Transformada de Laplace

Introducción

  • Transformadas integrales; transformada de Laplace
  • Tablas de transformadas
  • Transformada inversa
  • Aplicación a la resolución de EDOs lineales de primer orden con coeficientes constantes
  • Aplicación a EDOs lineales de orden superior

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Transformadas integrales; transformada de Laplace

La transformada integral es una aplicación entre funciones, que hace corresponder a cada f(x) otra aplicación F(z) obtenida calculando la siguiente integral:

T\left(f\left(x\right)\right)=\int_DN(z,t)\cdot f\left(t\right)\operatorname dt=F\left(z\right)

La función N(z,t) se denomina núcleo de la transformada; hay por tanto tantas aplicaciones transformadas como posibles funciones N(z,t).

Ejemplo 1: La transformada de Hilbert, útil en procesamiento de señales, emplea la siguiente integral:

T\left(f\left(x\right)\right)=\int_D\frac1{\mathrm\pi}\frac1{z-t}\cdot f\left(t\right)\operatorname dt=F\left(z\right)

La idea detrás de las transformadas integrales es, en un problema dado convertir una función en otra más simple. Para el caso de las ecuaciones diferenciales tenemos la transformada de Laplace:

Definición: La transformada de Laplace es una transformada integral que usa como núcleo de la transformación la función e^{-zt}, resultando la integral:

L\left(f\left(x\right)\right)=\int_De^{-zt}\cdot f\left(t\right)\operatorname dt=F\left(z\right)

El dominio de integración es \left[0,\infty\right], tenemos pues una integral impropia.

Ejemplo 2: La transformada de Laplace de la función f(x)=e^x es:

L\left(e^x\right)=\int_De^{-zt}\cdot e^t\operatorname dt=\int_0^\infty e^{\left(1-z\right)t}\operatorname dt=\left[\frac{e^{\left(1-z\right)t}}{1-z}\right]_0^\infty

esta integral impropia se resulve por paso al límite:

\lim_{b\rightarrow\infty}\left[\frac{e^{\left(1-z\right)t}}{1-z}\right]_0^b=\frac1{1-z}\left[\lim_{b\rightarrow\infty}e^{\left(1-z\right)b}-1\right]=-\frac1{1-z}\text{si }z>1

Así pues L\left(e^x\right)=\frac1{z-1} siempre que z>1. Esto es la regla común: al calcular la transformada habitualmente tendremos que restringir los valores de la variable independiente z para que la integral exista.

Ejemplo 3: La transformada de la función y=Cx^n nos lleva a la integral L(Cx^n)=\int_0^\infty e^{-zt}Ct^n\operatorname dt que podemos hacer por partes:

\begin{array}{l}L(Cx^n)=\int_0^\infty e^{-zt}Ct^n\operatorname dt=C\left[-t^n\frac1ze^{-zt}\right]_0^\infty+C\int_0^\infty\frac1ze^{-zt}nt^{n-1}\operatorname dt\\u=t^n,\;\operatorname du=nt^{n-1},\operatorname dv=e^{-zt},v=-\frac1ze^{-zt}\end{array}

El primer miembro es cero, y para el segundo miembro volviendo a hacer por partes la integral \frac nz\int_0^\infty e^{-zt}t^{n-1}\operatorname dt reducimos el orden del exponente de t; reiterando el procedimiento llegamos a la integral \frac{n!}{z^n}\int_0^\infty e^{-zt}\operatorname dt=\frac{n!}{z^n}\left[-\frac1ze^{-zt}\right]_0^\infty=\frac{n!}{z^{n+1}}. Por tanto nos queda L(Cx^n)=C\frac{n!}{z^{n+1}}.

Tablas de transformadas

En la práctica no suele ser necesario calcular integrales para obtener la transformada de Laplace, sino que se recurre a tablas de transformadas y a la linealidad de la transformada:

Teorema 1la transformada de Laplace es una operación lineal; sean f,g dos funciones y A,B dos constantes, entonces L(Af+Bg)=AL(f)+BL(g).

Ejemplo 4: en el ejemplo 3 hemos visto que L(Cx^n)=C\frac{n!}{z^{n+1}}. Aplicando el teorema 1 tenemos la transformada de un polinomio:

L(C_nx^n+C_{n-1}x^{n-1}+\cdots+C_1x^1+C_0)=C_n\frac{n!}{z^{n+1}}+C_{n-1}\frac{\left(n-1\right)!}{z^n}+\cdots+C_1\frac1{z^2}+C_0\frac1z.

Con lo visto hasta aquí podemos formar una primera tabla de transformadas:

Tabla de transformadas de Laplace: versión 1.0

  1. L(C_nx^n)=C_n\frac{n!}{z^{n+1}}
  2. L(e^{ax})=\frac1{z-a}
  3. L(\sin\left(ax\right))=\frac a{z^2+a^2}\;\text{para }z>0
  4. L(\cos\left(ax\right))=\frac z{z^2+a^2}\;\text{para }z>0

Transformada inversa

Para las aplicaciones es importante poder “deshacer” la transformación de Laplace, esto es, si tenemos una F tal que F(z)=L(f(x)) ser capaces de encontrar la función f(x) realizando la transformada inversa: f(x)=L^{-1}(F(z)). ¿Puede hacerse? Recordemos que la inversa de una función solo existe si esta función no es exhaustiva (ver por ejemplo el post Funciones). el siguiente teorema nos dice que esto es así para la transformada de Laplace:

Teorema 2: Si dos funciones f, g con transformadas F, G verifican que F(z) = G(z), entonces f(x)=g(x) siempre que f, g sean continuas. Dicho de otro modo: la transformada de Laplace es una aplicación inyectiva, y por tanto admite inversa.

Para las aplicaciones a las EDO veremos a continuación que se utiliza la siguiente técnica.

  1. A la ecuación original \psi(x,y',y'',...,y^{(n})=0 se la transforma, obteniendo otra ecuación que no tiene derivadas, sólo contiene la nueva variable z y la transformada de la y: \varphi(z, F)=0
  2. De la anterior ecuación se despeja F, que es la transformada de y: F = \Psi(z)
  3. Se obtiene la función y aplicando la transformada inversa: y = \mathcal{L}^{-1}\left(\Psi\left(z\right)\right)

En el tercer paso se necesita saber obtener la transformada inversa de Laplace. Por este motivo ampliaremos la tabla de transformadas, y daremos algunas propiedades adicionales que necesitaremos.

Tabla de transformadas de Laplace: versión 2.0

  1. L(C_nx^n)=C_n\frac{n!}{z^{n+1}}
  2. L(e^{ax})=\frac1{z-a}
  3. L(\sin\left(ax\right))=\frac a{z^2+a^2}\;\text{para }z>0
  4. L(\cos\left(ax\right))=\frac z{z^2+a^2}\;\text{para }z>0
  5. L\left(xf\left(x\right)\right)=-\frac{\operatorname d{}}{\operatorname dz}F\left(z\right)
  6. L\left(x^nf\left(x\right)\right)=\left(-1\right)^n\frac{\operatorname d{}}{\operatorname dz^n}F\left(z\right)

Aplicación a la resolución de EDOs lineales con coeficientes constantes

Supongamos que tenemos que resolver una EDO lineal de primer orden ay'+by=f(x) con unas condiciones iniciales y(0)=y_0. Apliquemos la transformada a toda la ecuación: L\left(ay'+by\right)=L\left(f\left(x\right)\right)\Rightarrow aL\left(y'\right)+bL\left(y\right)=L\left(f\left(x\right)\right). Para calcular la transformada de la derivada usaremos la siguiente propiedad:

Teorema 3: Bajo ciertas condiciones de continuidad, derivabilidad y crecimiento acotado, se cumple que L(f'(x))=z·L(f(x)) - f(0) = sF(z) - f(0)

Por tanto:

\begin{array}{l}a\left(zL(y)-y(0)\right)+bL\left(y\right)=L\left(f\left(x\right)\right);\\\left(az+b\right)L\left(y\right)=L\left(f\left(x\right)\right);\\L\left(y\right)=\frac{L\left(f\left(x\right)\right)}{az+b};\\y=L^{-1}\left(\frac{L\left(f\left(x\right)\right)}{az+b}\right)\\\end{array}.

Ejemplo 5: En un circuito eléctrico que contiene una resistencia R y una inductancia L (abreviadamente, circuito RL) la intensidad de corriente (que es una función del tiempo t) generada al aplicar una tensión V constante viene dada por la ecuación  RI=V-LI'. Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden que está resuelta en el post Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, ejemplo 5. Supongamos ahora que tenemos la condición inicial I(0)=I_0. Transformamos la ecuación:

RI=V-LI'\Leftrightarrow\mathcal{L}\left(RI\right)=\mathcal{L}\left(V\right)-\mathcal{L}\left(LI'\ri ght)\Leftrightarrow R\mathcal{L}\left(I\right)=\mathcal{L}\left(V\right)-L\mathcal{L}\left(I'\right)

Hemos indicado la transformación de Laplace por el símbolo \mathcal{L} para no confundirlo con la letra L de la inductancia. Ahora aplicamos la propiedad de la transformada de la derivada y reordenamos:

\begin{array}{l}R\mathcal{L}\left(I\right)=\mathcal{L}\left(V\right)-L\mathcal{L}\left(I'\right)\Leftrightarrow R\mathcal{L}\left(I\right)=\mathcal{L}\left(V\right)-L\left[z\mathcal{L}\left(I\right)-I\left(0\right)\right];\\\mathcal{L}\left(I\right)\left[R+Lz\right]=LI\left(0\right)+\mathcal{L}\left(V\right);\\\mathcal{L}\left(I\right)=\frac{LI\left(0\right)+\mathcal{L}\left(V\right)}{R+Lz}\end{array}

Consideremos ahora el segundo miembro como una fracción racional en la variable z, y tengamos en cuenta que como V es constante será \mathcal{L}\left(V\right)=\frac Vz  (tabla de transformadas, línea 1). Descomponemos en suma de fracciones simples:

\begin{array}{l}\frac{LI\left(0\right)+\mathcal{L}\left(V\right)}{R+Lz}=\frac{LI\left(0\right)+V/z}{R+Lz}=\frac{zLI\left(0\right)+V}{z\left(R+Lz\right)}=\frac Az+\frac B{R+Lz}\Rightarrow\\\frac{AR+ALz+Bz}{z\left(R+Lz\right)}=\frac{zLI\left(0\right)+V}{z\left(R+Lz\right)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}AR=V\Leftrightarrow A=V/R\\AL+B=LI\left(0\right)\Leftrightarrow B=L\left(I\left(0\right)-\frac VR\right)\end{array}\right.\end{array}

La transformada inversa de la primera fracción simple es \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{V/R}z\right)=\frac VR (aplicamos la tabla de transformadas, línea 1). La transformada inversa de la segunda fracción simple es \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{L\left(I\left(0\right)-\frac VR\right)}{R+Lz}\right)=L\left(I\left(0\right)-\frac VR\right)\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1/L}{z-\left(-R/L\right)}\right)=\left(I\left(0\right)-\frac VR\right)e^{-\frac RLt}, donde hemos aplicado la tabla de transformadas, línea 2, y llamamos a la variable independiente t en vez de x. Nos queda:

I\left(t\right)=\frac VR+\left(I\left(0\right)-\frac VR\right)e^{-\frac RLt}

Para el caso I(0)=0 obtenemos I\left(t\right)=\frac VR+\left(-\frac VR\right)e^{-\frac RLt}=\frac VR\left(1-e^{-\frac RLt}\right) que coincide con la solución dada en Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, ejemplo 5.

Aplicación a EDOs lineales de orden superior

Para derivadas de orden superior el procedimiento es el mismo, aplicando la siguiente propiedad:

Teorema 4: la transformada de la derivada n-ésima viene dada por \mathcal{L}\left(f^{(n}\right)=z^n\mathcal{L}\left(f\right)-z^{n-1}f(0)-z^{n-2}f'(0)-\dots-f^{(n-1}\left(0\right)

Ejemplo 6: Resolver  la ecuación de las oscilaciones forzadas no amortiguadas de una masa conecatada con un resorte x''+\omega_0^2x=F\sin\left(\omega t\right) con las condiciones iniciales x(0)=x'(0)=0.

Transformamos la ecuación usando la transformada de la función seno y de la derivada segunda:

\begin{array}{l}\mathcal{L}\left(x''+\omega_0^2x\right)=\mathcal{L}\left(F\sin\left(\omega t\right)\right)\Leftrightarrow\\z^2\mathcal{L}\left(x\right)+z\cancel{x'(0)}+\cancel{x(0)}+\omega_0^2\mathcal{L}\left(x\right)=F\mathcal{L}\left(\sin\left(\omega t\right)\right)\Leftrightarrow\\\mathcal{L}\left(x\right)\left[z^2+\omega_0^2\right]=F\mathcal{L}\left(\sin\left(\omega t\right)\right)\Leftrightarrow\\\mathcal{L}\left(x\right)=\frac{F\mathcal{L}\left(\sin\left(\omega t\right)\right)}{z^2+\omega_0^2}=\frac{F{\displaystyle\frac\omega{z^2+\omega^2}}}{z^2+\omega_0^2}\Leftrightarrow\\x\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F\omega}{\left(z^2+\omega_0^2\right)\left(z^2+\omega^2\right)}\right]\end{array}

Para encontrar la transformada inversa descomponemos la fracción en suma de fracciones simples:

\begin{array}{l}\frac1{\left(z^2+\omega_0^2\right)\left(z^2+\omega^2\right)}=\frac A{z^2+\omega_0^2}+\frac B{z^2+\omega^2}=\frac{\left(A+B\right)z^2+A\omega^2+B\omega_0^2}{\left(z^2+\omega_0^2\right)\left(z^2+\omega^2\right)}\Leftrightarrow\\B=-A;\;A\left(\omega^2-\omega_0^2\right)=1\Rightarrow A=\frac1{\omega^2-\omega_0^2}\end{array}

entonces, usando la tabla de transformadas, tenemos que el desplazamiento x(t) es:

\begin{array}{l}x\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F\omega}{\left(z^2+\omega_0^2\right)\left(z^2+\omega^2\right)}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F\omega}{\omega^2-\omega_0^2}\left(\frac1{z^2+\omega_0^2}-\frac1{z^2+\omega^2}\right)\right]=\\\frac{F\omega}{\omega^2-\omega_0^2}\left[\mathcal{L}^{-1}\left(\frac1{z^2+\omega_0^2}\right)-\mathcal{L}^{-1}\left(\frac1{z^2+\omega^2}\right)\right]=\\\frac{F\omega}{\omega^2-\omega_0^2}\left[\frac1{\omega_0}\sin\left(\omega_0t\right)-\frac1\omega\sin\left(\omega t\right)\right]\end{array}

 

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