Problemas resueltos de funciones derivables

1. Derivar y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x.}}

La forma más simple de derivar esta función será, primero simplificar su expresión: utilizamos la notación de raíz en forma de potencia: y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\left(\left(x^\frac12\right)^\frac12\right)^\frac12=x^{\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12}=x^\frac18. Ahora usamos la derivada del monomio (Ax^n)'=Anx^{n-1}, que en este caso será y'=\frac18x^{\frac18-1}=\frac18x^\frac78=\frac18\sqrt[8]{x^7}.

Otra forma, más larga pero buena para practicar con la regla de la cadena, es: primero expresamos la función como una composición:

y=\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\sqrt x\circ\sqrt x\circ\sqrt x=f(x)\circ g(x)\circ h(x),

y a continuación derivamos por la regla de la cadena, de izquierda a derecha:

\begin{array}{l}D\left(\sqrt x\circ\sqrt x\circ\sqrt x\right)=D\left(\sqrt x\right)\circ\sqrt x\circ\sqrt x\cdot D\left(\sqrt x\right)\circ\sqrt x\cdot D\left(\sqrt x\right)=\\\frac1{2\sqrt x}\circ\sqrt x\circ\sqrt x\cdot\frac1{2\sqrt x}\circ\sqrt x\cdot\frac1{2\sqrt x}=\\\frac1{2\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}}\cdot\frac1{2\sqrt{\sqrt x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}\end{array}

Para simplificar esta expresión, usamos exponentes:

\begin{array}{l}\frac1{2\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}}\cdot\frac1{2\sqrt{\sqrt x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}=\frac12x^{-\frac12\frac12\frac12}\cdot\frac12x^{-\frac12\frac12}\frac12x^{-\frac12}=\\\frac18x^{-\frac18-\frac14-\frac12}=\frac18x^{-\frac18-\frac28-\frac48}=\frac18x^{-\frac78}=\frac1{8\sqrt[8]{x^7}}.\end{array}

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2. Derivar f(x)=\sqrt{\ln\left(x\right)}.

Expresemos la función como composición: f(x)=\sqrt{\ln\left(x\right)}=\sqrt x\circ\ln\left(x\right). Aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}f'(x)=\left(\sqrt x\circ\ln\left(x\right)\right)'=\left(\sqrt x\right)'\circ\ln\left(x\right)\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)'=\\\frac1{2\sqrt x}\circ\ln\left(x\right)\cdot\frac1x=\frac1{2\sqrt{\ln\left(x\right)}}\cdot\frac1x=\frac1{2x\sqrt{\ln\left(x\right)}}.\end{array}

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3. Derivar f(x)=e^{x^2+\sin\left(x^3+1\right)}.

Expresemos la función como composición: f(x)=e^{x^2+\sin\left(x^3+1\right)}=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right). Aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}f'(x)=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)=\left(e^x\right)'\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)'=\\e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(2x+\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)'\right);\end{array}

Aplicamos de nuevo la regla de la cadena para derivar la función seno:

\begin{array}{l}\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)=\sin\left(x\right)\circ\left(x^3+1\right);\\\left(\sin\left(x^3+1\right)\right)'=\left(\sin\left(x\right)\right)'\circ\left(x^3+1\right)\cdot\left(x^3+1\right)'=\cos\left(x\right)\circ\left(x^3+1\right)\cdot\left(3x^2\right)=\\3x^2\cos\left(x^3+1\right).\end{array}

Sustituimos en la expresión de f'(x) para obtener:

\begin{array}{l}y'=e^x\circ\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)\cdot\left(2x+3x^2\cos\left(x^3+1\right)\right)=\\\left(2x+3x^2\cos\left(x^3+1\right)\right)\cdot e^{\left(x^2+\sin\left(x^3+1\right)\right)}.\end{array}.

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4. Derivar y=\tan^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right).

Expresemos la función como composición: y=\tan^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right)=\tan^{-1}\left(x\right)\circ\left(\sin\left(x\right)\right); aplicamos la regla de la cadena:

\begin{array}{l}y'=\left(\tan^{-1}\left(x\right)\right)'\circ\left(\sin\left(x\right)\right)\cdot\left(\sin\left(x\right)\right)'=\\\frac1{1+x^2}\circ\left(\sin\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(x\right)=\frac{\cos\left(x\right)}{1+\sin^2\left(x\right)}.\end{array}

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5. Hallar la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=\sqrt{1+x^2} en los puntos x=0, x=1.

La recta y=mx+b es tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto (x_0,f(x_0)) si la pendiente m cumple que m=f'(x_0) y ademaś la recta pasa por el punto (x_0,f(x_0)). Para la primera condición hemos de calcular f'(x):

\begin{array}{l}f'(x)=\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\left(\sqrt x\circ\left(1+x^2\right)\right)'=\left(\sqrt x\right)'\circ\left(1+x^2\right)\cdot\left(1+x^2\right)'=\\\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\end{array}

En el punto x_0=0 la derivada vale f'(0)=0=m. La segunda condición es que la recta y=mx+b=0·x+b=b pase por el punto (0,f(0)=(0,1), o sea que y=b=1. La recta tangente para x_0=0 es y=1.

En el punto x_1=0 la derivada vale f'(1)=\frac1{\sqrt2}=m. La segunda condición es que la recta y=mx+b=\frac1{\sqrt2}·x+b=b pase por el punto (1,f(1)=(1,\sqrt2), o sea que \sqrt2=\frac1{\sqrt2}\cdot1+b\Rightarrow b=\sqrt2-\frac1{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.. La recta tangente para x_0=1 es y=1.

recta_tangent_4

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6. Calcular la derivada en todos los puntos donde exista de la función dada por:

f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac12x-\frac12\;\text{si }x\leq1\\-\sqrt{\left|x\right|}\;\text{si }-1<x\leq0\\\sqrt x\;\text{si }0<x\leq1\\\frac12x+\frac12\;\text{si }x>1\end{array}\right.

Primero estudiamos la derivabilidad de cada rama de la función; en una segunda fase estudiaremos la derivabilidad en los puntos de bifurcación entre las ramas.

Derivabilidad de cada rama de la función.

f(x)=\frac12x-\frac12 es derivable en todo el dominio, y su derivada vale f'(x)=\frac12.

f(x)=-\sqrt{\left|x\right|}=\left(-\sqrt x\right)\circ\left|x\right| es una composición de funciones, la primera es derivable en todo x\geq0 y la segunda es derivable en todo \mathbb{R} excepto en x=0: para verlo  hacemos las derivadas laterales en ese punto:

\begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0^++h)-f(0^+)}h=\frac{\left|0^++h\right|-\left|0^+\right|}h=\frac{0^++h-0^+}h=\frac hh=1;\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0^-+h)-f(0^-)}h=\frac{\left|0^-+h\right|-\left|0^-\right|}h=\frac{-\left(0^-+h\right)-(-0^-)}h=\frac{-h}h=-1\end{array}

Los límites no coincicen, luego no existe la derivada de la función \left|x\right| en x=0. Entonces tenemos que la composición \left(-\sqrt x\right)\circ\left|x\right|:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^- es derivable en el dominio de definición de esta rama de la función, excepto en el punto x=0. Recordatorio: \mathbb{R}_0^+ significa todos los reales positivos incluido el 0.

La derivada vale:

\left(-\sqrt{\left|x\right|}\right)'=\left(-\sqrt x\circ\left|x\right|\right)'=\left(-\sqrt x\right)'\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'=\frac{-1}{2\sqrt x}\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'

En el intervalo -1<x<0 tenemos que \left|x\right|=-x, luego:

\frac{-1}{2\sqrt x}\circ\left|x\right|\cdot\left|x\right|'=\frac{-1}{2\sqrt{\left|x\right|}}\cdot(-1)=\frac1{2\sqrt{\left|x\right|}}

El punto x=0 lo estudiamos en la segunda parte del problema. Para la siguiente rama de la función tenemos f(x)=\sqrt x que es derivable en su dominio, con derivada \left(\sqrt x\right)'=\frac1{2\sqrt x}. Para la última rama, f(x)\frac12x-\frac12, la derivada vale \left(\frac12x-\frac12\right)'=\frac12.

Estudiamos ahora los puntos de salto entre ramas.

En estos puntos la definición de la función cambia bruscamente, y no podemos usar las tablas de derivadas, tenemos que usar la definición de derivada, y además haciendo los límites laterales, sólo si coinciden ambos podemos asegurar que existe la derivada en el punto.

x=-1

Por la izquierda: \begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x^-+h)-f(x^-)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left({\displaystyle\frac12}\left(x^-+h\right)-{\displaystyle\frac12}\right)-\left({\displaystyle\frac12}x^--{\displaystyle\frac12}\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{\displaystyle\frac12}h=\frac12\end{array}

Por la derecha: \begin{array}{l}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x^++h)-f(x^+)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{\left|x^++h\right|}\right)-\left(-\sqrt{\left|x^+\right|}\right)}h=\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{\left|-1^++h\right|}\right)-\left(-\sqrt{\left|-1^+\right|}\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(-\sqrt{1^--h}\right)+1^+}h=\frac{-1+1}0=?\end{array}

Observemos que hemos hecho \sqrt{\left|-1^++h\right|}=\left(-\sqrt{1^--h}\right) pues el valor absoluto de un número negativo se obtiene cambiándole el signo, y al hacerlo, si el valor negativo estaba a la derecha de 1, al canviar el signo pasará a estar a la izquierda.

Para resolver la indeterminación, és útil trabajar con la definición alternativa de derivada en el punto x=x_0, que es:

x=x_0+h\Rightarrow f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}

Reintentamos el límite por la derecha:

f'(-1^+)=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1^+\right)}{x-\left(-1^+\right)}=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{-\sqrt{\left|x\right|}-\left(-1^-\right)}{x+1^-}=\frac{-1+1}{-1+1}=\frac00

Tenemos indeterminación de nuevo. Multiplicamos por el conjugado:

\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{-\sqrt{-x}+1}{x+1^-}\frac{\sqrt{-x}+1}{\sqrt{-x}+1}=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{x+1}{\left(x+1^-\right)\left(\sqrt{-x}+1\right)}=\\\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac1{\sqrt{-x}+1}=\frac12\end{array}

Los dos límites laterales coinciden: la derivada en el punto -1 es \frac12

x=0

Límite por la izquierda:

\begin{array}{l}f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0^-\right)}{x-0^-}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{\left|x\right|}-\left(-\sqrt{\left|0^-\right|}\right)}{x-0^-}=\\\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{-x}}x=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\sqrt{-x}}x\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{-x}}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac x{x\sqrt{-x}}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1{\sqrt{-x}}=+\infty\end{array}

Como es divergente, no es necesario hacer el límite por la derecha: la función no es derivable en x=0.

x=1

Límite por la izquierda:

\begin{array}{l}f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(1^-\right)}{x-1^-}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt x-\sqrt{1^-}}{x-1^-}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt x-\sqrt{1^-}}{x-1^-}\frac{\sqrt x+\sqrt{1^-}}{\sqrt x+\sqrt{1^-}}=\\\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x-1^-}{\left(x-1^-\right)\left(\sqrt x+\sqrt{1^-}\right)}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac1{\left(\sqrt x+\sqrt{1^-}\right)}=\frac12\\\end{array}

Límite por la derecha:

\begin{array}{l}f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(1^+\right)}{x-1^+}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\left({\displaystyle\frac12}x+{\displaystyle\frac12}\right)-1^+}{x-1^+}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\frac12x-\left(\frac12\right)^-}{x-1^+}=\\\lim_{x\rightarrow1^+}\frac12\frac{x-1^-}{x-1^+}=\frac12\end{array}

Coinciden, y la función es derivable en x=1. Podemos dar la derivada de la función completa:

f'(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac12\;\text{si}x\leq1\\\frac1{2\sqrt{\left|x\right|}}\;\text{ si }-1<x<0\\\text{no existe para }x=0\\\frac1{2\sqrt x}\;\text{ si }0<x\leq1\\\frac12\;\text{ si }x>1\end{array}\right.

Gráfica de la función f(x), observemos que en x=0 la gràfica queda vertical, y por tanto la derivada toma valor infinito:

Exercici_derivades

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7. Verificar si la recta y=-x es tangente a la gráfica de la función f(x)=x^3-6x^2+8x en algún punto, o bien es secante, o bien es tangente en un punto y secante en otro punto.

La pendiente de la recta y=-x es m=-1; si es una recta tangente a la gráfica de f(x) entonces la derivada f'(x) debe tomar el valor -1 en algún punto x_0. Derivamos e igualamos:

f'(x)=3x^2-12x+8=-1\Rightarrow x=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4\cdot3\cdot9}}6=\frac{12\pm6}6=\left\{\begin{array}{l}3\\1\end{array}\right.

Para estos dos valores, sustituimos en la ecuación de la recta para obtener los puntos (x,y) de la recta; si ésta fuera recta tangente, entonces alguno de esos puntos debería pertenecer también a la gráfica de f(x):

x_0=3\Rightarrow y=-3\;\text{en la recta; }y=3^3-6\cdot3^2+8\cdot3=-3\;\text{en la función;} coinciden, luego la recta es tangente a f(x) en el punto.

x_0=1\Rightarrow y=-1\;\text{en la recta; }y=1^3-6\cdot1^2+8\cdot1=3\;\text{en la función;} no coinciden, luego la recta no es tangente a f(x) en el punto.

Para estudiar si la recta es secante a f(x) planteamos el sistema de ecuaciones:

\begin{array}{l}\left.\begin{array}{r}y=f(x)=x^3-6x^2+8x\\y=-x\end{array}\right\}\Rightarrow-x=x^3-6x^2+8x\Rightarrow x^2-6x+8=-1\Rightarrow\\x=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\cdot(-1)\cdot(-9)}}{-2}=3\pm0=3.\end{array}

Obtenemos de nuevo el punto x=3 que ya hemos obtenido como punto de contacto entre la recta tangente y la función. Pero además tenenemos otra solución a la ecuación:

-x=x^3-6x^2+8x\Rightarrow x^3-6x^2+9x=0\Rightarrow x\left(x^2-6x+9\right)=0

y es evidente que x=0 tambien es solución. Así pues, la recta dada es tangente a la función f(x) en el punto x=3 y secante en el punto x=0. La gráfica de ámbas es:

recta_tangent_5

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8. Calcular la derivada de la función y=x^{x^x}.

Aplicamos logaritmos:

Ln\left(y\right)=Ln\left(x^{x^x}\right)=Ln\left(x^{\left(x^x\right)}\right)=x^xLn\left(x\right)

Observar que seria incorrecto
Ln\left(x^{x^x}\right)=Ln\left(x^x\right)^x=xLn\left(x^x\right) pues x^{x^x}\neq\left(x^x\right)^x sino que es x^{x^x}=x^{\left(x^x\right)}. Ahora aplicamos la regla de la derivada del producto:

D\left[Ln\left(y\right)\right]=D\left[x^xLn\left(x\right)\right]=D\left[x^x\right]\cdot Ln\left(x\right)+x^x\cdot D\left[Ln\left(x\right)\right]

La derivada de x^x la hacemos aparte, aplicando de nuevo logaritmos:

\begin{array}{l}y=x^x\Leftrightarrow\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)=x\cdot\ln\left(x\right);\\D\left[\ln\left(y\right)\right]=D\left[x\cdot\ln\left(x\right)\right]=Dx\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot D\left[\ln\left(x\right)\right]=1\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot\frac1x=\ln\left(x\right)+1.\end{array}

Como D\left[Ln\left(y\right)\right]=\frac1yDy (por la regla de la cadena), tenemos que: \frac{Dy}y=\ln\left(x\right)+1\Leftrightarrow Dy=y\left[\ln\left(x\right)+1\right]=x^x\left[\ln\left(x\right)+1\right].

 Ahora sustituimos en la derivada original:

\begin{array}{l}\frac1yDy=x^x\left[\ln\left(x\right)+1\right]\cdot Ln\left(x\right)+x^x\cdot\frac1x\Leftrightarrow\\Dy=y\cdot x^x\left[Ln^2\left(x\right)+Ln\left(x\right)+\frac1x\right]=x^{x^x}\cdot x^x\left[Ln^2\left(x\right)+Ln\left(x\right)+\frac1x\right].\end{array}

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9. La posición en el tiempo de un punto material que se está moviendo en el plano (x,y) viene dada en función del tiempo por x(t)= sin(t), y(t)=sin(2t). Si consideramos la trayectoria como una función y=f(x), calcular la  derivada y'(x).

La trayectoria viene dada en función del paràmetro tiempo en vez de venir en forma explícita y=f(x); en ocasiones es más cómodo hacerlo así, pues la forma explícita puede ser difícil de expresar. La gráfica de la trayectoria es un lazo:

parametriques

Para calcular la derivada y'(x) usaremos la notación diferencial de la derivada:

y'(x)=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}\cdot\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}

Observar cómo hemos utilizado las diferenciales para expresar la derivada con respecto a x en función de las derivadas respecto  a t.

\begin{array}{l}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}=D\sin\left(t\right)\circ2t=\cos\left(t\right)\circ2t\cdot D\left(2t\right)=2\cos\left(2t\right).\\\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}=\left(\frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t}\right)^{-1}=\left[D\sin\left(t\right)\right]^{-1}=\frac1{\cos\left(t\right)}.\end{array}

Nos queda que \begin{array}{l}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=2\cos\left(2t\right)\cdot\frac1{\cos\left(t\right)}=2\frac{\cos\left(2t\right)}{\cos\left(t\right)}.\\\end{array} La gráfica de la derivada presenta asíntotas verticales, correspondientes a los puntos del eje x donde el lazo tiene tangente vertical:

derivada_parametriques1

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10. Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac1{x^2}}\;\text{si }x\neq0\\0\;\text{si }x=0\end{array}\right.

demostrar que es una función continua, que su derivada de cualquier orden f^n también es contínua y que f^n(0)=0 para todo n=1,2,....

Para ver si es continua, estudiamos su comportamiento cerca de el único punto dudoso, x=0, calculando el límite:

\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}e^{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac1{e^\frac1{x^2}}\rightarrow\frac1{e^{+\infty}}=0.

Como el límite en x=0 coincide con f(0) la función es contínua.

Para obtener la derivada, si x\neq0 derivamos su expresión:

\begin{array}{l}D\left[e^{-\frac1{x^2}}\right]=D\left[e^x\circ\frac{-1}{x^2}\right]=D\left[e^x\right]\circ\frac{-1}{x^2}\cdot D\left[\frac{-1}{x^2}\right]=\\e^x\circ\frac{-1}{x^2}\cdot D\left[-x^{-2}\right]=e^{-\frac1{x^2}}\cdot\frac2{x^3}\end{array}

Esta expresión es válida para x\neq0. Para x=0 usamos la definición de derivada:

\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{e^{-{\displaystyle\frac1{x^2}}}-0}x=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac1{xe^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow\frac1{0\cdot e^\infty}\rightarrow\frac1\infty=0,

debido a que \lim_{x\rightarrow0\;}x\cdot e^\frac1x=0 pues la función exponencial es de orden superior a cualquier potencia de x.

Así pues,

f'(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac1{x^2}}\cdot\frac2{x^3}\;\text{, x≠0}\\0\;\text{, x=0}\end{array}\right.

Para la derivada segunda en x=0, haciendo el límite:

f''(0)=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac{{\displaystyle\frac2{x^3}}e^{-{\displaystyle\frac1{x^2}}}-0}x=\lim_{x\rightarrow0\;}\frac2{x^4e^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow\frac2{0\cdot e^\infty}\rightarrow\frac1\infty=0,

 y en general para la derivada n-èsima tendremos

f^n(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac2{x^ke^{\displaystyle\frac1{x^2}}}\rightarrow0.

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