Introducción al estudio local de una función
El estudio de la variación de los valores que toma una función en las proximidades de un punto es un tema de gran interés práctico por sus posibles aplicaciones, como por ejemplo:
- Si
es la función que nos proporciona la posición de un objeto en movimiento, entonces la variación de los valores de la función cerca de
con respecto al tiempo nos informa de la velocidad del objeto en las inmediaciones de
.
- Si
es el perfil topográfico de una colina, la variación local del perfil nos informa de la pendiente de la colina en ese punto.
- Si
es la intensidad de corriente que circula por un aparato eléctrico en un cierto instante de tiempo, su variación alrededor de ese instante se interpreta como la poténcia eléctrica consumida.
En la figura podemos observar que la variación de la función al pasar del punto al punto
es
. Entonces, el cociente
nos proporciona un valor promedio de la variación de la función en el intervalo
. Observemos además que podemos formar un triángulo recto tomando como lados los segmentos
y
En este triángulo se cumple que .
Pendiente de una función en un punto. Definición de función derivada.
Podemos escribir la fórmula del incremento medio de la función en términos más generales, usando puntos genéricos i el operador incremento :
En una función lineal , la pendiente es constante, y por tanto el incremento medio de la función es constante en todos los puntos y para cualquier intervalo:
Para una función no lineal, la pendiente es diferente en cada punto, y el incremento medio de la función depende de la longitud del intervalo y de los propios puntos
. Por ejemplo, en la función
, para el punto
y el punto
, la pendiente media del intervalo
es
, mientras que para el intervalo
es
.
Entonces, si nos interesa la pendiente de una función cualquiera en un punto, para una función lineal no hay problema, pero para una función no lineal, el incremento medio de la función no nos sirve, ya que depende de la longitud del intervalo que consideremos. La definición de derivada de la función en un punto soluciona el problema.
Definición 1: Derivada de una función en un punto. Función derivable. Sea la función





La notación usual para la derivada en un punto es . La derivada de una función en un punto es un número que nos proporciona una medida de la variación local de la función en ese punto. Concretamente, no de la variación absoluta
, sino de la variación de la función relativa a la variación de la variable, o ratio de variación
Ejemplo 1
Sea la función . En los puntos
toma los valores
. La variación absoluta media en ese intervalo es
, la variación en
es
, y la ratio de variación es
. Dependiendo de la función y de los puntos considerados, la ratio de variación puede ser positiva, negativa o nula.
Por otro lado, la derivada de la función en el punto es el límite de la ratio de variación entre ese punto y los puntos
cercanos:
De la misma forma, para el punto :
Vemos que el valor de la ratio de variación media, 4, está entre los valores de la derivada en cada punto: 2 y 6.






Ejemplo 2: para la función con dominio todos los números reales, dado un punto cualquiera
, aplicando la definición:
Para resolver la indeterminación, consideramos que siendo
el incremento
; entonces el límite se transforma en:
Este límite se utiliza frecuentemente como definición alternativa de derivada. Operando:
Así pues, .
Ejemplo 3: La función
no es derivable en pues no existe el límite en ese punto, ya que los límites laterales no coinciden:
Ejemplo 4: en un cierto punto de una carretera vemos una señal de tráfico que indica una pendiente del 10%. Sea la función que proporciona el perfil de la carretera. ¿Cuál es el valor de la derivada en el punto considerado?

Relación entre pendiente topográfica e incremento de altura (fuente: http://recursostic.educacion.es)
Usamos la relación entre pendiente y tangente del ángulo, tomando el límite:
En topografía, a una pendiente del 100% le corresponde un ángulo de 45⁰; de hecho, la pendiente es precisamente la tangente del ángulo de inclinación en el punto (esto es, ). Entonces:
Propiedades de las derivadas
- Si
es derivable en
, entonces es contínua en ese punto. La afirmación inversa no tiene porque ser cierta:
- Si
son derivables, entonces también lo son
, en el último caso sólo para los puntos
en los que
. Las derivadas son:
Ejemplo 5: La derivada de donde
es un número real, es:
La derivada de la calculamos usando la propiedad
, y denotando por
la derivada de
:
.
La derivada de es
, como puede comprobarse por inducción matemática:
- Para n=1 es
y ya lo hemos comprobado:
- Supongamos que es cierto para
; entonces para
:
Ejemplo 6: La derivada del polinomio de grado n es el polinomio de grado n-1
La comprobación se hace tomando la regla
y la propiedad
Ejemplo 7: La derivada de la función la calculamos aplicando la propiedad
Recta tangente en un punto a la gráfica de y=f(x)
En la imágen vemos una curva, en negro, que es la gráfica de la función , y dos rectas que cortan a la gráfica en el punto P con coordenadas
, de forma que las tres gráficas coinciden en el punto P. La recta en rojo
además corta a la función
en otro punto, el
, mientras que la recta en amarillo
sólo corta a
en el punto P. Sin dar la definición formal, diremos que las rectas tales como la
que cortan a la gràfica
en dos puntos son rectas secantes a
, mientras que las rectas semejantes a
que sólo “tocan” la gráfica en un punto P son rectas tangentes a
en el punto P.
Admitiremos sin demostración la siguiente propiedad: dado un punto P y una gráfica , hay infinitas rectas secantes que pasan por P pero sólo una recta tangente que pase por P. Si llamamos Q al otro punto de la gràfica
cortada por la recta secante
(en la figura Q seria el origen de coordenadas), y nos imaginamos que giramos la recta
en torno al punto P, entonces el punto Q de intersección entre
y
se va acercando al punto P, y en el límite, cuando P y Q coinciden, la recta secante
se superpone a la recta tangente
.
Nos preguntamos ahora ¿cómo podemos determinar la recta tangente a en un punto cualquiera P con coordenadas
? La ecuación cartesiana de una recta cualquiera es
donde
expresa la pendiente de la recta. En el ejemplo 4 vimos la relación entre pendiente, dada por un ángulo A, y derivada en el punto
:
Así que, para la pendiente en un punto , podemos decir que es
; el valor del parámetro
, llamado intercepción (porque es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas) lo encontramos simplemente sustituyendo en la expresión de la función:
Nos queda la ecuación de la recta tangente a en un punto cualquiera P con coordenadas
:
Ejemplo 8: Encontremos la recta tangente a la función
en la abcisa
(corresponde a la anterior ilustración de esta apartado). Derivamos el monomio según la regla dada en el ejemplo 5:
, lo aplicamos a la función dada:
, sustituimos el valor
resultando
. Hallamos
, y la recta tangente tiene la ecuación
, que en la ilustración está representada en color rojo.
NOTA: sobre aproximación local de funciones y recta tangente
Si en la imagen de la recta tangente “hacemos zoom” podemos observar que, en la inmediaciones del punto P de contacto, la gráfica de la función y su recta tangente en ese punto prácticamente coinciden. Este es un hecho de gran importáncia práctica, pues nos permite usar, en un cierto entorno de P, la recta tangente en vez de la función original, que puede tener una expresión muy complicada, e incluso desconocida. Volveremos sobre ello más adelante, cuando estudiemos la fórmula de Taylor.
Ejemplo 9: La función de distribución Normal o de Gauss es
donde son parámetros. Sabiendo que, para los valores
, en el punto x=1 y(1) vale 0.2419707245 y su derivada también vale 0.2419707245, podemos encontrar fácilmente algunos de los valores de
usando la función tangente
, resultando
.
Vemos que el cálculo de valores con la recta tangente es más simple. ¿Hasta qué punto es buena la aproximación? En la siguiente tabla de valores vemos los cálculos realizados con la función original, con la recta tangente, y el error relativo producido:
x | f(x) | recta tangente | error relativo |
0.5 | 0.130 | 0.121 | 6.59% |
0.6 | 0.150 | 0.145 | 3.04% |
0.7 | 0.171 | 0.169 | 1.16% |
0.8 | 0.194 | 0.194 | 0.31% |
0.9 | 0.218 | 0.218 | 0.04% |
1 | 0.242 | 0.242 | 0.00% |
1.1 | 0.266 | 0.266 | 0.03% |
1.2 | 0.290 | 0.290 | 0.23% |
1.3 | 0.312 | 0.315 | 0.74% |
1.4 | 0.333 | 0.339 | 1.66% |
1.5 | 0.352 | 0.363 | 3.09% |
Observamos que, en el punto el error es cero, ya que en ese punto la función y la recta tangente coinciden totalmente. A medida que nos alejamos de ese punto, el error relativo va aumentando. En el intervalo mostrado,
, el error no supera el 7%.
Derivadas de funciones compuestas y funciones inversas
Hasta ahora para calcular derivadas solo tenemos la definición, que utiliza límites, y la regla de derivación de polinomios. Necesitamos herramientas más generales para trabajar con funciones cualesquiera. En este apartado y en el siguiente nos dedicamos a ello.
Teorema 1 (regla de la cadena): Si tenemos dos funciones tales que
es derivable en el punto
, esto es, existe el límite
, y además
es derivable en el punto
, entonces la función compuesta
es también derivable en
, y su derivada vale:
Ejemplo 10: Calcular la derivada de usando la regla de la cadena, y sabiendo que la derivada de la función
es la función
.
Definimos , de forma que
Por la regla de la cadena:
Ejemplo 11: calcular la derivada de
Observemos que , aplicamos la regla de la cadena :
La derivada del cociente puede obtenerse aplicando la propiedad
, o bien de forma más directa haciendo
y aplicando la regla de derivación
, o sea:
Teorema 2 (derivada de la función inversa):
Si la función es inyectiva,
es un intervalo, y la derivada de
para cualquier punto
de
es diferente de cero, entonces la función inversa es derivable en el punto
, y su derivada es:
Ejemplo 12: La función es inyectiva (queda como ejercicio para el lector) y su inversa es
. Tenemos que
, por tanto:
Cálculo práctico de derivadas
Para resolver problemas de cálculo de derivadas de forma eficiente se utilizan tablas de funciones y sus derivadas. Con estas tablas, la regla de la cadena, y el teorema de la derivada de la función inversa, pueden resolverse la gran mayoría de problemas, siendo necesario utilizar la definición de derivada, calculando límites, sólo en casos concretos, como se verá en los ejercicios.
Tabla de derivadas de las funciones más usuales
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Usando la regla de la cadena se puede obtener una tabla análoga a la anterior, sustituyendo en ella la variable por una función derivable arbitraria
:
Tabla de derivadas de las funciones compuestas más usuales
Función ![]() |
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Usando el teorema de la derivada de la función inversa puede obtenerse otra tabla:
Tabla de derivadas de las funciones inversas más usuales
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Combinando estas tablas con las propiedades de las derivadas podemos abordar la mayoría de problemas. En el caso de funciones compuestas exponenciales del tipo , puede ser útil la técnica de aplicar logaritmos:
Para encontrar la derivada de , aplicamos logaritmos,
, derivamos,
Ejemplo 13: Calcular la derivada de .
Esta derivada es del tipo , aplicando logaritmos, derivando, y usando las tablas y la derivada del producto de funciones:
Despejando del lado izquierdo de la igualdad anterior:
.
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