Integrales dobles de Riemann

Integral de Riemann en dos dimensiones (integral doble)

Izquierda: parcelación del área -1 < x, y < 1; derecha: gráfica "parcelada" en 3D de la función z=1-x²-y²

Izquierda: parcelación rectangular del área -1 < x, y < 1; derecha: gráfica "parcelada" en 3D de la función z=1-x²-y²

De la misma forma que en la integral de Riemann en un intervalo (a,b) para la función y=f(x) de una variable dividíamos la variable independiente x en intervalos de amplitud dx, calculábamos las áreas dA=y(x)·dx, sumábamos y pasábamos al límite para obtener la integral \int_a^bf\left(x\right)\operatorname dx, cuando tenemos una función real con dos variables independientes z=f(x,y) dividiremos el plano (x,y) en parcelas de dos dimensiones de amplitud dx, dy, sumaremos los productos f(x,y)·dx·dy y pasaremos al límite para obtener la integral doble de f(x,y) en el recinto R: \int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy.

Más en detalle: sea w una de las parcelas del plano R; estas parcelas no tienen porque ser rectangulares, pueden tener cualquier forma, como en la siguiente figura:

Parcelación no homogénea de una región R del plano

Parcelación no homogénea de una región R del plano

En cualquier caso, dada una parcela w, formaremos el producto f(x,y)·A_w donde A_w simboliza el área de la parcela w; ¿qué valor f(x,y) tomaremos? Pues dentro de la región w hay infinitos puntos (x,y)... en la integral de Riemann lo que hacemos es considerar los valores máximo y mínimo de f(x,y) en la parcela w, los denominamos M_w,  m_w respectivamente. Entonces definimos las sumas superior e inferior de Riemann para f(x,y) y para la parcelación efectuada en R, sumando los productos de las áreas de cada parcela por los valores máximo y mínimo, respectivamente, de  f(x,y) en cada parcela:

S=\sum\nolimits_{i=1}^nM_{w_i}\cdot A_{w_i}\;,\;s=\sum\nolimits_{i=1}^nm_{w_i}\cdot A_{w_i}

Evidentemente se cumplirá que S > s para cualquier parcelación de R. Si pasamos al límite de particiones infinitesimales, y ese límite existe, diremos que la función de dos variables es integrable en R según Riemann, y se cumplirá:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^nM_{w_i}\cdot A_{w_i}\;=\int\int_Rf(x,y)\operatorname dw=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\;s=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{i=1}^nm_{w_i}\cdot A_{w_i},

o sea que los límites de las sumas inferior y superior coinciden, y definen el valor de la integral doble.  Observad que aparece la diferencial dw en vez de dx o dy; esto se debe a que hemos considerado parcelaciones de R de cualquier tipo, no sólo las rectangulares.

 Ejemplo1 : integrabilidad de las funciones continuas. Si f(x,y) es una función continua de dos variables, entonces por definición, dado un \varepsilon>0 cualquiera, siempre podremos encontrar un entorno circular de radio r centrado en (x_0,y_0) tal que todos los puntos (x,y) dentro del entorno tendrán valores f(x,y) distintos de f(x_0,y_0) en como mucho \varepsilon. Por tanto, dentro de ese entorno, el valor máximo M y el mínimo m diferirán en como mucho un múltiplo de \varepsilon. Como podemos hacer tender \varepsilon a cero, se sigue que la diferencia M-m tenderá también a cero, y en el límite \underset{n\rightarrow\infty}{lim}S=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\;s=\int\int_Rf(x,y)\operatorname dw. Así pues, todas las funciones continuas son integrables según Riemann. Si la función es continua a trozos,  entonces será integrable a trozos.

Calculo de integrales dobles en recintos rectangulares: integrales reiteradas

En lo que sigue sólo trataremos con regiones R de integración rectangulares; supongamos que dividimos el intervalo a < x < b del eje X en n subintervalos, y el intervalo c < y < d del eje Y en m subintervalos;

Área R de integración rectangular

Área R de integración rectangular

tendremos por tanto nm rectángulos, y las sumas de Riemann tendrán la forma:

S=\sum\nolimits_{i=1}^n\sum\nolimits_{j=1}^mf\left(x_i,y_j\right)\triangle x_i\triangle y_j=\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\sum\nolimits_{i=1}^nf\left(x_i,y_j\right)\triangle x_i

Sólo consideramos una de las sumas pues ambas son iguales cuando la función es integrable; en la segunda igualdad hemos sumado primero "por filas", esto es, manteniendo constante y_k sumamos para todos los x_k, y seguimos obteniendo sumas parciales que totalizamos al final. Pasando al límite sólo para la variable x, vemos que:

\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S=\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\sum\nolimits_{i=1}^nf\left(x_i,y_j\right)\triangle x_i=\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\int_a^bf\left(x,y_j\right)\operatorname dx

o sea que el sumatorio segun x se transforma en la integral según x; pasando al límite para y:

\underset{m\rightarrow\infty}{lim}S=\underset{m\rightarrow\infty}{lim}\sum\nolimits_{j=1}^m\triangle y_j\int_a^bf\left(x,y_j\right)\operatorname dx=\int_c^d\operatorname dy\int_a^bf\left(x,y_j\right)\operatorname dx

Vemos que se puede calcular la integral doble realizando dos integraciones parciales, cada una con una de las variables independientes; a estas integrales se les llama integrales reiteradas.

Ejemplo 2: Calcular la integral de z=1-x²-y² en el recinto cuadrado R: {-1 < x, y < 1}. Dividimos el recinto rectangular en n² cuadrados y pasamos al límite n\rightarrow\infty para obtener las integrales reiteradas:

\int_{-1}^1\operatorname dy\int_{-1}^1\left(1-x^2-y^2\right)\operatorname dx

Calculamos primero la integral respecto x, considerando y como una constante:

\int_{-1}^1\left(1-x^2-y^2\right)\operatorname dx=\left[x-\frac{x^3}3-y^2x\right]_{-1}^1=1-\frac13-y^2-\left(-1+\frac13+y^2\right)=\frac43-2y^2

Calculamos ahora la integral respecto de y: \int_{-1}^1\left(\frac43-2y^2\right)\operatorname dy=\left[\frac43y-2\frac{y^3}3\right]_{-1}^1=\frac43-\frac23-\left(-\frac43+\frac23\right)=\frac43.

Calculo de integrales dobles en recintos no rectangulares

En general podemos integrar en un recinto R delimitado por una curva cerrada C dada de forma implícita por una cierta función f(x,y):

Recinto R de integración no rectangular, delimitado por una curva cerrada

Recinto R de integración no rectangular, delimitado por una curva cerrada

La limitación que se impone para que la integral sea calculable según Riemann es que la curva C sea una curva de Jordan que son curvas cerradas en las cuales el número de puntos de intersección de la curva con cualquier recta es finito. Para integrar la función f en el interior del recinto delimitado por la curva C, encerramos la curva en un recinto rectangular R y suponemos que la función toma valor cero fuera del interior de la curva. Aplicamos entonces la integral reiterada en el recinto R: para cada valor y_0 dado, la recta horizontal y=y_0 cortará a la curva en un número de puntos, delimitando unos segmentos s_1, s_2, ...; fuera de esos segmentos la integral valdrá cero, y sólo tendremos valores no nulos en los segmentos:

\int\int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_c^d\operatorname dy\sum\nolimits_{i=1}^n\int_{s_i}f\left(x,y\right)\operatorname dx

Caso de recinto R convexo

Cuando el recinto de integración es convexo, las rectas que lo cortan lo hacen como máximo en dos puntos, o sea que tendremos para cada y=y_0 cada recta horizontal y=y_0  definirá un segmento:

Recinto convexo de integración

Recinto convexo de integración

Si somos capaces de expresar los valores de los extremos del segmento en función de y, o sea x_1(y), x_2(y), podemos substituirlos en las integrales reiteradas:

\int\int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_c^d\operatorname dy\int_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}f\left(x,y\right)\operatorname dx.

Evidentemente se puede proceder también considerando rectas verticales x=x_0 que definen segmentos verticales, e integrar reiteradamente primero respecto de y, luego respecto de x. El orden es indiferente, así que podemos tomar el que sea más evidente o más fácil de expresar. en el siguiente ejemplo los hacemos del segundo modo.

Ejemplo 3: Calcular la integral doble de la siguiente función en todo su dominio:

f\left(x,y\right)=\left\{\begin{array}{l}8xy,\;0<x<y<1\\0\;\text{en otro caso}\end{array}\right.

El dominio de definición D de la función es el triángulo delimitado por los puntos (0,0), (1,0) y (1,1) en el plano XY:

En la imagen vemos que, fijando un valor x, la variable y varía desde y=0 hasta y=x, ya que el dominio es 0 < y < x < 1. Por tanto el segmento vertical queda definido por y_1(x)=0, y_2(x)=x. Lo llevamos a las integrales reiteradas:

\begin{array}{l}\iint_Df\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_0^1\operatorname dx\int_0^x8xy\operatorname dy=\int_0^1\operatorname dx\left[8x\frac{y^2}2\right]_0^x=\\4\int_0^1x^4\operatorname dx=4\left[\frac{x^4}4\right]_0^1=1.\end{array}

Cálculo de volúmenes usando integrales dobles

Al definir la integral doble de Riemann hemos tomado cada parcela w de la región R de integración y hemos formado el producto f(x,y)·A_w donde A_w simboliza el área de la parcela w. Interpretando f(x,y) como una altura z sobre el plano (x,y), el producto f(x,y)·A_w es el volumen de un "cilindro" de altura z=f(x,y) y base w; en la siguiente figura se representa el cilindro formado por una región R circular y la altura z:

Volumen definido por una región R del plano XY y una altura z=f(x,y)

Volumen definido por una región R del plano XY y una altura z=f(x,y)

Ejemplo 4: Probar que el volumen de un cilindro con base circular y radio r y altura h es \pi r^2h usando una integral doble.

La región R del plano XY es el círculo interior a la circunferencia x²+y²=r²; para la función z=f(x,y) tomamos el valor constante z=h. El volumen del cilindro viene dado por la integral doble \int\int_Rh\operatorname dx\operatorname dy=h\int\int_R\operatorname dx\operatorname dy. Para calcular la integral en el recinto R, usamos integrales reiteradas: tenemos que expresar x en función de y, o viceversa, por ejemplo: x^2+y^2=r^2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{r^2-y^2}. La otra variable, y, cumple -r\leq y\leq r. Por tanto las integrales reiteradas son \int_{-r}^r\operatorname dy\int_{x_2}^{x_1}\operatorname dx donde x_1=\sqrt{r^2-y^2},\;x_2=-\sqrt{r^2-y^2}.  Calculamos primero la de la variable x:

\int_{x_2}^{x_1}\operatorname dx\;=x_1-x_2=2\sqrt{r^2-y^2}

Sustituimos en la integral respecto de y: 2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}\operatorname dy;  las integral de este tipo se calculan por cambio de variable usando funciones seno o coseno; primero la preparamos:

\int_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}\operatorname dy=\int_{-r}^rr\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}\operatorname dy=r\int_{-r}^r\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2},

luego hacemos el cambio

\frac yr=\sin\left(t\right)\Rightarrow\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}=\cos\left(t\right);\;\frac{\operatorname dy}r=\operatorname d\left(sin\left(t\right)\right)=\cos\left(t\right)\operatorname dt,

que transforma la integral original en:

r\int\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}\operatorname dy=r^2\int\cos^2\left(t\right)\operatorname dt,

esta integral se hace por partes, resultando \int\cos^2\left(t\right)\operatorname dt=\sin\left(t\right)\cos\left(t\right)+t. Sustituyendo en la integral original y deshaciendo el cambio:

2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}=2\left[\frac yr\cdot\sqrt{1-\left(\frac yr\right)^2}+\sin^{-1}\left(\frac yr\right)\right]_{-r}^r=2\left[1\cdot0+\frac\pi2-0\right]=\pi

El volumen es: V=h\int\int_R\operatorname dx\operatorname dy=\boxed{hr^2\pi}

Ejemplo 5: Calcular el volumen definido por la región R del plano delimitado por las curvas y=x², x=y², y altura dada por la función z=f(x,y)=x²+y².

El volumen que nos piden viene dado por la integral doble \int\int_R\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx\operatorname dy.

La región R definida por y=x², x²=y está contenida en el cuadrante x>0, y>0, pues sustituyendo x=y² en y=x² obtenemos y=(y²)²=y⁴, luego y⁴-y=0, de donde y(y³-1)=0 que tiene por soluciones y=0, y=1; para y=0 tenemos x=0, para y=1 es x=1. La región es convexa, y se representa en la siguiente figura (aunque no es necesaria la representación gráfica para resolver el problema, siempre ayuda a comprenderlo):

Región delimitada por las curvas y=x², x²=y

Región delimitada por las curvas y=x², x²=y

Para un valor y_0 dado, la recta y=y_0 corta a la región R en dos puntos, con coordenadas x_1, x_2 dadas por: 1) intersección con x²=y: x_1^2=y_0\Leftrightarrow x_1=\sqrt{y_0}, 2) intersección con y=x²: x_2=y_0^2.

Por tanto podemos expresar, dentro de la región R, la variación de x en función de y: el segmento horizontal azul de la figura tiene coordenadas (y_0^2,y_0),(\sqrt{y_0},y), en general, para cualquier y dado en el intervalo [0, 1], la variable x variará entre y^2 y \sqrt{y}. Podemos pues calcular la integral doble en R usando dos integrales reiteradas:

\begin{array}{l}\int\int_R\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int_0^1\operatorname dy{\int_{y^2}^\sqrt y}_R\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx=\int_0^1\operatorname dy\left[\frac{x^3}3+xy^2\right]_{y^2}^\sqrt y=\\\int_0^1\left(\frac{y^{3/2}}3+y^{5/2}-\frac{y^6}3-y^4\right)\operatorname dy=\left[\frac{y^{5/2}}{{\displaystyle\frac52}\cdot3}+\frac{y^{7/2}}{\displaystyle\frac72}-\frac{y^7}{3\cdot7}-\frac{y^5}5\right]_0^1=\\\frac2{15}+\frac27-\frac1{21}-\frac15=\boxed{\frac6{35}}\end{array}.

Cambio de variables en integrales dobles

A menudo la naturaleza del problema presenta una simetría que, bien aprovechada, puede simplificar la resolución. Una forma de aprovechar esa simetría es hacer un cambio de variable; por ejemplo, para una simetría en el plano XY respecto al origen será en general mejor trabajar con coordenadas polares:

\begin{array}{l}\left.\begin{array}{r}x=\rho cos\left(\theta\right)\\y=\rho sin\left(\theta\right)\end{array}\right\}\\\end{array}

Para calcular una integral doble en un recinto R del plano XY usando coordenadas polares, tenemos que convertir el elemento de área rectangular \triangle x\triangle y por un elemento de área en las
coordenadas \rho,\theta; en la siguiente ilustración vemos que esa área será, aproximadamente, igual al lado \triangle \rho por la longitud del arco; hay dos arcos, si medimos el ángulo \theta en radianes, sus longitudes son \rho \cdot \triangle \theta(\rho + \triangle \rho )\cdot \triangle \theta:

Elemento de área en coordenadas polares

Elemento de área en coordenadas polares

Como para hacer la integral tomamos el límite \triangle\rho\rightarrow0, podemos considerar que los dos arcos son iguales, pensando que el radio \rho es el valor medio para el elemento de área,  resulta que el área valdrá \rho\triangle\theta\triangle\rho. Entonces al pasar al límite de tenemos la equivalencia:

\int\int_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\int\int_Rf\left(\rho,\theta\right)\rho\operatorname d\theta\operatorname d\rho

Ejemplo 6: Revisemos el ejemplo 4, para el cilindro con base circular podemos usar coordenadas cilíndricas que toman coordenadas polares para el plano XY dejando la coordenada Z sin cambios; entonces la región R de integración queda muy simple:

\begin{array}{l}\left.\begin{array}{r}x=\rho cos\left(\theta\right)\\y=\rho sin\left(\theta\right)\end{array}\right\}\Rightarrow x^2+y^2=r^2\Leftrightarrow\rho^2=r^2\Leftrightarrow\rho=r\\\end{array}

Para la coordenada z no hay cambios: z=h, la altura del cilindro; el volumen será, apllicando integrales reiteradas en las nuevas coordenadas, y teniendo en cuenta que el ángulo \theta varia entre 0 y 2π, y que el radio \rho varia entre 0 y r:

\begin{array}{l}\int\int_Rh\operatorname dx\operatorname dy=\int\int_Rh\rho\operatorname d\theta\operatorname d\rho=h\int_0^{2\mathrm\pi}\operatorname d\theta\int_0^r\rho\operatorname d\rho=h\int_0^{2\mathrm\pi}\operatorname d\theta\cdot\left[\frac{\rho^2}2\right]_0^r=\\h\int_0^{2\mathrm\pi}\frac{r^2}2\operatorname d\theta=\frac{r^2}2h\int_0^{2\mathrm\pi}\operatorname d\theta=\frac{r^2}2h\left[\theta\right]_0^{2\mathrm\pi}=\boxed{r^2h\pi}\\\end{array}

Vemos que las integrales se han simplificado mucho respecto a las calculadas en el ejemplo 4.

En general un cambio de variables (x,y) por (u,v) se puede expresar como funciones x=x(u,v), y=y(u,v); por ejemplo, en el caso de coordenadas polares esas funciones son x=\rho cos\left(\theta\right), y=\rho sin\left(\theta\right), con u=r, v=θ. Para expresar el elemento de área dxdy en función de u,v, diferenciamos las funciones x, y: \operatorname dx=\frac{\partial x}{\partial u}\operatorname du+\frac{\partial x}{\partial v}\operatorname dv;\;\operatorname dy=\frac{\partial y}{\partial u}\operatorname du+\frac{\partial y}{\partial v}\operatorname dv, efectuamos el producto, y despreciamos los términos con diferenciales al cuadrado, du^2, dv^2, pues recordemos que para integrar pasamos al límite del diferencial de área tendiendo a cero, luego el diferencial al cuadrado tiende a cero mucho más rápidamente, nos queda:

\operatorname dxdy=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\operatorname du\operatorname dv=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\operatorname du\operatorname dv

La matriz de la cual calculamos el determinante es la matriz jacobiana del cambio de variables:

J=\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}

Por tanto nos queda la siguiente fórmula de cambio de variables en integrales dobles:

\iint_Rf\left(x,y\right)\operatorname dx\operatorname dy=\iint_{R'}f\left(u,v\right)\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\operatorname du\operatorname dv

donde el recinto R se transforma en el recinto R' al hacer el cambio.

Ejemplo 7: calcular el volumen delimitado por la elipse C de ecuación x²+y²/4 = 1 en el cuadrante x>0, y>0 , y el plano P de ecuación cartesiana x - y + z - 1 = 0.

En la figura vemos una representación: el plano oblicuo P forma la parte superior de la figura, mientras que la base es una elipse; las intersecciones del plano P con los planos XZ, YZ son las rectas z=1-x, z=y+1 respectivamente, la recta vertical en el plano YZ corresponde a la intersección de la elipse C con el plano x=0:

Recinto delimitado por una elipse en XY y un plano en el espacio

Recinto delimitado por una elipse en XY y un plano en el espacio

La región R de integración será el área del plano XY dentro de la elipse, mientras que para la función a integrar tomaremos la altura z sobre el plano XY, dada por la ecuación del plano P: x - y + z - 1 = 0 => z = -x + y + 1 = f(x, y).  El volumen será pues:

V=\iint_R\left(y-x+1\right)\operatorname dx\operatorname dy

Para simplificar la región R, planteamos el cambio u = x, v = y/2, que convierte a la elipse en un circunferencia de radio 1 de ecuación u² + v² = 1. Calculemos el Jacobiano del cambio: primero expresamos x, y como funciones de u,v: u=x,\;v=\frac y2\Rightarrow x=u,\;y=2v, ahora calculamos las derivadas parciales, la matriz J , y su determinante:

J=\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}

El determinante vale 2. La función f(x, y) expresada en las nuevas variables es:  f\left(x,y\right)=y-x+1=2v-u+1=f\left(u,v\right), así que la integral que nos da el volumen queda:

\iint_{R'}f\left(u,v\right)\cdot det(J)\cdot\operatorname du\operatorname dv=\iint_{R'}\left(2v-u+1\right)\cdot2\cdot\operatorname du\operatorname dv=\iint_{R'}\left(4v-2u+2\right)\operatorname du\operatorname dv

La integral en el recinto circular sabemos que se simplifica mucho tomando coordenadas polares, así que hacemos un segundo cambio: u=r\cos\left(\theta\right),\;y=r\sin\left(\theta\right), la circunferencia de radio 1 en polares se reduce a la ecuación r=1, y el cuadrante x>0, y>0 implica que 0\leq\theta\leq\pi/2. El Jacobiano del cambio a polares es r:

\left|J\right|=\left|\frac{\partial\left(u,v\right)}{\partial\left(r,\theta\right)}\right|=\begin{vmatrix}\frac{\partial rcos\left(\theta\right)}{\partial r}&\frac{\partial rcos\left(\theta\right)}{\partial\theta}\\\frac{\partial rsin\left(\theta\right)}{\partial r}&\frac{\partial rsin\left(\theta\right)}{\partial\theta}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}cos\left(\theta\right)&-rsin\left(\theta\right)\\sin\left(\theta\right)&rcos\left(\theta\right)\end{vmatrix}=rcos^2\left(\theta\right)+rsin^2\left(\theta\right)=r

La función f(u, v) se transforma en f\left(u,v\right)=2v-u+1=2r\sin\left(\theta\right)-r\cos\left(\theta\right)+1=r\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+1=f\left(r,\theta\right), y la integral se convierte en:

\iint_{R'}\left(4v-2u+2\right)\operatorname du\operatorname dv=\iint_{R''}\left(r\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+1\right)\cdot r\cdot\operatorname dr\operatorname d\theta

donde R'' es la región rectangular 0\leq r\leq1,\;0\leq\theta\leq\pi/2. Calculamos
las integrales reiteradas:

\iint_{R''}\left(r\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+1\right)\cdot r\cdot\operatorname dr\operatorname d\theta=\int_0^{\pi/2}\operatorname d\theta\int_0^1\left[r^2\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+r\right]\operatorname dr

La integral respecto de r es:

\begin{array}{l}\int_0^1\left[r^2\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+r\right]\operatorname dr=\left[\frac{r^3}3\left(2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)\right)+\frac{r^2}2\right]_0^1=\\\frac{2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)}3+\frac12\end{array}

y respecto a θ:

\begin{array}{l}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{2sin\left(\theta\right)-cos\left(\theta\right)}3+\frac12\right)\operatorname d\theta=\left[\frac13\left(-2cos\left(\theta\right)-sin\left(\theta\right)\right)+\frac\theta2\right]_0^{\pi/2}=\\\frac13\left(0-\frac13\right)+\frac{\pi/2}2-\left(\frac13\left(-2+0\right)+0\right)=\boxed{\frac\pi4+\frac13}\end{array}.


 

Ejercicios propuestos

1. Calcular \iint_Rcos^{-1}\left(x^2+y^2\right)\operatorname dx\operatorname dy siendo R la región interior delimitada por la la curva \sqrt{\cos\left(\theta\right)}=\;r y el eje X:

regio2

2. Calcular el volumen cortado en el paraboloide x² + y² = z por el plano z = 2 + 2x + 2y.

3. Calcular el volumen interior a la superficie x^\frac23+y^\frac23+z^\frac23=a^\frac23  usando el cambio de variables x = r·cos²(θ), y = r·sin²(θ).

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