Aplicaciones de la integral de Riemann

De entre las muchas aplicaciones de la integral (cálculo de áreas y volúmenes, de longitudes de curvas, desarrollos en serie de Fourier, transformadas integrales, ecuaciones integrales, etc.) sólo veremos aquí unas pocas, ajustadas al nivel de estos apuntes: primer curso de ingeniería. Concretamente se tratan:

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Cálculo de áreas planas

Si calculamos áreas habrá que tener en cuenta que debemos tomar los valores absolutos. Ejemplo: el área delimitada por f(x)=sin(x) entre (0,2\mathrm\pi) no puede calcularse como \int_0^{2\mathrm\pi}\sin\left(x\right)\operatorname{d}x ya que esta integral vale cero, debido a que la función sin(x) cambia de signo periódicamente.

Para calcular áreas hemos de tener en cuenta los cambios de signo de la función

El valor real del área será A=\int_0^{2\mathrm\pi}\left|\sin\left(x\right)\right|\operatorname{d}x, o bien A=\int_0^\mathrm\pi\sin\left(x\right)\operatorname{d}x+\int_\mathrm\pi^{2\mathrm\pi}-\sin\left(x\right)\operatorname{d}x=2+2=4.

Para hallar el área en una región entre dos gráficas de funciones y=f(x), y=g(x), hallamos el valor absoluto de la diferencia :

\int_a^b\left|\left(f-g\right)\right|\operatorname{d}x=\left\{\begin{array}{l}\int_a^b\left(f-g\right)\operatorname{d}x\;\text{si }f\geq g\;\text{en }\left(a,b\right)\\\int_a^b\left(g-f\right)\operatorname{d}x\;\text{si }g\geq f\;\text{en }\left(a,b\right)\end{array}\right.

En ocasiones, el valor absoluto en el intervalo de integración (a,b) habrá de calcularse por subintervalos, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1: calcular el área A de la región comprendida entre las gráficas de las funciones y=\sin(x), y=\cos(x+1) y el intervalo x\in\left(1,4\right).

Cálculo del área comprendida entre las gráficas de dos funciones

Cálculo del área comprendida entre las gráficas de dos funciones

\begin{array}{l}A=\int_1^4\left|\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x+1\right)\right)\right|\operatorname{d}x=\begin{array}{l}\int_1^{x_0}\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x+1\right)\right)\operatorname{d}x+\end{array}\int_{x_0}^4\left(\cos\left(x+1\right)-\sin\left(x\right)\right)\end{array},

donde x_0 es el punto de intersección de las dos gráficas, situado dentro del intervalo de integración (1,4); en ese punto, se invierte la diferencia de funciones. Integrando: \int\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x+1\right)\right)=-\cos\left(x\right)-\sin\left(x+1\right). Entonces:

\begin{array}{l}A=\left[-\cos\left(x\right)-\sin\left(x+1\right)\right]_1^{x_0}+\left[\cos\left(x\right)+\sin\left(x+1\right)\right]_{x_0}^4\\=\left[-\cos\left(x_0\right)-\sin\left(x_0+1\right)+\cos\left(1\right)+\sin\left(2\right)\right]+\left[\cos\left(4\right)+\sin\left(5\right)-\cos\left(x_0\right)-\sin\left(x_0+1\right)\right]\\=-2\cos\left(x_0\right)-2\sin\left(x_0+1\right)+\cos\left(1\right)+\sin\left(2\right)+\cos\left(4\right)+\sin\left(5\right)\\=-2\cos\left(x_0\right)-2\sin\left(x_0+1\right)-0.1630.\end{array}

Para hallar el punto x_0 planteamos la ecuación \sin\left(x\right)=\cos\left(x+1\right); usando la fórmula de la suma de ángulos: \cos\left(x+1\right)=\cos\left(x\right)\cos(1)-\sin\left(x\right)\sin\left(1\right), obtenemos:

\begin{array}{l}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)\cos(1)-\sin\left(x\right)\sin\left(1\right)\Leftrightarrow\\\sin\left(x\right)\left[1+\sin\left(1\right)\right]=\cos\left(x\right)\cos(1)\Leftrightarrow\\\tan\left(x\right)=\frac{\cos(1)}{1+\sin\left(1\right)}\Leftrightarrow x=\tan^{-1}\left(\frac{\cos(1)}{1+\sin\left(1\right)}\right)\approx0.285\end{array}.

El conjunto completo de soluciones de la ecuación se encuentra sumando k\pi, o sea: x=0.285+k\mathrm\pi,\;\mathrm k=0,1,2,\dots. De todas estas soluciones, la única que cae dentro del intervalo de integración (1,4) es x=0.285+\mathrm\pi\approx3.427, este es el valor x_0 buscado. Sustituimos: A=-2\cos\left(3.427\right)-2\sin\left(4.427\right)-0.1630=\boxed{3.675}.

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Cálculo de la longitud de curvas

Dada una función derivable y=f(x) y con derivada continua, queremos calcular la longitud del trazado s de su gráfica entre dos puntos (a,b). Procediendo como hicimos con las áreas en la integral de Riemann, dividimos el intervalo en n subintervalos; para cada uno de ellos, aproximamos el segmento de arco \triangle s por la hipotenusa del triángulo de lados \triangle x,\;\triangle y:

Aproximación a la longitud de un arco de curva

Aproximación a la longitud de un arco de curva

\triangle s=\sqrt{\left(\triangle x\right)^2+\;\left(\triangle y\right)^2}.

Operando:

\begin{array}{l}\triangle s=\sqrt{\left(\triangle x\right)^2+\;\left(\triangle y\right)^2}=\sqrt{\left(\left(\triangle x\right)^2+\;\left(\triangle y\right)^2\right)\frac{\left(\triangle x\right)^2}{\left(\triangle x\right)^2}}\\=\sqrt{1+\frac{\;\left(\triangle y\right)^2}{\left(\triangle x\right)^2}}\triangle x\end{array}.

La longitud total del arco será aproximadamente la suma de los n segmentos de arco: s\approx\sum_{k=0}^n\triangle s_k=\sum_{k=0}^n\sqrt{1+\frac{\;\left(\triangle y_k\right)^2}{\left(\triangle x_k\right)^2}}\triangle x_k. Pasando al límite: s=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\sqrt{1+\frac{\;\left(\triangle y_k\right)^2}{\left(\triangle x_k\right)^2}}\triangle x_k,  cada intervalo tendrá una longitud \triangle x_k\rightarrow0. Recordando que \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle x}{\triangle y}=y'(x) obtenemos

s=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\sqrt{1+\left(y'\left(x_k\right)\right)^2}\triangle x_k=\int_a^b\sqrt{1+\left(y'\left(x\right)\right)^2}\operatorname{d}x.

En el último paso igualamos el límite de la suma a una integral de Riemann, pues hemos supuesto que la derivada es continua, y por tanto \sqrt{1+\left(y'\left(x\right)\right)^2} también será continua, e integrable.

Ejemplo 2: cuando un cable flexible se tiende entre dos extremos, toma la forma conocida como curva catenaria, cuya expresión analítica es y=a·\cosh(x/a), donde a es la distancia entre el origen de coordenadas y la curva (o sea la altura mínima de la catenaria respecto al suelo):

Curva catenaria (en negro) y parábola (en rojo)

Curva catenaria (en negro) y parábola (en rojo)

Hallar la longitud de cable tendida entre dos postes sabiendo que la altura mínima es de 6 metros, y que la distancia entre postes es de 15 metros.

\begin{array}{l}y'=D_x\left[a\cdot \cosh\left(\frac xa\right)\right]=\sinh\left(\frac xa\right)\Leftrightarrow\\\sqrt{1+\left(y'\left(x\right)\right)^2}=\sqrt{1+\left(\sinh\left(\frac xa\right)\right)^2}=\sqrt{\cosh^2\left(\frac xa\right)}=\cosh\left(\frac xa\right).\end{array}

La longitud del arco viene dada por

s=\int_{-15/2}^{15/2}\cosh\left(\frac x6\right)\operatorname{d}x=6\left[\sinh\left(\frac x6\right)\right]_{-15/2}^{15/2}=19.2

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Integrales impropias

En las aplicaciones prácticas a menudo encontramos integrales definidas en intervalos que no son del tipo (a,b), o bien que toman valores infinitos en algún punto (no estan acotadas en el intervalo de integración). Por ejemplo, la transformada de Laplace muy usada en teoría de circuitos se basa en una integral impropia. La definición dada de integral de Riemann no puede usarse con este tipo de funciones e intervalos, pero puede generalizarse para cubrir dos casos:

Definición 1: Si el dominio de integración (a,b) contiene puntos donde f(c)=\pm\infty,\;c\in\left(a,b\right), denominamos a \int_a^bf\operatorname{d}x integral impropia de segunda especie.

Definición 2: Si el dominio de integración es una semirrecta (-\infty,b) o (a,\infty) denominamos a \int_a^bf\operatorname{d}x integral impropia de primera especie.

Ejemplo 3: La integral \int_0^1\frac1{1-x}\operatorname{d}x es impropia de segunda especie, pues \lim_{x\rightarrow1}\frac1{1-x}=\pm\infty.

Cálculo de integrales impropias de segunda especie

Supongamos que \lim_{x\rightarrow b}f\left(x\right)=\infty. Definimos:

L=\int_a^bf\operatorname{d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_a^{b-\varepsilon}f\operatorname{d}x.

  •  Si este límite L existe y es finito, diremos que la integral de segunda especie es convergente. De forma similar, si \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\infty definimos \int_a^bf\operatorname{d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{a+\varepsilon}^bf\operatorname{d}x, que puede existir o no.
  • En el caso de que f(x) tenga un número finito de puntos c_1,c_2,\dots,c_n\in\left(a,b\right) tales que \lim_{x\rightarrow c_i}f\left(x\right)=\infty para todos ellos, entonces aplicamos la propiedad de la partición del intervalo de integración: \int_a^bf\operatorname{d}x=\int_a^{c_1}f\operatorname{d}x+\int_{c_1}^{c_2}f\operatorname{d}x+\dots+\int_{c_{n-1}}^{c_n}f\operatorname{d}x+\int_{c_n}^bf\operatorname{d}x.
  • Por último, si f(x) toma valores infinitos en ambos extremos del intervalo de integración, entonces escogemos un punto c\in\left(a,b\right) arbitrario tal que f(c)\neq0 y aplicamos \int_a^bf\operatorname{d}x=\int_a^cf\operatorname{d}x+\int_c^bf\operatorname{d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{a+\varepsilon}^cf\operatorname{d}x+\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_c^{b-\varepsilon}f\operatorname{d}x.

Ejemplo 4: La integral impropia de segunda especie \int_0^1\frac1{1-x}\operatorname{d}x se calcula como

\begin{array}{l}\int_0^1\frac1{1-x}\operatorname{d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_0^{1-\varepsilon}\frac1{1-x}\operatorname{d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[-\ln\left(1-x\right)\right]_0^{1-\varepsilon}=\\\lim_{\varepsilon\rightarrow0}-\ln\left(\varepsilon\right)+\ln\left(1\right)=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\ln\left(\frac1\varepsilon\right)=\infty\end{array},

vemos que no es convergente.

Criterio de convergencia de integrales impropias de segunda especie

Proposición 1:

\int_a^b\frac1{\left(b-x\right)^n}\operatorname{d}x\;\text{es }\left\{\begin{array}{l}\text{convergente para }n<1\\\text{divergente para }n\geq1\end{array}\right.

Proposición 2:

\int_a^b\frac1{\left(x-a\right)^n}\operatorname{d}x\;\text{es }\left\{\begin{array}{l}\text{convergente para }n<1\\\text{divergente para }n\geq1\end{array}\right.

Estas integrales sirven para estudiar la convergencia de otras más generales, comparándolas.

Ejemplo 5: La integral I=\int_1^2\frac1{x\sqrt[3]{x^2-4x+4}}  es impropia de 2ª especie  pues en x=2 el denominador vale cero y la función toma valores no acotados. Sabiendo que x=2 es una raíz de x^2-4x+4, dividimos este polinomio por (x-2) para simplificarlo; resulta x^2-4x+4=\left(x-2\right)^2\Leftrightarrow\int_1^2\frac1{x\sqrt[3]{x^2-4x+4}}=\int_1^2\frac1{x\left(x-2\right)^{2/3}}. Usamos ahora la proposición 2:

\int_1^2\frac1{x\left(x-2\right)^{2/3}}<\int_1^2\frac1{\left(x-2\right)^{2/3}}=\int_1^2\frac1{\left(2-x\right)^{2/3}}=\int_a^b\frac1{\left(x-b\right)^n},

pues (a-b)^2=(b-a)^2\Leftrightarrow\sqrt[3]{(a-b)^2}=\sqrt[3]{(b-a)^2}; la última integral es convergente, pues n=2/3<1, luego I también es convergente. Calcular esta integral no es inmediato: haciendo el cambio de variable x-2=t^3 el integrando se simplifica: \frac1{x\left(x-2\right)^{2/3}}\operatorname{d}x=\frac1{\left(t^3+2\right)t^2}3t^2\operatorname{d}t=3\frac1{t^3+2}. Los límites de integración también quedan afectados por el cambio de variable:

\begin{array}{l}x=1\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{1-2}=\sqrt[3]{-1}=-1;\;\\x=2\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{2-2}=0.\end{array}

La integral queda 3\int_{-1}^0\frac1{t^3+2}\operatorname{d}t\approx1.77, omitimos el cálculo de esta última integral (en los ejemplos de Problemas resueltos de integrales indefinidas se resuelven integrales parecidas). Observad que, con el cambio de variable, la integral ha dejado de ser impropia.

Cálculo de integrales impropias de primera especie

Definimos: \int_a^\infty f=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^bf,\;\int_{-\infty}^bf=\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_a^bf. Si estos límites existen decimos que la integral converge.

Ejemplo 6: \int_0^\infty e^{-x}=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^be^{-x}=\lim_{b\rightarrow\infty}\left[-e^{-x}\right]_0^b=\lim_{b\rightarrow\infty}\left[-e^{-b}+1\right]=1.

Criterio de convergencia de integrales impropias de primera especie

Proposición 3: las integrales impropias de primera especie \int_a^\infty\frac1{x^n},\int_{-\infty}^b\frac1{x^n} son convergentes si y sólo si n>1.

Ejemplo 7: \int_1^\infty\frac1{\sqrt[3]{x^2}}=\int_1^\infty\frac1{x^{2/3}} es divergente, pues 2/3<1.

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Integrales de Euler: funciones \Gamma\;\text{ y }\;\beta

Definición 3: La función Gamma se
define como \Gamma\left(x\right)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\operatorname{d}t para x>0

Esta integral impropia es convergente para x>0, pero no puede resolverse analíticamente, o sea, no existe la función primitiva F(t) tal que F'(t)=t^{x-1}e^{-t}. En cambio, tiene numerosas aplicaciones prácticas, una de ellas es la de generalizar la función factorial,  que sólo está definida para enteros, n!=n·(n-1)·\dots·2·1, a números reales.

Proposición 4: La función Gamma tiene las siguientes propiedades

1) \Gamma\left(x+1\right)=x! si x es un entero positivo

2) \Gamma\left(x+1\right)=x\Gamma\left(x\right) para todo x>0

3) Utilizando repetidamente la segunda propiedad se deduce la siguiente expresión: \Gamma\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\dots\left(x-n\right)\Gamma\left(1+r\right), donde n verifica que n+1 es el mayor entero menor que x, y 0\leq r\le1. Con esta expresión, conociendo los valores de \Gamma\left(x\right) en el intervalo [1,2), podemos calcular \Gamma\left(x\right) para cualquier x:

x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
 \Gamma\left(x\right) 1.000 0.951 0.918 0.897 0.887 0.886 0.894 0.909 0.931 0.962

Ejemplo 8: Calculemos \Gamma\left(3.1\right), el mayor entero n+1 menor que 3.1 es 2, luego n=2 y los términos del desarrollo son  \Gamma\left(3.1\right)=\left(3.1-1\right)\left(3.1-2\right)\Gamma\left(3.1-2\right)=2.1\cdot1.1\cdot\Gamma\left(1.1\right)=2.1\cdot1.1\cdot0.951=2.197.

 Definición 5: Dados p, q>0, definimos la función Beta(p,q): \beta\left(p,q\right)=\int_0^1x^{p-1}\left(1-x\right)^{q-1}. Su utilidad viene dada por sus propiedades.

Proposición 5: La función Beta tiene las siguientes propiedades

1. \beta\left(p,q\right)=\frac{\Gamma\left(p\right)\Gamma\left(q\right)}{\Gamma\left(p+q\right)}

2. \beta\left(p,q\right)=\beta\left(q,p\right)

3. \beta\left(p,q\right)=2\int_0^{\pi/2}\left(\sin\left(x\right)\right)^{2p-1}\left(\cos\left(x\right)\right)^{2q-1}\operatorname{d}x

La primera propiedad es útil para resolver ciertas integrales exponenciales que suelen presentarse en Cálculo de probabilidades y Estadística, mientras que la tercera es útil para resolver ciertas integrales trigonométricas.

Ejemplo 9: Calcular \int_0^{\pi/2}\left(\sin\left(x\right)\right)^{25}\left(\cos\left(x\right)\right)^{30}\operatorname{d}x. Usando la propiedad 3: 25=2p-1\Leftrightarrow p=13;\;30=2q-1\Leftrightarrow q=31/2, entonces: \int_0^{\pi/2}\left(\sin\left(x\right)\right)^{25}\left(\cos\left(x\right)\right)^{30}\operatorname{d}x=\frac122\int_0^{\pi/2}\left(\sin\left(x\right)\right)^{2p-1}\left(\cos\left(x\right)\right)^{2q-1}=\frac12\beta\left(13,15.5\right). Usemos ahora la propiedad 1: \frac12\beta\left(13,15.5\right)=\frac{\Gamma\left(13\right)\Gamma\left(15.5\right)}{\Gamma\left(13+15.5\right)}. Calculamos cada uno de estos valores por separado:

\begin{array}{l}\Gamma\left(13\right)=12!\\\Gamma\left(15.5\right)=14.5\cdot13.5\cdot\dots\cdot2.5\cdot\Gamma\left(1.5\right)\\\Gamma\left(13+15.5\right)=\Gamma\left(28.5\right)=27.5\cdot26.5\cdot\dots\cdot2.5\cdot\Gamma\left(1.5\right)\\\end{array},

por tanto:

\begin{array}{l}\int_0^{\pi/2}\left(\sin\left(x\right)\right)^{25}\left(\cos\left(x\right)\right)^{30}\operatorname{d}x=\frac{\Gamma\left(13\right)\Gamma\left(15.5\right)}{\Gamma\left(13+15.5\right)}=\\\frac{\left(12!\right)\left(14.5\cdot13.5\cdot\dots\cdot2.5\cdot\Gamma\left(1.5\right)\right)}{27.5\cdot26.5\cdot\dots\cdot2.5\cdot\Gamma\left(1.5\right)}=\frac{12!}{27.5\cdot26.5\cdot\dots\cdot15.5}\approx2.7961\cdot10^{-9}\end{array}.

El último resultado se ha obtenido con una hoja de cálculo.

Ejemplo 10: Calcular \int_0^\infty e^{-x^2}\operatorname{d}x. Es una integral impropia que, además, no tiene solución analítica (no existe ninguna función conocida que sea su primitiva). Comparando con \Gamma\left(p\right)=\int_0^\infty t^{p-1}e^{-x}\operatorname{d}x, podemos ver que, si hacemos el cambio de variable x^2=t,\;2x\operatorname{d}x=\operatorname{d}t,\;\operatorname{d}x=\frac{\operatorname{d}t}{2x}=\frac{\operatorname{d}t}{2\sqrt t}=\frac12t^{-1/2}\operatorname{d}t, entonces la integral nos queda: \int_0^\infty\frac12t^{-1/2}e^{-t}\operatorname{d}x=\frac12\Gamma\left(\frac12\right).

Usando la propiedad 1 de la función Beta: \beta\left(\frac12,\frac12\right)=\frac{\Gamma\left(\frac12\right)\cdot\Gamma\left(\frac12\right)}{\Gamma\left(\frac12+\frac12\right)}=\frac{\left[\Gamma\left(\frac12\right)\right]^2}{\Gamma\left(1\right)}=\left[\Gamma\left(\frac12\right)\right]^2.

Ahora recordamos la propiedad 3:

\beta\left(\frac12,\frac12\right)=2\int_0^{\pi/2}\left(\sin\left(x\right)\right)^{2\frac12-1}\left(\cos\left(x\right)\right)^{2\frac12-1}\operatorname{d}x\;=2\int_0^{\pi/2}1\operatorname{d}x=2\frac{\mathrm\pi}2=\mathrm\pi

Nos queda: \beta\left(\frac12,\frac12\right)=\mathrm\pi=\left[\Gamma\left(\frac12\right)\right]^2\Leftrightarrow\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\mathrm\pi} y la integral pedida es: \int_0^\infty e^{-x^2}\operatorname{d}x=\frac12\Gamma\left(\frac12\right)=\frac12\sqrt{\mathrm\pi}.

separador2Teorema del valor medio: forma integral

En el post Aplicaciones de las derivadas -> Teoremas de valores intermedios se vieron  algunos teoremas relativos a la relación entre derivadas y  valores de la función en un intervalo. Vemos ahora la relación entre integración y valores de la función en un intervalo.

Definición 6: Si f(x) es integrable en [a,b], el valor medio promedio de la función en ese intervalo es \frac1{b-a}\int_a^bf\left(x\right).

Ejemplo 11: Calculemos el valor promedio de f(x)=\cos\left(x\right) en [0,2\pi/2], que es:

\frac1{\mathrm\pi-0}\int_0^{\mathrm\pi/2}\cos\left(x\right)=\frac1{\mathrm\pi/2}\left[\sin\left(x\right)\right]_0^{\mathrm\pi/2}=\frac1{\mathrm\pi/2}\left(\sin\left(\mathrm\pi/2\right)-\sin\left(0\right)\right)=\frac2{\mathrm\pi}\approx0.6366.

El valor promedio integral es una generalización a funciones integrables del concepto de media aritmética, de hecho el valor medio integral es el promedio de todos los infinitos valores f(x) correspondientes al intervalo [a,b]:

Ejemplo 12: Calcular el promedio de 10 valores de f(x)=\cos\left(x\right) tomados en el intervalo [0,2\pi/2] y compararlo con el resultado del ejemplo 9.

Con una hoja de cálculo formamos la siguiente tabla de valores:

taula_valors_sinus

Los valores de x se han obtenido mediante
x_k=\frac k9\frac{\mathrm\pi}2,\;k=0,1,\cdots,9\Leftrightarrow x_k=\left\{0,\frac19\frac{\mathrm\pi}2,\cdots,\frac89\frac{\mathrm\pi}2,\frac99\frac{\mathrm\pi}2\right\}. La suma de la fila sin(x) es 6.22, y el promedio de los valores es 6.22/10 = 0.62; comparando con el ejemplo anterior, hay una diferencia de una centésima. Aumentando el número n de valores de la tabla, la diferencia disminuiría, y en el límite n\rightarrow\infty no habría diferencia.

Teorema del valor medio integral: Si f(x) es continua en [a,b], entonces existirá un punto intermedio c\in\left[a,b\right] tal que f\left(c\right)=\frac1{b-a}\int_a^bf.

Ejemplo 13: En un estudio el salario de los ingenieros industriales en función de su edad ha resultado ser, aproximadamente, salario=-10000+12000\cdot edad^{3/7} en el intervalo de edades [22,60]. Calcular el salario medio y a que edad se percibe ese salario.

exemple11_aplic_integral

Calculamos el valor medio, llamando x a la variable independiente tiempo, e y a la variable dependiente salario:

\begin{array}{l}\overline y=\frac1{60-22}\int_{22}^{60}\left(-10000+12000\cdot x^{3/7}\right)=\frac1{38}\left[-10^4x+\frac{1.2\cdot10^4}{10/7}x^{10/7}\right]_{22}^{60}\\=\frac1{38}\left(-60\cdot10^4+0.84\cdot10^4\cdot60^{10/7}+22\cdot10^4-0.84\cdot10^4\cdot22^{10/7}\right)\\=\frac{10^4}{38}183.9=4.8\cdot10^4\end{array}.

Como la función es continua, según el teorema del valor medio existe un punto c\in\left[a,b\right] tal que f(c)=4.8\cdot10^4, lo planteamos:

\begin{array}{l}f\left(x\right)=-10000+12000\cdot x^{3/7}=4.8\cdot10^4\Leftrightarrow\\x=\left(\frac{4.8\cdot10^4+10^4}{1.2\cdot10^4}\right)^{7/3}=\left(\frac{4.8+1}{1.2}\right)^{7/3}=40.13\\\end{array},

a la edad de 40 años se està cobrando el salario medio segun este estudio.

separador2Bilbliografía

 

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Problemas resueltos de cálculo – Antiguo, económico y eficaz libro de problemas

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