1. Estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones con término general
Estudiamos primero el límite puntual para . Hay que tener en cuenta al hacer el límite que la variable
puede tomar cualquier valor en el dominio de la función. Recordando que la función
está acotada en el intervalo
, que para
está acotada en el intervalo abierto
, y que
siempre que
obtenemos:
ya que cuando . En la siguiente ilustración vemos las gráficas de tres términos:
, en negro, rojo y verde respectivamente, conforme aumenta el índice
la función
tiende a tomar valores menores:
Luego es puntualmente convergente a la función nula
. Veamos ahora la convergencia uniforme.




Lo aplicamos: . Para encontrar el máximo derivamos e igualamos a cero, el valor absoluto no nos preocupa pues las funciones
son simétricas respecto del eje de abscisas (ver figura anterior):
El primer caso lo descartamos pues proporciona un mínimo no un máximo, ya que . Para el segundo caso, usando la igualdad
y llamando
al punto en el cual tenemos un máximo :
Aplicamos el límite:
luego la sucesión converge uniformemente.
2. Estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones con término general Estudiar también la convergencia uniforme en el intervalo restringido
.
Para valores pequeños de la fracción
toma valores grandes, y el
, mientras que para valores grandes sucede lo contrario,
. En la siguiente imagen tenemos la gráfica de
(en el punto
no se muestra la imagen, que es cero):
El punto de transición entre los dos valores de puede encontrarse fácilmente:
; en el punto
tenemos
, y podemos entonces reescribir la definición de la función:
Es una función continua excepto en el origen, pues calculando los límites laterales en , ambos coinciden entre sí, y con el valor de la función en ese punto:
La función límite puntual es:
La segunda rama queda anulada por la tercera, pues para todo n, independientemente del límite. Nos queda pues la función límite puntual:
Esta función es discontinua en , luego la sucesión no puede ser uniformemente convergente, pues la convergencia uniforme implica la continuidad. Si restringimos, como nos dice el enunciado, el estudio al intervalo
, tendremos que evaluar el límite
Como la función está definida en ramas, hacemos el límite para cada una. Para es:
pues cerca de
el valor
se hace arbitrariamente grande, así pues tampoco tenemos convergencia uniforme en el intervalo
.
3. Estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones con término general en el intervalo
.
En la imagen vemos algunos términos de la sucesión.
Para el límite puntual, teniendo en cuenta que , tenemos:
luego es el límite puntual. Para la convergencia uniforme:
Las funciones son continuas en
, que es un intervalo cerrado, luego ha de existir un máximo y un mínimo absolutos (Teorema de Weierstrass, ver Funciones continuas) y por otra parte no tienen extremos relativos, pues:
y para no existe el valor
, luego el máximo ha de estar en los extremos del intervalo de definición
. Calculando:
Variando n obtenemos sucesiones de valores en los extremos:
El máximo absoluto está en el extremo inferior del intervalo; como las funciones toman todas valores positivos (dejo como ejercicio para el lector comprobarlo) podemos quitar el valor absoluto en el límite:
por tanto tenemos convergencia uniforme.
NOTA: la justificación precisa de que el máximo absoluto está en el extremo inferior del intervalo para todo n nos llevaría a plantear
que es una ecuación trascendente, sin solución exacta, y no la resolveremos aquí.
4. Sea la sucesión funcional dada por:
Estudiar la convergencia puntual y uniforme.
ya que el valor máximo de x es 1. Para la convergencia uniforme procedemos de forma parecida:
Luego la sucesión converge a la función nula de forma uniforme.