Ecuaciones diferenciales ordinarias: introducción

Motivación

Las ecuaciones que se estudian en el Álgebra, tales como x^{3}+7x^{2}+41=0,
expresan relaciones numéricas estáticas, y su solución son números que cumplen la ecuación. Ahora bien, los fenómenos naturales más interesantes implican relaciones dinámicas y se expresan mejor con relaciones entre cantidades variables, esto es, con ecuaciones que no son estáticas, sino que expresan variaciones y relaciones entre magnitudes cambiantes: son las ecuaciones diferenciales.

Recordemos que la derivada de una función dy/dt=f'(t) se puede interpretar como la proporción de cambio de la variable dependiente y respecto a los cambios en la variable dependiente t. Es por ello las ecuaciones que describen cambios utilizan derivadas de funciones.

Definición 1: una ecuación que contiene una función desconocida y una o más de una de sus derivadas se llama ecuación diferencial. Al resolverla, obtenemos funciones y = f (x) que verifican la ecuación. Si la función sólo tiene una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Si la función depende de dos o más variables, las derivadas serán parciales y la ecuación se llama ecuación en derivadas parciales. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta que aparece en la ecuación.

En este post sólo introduciremos las ecuaciones diferenciales ordinarias, dando algunas definiciones, y resolviendo las más inmediatas.

Ejemplo 1: La variación de la temperatura T de un cuerpo con respecto al tiempo es proporcional a la diferencia (T-A) donde A es la temperatura del medio ambiente (ley de enfriamiento de Newton). La ley física se representa por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO de orden 1):

\frac{dT}{dt}=k\left(T-A\right)

Ejemplo 2: La variación con respecto al tiempo de una población P(t) con índices constantes de nacimiento y mortalidad es proporcional al tamaño de la población, y también es una EDO de orden 1:

\frac{dP}{dt}=kP

Ejemplo 3: La ley de Torricelli establece que la variación respecto al tiempo del volumen V de agua en un depósito que se está vaciando es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad y del agua del depósito:

\frac{dV}{dt}=-ky^{1/2}

Ejemplo 4: La distancia x(t) recorrida en el movimiento acelerado de un cuerpo de masa m sometido a una fuerza variable F(t)  viene dada por una EDO de orden 2:

\frac{d^{2}x}{dt}=\frac{F(t)}{m}

Definición 2: una función y = f (x) se llama solución de una ecuación diferencial si la ecuación se cumple cuando se sustituyen y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas, respectivamente. Una solución particular de una ecuación diferencial es cualquier solución que se obtiene asignando valores concretos a las constantes en la solución general. En la práctica, las soluciones particulares se obtienen a partir de condiciones iniciales que proporcionan el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas para un valor particular de la variable independiente.

Ejemplo 5:  de la ecuación diferencial y''-y=0 son soluciones: a)  y=sin(x),  b) y=4e^{-x}  c) y=Ce^{-x} para cualquier valor C real. La solución b) es una solución particular obtenida a partir de la solución general c). Aunque es menos obvio, también la solución a) es una solución particular obtenida a partir de la solución general (puede verse usando los desarrollos de Taylor de la función exponencial y de la función seno).

Haz de curvas y ecuaciones diferenciales de primer orden

Otra forma de introducir las ecuaciones diferenciales es desde el punto de vista geométrico. Consideremos la gráfica de la función y=Cx^2 para todos los posibles valores reales de C. En la imagen se representan los valores C=1, 2, 4, 8.

Haz de curvas y=Cx²

Haz de curvas y=Cx²

Se denomina haz de curvas planas al conjunto de todas las curvas que son gráficas de una función general y=F(x,C). Cuando damos a C todos los valores posibles, las curvas generadas van llenando una región R del plano; en el caso de la imagen anterior esa región es todo el semiplano superior x\in\left(-\infty,\infty\right),\;y\in\left[0,\infty\right). En general la región R dependerá del haz.

Nos preguntamos ahora: ¿para cada punto (x,y) del plano existirá un único valor C tal que nos define de forma unívoca la función y=F(x,C) que pase por ese punto? Podemos plantearlo en estos términos: fijando x=x_0 la función F pasa a depender sólo de Cy=F(x_0,C)=f(C); ¿para cada valor de y habrá un único valor de C? Será así siempre que la función f sea estrictamente creciente o decreciente en R, y eso sucederá cuando su derivada no se anule: \frac{\operatorname df}{\operatorname dC}\neq0. En este caso es como si tuviéramos otra función C=\psi(x,y) de dos variables que determina C para cada punto del plano.

En el ejemplo de la imagen anterior, fijando x=x_0 cualquiera obtenemos y=f(C)=Cx_0^2, f'(C)=x_0^2, este valor es siempre distinto de cero excepto en el origen de coordenadas, por tanto para el haz y=Cx^2 tenemos unicidad en el sentido de que dado un \left(x,y\right)\neq\left(0,0\right) existe un único valor C=\psi(x,y)=y/x^2 que determina la curva que pasa por ese punto; por el origen (0,0) en cambio pasan todas las curvas del haz.

Si derivamos la ecuación del haz obtenemos y'=2Cx, entonces, sustituyendo el valor anterior C=\psi(x,y) eliminamos la C para obtener: y'=2Cx=2\left(\frac y{x^2}\right)x=\frac{2y}x, que es la ecuación diferencial del haz de curvas, que es una ecuación de primer orden.

Ejemplo 6: Hallar la ecuación diferencial del haz de curvas plano y=Csin(x).

La región R es la unión de los cuadrantes +X+Y  y -X-Y, en la figura se muestran algunas curvas.

Haz de curvas y=C·Sin(x)

Haz de curvas y=C·Sin(x)

Fijando x=x_0 cualquiera obtenemos y=C\sin\left(x_0\right)=f\left(C\right);f'\left(C\right)=\sin\left(x_0\right). Este valor será cero siempre que x_0=k\mathrm\pi,\;\mathrm k=0,1,\dots. En este conjunto de puntos todas las curvas del haz coinciden, y en el resto de puntos tenemos unicidad: una única curva para cada punto, dada por: C=\frac y{\sin\left(x\right)}=\psi(x,y).

Derivando la ecuación del haz: y'=C\cdot\cos\left(x\right). Sustituimos el valor de C:

\left.\begin{array}{r}y'=C\cdot\cos\left(x\right)\\C=\frac y{\sin\left(x\right)}\end{array}\right\}\Rightarrow y'=\frac{y\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}=\frac y{\tan\left(x\right)}

Definición 2: El haz de curvas y=f(C,x) es la solución general de la ecuación diferencial ordinaria; si fijamos un valor de C=C_0, obtenemos una única curva del haz, que denominamos solución particular de la ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplo 7: el haz de curvas y=Csin(x) es la solución general de la ecuación diferencial y'=\frac y{\tan\left(x\right)}. Por el punto \left(\frac{\mathrm\pi}2,3\right) pasa una única curva, y=3Sin(x), que es una solución particular de la ecuación diferencial.

Existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de primer orden

Hemos visto que para obtener la ecuación diferencial de un haz de curvas hay que derivar y eliminar la constante. Planteamos ahora el problema inverso: ¿dada una ecuación diferencial cualquiera, existe "su" haz de curvas  tal como lo hemos definido? El siguiente teorema nos responde para el caso de ecuaciones de primer orden.

Teorema 1: existencia y unicidad. Si tenemos una ecuación diferencial dada en la forma  y'=f(x,y)  tal que la función f es derivable de todos los órdenes (existen todas las derivadas de cualquier orden) en un entorno de (x_0,y_0), entonces existe una única curva y(x) tal que pasa por el punto (x_0,y_0) y cumple la ecuación y'=f(x,y).

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden inmediatas

Vemos en este apartado sólo las EDO de 1r orden más simples de resolver, en otros posts veremos los casos más generales.

Ecuaciones del tipo dy/dx=f\left(x\right)

Son integrables directamente, escribiéndolas como dy=f(x)\Rightarrow y=\int f(x)dx+C.

Ejemplo 8: Resolver la ecuación diferencial y'+x^{2}-1=e^{x}.

La ecuación es equivalente a dy/dx=e^{x}-x^{2}+1\Rightarrow y=\int\left(e^{x}-x^{2}+1\right)dx+C=e^{x}-\frac{1}{3}x^{3}+x+C.

Ecuaciones del tipo dy/dx=ky

Si y = f (x) es una función, las ecuaciones del tipo dy / dx = ky tienen por solución al conjunto de funciones y (x) = Ce ^ {kx} donde C es un número real cualquiera. En general una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 9: la solución de la ecuación \frac {dP} {dt} = kp  que establece la evolución de una población P(t) con índices constantes de nacimiento y mortalidad es cualquier función de la forma y (x) = Ce^{kx}.

Ejemplo 10: Supongamos que P(t) es la población de una colonia de bacterias en el tiempo t, que la población en t = 0 es de 1000, y que la población se duplica en una hora. Entonces podemos decir que

1000 = P(0)=C
2000 = P(1)=Ce^{k}

por tanto C=1000 y k=\ln2, luego P(t)=1000e^{x\text{·}\ln2}.

La condición P(0) = 1000 se llama condición inicial pues normalmente el valor t = 0 se toma como el estado inicial. Cuando damos una condición inicial, la solución de la ecuación diferencial ya no tendrá en general infinitas soluciones, sino que tendrá sólo una,  o quizá ninguna si las condiciones son incompatibles. Equivalentemente, al dar una condición inicial pasamos, si existe, de la solución general a la solución particular que cumple esa condición. Así, la condición inicial P (0) = - 1000 no tiene ninguna solución del tipo P(t) = Ce^{kt}.

Ejemplo 11: Para resolver la ecuación dy / dx = \frac{x} {\left (x^{2} +9 \right)^{1/2}} con la condición inicial y(4)=2 hacemos y(x)=\int\frac{x}{\left(x^{2}+9\right)^{1/2}}dx=\left(x^{2}+9\right)^{1/2}+C, como  y(4)=\left(16+9\right)^{1/2}+C=5+C ha de ser C=-3.

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Bibliografía

ECUACIONES DIFERENCIALES - Resumen teórico y colección de ejercicios resueltos, y propuestos.

 

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