-mi-sol y fa-la-do', sus tablas de relaciones son:

 Nota f:f’ 4·f:f’
do 1 4
mi 1 1/4 5
sol 1 1/2 6
 Nota f:f’ 3·f:f’
fa 1 1/3 4
la 1 2/3 5
do’ 2 6

Vemos que sus frecuencias tienen relaciones simples iguales entre sí, de 4:5:6. La denominada escala diatónica natural añade otras dos notas, siendo 8 en total: re, con relación (9:8)f, y si, con relación (15/8)f. La tabla de relaciones queda:

Nota f:f’ 24·f:f’ factores
do (base)
1 24 8x3
re (segunda mayor)
1 1/8 27 9x3
mi (tercera mayor)
1 1/4 30 6x5
fa (cuarta)
1 1/3 32 8x4
sol (quinta)
1 1/2 36 9x4
la (sexta)
1 2/3 40 8x5
si (séptima)
1 7/8 45 9x5
do’ (octava)
2 48 8x6

Con estas dos notas, encontramos un nuevo acorde de tres notas especialmente simple: re-sol-si, con una relación mutua de frecuencias de  3:4:5. En Música, además de la nomenclatura do, re, mi, etc. se usa también la abreviada con letras A, B, C, ...

Instrumentos musicales de cuerda

Una cuerda tensa, pulsada o bien frotada, oscilará con un movimiento armónico simple amortiguado; al hacerlo, presionará el aire que la rodea de forma que generará una onda de presión de frecuencia constante: un sonido de tono dado. La frecuencia de vibración es más alta como menor sea la longitud de la cuerda, y como más tensa esté; el grosor de la cuerda también interviene, cuanto más grosor, menos frecuencia.

Instrumentos como el piano o el arpa tienen una cuerda dedicada a cada nota (o frecuencia); en la guitarra acústica y en el violín el músico varía la frecuencia modificando la longitud de la cuerda vibrante. Si pulsamos la cuerda no por el centro exacto sino por diferentes puntos se obtendrá la misma nota pero con diferente timbre (vibraciones adicionales, o armónicos, añadidas a la vibración fundamental de la cuerda), y un oído entrenado podrá detectarlo.

Fig. 1: oscilaciones del tono fundamental y del primer armónico (octava del fundamental)

Cuerdas vibrantes en música

Una cuerda es un hilo elástico con sección pequeña comparada con su longitud. Cuando una cuerda tensada por sus extremos se golpea, pulsa o frota en un punto, la perturbación se propaga por la cuerda hasta los extremos, donde se reflejan e interactúan entre sí formando vibraciones en forma de ondas estacionarias con los nodos en los extremos, y cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple; para ello, la cuerda ha de contener o bien media onda (dos nodos), o una onda completa (tres nodos, dos en los extremos y uno en el centro), o una onda y media (cinco nodos), y en general un número impar de nodos y un múltiplo entero de "medias ondas completas".  Por ello, las vibraciones de la cuerda cumplen que la longitud l de la cuerda ha de ser un múltiplo entero de la semilongitud de la onda: l=n\frac\lambda2, y la frecuencia sonora será f=\fracv\lambda=n\fracv{2l} para n = 1, 2, 3, .... , donde v es la velocidad de transmisión de la perturbación en la cuerda, que depende del material y de la tensión de la cuerda. A estas frecuencias se les llama frecuencias propias de la cuerda. Si intentamos hacer vibrar a una cuerda con frecuencias distintas de las propias, la vibración se amortiguará muy rápidamente debido a que la interferencia de la onda transmitida y la reflejada será destructiva: una anula a la otra.

Escala atemperada

En las guitarras, también en los violines, el músico puede variar la frecuencia del sonido a voluntad de forma continúa, variando la posición del dedo que pulsa la cuerda.

Fig. 2: Parte del teclado de un piano mostrando la escala atemperada de 13 notas, las teclas negras son los semitonos.

En cambio en el piano, instrumento en el que la cuerda se golpea con un pequeño martillo siempre en la misma posición, las frecuencias son fijas. Cuando se quiere acompañar con el instrumento musical a la voz de una cantante, con las frecuencias variables se puede ajustar la escala musical a la frecuencia de la voz

demos hacerlo, pero para solventar en parte este problema se recurre a la denominada escala atemperada: se parte de la escala natural que se divide en 12 intervalos iguales (por tanto contiene 13 notas) añadiendo nuevas notas llamadas semitonos, o notas sostenidas, marcadas con el símbolo #. Las nuevas notas sostenidas se destacan en negro.

La escala atemperada completa queda así:

do, do#, re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si, do'

Al dividir la escala natural en 12 intervalos en vez de los 7 originales sucede que las frecuencias de las notas de la escala atemperada no coinciden con la natural, excepto en las notas inicial y final (do y do'). Esta escala facilita la acomodación de frecuencias a la voz, pero incluyendo una pequeña variación de las relaciones de frecuencias, perceptible al oído entrenado musicalmente.

Más sobre escalas musicales.

Instrumentos de viento

Cuando se vacía una vasija de agua, se percibe el borboteo como una sucesión de notas que van disminuyendo de tono a medida que se vacía, o sea, cuando la cavidad de aire se hace mayor. Se produce una vibración del aire (onda longitudinal) dentro de la vasija, un sonido, con una frecuencia inversamente proporcional a la longitud de la columna de aire vibrante, igual que sucede con las cuerdas vibrantes.

En los tubos sonoros, cilindros llenos de aire, se generan sonidos al hacer vibrar el aire que contienen. También se presentan modos fundamentales de vibración y modos armónicos en las columnas de aire, sólo que en este caso hay que diferenciar los casos en que el tubo sea semi-abierto al aire (fig. 3), o sea cerrado sólo en un extremo, o totalmente abierto; en el primer caso, en la pared de cierre para todos los modos vibratorios siempre habrá un nodo (punto de vibración nula), mientras que para los tubos abiertos los nodos están en el interior, y en los extremos abiertos siempre encontramos vientres (puntos de vibración máxima).

Fig. 3: tercer armónico y modo fundamental de vibración en un tubo sonoro semiabierto

En los tubos sonoros la onda longitudinal de aire generada en un extremo se refleja en el otro extremo, la onda interfiere consigo misma, formando un sistema de ondas estacionarias. Si el tubo es semiabierto, la onda al chocar con la pared del extremo cerrado cambia 90⁰ de fase, y las dos ondas, transmitida y reflejada, se anulan en ese punto, formando un nodo; en el extremo abierto, que es donde generamos la vibración, tenemos un vientre. En el modo fundamental (fig. 3 a la derecha) en el tubo hay un sólo nodo y un sólo vientre, como la onda completa comprende dos nodos y dos vientres, llamando \lambda a la longitud de onda y l a la longitud del tubo, tendremos la relación, para el modo fundamental, l=\frac\lambda4, y la frecuencia f de ese modo será f=\fracv\lambda=\fracv{4l}, donde v es la velocidad del sonido. En general si se presentan n nodos en el tubo, estando uno de ellos siempre en el extremo cerrado, teniendo en cuenta que cada dos nodos corresponden a una longitud de onda de distancia, tendremos que los n nodos ocupan dentro del tubo una distancia n\lambda/2, desde el último nodo hasta el extremo abierto del tubo hay una distancia \lambda/4 (pues hay un vientre en el extremo), y por tanto la longitud total l del tubo se distribuye así:

l=n\frac\lambda2+\frac\lambda4=\frac{2n\lambda+\lambda}4=\left(2n+1\right)\frac\lambda4

y por tanto la frecuencia del modo con n nodos es:

f=\frac v\lambda=\left(2n+1\right)\frac v{4l}.

El factor (2n + 1) nos indica que en los tubos semiabiertos sólo se emiten los armónicos impares (las frecuencias de los armónicos sin múltiplos impares de la frecuencia fundamental). Queda como ejercicio demostrar que esto no sucede en los tubos abiertos.

En los órganos hay un tubo de longitud fija para cada tono, de forma semejante a los pianos (fig. 4), en cambio en la flauta la longitud efectiva del tubo la puede variar el músico con los dedos.

Fig. 4: tubos del órgano de la basílica de la Sagrada Familia, en Barcelona

Resonancia acústica

Dos sistemas vibratorios con la misma frecuencia pueden interactuar y producir fenómenos de resonancia, en el que las energías de los dos sistemas se suman, o bien se transmite la energía de un sistema al otro.

Fig. 5: resonancia entre un diapasón y una columna de aire cercana

En la figura 5 se presenta un experimento de resonancia acústica: tomamos un tubo semiabierto con agua dispuesto de forma que podamos variar la altura del líquido (vaso comunicante), cerca del extremo abierto hacemos sonar un diapasón, veremos que el tubo también emite un sonido, pues el aire que contiene vibra por efecto del diapasón. Si vamos probando a variar la altura del líquido hasta que una de las frecuencias del tubo coincida con la del diapasón, más exactamente, cuando la longitud de la columna de aire sea un múltiplo de un cuarto de la longitud de onda del diapasón, en ese momento entrarán en resonancia y el tubo emitirá un sonido intenso, ya que se estará transmitiendo eficientemente la energía vibratoria del diapasón al aire del tubo.  Esta transmisión eficiente provoca que el sonido del diapasón se disipe rápidamente, pues transfiere toda su energía al aire del tubo. Las cajas de madera de algunos instrumentos (guitarra, violín) se utilizan para reforzar los sonidos por resonancia, y por ello se denominan cajas de resonancia.

Bibliografía usada

Ambas obras están descatalogadas, siendo textos excelentes, he intentado aprovechar la información que daban para que no se pierda en el olvido. La figura 5 proceden de la primera obra:

  • M. Catalán, Andres León: Física y Química – Madrid, 1945
  • J. Fernandez, M. Pujal: Iniciación a la Física – Barcelona, 1975

 

Cualidades del sonido

Sonidos musicales y sonidos ruidosos

Las vibraciones de un cuerpo, al afectar al aire que lo rodea, producen un movimiento ondulatorio de ese aire, o sea, una propagación de las vibraciones del cuerpo, que cuando llega a nuestros oídos podemos percibir como sonido. Las vibraciones del aire toman la forma de ondas de presión. Cuando las vibraciones son periódicas, esto es, repetitivas en el tiempo, sentimos ese sonido como musical, en otro caso lo calificamos como ruido.

Fig. 1: un diapasón, una varilla rectangular doblada en forma de horquilla, vibra de forma armónica simple al ser golpeado en un extremo

Tono de un sonido

Es la frecuencia de la vibración del cuerpo que produce el sonido. El diapasón de la figura 1 produce un sonido que vibra a una frecuencia muy precisa, de 136 Hz (un Hertz, o Hz, es un ciclo vibratorio completo por segundo). Percibimos el tono más grave o más agudo dependiendo de su frecuencia, de menor a mayor, respectivamente; el tono del sonido también se conoce por altura del sonido.

Fig.2: ondas sinusoidales, como las que produce un diapasón. La línea azul representa un sonido de la mitad de tono que la linea roja.

En la figura 2 vemos las formas sinusoidales de los sonidos puros, como el producido por un diapasón;  las abscisas representan el tiempo y las ordenadas la amplitud de la vibración. Las dos sinusoides tienen la misma amplitud pero diferente frecuencia: la curva roja presenta dos ciclos completos, la azul sólo uno, por lo que el tono del sonido en el primer caso es el doble que en el segundo. Los instrumentos musicales pueden emitir sonidos en diferentes rangos de frecuencias; los del violín están entre 250 y 15.000 Hz, la voz humana, entre 125 y 9.000 Hz. El rango de frecuencias audibles para los humanos es de 20 a 20.000 Hz.

Intensidad de un sonido

Se relaciona con la amplitud de la vibración. En la figura 3 vemos dos sonidos sinusoidales con la misma frecuencia (los dos oscilan dos veces completas en el mismo intervalo de tiempo) pero el representado en rojo tiene el triple de amplitud que el azul. Si fueran sonidos de diapasones, las dos curvas serian diapasones idénticos, sólo que uno ha sido golpeado con una fuerza tres veces superior al otro; en cambio, en la figura 2, serian dos diapasones distintos golpeados con la misma fuerza impulsora.

Fig. 3: dos oscilaciones sinusoidales de la misma frecuencia y distinta amplitud.

El tímpano del oído humano es muy sensible a las vibraciones del aire, de forma que para producir un sonido audible (umbral de audición) es suficiente con muy poca energía vibratoria: la potencia de la vibración sonora generada cuando conversamos es de sólo 10⁻⁵ Wats, o sea, que para generar 1W de potencia sonora, deberíamos reunir 100.000 personas conversando a la vez.

Timbre de un sonido

Los sonidos musicales consistentes en una única vibración simple, con una frecuencia e intensidad únicas, como la sinusoidal del diapasón, no son lo habitual, al contrario, las vibraciones sonoras suelen ser una superposición de vibraciones simples, suele haber una onda predominante, o oscilación fundamental, acompañada de otras secundarias, que la deforman (figura 4).

Fig. 4: sonido de un instrumento, en este caso de la tecla de un piano, mostrando pequeñas deformaciones que acompañan a la onda fundamental.

Las vibraciones que deforman la onda fundamental, pero manteniendo su periodicidad (sino fuera así, ya no seria un sonido musical, seria un ruido), se denominan armónicos del sonido. Cuando oímos dos sonidos de la misma intensidad y tono, pero procedentes de dos instrumentos musicales distintos, los percibimos como distintos debido a que sus armónicos lo son, decimos que los dos sonidos difieren en timbre cuando difieren sus armónicos. Tono, intensidad y timbre determinan completamente un sonido.

Audición. Decibelios.

Fig. 5: Área normal de audición, en frecuencias-decibelios.

El oído no es igualmente sensible a todas las frecuencias, de forma que las intensidades mínimas audibles (umbral de la audición) dependen de las frecuencias. Además, también hay un límite superior para la potencia que el tímpano puede soportar: vibraciones demasiado potentes pueden dañarlo, deja de producirse la sensación auditiva y pasamos a sentir dolor (umbral del dolor). En la figura 5, en el eje de abscisas están las frecuencias, aproximadamente entre 16Hz y 16.000Hz; como el rango es muy amplio, la escala no es lineal (no nos cabría el gráfico en horizontal) sino logarítmica; lo mismo podemos decir de la escala de ordenadas. Se ha representado en ese eje las teclas de un piano para hacernos una idea del rango de frecuencias.  Para una frecuencia dada, por ejemplo la de más a la izquierda del piano, trazando una línea vertical cortará al área audible, resultando un segmento que nos dice el rango de intensidades audibles para esa frecuencia, que es prácticamente de cero a 120.

Para la medida de intensidades se utilizan los decibelios. La ley de Weber y Fechner establece que la sensación S percibida no es lineal, sino que depende del logaritmo de la intensidad I:

S=A\log\left(I\right)+B [1]

donde A, B son dos constantes que dependen de las unidades físicas que tomemos. Si al valor umbral de la intensidad audible lo llamamos I_0, entonces:

0=A\log\left(I_0\right)+B\Leftrightarrow B=-A\log\left(I_0\right)

sustituyendo en [1]:

S=A\log\left(I\right)-A\log\left(I_0\right)=A\left(\log\left(I\right)-\log\left(I_0\right)\right)=A\log\left(\frac I{I_0}\right)

Definiendo la unidad de sensación sonora, el bel, como aquella que hace que A = 1, resulta que la sensación de intensidad sonora, en bels, es:

S=\log\left(\frac I{I_0}\right)

La unidad más usada no obstante es la décima parte del bel, o decibel: S=10\log\left(\frac I{I_0}\right) cuando I, I_0 vienen dadas en decibels. como en la figura 5. Siendo el oído no igualmente sensible a todas las frecuencias, un sonido de 20db de 300Hz se percibirá más débil que otro también de 20db pero a 1000Hz. La sensibilidad máxima del oído está aproximadamente a 2500Hz.

Infrasonidos y ultrasonidos

Las frecuencias demasiado bajas para ser audibles por los humanos se denominan infrasonidos, y las demasiado altas, ultrasonidos. En explosiones, erupciones volcánicas, golpes bruscos, se generan ruidos de diversas frecuencias, también en el rango de infrasonidos, que algunos animales sí pueden detectar. Los ultrasonidos pueden generarse artificialmente mediante una lámina de cristal de cuarzo vibrando entre dos electrodos de metal, aprovechando el efecto piezoeléctrico.  El cristal, colocado en un campo eléctrico alterno, se contrae y se dilata periódicamente a alta frecuencia, de hasta millones de Hz. Los ultrasonidos se difractan poco en el agua, pueden dirigirse muy bien, y a frecuencias adecuadas, se amortiguan lentamente, recorriendo decenas de km bajo el agua, por lo que son útiles para el sondaje del mar.

Bibliografía usada

Ambas obras están descatalogadas, siendo textos excelentes, he intentado aprovechar la información que daban para que no se pierda en el olvido. Las figuras 4 y 5 proceden de la primera obra:

  • M. Catalán, Andres León: Física y Química - Madrid, 1945
  • J. Fernandez, M. Pujal: Iniciación a la Física - Barcelona, 1975