Problemas resueltos de Álgebra -> Matrices, Sistemas de ecuaciones

1 – Dada la aplicación lineal f con matriz A en bases canónicas dada por

matriu

Determinar una base de los subespacios núcleo e imagen de f.

Solución:

Interesa saber las dimensiones de los subespacios núcleo e imagen de f, para saber cuantos vectores tiene cada base, así como las ecuaciones que identifican a sus vectores. Recordemos que el rango de la matriz de la aplicación lineal coincide con la dimensión del subespacio imagen de f, por tanto determinemos el rango de A; lo haremos por el método del pivote (una alternativa es por determinantes y menores de la matriz), usando una hoja de cálculo para quitarnos el trabajo pesado:

matriu2

En cada paso o bien se escoge un elemento como “pivote” (marcado en negrita) para anular los elementos que tiene debajo, o bien se simplifican filas enteras dividiendo sus elementos por un divisor común. Vemos que quedan 3 filas con ceros, y la matriz final tiene 5 filas independientes, luego el rango es 5, y la dimensión del subespacio imagen también es 5; de forma inmediata deducimos que la dimensión del subespacio núcleo ha de ser 3, pues la dimensión de la matriz es de 8 (la aplicación es un endomorfismo de R⁸).

Seguimos reduciendo la matriz, que ahora es de 5 filas por 8 columnas, por el método del pivote:

matriu3

Encontremos ahora las ecuaciones que nos determinan el subespacio núcleo, pues es más sencillo empezar con el subespacio núcleo que con la imagen; en efecto, las ecuaciones del núcleo son Ax = 0,  donde x es un vector de R⁸ y 0 es el vector nulo, si transformamos las ecuaciones por el método del pivote, el término independiente 0 no cambia, por tanto si llamamos  a la matriz reducida, la ecuación matricial del núcleo es Âx = 0. Las ecuaciones del subespacio imagen son Ax ≠ 0, una desigualdad, más incómodas de trabajar.

Desarrollando Âx = por componentes:

x_1=0; x_2-x_6+x_7-x_8=0; x_3-x_6+x_7=0;x_4-x_6-x_8=0;-x_5+x_7=0

Nos quedan 7 incógnitas (pues x_1 queda determinada) y 4 ecuaciones, tenemos pues que elegir tres incógnitas como parámetros y poner las demás en función de éstas; sean x_6, x_7, x_8 los parámetros:

\begin{array}{l}x_2=x_6-x_7+x_8\\x_3=x_6-x_7\\x_4=x_6+x_8\\x_5=-x_7\end{array} [1]

Estas son las ecuaciones del subespacio núcleo, como tiene dimensión 3, hay 3 “grados de libertad” para escoger las componentes, que son los 3 parámetros x_6, x_7, x_8. Vamos a dar algunos valores, escogidos inteligentemente de forma que generen vectores independientes, para obtener una base del subespacio núcleo:

  • Tomando x_6=1, x_7=0, x_8=0, resulta que x_2=x_3=x_4=1,x_5=0, y obtenemos el vector u = (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0).
  • Tomando x_6=0, x_7=1, x_8=0, resulta que x_2=x_3=-1,x_4=0,x_5=-1, y obtenemos el vector v = (0, -1, -1, 0, -1, 0, 1, 0).
  • Tomando x_6=0, x_7=0, x_8=1, resulta que x_2=1,x_3=0,x_4=1,x_5=0, y obtenemos el vector w = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1).

Por tanto, una base del subespacio núcleo es {(0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0), (0, -1, -1, 0, -1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1)}.

Con la hoja de cálculo es fácil comprobar este resultado, usando las funciones de producto de matrices, por ejemplo comprobamos que Au = 0:

matriu4

Para encontrar una base del subespacio imagen necesitamos 5 vectores que sean linealmente independientes entre sí, y que no cumplan las ecuaciones [1], o sea, queAx ≠ 0. Podemos tomar los vectores de la base del núcleo y cambiar adecuadamente alguna componente,  por ejemplo:

  • u = (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) -> cambiamos x_5, u‘ = (0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0), cambiamos x_4, u” = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0)
  • v = (0, -1, -1, 0, -1, 0, 1, 0) -> cambiamos x_5v’ = (0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 0), cambiamos x_4, v” = (0, 1, 1, 1, -1, 1, 0, 0)
  • w = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) -> cambiamos x_5w’ = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1)

Si lo hemos hecho bien, los vectores serán linealmente independientes entre sí, y con los cambios que hemos hecho, no pertenecerán al subespacio núcleo, formando una base del subespacio imagen:

{(0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0), (0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 1, -1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1)}

Si queremos estar seguros de que forman base, lo podemos comprobar viendo el rango de la matriz formada por los vectores u’, u”, v’, v”, w’, por ejemplo, usando la función row reduce de Wolfram Alpha (situamos los vectores por filas):

matriu5

Vemos que ninguna fila se anula, luego el rango es 5, los cinco vectores son linealmente independientes entre sí.

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