Estabilidad de soluciones: introducción

En las aplicaciones prácticas a menudo interesa ya no resolver exactamente una ecuación diferencial sino además saber si la solución obtenida es estable en el sentido de si es poco o muy sensible a los cambios que podamos introducir en las condiciones iniciales, los coeficientes de la ecuación, o simplemente al movernos de un punto x_0 a otro punto próximo x_1. También puede interesar conocer el comportamiento (continuidad, límites, etc) de la solución de la ecuación incluso en aquellos casos en los que no podemos obtener esa solución de forma explícita.

Ejemplo 1: Una de las ecuaciones diferenciales propuestas para predecir el crecimiento y decrecimiento de poblaciones biológicas es la que representa el modelo logístico de la población: \frac{\operatorname dP}{\operatorname dt}=kP-kP\frac PM donde p(t) es la población en función del tiempo, k es la constante de proporcionalidad entre la población y su crecimiento (natalidad), M es la población máxima que puede sostenerse con los recursos existentes, y el término -kP\frac PM es el decrecimiento (mortalidad), que también es proporcional   a la población y al factor p/M. Esta es una ecuación separable que puede integrarse por descomposición en fracciones simples: \int\frac{\operatorname dP}{P\left(1-\frac PM\right)}=\int k\operatorname dt\Leftrightarrow\frac P{1-\frac PM}=Ce^{kt}; para el valor t=0 suponemos una población inicial t_0, encontramos pues el valor de la constante de integración C: \frac{P_0}{1-\frac{P_0}M}=C. Sustituimos en la expresión anterior y operamos para obtener la expresión explícita de la población. P\left(t\right)=\frac{MP_0e^{kt}}{1-P_0\left(e^{kt}-1\right)}. Este modelo produce la función P(t) continua y en el límite t\rightarrow\infty tiende al valor M, o sea predice un rápido crecimiento de la población hasta alcanzar el valor máximo.

poblacio

Ecuaciones de primer orden autónomas

En el ejemplo 1 hemos visto el modelo poblacional logístico, con ecuación \frac{\operatorname dP}{\operatorname dt}=kP-kP\frac PM; en el caso general consideramos ecuaciones tales como \frac{\operatorname dP}{\operatorname dt}=F\left(P\right), esto es, ecuaciones de primer orden donde no aparece la variable independiente, denominadas ecuaciones autónomas. Supondremos que la función F(y) es diferenciable (y por tanto continua). Para estas ecuaciones \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=F\left(y\right) si existe una constante c tal que F(c)=0 entonces la ecuación admite la solución y=c.

Ejemplo 2: La ecuación diferencial del ejemplo 1 es autónoma, con F\left(P\right)=kP\left(1-\frac PM\right), y el valor P=0  anula F(P), luego la ecuación admite la solución constante P=0. En efecto, esta solución se obtiene tomando la población inicial P_0=0. Además hay una segunda raíz para la solución constante P=M, pues F\left(M\right)=kP\left(1-\frac MM\right)=0.

En general, a cada raíz c de F(y) le corresponde una solución constante y=c; a los puntos c se les llama puntos críticos de la ecuación autónoma. El interés de los puntos críticos es que, cuando variamos las condiciones iniciales, las correspondientes soluciones siempre tienen uno de los dos comportamientos siguientes: o convergen o divergen en cada punto crítico. En el primer caso el punto crítico es estable, en el segundo, es inestable. En el siguiente gráfico vemos tres soluciones del ejemplo 1: todas convergen para el punto crítico P=M, que es estable,  y divergen para P=0, que es inestable:

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Tres soluciones de la ecuación de la población, con distintas poblaciones iniciales; todas convergen para P=M, y divergen para P=0

La estabilidad o inestabilidad de un punto crítico también se relaciona con los cambios en los coeficientes de la ecuación autónoma, además de con las condiciones iniciales; si estudiamos las soluciones de la ecuación de la población, pero con distintos valores del parámetro k, hallamos el mismo comportamiento. Esto es importante para las aplicaciones prácticas, pues a menudo desconocemos el valor real de ciertos parámetros; sabemos entonces que las soluciones convergerán en los puntos estables a la misma solución para cualquier valor inicial y parámetros dados.

Ejemplo 3: Supongamos que en realidad ignoramos el valor de la constante k , sólo creemos que estará comprendido en el intervalo [0.1, 0.5]; para un mismo valor inicial de la población pero distintos valores de k, el comportamiento es el mismo cerca del punto crítico estable:

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Soluciones de la ecuación de la población, misma población inicial, distintos coeficientes k

 La forma habitual de estudiar el carácter de los puntos críticos es usar la recta fase de la ecuación autónoma: consiste en observar el signo de la función F(y) a los lados de cada punto crítico; como la derivada y' es igual a F(y), de hecho estamos observando el crecimiento y decrecimiento de la función y alrededor de los puntos críticos: cuando el punto c es estable esperamos que la función y tienda a ese punto c por ambos lados, luego si cuando y<c crece (tendiendo a c), por el otro y>c ha de decrecer (tendiendo también a c). Lo vemos con un ejemplo.

Ejemplo 4: La recta fase de la ecuación autónoma de los ejemplos anteriores es:

Recta fase de la ecuación de la población, muestra la tendencia a los lados de los puntos críticos

Recta fase de la ecuación de la población, muestra la tendencia a los lados de los puntos críticos

Vemos que la función F(P) se "aleja" del punto crítico P=0, que es un punto inestable, mientras que F(P) se "acerca" al punto P = M, que es estable. Hemos considerado los intervalos P < 0, 0 < P < M, P > M, y en cada uno de ellos hemos estudiado el signo de F\left(P\right)=kP\left(1-\frac PM\right).

Sistemas de primer orden autónomos

Consideramos los sistemas de dos EDO, con las funciones y(x), z(x), tales que tienen la forma:

\left.\begin{array}{r}\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=F\left(y,z\right)\\\frac{\operatorname dz}{\operatorname dx}=G\left(y,z\right)\end{array}\right\}

o sea que la variable independiente x no aparece. Supondremos que las funciones F, G son diferenciables, y por tanto que para cada punto (y,z) del plano R² existe una solución única y(x), z(x) tal que satisface las condiciones iniciales y(x_0)=y_0, z(x_0)=z_0. Estas soluciones son curvas en el plano (y,z) denominadas trayectorias del sistema. Entonces, un punto (y_0,z_0) tal que F(y_0,z_0)=G(y_0,z_0)=0 se llama punto crítico del sistema autónomo. Para cada punto crítico tenemos una solución constante del sistema: y(x)=y_0, z(x)=z_0, que es un punto.

Ejemplo 5: Consideremos un resorte de constante elástica k, al que fijamos un objeto de masa m; supongamos que hacemos oscilar la masa con el resorte con rozamiento despreciable, resultando un movimiento armónico simple. Siendo la fuerza del muelle F=-kx, con x: desplazamiento respecto la posición de equilibrio del muelle, la aceleración de la masa m vendrá dada por la 2ª ley de Newton: F = ma = -kx. Recordando que la aceleración es la derivada segunda de la posición, nos resulta una EDO homogénea de segundo orden: mx'' + kx = 0. Por conveniencia suele dividirse toda la ecuación por m: x''+\omega^2x=0, donde \omega=(k/m)^{1/2} se denomina pulsación del movimiento. La solución de esta ecuación es x\left(t\right)=A\cos\left(\omega t\right)+B\sin\left(\omega t\right).

Llamando y a la derivada x' (que es la velocidad), resulta que x''=y', entonces podemos escribir la EDO de segundo orden como un sistema de EDO de 1r orden que resulta ser autónomo, ya que la variable independiente tiempo t no aparece:

\left.\begin{array}{r}x'=y\\y'=-\omega^2x\end{array}\right\}

Este sistema tiene un único punto crítico en (x, y) = (0, 0). ¿Cuáles son las trayectorias en el espacio (x, y) de las soluciones del sistema (llamado espacio fase)? Derivando obtenemos: x'\left(t\right)=y=-A\omega sin\left(\omega t\right)+B\omega\cos\left(\omega t\right), representando los puntos (x, y) variando los parámetros A, B, \omega obtenemos trayectorias elípticas centradas en el origen, que es el punto crítico de la ecuación:

centre_estable

Trayectorias x(t), y(t) para tres diferentes combinaciones de los parámetros en un oscilador armónico simple; en abscisas tenemos el desplazamiento x, en ordenadas la velocidad y=x'

Un punto crítico como el del ejemplo 5, que está rodeado por trayectorias cerradas, se denomina centro estable.

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