Problemas de números enteros

1. ¿Cuál es el dígito correspondiente a las unidades del número 7²⁰¹⁴? Por ejemplo, el dígito correspondiente a las unidades del número 56789 es el 9. Ayuda: siendo 7²⁰¹⁴ demasiado grande para usar la calculadora, hay que utilizar la propiedades de las potencias de números enteros, concretamente una que dice así: el dígito de las unidades para las potencias sucesivas de cualquier número entero toma siempre unos valores determinados de forma cíclica; por ejemplo: 4¹ = 4, 4² = 16, 4³ = 64, 4⁴ = 256, 4⁵ = 1024, ... vemos que para las potencias de 4 las unidades siempre son o 4 o 6.

Solución: Tenemos que encontrar los valores que toman las unidades para las potencias sucesivas de 7, buscando un patrón repetitivo:

  • 7¹ = 7
  • 7² = 49
  • 7³ = 343
  • 7⁴ = 2401
  • 7⁵ = 16807
  • 7⁶ = 117649
  •  . . .

Vemos que la secuencia de valores distintos de las unidades es 7, 9, 3, 1, y después se repiten sucesivamente los valores. Entonces, para el número 7²⁰¹⁴, ¿cuál de esos valores tomará? Son 4 valores distintos, cada valor de las unidades aparece en unas potencias determinadas, que son:

  • unidades = 7: potencias 7¹, 7⁵, 7⁹, 7¹³, ...
  • unidades = 9: potencias 7², 7⁶, 7¹⁰, 7¹⁴, ...
  • unidades = 3: potencias 7³, 7⁷, 7¹¹, 7¹⁵, ...
  • unidades = 1: potencias 7⁴, 7⁷, 7¹¹, 7¹⁵, ...

Cada valor de la unidad tiene una sucesión aritmética de potencias asociada. Es fácil ver que los términos generales son, respectivamente:

  • unidades = 7: potencias 1+4(n-1), n=1,2,...
  • unidades = 9: potencias 2+4(n-1), n=1,2,...
  • unidades = 3: potencias 3+4(n-1), n=1,2,...
  • unidades = 1: potencias 4+4(n-1), n=1,2,...

¿En cuál de estas sucesiones está la potencia 7²⁰¹⁴? Probamos una por una:

  • la del 7) 2014 = 1+4(n-1) => n resulta ser no entero, descartado
  • la del 9) 2014 = 2+4(n-1) => n = 504
  • la del 3) 2014 = 3+4(n-1) => n resulta no ser entero, descartado
  • la del 1) 2014 = 4+4(n-1) => n resulta no ser entero, descartado

O bien, más rápido, viendo que todas las sucesiones van de 4 en 4, dividimos por 4 el número 2014 y nos fijamos en el resto de la división:

\begin{array}{l}2014\;\;\;\;\left|\underline{4\;\;\;\;\;}\right.\\\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;503\end{array}

Como el resto es 2, pertenece a la segunda sucesión, la del primer término igual a 2. En conclusión, las unidades de 7²⁰¹⁴ son: 9.

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1. ¿Cuál es el dígito correspondiente a las unidades del número 1234²⁰¹⁴?

Solución: aplicar el método del problema anterior directamente es poco recomendable, pues las potencias de 1234 crecen demasiado rápidamente.  Nos fijamos en cómo se calculan las potencias sucesivas con multiplicaciones; para 1234² = 1234 x 1234 resulta:

unitats

Vemos que las unidades de 1234² se obtienen tomando las de 4 x 4. Para las potencias sucesivas de 1234 tenemos lo mismo: sólo tenemos que considerar el 4. Busquemos pues el patrón de las potencias de 4:

  • 4¹ = 4
  • 4² = 16
  • 4³ = 64
  • 4⁴ = 256
  • . . .

Vemos que simplemente el patrón es: para potencias impares las unidades son 4, y para las pares son 6. Por tanto las unidades de 1234²⁰¹⁴, siendo la potencia 2014 par, es 6.

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3. ¿Cuantas cifras tiene el número 7²⁰¹⁴?

 Solución: en el sistema decimal cada cifra de un número se multiplica por una potencia de 10 para obtener el número dado; por ejemplo, el número 3456 es igual a 3 x 103 + 4 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100. Entonces la cantidad N de cifras que contiene un número dado puede obtenerse dividiendo el número por 10 repetidamente, hasta que el cociente sea menor que 1:

division_consecutiva

Como hemos hecho cuatro divisiones, el número tiene 4 cifras. Otra forma de verlo es: si un número tiene 4 cifras, entonces podemos dividirlo como máximo por 103, para obtener un cociente mayor que 1, en efecto, 3456 / 103 = 3, pero 3456 / 104 = 0. En general:

Dado un número entero X, su número de cifras decimales N es el número para el que se cumple X / 10N ≥ 1 y además X / 10(N+1) < 1.

Si aplicamos esta regla al número 7²⁰¹⁴ obtenemos  7²⁰¹⁴ / 10N ≥ 1 , 7²⁰¹⁴ /10(N+1) < 1.Para la segunda inecuación obtenemos, inviertiéndola,  10(N+1) / 7²⁰¹⁴ > 1, tomando logaritmos decimales:

\begin{array}{l}\log\left(\frac{10^{(N+1)}}{7^{2014}}\right)\;\;\;\;>\;\log\left(1\right)\Leftrightarrow\\\log\left(10^{(N+1)}\right)-\log\left(7^{2014}\right)>0\Leftrightarrow\\\left(N+1\right)\cdot\log\left(10\right)-2014\cdot\log\left(7\right)>0\Leftrightarrow\\N+1>2014\cdot\log\left(7\right)\Leftrightarrow\\N>2014\cdot\log\left(7\right)-1\approx1701,03\end{array}

Por tanto el número  7²⁰¹⁴  tiene N = 1702 cifras decimales.

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