1. Derivar
La forma más simple de derivar esta función será, primero simplificar su expresión: utilizamos la notación de raíz en forma de potencia: . Ahora usamos la derivada del monomio
, que en este caso será
Otra forma, más larga pero buena para practicar con la regla de la cadena, es: primero expresamos la función como una composición:
,
y a continuación derivamos por la regla de la cadena, de izquierda a derecha:
Para simplificar esta expresión, usamos exponentes:
2. Derivar .
Expresemos la función como composición: . Aplicamos la regla de la cadena:
3. Derivar .
Expresemos la función como composición: . Aplicamos la regla de la cadena:
Aplicamos de nuevo la regla de la cadena para derivar la función seno:
Sustituimos en la expresión de para obtener:
4. Derivar
Expresemos la función como composición: aplicamos la regla de la cadena:
5. Hallar la recta tangente a la gráfica de la función en los puntos
,
.
La recta es tangente a la gráfica de la función
en el punto
si la pendiente
cumple que
y ademaś la recta pasa por el punto
. Para la primera condición hemos de calcular
:
En el punto la derivada vale
. La segunda condición es que la recta
pase por el punto
, o sea que
. La recta tangente para
es
.
En el punto la derivada vale
. La segunda condición es que la recta
pase por el punto
, o sea que
. La recta tangente para
es
.
6. Calcular la derivada en todos los puntos donde exista de la función dada por:
Primero estudiamos la derivabilidad de cada rama de la función; en una segunda fase estudiaremos la derivabilidad en los puntos de bifurcación entre las ramas.
Derivabilidad de cada rama de la función.
es derivable en todo el dominio, y su derivada vale
.
es una composición de funciones, la primera es derivable en todo
y la segunda es derivable en todo
excepto en
: para verlo hacemos las derivadas laterales en ese punto:
Los límites no coincicen, luego no existe la derivada de la función en
. Entonces tenemos que la composición
es derivable en el dominio de definición de esta rama de la función, excepto en el punto
. Recordatorio:
significa todos los reales positivos incluido el 0.
La derivada vale:
En el intervalo tenemos que
, luego:
El punto lo estudiamos en la segunda parte del problema. Para la siguiente rama de la función tenemos
que es derivable en su dominio, con derivada
. Para la última rama,
, la derivada vale
Estudiamos ahora los puntos de salto entre ramas.
En estos puntos la definición de la función cambia bruscamente, y no podemos usar las tablas de derivadas, tenemos que usar la definición de derivada, y además haciendo los límites laterales, sólo si coinciden ambos podemos asegurar que existe la derivada en el punto.
Por la izquierda:
Por la derecha:
Observemos que hemos hecho pues el valor absoluto de un número negativo se obtiene cambiándole el signo, y al hacerlo, si el valor negativo estaba a la derecha de 1, al canviar el signo pasará a estar a la izquierda.
Para resolver la indeterminación, és útil trabajar con la definición alternativa de derivada en el punto , que es:
Reintentamos el límite por la derecha:
Tenemos indeterminación de nuevo. Multiplicamos por el conjugado:
Los dos límites laterales coinciden: la derivada en el punto -1 es
Límite por la izquierda:
Como es divergente, no es necesario hacer el límite por la derecha: la función no es derivable en .
Límite por la izquierda:
Límite por la derecha:
Coinciden, y la función es derivable en . Podemos dar la derivada de la función completa:
Gráfica de la función , observemos que en
la gràfica queda vertical, y por tanto la derivada toma valor infinito:
7. Verificar si la recta es tangente a la gráfica de la función
en algún punto, o bien es secante, o bien es tangente en un punto y secante en otro punto.
La pendiente de la recta es
; si es una recta tangente a la gráfica de
entonces la derivada
debe tomar el valor -1 en algún punto
. Derivamos e igualamos:
Para estos dos valores, sustituimos en la ecuación de la recta para obtener los puntos de la recta; si ésta fuera recta tangente, entonces alguno de esos puntos debería pertenecer también a la gráfica de
:
coinciden, luego la recta es tangente a
en el punto.
no coinciden, luego la recta no es tangente a
en el punto.
Para estudiar si la recta es secante a planteamos el sistema de ecuaciones:
Obtenemos de nuevo el punto que ya hemos obtenido como punto de contacto entre la recta tangente y la función. Pero además tenenemos otra solución a la ecuación:
y es evidente que tambien es solución. Así pues, la recta dada es tangente a la función
en el punto
y secante en el punto
. La gráfica de ámbas es:
8. Calcular la derivada de la función
Aplicamos logaritmos:
Observar que seria incorrecto
pues
sino que es
Ahora aplicamos la regla de la derivada del producto:
La derivada de la hacemos aparte, aplicando de nuevo logaritmos:
Como (por la regla de la cadena), tenemos que:
Ahora sustituimos en la derivada original:
9. La posición en el tiempo de un punto material que se está moviendo en el plano viene dada en función del tiempo por
. Si consideramos la trayectoria como una función
, calcular la derivada
.
La trayectoria viene dada en función del paràmetro tiempo en vez de venir en forma explícita ; en ocasiones es más cómodo hacerlo así, pues la forma explícita puede ser difícil de expresar. La gráfica de la trayectoria es un lazo:
Para calcular la derivada usaremos la notación diferencial de la derivada:
Observar cómo hemos utilizado las diferenciales para expresar la derivada con respecto a x en función de las derivadas respecto a t.
Nos queda que La gráfica de la derivada presenta asíntotas verticales, correspondientes a los puntos del eje x donde el lazo tiene tangente vertical:
10. Dada la función
demostrar que es una función continua, que su derivada de cualquier orden también es contínua y que
para todo
.
Para ver si es continua, estudiamos su comportamiento cerca de el único punto dudoso, , calculando el límite:
Como el límite en coincide con
la función es contínua.
Para obtener la derivada, si derivamos su expresión:
Esta expresión es válida para . Para
usamos la definición de derivada:
debido a que pues la función exponencial es de orden superior a cualquier potencia de x.
Así pues,
Para la derivada segunda en , haciendo el límite:
y en general para la derivada n-èsima tendremos