Examen-1 de Cálculo

1. Estudiar la continuidad o en su caso, discontinuidad, en x=1, de la función real:

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin\left(\mathrm\pi x\right)\right),\;x\leq1\\\frac{x-1}{x+1},\;x>1\end{array}\right.

Respuesta: es una discontinuidad de 1a especie.

2. Dada la función 1-\frac1{x^2+2} realizar 5 iteraciones del método del punto fijo tomando como punto inicial x=0.

Respuesta:

0,5
0,5555555556
0,5668449198
0,5692093527
0,5697072691

3. Calcular \int_0^1\frac{3x}{\left(3x^2+1\right)^2}\operatorname dx

Respuesta:

\frac{21}2.

4. Calcular los puntos extremos de la función f\left(x\right)=\frac{1-x^2}{x-3} en el intervalo [-1, 1].

Respuesta:

En ese intervalo toma sus valores máximos en x = -1, x = 1, y su valor mínimo en x=0.17.

 

 5. Dada la función de dos variables

f\left(x,y\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{x^2+y^2},\;\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\0,\;\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{array}\right.

Calcular sus derivadas parciales en (0, 0)  y estudiar su diferenciabilidad en el origen.

Respuesta: La derivada parcial según X en (0, 0) no existe; según la dirección Y sí tenemos derivada en el origen. No es diferenciable en (0, 0).

 

 

 

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