Examen-2 de Cálculo

1. Calcular \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}

Solución: \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}=\frac{\sqrt{\infty+1}-\sqrt{\infty+2}}{\infty-2+\sqrt{\infty-3}}=\frac{\infty-\infty}\infty=? tenemos dos indeterminaciones, una en el numerador, \infty-\infty, otra en la fracción \frac{\infty}\infty. Viendo que el grado máximo de n es 1, dividimos numerador y denominador por n, y volvemos a aplicar el límite:

\begin{array}{l}\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{9n^2+2}}{3n-2+\sqrt{4n^2-3}}\frac{1/n}{1/n}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{n^2/n^2+1/n^2}-\sqrt{9n^2/n^2+2/n^2}}{3n/n-2/n+\sqrt{4n^2/n^2-3/n^2}}=\\\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{\sqrt{1+1/n^2}-\sqrt{9+2/n^2}}{3-2/n+\sqrt{4-3/n^2}}=\frac{\sqrt{1+0}-\sqrt{9+0}}{3-0+\sqrt{4-0}}=\boxed{-\frac25}\end{array}

Como comprobación calculamos algunos términos con hoja de cálculo, llamando L al límite:

n f(n) |L-f(n)|
1 -0,951206 0,551206
10 -0,416974 0,016974
100 -0,401609 0,001609
1000 -0,400160 0,000160
10000 -0,400016 0,000016
100000 -0,400002 0,000002

Vemos que la diferencia entre la expresión y el límite tiende progresivamente a cero.

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2. ¿En qué puntos la gráfica de la función f(x)=x^3-x^2+2 tiene su recta tangente paralela al eje X?

Solución: La recta tangente a la gráfica de f(x) en un punto x_0 de su dominio tiene la ecuación y=mx+n donde la pendiente de la recta es m=f'(x_0); recordemos que la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje X: m=\tan\left(\alpha\right). Si esa recta tangente es paralela al eje X, quiere decir que el ángulo \alpha es cero, o sea que \tan\left(\alpha\right)=\tan\left(0\right)=0, o sea que m=0=f'(x_0). Por tanto, tenemos que hallar los puntos x para los que la derivada es nula:

f'(x)=3x^2-2x=0\Rightarrow x\left(3x-2\right)=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x=2/3\end{array}\right.

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Sustituyendo estos dos valores de x en f(x) obtenemos sus imágenes, que son y=2, y = 50/27, respectivamente, que son también las ecuaciones de las rectas tangentes, ya que para ellas y=mx + n = 0·x+n = n (rectas y = cte) como vemos en la gráfica.

separador23.  Estudiar el límite \underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{lim}\frac{x^2+y^3}{x^2+y^2}.

Solución: Es indeterminado del tipo 0/0. Siendo un límite de dos variables, procede el cambio de variables a coordenadas polares:

\begin{array}{l}\underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{lim}\frac{x^2+y^3}{x^2+y^2}=\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{r^2\cos^2\left(\theta\right)+r^3\sin^3\left(\theta\right)}{r^2cos^2\left(\theta\right)+r^2sin^2\left(\theta\right)}=\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{cos^2\left(\theta\right)+sin^3\left(\theta\right)}{cos^2\left(\theta\right)+sin^2\left(\theta\right)}=\\\underset{r\rightarrow0}{lim}\frac{cos^2\left(\theta\right)+sin^3\left(\theta\right)}1\end{array}

este límite no existe, pues a medida que el radio r se acerca a cero, el numerador no tiende a ningún valor en concreto, depende del ángulo.

separador24.  ¿Cuáles son los puntos críticos de la función f(x,y)=x^3y^3+xy?

Solución: Son aquellos en los que se anulan las derivadas parciales; la derivada parcial respecto a x la igualamos a cero:

\frac{\partial{}}{\partial x}\left(x^3y^3+xy\right)=3x^2y^3+y=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\boxed{y=0}\\3x^2y^2+1=0\end{array}\right.

la segunda opción no tiene solución, pues x^2y^2 siempre es positivo. Para la derivada parcial respecto a y tenemos un resultado parecido:

\frac{\partial{}}{\partial y}\left(x^3y^3+xy\right)=3x^3y^2+x=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\boxed{x=0}\\3x^2y^2+1=0\end{array}\right.

Así pues el único punto crítico es x=0, y=0.

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