Problemas resueltos de sucesiones y series de funciones

1. Estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones con término general $f_n\left(x\right)=\sin^n\left(x\right)\cos\left(x\right)$

Estudiamos primero el límite puntual para $n\rightarrow\infty$ . Hay que tener en cuenta al hacer el límite que la variable $x$ puede tomar cualquier valor en el dominio de la función. Recordando que la función $\sin\left(x\right)$ está acotada en el intervalo $[-1,1]$ , que para $x\neq k\mathrm\pi,\;k=0,1,2,\dots$ está acotada en el intervalo abierto $(-1,1)$ , y que $\lim_{n\rightarrow\infty}k^n=0\;$ siempre que $k\in\left(-1,1\right)\;$ obtenemos:

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sin^n\left(x\right)\cos\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0\;\text{si }x\neq k\mathrm\pi,\;k=0,1,2,\dots\\0\;\text{si }x=k\mathrm\pi,\;k=0,1,2,\dots\end{array}\right.$

ya que cuando $\sin\left(x\right)=1\Leftrightarrow\cos\left(x\right)=0\;$ . En la siguiente ilustración vemos las gráficas de tres términos: $f_1\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cos\left(x\right),\;f_3\left(x\right)=\sin^3\left(x\right)\cos\left(x\right),\;\;f_{20}\left(x\right)=\sin^{20}\left(x\right)\cos\left(x\right)$ , en negro, rojo y verde respectivamente, conforme aumenta el índice $n$ la función $f_n$ tiende a tomar valores menores:

Algunos términos de la sucesión funcional del problema

Luego $f_n(x)$ es puntualmente convergente a la función nula $f(x)=0$ . Veamos ahora la convergencia uniforme.

Criterio de convergencia uniforme de una sucesión $f_n(x)$

$f_n(x)$ converge uniformemente al límite puntual $f(x)$ siempre que se cumpla:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\text{=0}$ .

Lo aplicamos: ${\text{Sup}}_x\;\left|f_n\left(x\right)-f(x)\right|={\text{Sup}}_x\left|\sin^n\left(x\right)\cos\left(x\right)-0\right|{\text{=Sup}}_x\left|\sin^n\left(x\right)\cos\left(x\right)\right|$ . Para encontrar el máximo derivamos e igualamos a cero, el valor absoluto no nos preocupa pues las funciones $f_n(x)$ son simétricas respecto del eje de abscisas (ver figura anterior):

$\begin{array}{l}D_x\left(\sin^n\left(x\right)\cos\left(x\right)\right)=n\sin^{n-1}\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)-\sin^n\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)=0\Leftrightarrow\\\sin^{n-1}\left(x\right)\left[n\cdot\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right)\right]=0\Leftrightarrow\\\left\{\begin{array}{l}\sin^{n-1}\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=k\mathrm\pi,\;\mathrm k=0,1,2,\dots\\n\cdot\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right)=0\Leftrightarrow\sin^2\left(x\right)=n\cdot\cos^2\left(x\right)\end{array}\right.\end{array}$

El primer caso lo descartamos pues proporciona un mínimo no un máximo, ya que $\sin^{n-1}\left(x\right)=0\Leftrightarrow\sin\left(x\right)=0\Leftrightarrow f_n(x)=0$ . Para el segundo caso, usando la igualdad $\sin^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1$ y llamando $x_0$ al punto en el cual tenemos un máximo :

$\begin{array}{l}\sin^2\left(x_0\right)=n\cdot\cos^2\left(x_0\right)\Leftrightarrow1-\cos^2\left(x_0\right)=n\cdot\cos^2\left(x_0\right)\\\Leftrightarrow\sqrt{\frac1{\left(n+1\right)}}=\cos\left(x_0\right)\Leftrightarrow\sin\left(x_0\right)=\sqrt{1-\frac1{\left(n+1\right)}}=\sqrt{\frac1{n+1}};\\f_n\left(x_0\right)=\sin^n\left(x_0\right)\cos\left(x_0\right)=\left(\frac1{n+1}\right)^\frac n2\sqrt{\frac1{\left(n+1\right)}}.\end{array}$

Aplicamos el límite:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup }}_x\left|f_n\left(x\right)\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac1{n+1}\right)^\frac n2\sqrt{\frac1{\left(n+1\right)}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)/2}}=0.$

luego la sucesión converge uniformemente.

2. Estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones con término general $f_n\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\text{inf }\left(n,\frac1x\right)\text{ si }x>0\\0\;\text{si }x=0\end{array}\right.$ Estudiar también la convergencia uniforme en el intervalo restringido $(0,1]$ .

Para valores pequeños de $x$ la fracción $1/x$ toma valores grandes, y el $\text{inf}\left(n,\frac1x\right)=n$ , mientras que para valores grandes sucede lo contrario, $\text{inf}\left(n,\frac1x\right)=1/x$ . En la siguiente imagen tenemos la gráfica de $f_1(x)$ (en el punto $x=0$ no se muestra la imagen, que es cero):

El punto de transición entre los dos valores de $\text{inf}\left(n,\frac1x\right)$ puede encontrarse fácilmente: $n=1/x\Leftrightarrow x=1/n$ ; en el punto $x_0=1/n$ tenemos $\text{inf}\left(n,\frac1x\right)=n=\frac1x$ , y podemos entonces reescribir la definición de la función:

$f_n\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac1x\;\text{si }x>\frac1n\\n\;\text{si }0<x\leq\frac1n\\0\;\text{si }x=0\end{array}\right.$

Es una función continua excepto en el origen, pues calculando los límites laterales en $x_0=1/n$ , ambos coinciden entre sí, y con el valor de la función en ese punto:

$\lim_{x\rightarrow\left(1/n\right)^-}f_n\left(x\right)=n$

$\lim_{x\rightarrow\left(1/n\right)^+}f_n\left(x\right)=\frac1{1/n}=n.$

La función límite puntual es:

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac1x\;\text{si }x>\frac1\infty=0\Leftrightarrow\frac1x\;\;\text{si }x>0\\\infty\;\text{si }0<x\leq\frac1\infty\\0\;\text{si }x=0\end{array}\right.$

La segunda rama queda anulada por la tercera, pues $f_n(0)=0$ para todo n, independientemente del límite. Nos queda pues la función límite puntual:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac1x\;\;\text{si }x>0\\0\;\text{si }x=0\end{array}\right.$

Esta función es discontinua en $x=0$ , luego la sucesión no puede ser uniformemente convergente, pues la convergencia uniforme implica la continuidad. Si restringimos, como nos dice el enunciado, el estudio al intervalo $(0,1]$ , tendremos que evaluar el límite

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\text{=0}$

Como la función está definida en ramas, hacemos el límite para cada una. Para $0<x<1/n$ es: $\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|n-\frac1x\right|\text{=}\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|n-\frac1{0^+}\right|=\infty,$ pues cerca de $x=0$ el valor $1/x$ se hace arbitrariamente grande, así pues tampoco tenemos convergencia uniforme en el intervalo $(0,1]$ .

3. Estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones con término general $f_n\left(x\right)=e^x/\left(e^{nx}-1\right)$ en el intervalo $[0.5,5]$ .

En la imagen vemos algunos términos de la sucesión.

Para el límite puntual, teniendo en cuenta que $x\in\left[0.5,5\right]$ , tenemos:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^x}{e^{nx}-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^x}{e^{nx}}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{e^{\left(n-1\right)x}}=\frac1\infty=0,$

luego $f(x)=0$ es el límite puntual. Para la convergencia uniforme:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|\frac{e^x}{e^{nx}-1}\right|$

Las funciones $f_n(x)$ son continuas en $\left[0.5,5\right]$ , que es un intervalo cerrado, luego ha de existir un máximo y un mínimo absolutos (Teorema de Weierstrass, ver Funciones continuas) y por otra parte no tienen extremos relativos, pues:

$\begin{array}{l}D_x\left(\frac{e^x}{e^{nx}-1}\right)=\frac{e^x\left(e^{nx}-1\right)-e^x\cdot ne^{nx}}{\left(e^{nx}-1\right)^2}=0\Leftrightarrow\\e^x\left[e^{nx}-1-ne^{nx}\right]=0\Leftrightarrow e^{nx}\left(1-n\right)=1\Leftrightarrow x=\frac1n\ln\left(\frac1{1-n}\right)\end{array}$

y para $n\geq1$ no existe el valor $\ln\left(\frac1{1-n}\right)$ , luego el máximo ha de estar en los extremos del intervalo de definición $\left[0.5,5\right]$ . Calculando:

$\begin{array}{l}\frac{e^{0.5}}{e^{n\cdot0.5}-1}\approx\frac{1.649}{1.649^n-1}\\\frac{e^5}{e^{n\cdot5}-1}\approx\frac{148.4}{148.4^n-1}\approx\frac{148.4}{148.4^n}=\frac1{148.4^{n-1}}\end{array}$

Variando n obtenemos sucesiones de valores en los extremos:

$\begin{array}{l}\left(\frac{1.649}{1.649^n-1}\right)=\left\{2.541,0.9592,0.4733,0.2579,\dots\right\}\\\left(\frac1{148.4^{n-1}}\right)=\left\{1,6.74\cdot10^{-3},4.54\cdot10^{-5},3.06\cdot10^{-7},\cdots\right\}\end{array}$

El máximo absoluto está en el extremo inferior del intervalo; como las funciones $f_n(x)$ toman todas valores positivos (dejo como ejercicio para el lector comprobarlo) podemos quitar el valor absoluto en el límite:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|\frac{e^x}{e^{nx}-1}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{0.5}}{e^{n\cdot0.5}-1}=\frac{e^{0.5}}{e^\infty-1}=0$

por tanto tenemos convergencia uniforme.

NOTA: la justificación precisa de que el máximo absoluto está en el extremo inferior del intervalo para todo n nos llevaría a plantear

$\begin{array}{l}\frac{1.649}{1.649^n-1}>\frac{148.4}{148.4^n-1}\Leftrightarrow1.649\left(148.4^n-1\right)>148.4\left(1.649^n-1\right)\\\Leftrightarrow148.4^n>90\left(1.649^n-1\right)+1\end{array},$

que es una ecuación trascendente, sin solución exacta, y no la resolveremos aquí.

4. Sea la sucesión funcional dada por:

$f_n\left(x\right)=\frac x{2\left(n+1\right)}\;,\;x\in\left[0,1\right]$

Estudiar la convergencia puntual y uniforme.

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac x{2\left(n+1\right)}\;\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2\left(n+1\right)}=\frac1\infty=0,$

ya que el valor máximo de x es 1. Para la convergencia uniforme procedemos de forma parecida:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|\frac x{2\left(n+1\right)}-0\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2\left(n+1\right)}=0.$

Luego la sucesión converge a la función nula de forma uniforme.

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