Problemas resueltos de Mecánica->Vectores

1. Escribir la ecuación vectorial de un plano que tiene por vector normal el vector unitario n y que está a una distancia d del origen de coordenadas. ¿Cuál es la distancia de un punto Q cualquiera a ese plano?

Para fijar ideas, imaginemos un plano paralelo al plano coordenado XY, que corta al eje Z en un punto P, a una distancia d del origen O. El vector normal \overrightarrow n es perpendicular al plano, y será paralelo al eje vertical OZ. El vector OP será también paralelo a OZ, y por tanto paralelo al vector \overrightarrow n. Esto significa que OP=\lambda\overrightarrow n para un cierto \lambda.

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Pero la distancia OP es igual a la distancia entre el plano y el origen O, luego  \lambda=d. Entonces OP=d\overrightarrow n.

Sea un punto Q cualquiera del plano, y \overrightarrow{r_Q} su vector posición; la ecuación general del plano en forma vectorial es:

\overrightarrow{r_Q}\cdot\overrightarrow n+C=0

para un cierto número real C. Si aplicamos esta ecuación al punto P obtenemos:

\overrightarrow{r_P}\cdot\overrightarrow n+C=d\o

ya que \overrightarrow n\cdot\overrightarrow n=1 por ser \overrightarrow n un vector unitario. La ecuación del plano que resulta es:

\overrightarrow r\cdot\overrightarrow n-d=0

para el vector de posición \overrightarrow r=\left(x,y,z\right) de cualquier punto del plano.

Si hubiéramos pensado en un plano general para fijar ideas, y no en uno paralelo al plano XY, el resultado sería el mismo: la distancia d desde el orígen O al plano siempre vendrá dada por un vector OP paralelo a \overrightarrow n, y el argumento sería el mismo.

Hallemos ahora la distancia entre un punto cualquiera r_0 del espacio y el plano \pi:\;\overrightarrow r\cdot\overrightarrow n-d=0. Consideramos una recta perpendicular al plano \pi que pasa por r_0 y corta al plano \pi por el punto Q. De nuevo, el vector Qr_0 es paralelo al vector normal \overrightarrow n, así que se cumple que:

r_0=Q+\lambda\cdot\overrightarrow n\Rightarrow Q=r_0-\lambda\cdot\overrightarrow n.

Pla

y la distancia que nos piden es precisamente el valor \lambda. Pero para cualquier punto Q del plano se ha de cumplir la ecuación {\overrightarrow r}_Q\cdot\overrightarrow n-d=0, así que:

\left.\begin{array}{r}{\overrightarrow r}_Q=\overrightarrow{r_0}-\lambda\overrightarrow n\\{\overrightarrow r}_Q\cdot\overrightarrow n-d=0\end{array}\right\}\Rightarrow\left(\overrightarrow{r_0}-\lambda\overrightarrow n\right)\cdot\overrightarrow n-d=0\Rightarrow\overrightarrow{r_0}\cdot\overrightarrow n-\lambda-d=0\Rightarrow\boxed{\lambda=\overrightarrow{r_0}\cdot\overrightarrow n-d}.

La distancia pedida es \lambda=\overrightarrow{r_0}\cdot\overrightarrow n-d.

Ejemplo: Sea el vector normal unitario \overrightarrow n=(0,0,1), la distancia del plano al origen d=2 y el punto Q=(1,2,3). Entonces la ecuación de ese plano es:

\overrightarrow r\cdot\overrightarrow n-d=\left(x,y,z\right)\cdot\left(0,0,1\right)-2=z-2=0\Rightarrow z=2,

y la distancia entre el plano y el punto Q es:

\overrightarrow{r_Q}\cdot\overrightarrow n-d=\left(1,2,3\right)\cdot\left(0,0,1\right)-2=3-2=1.


2. Dados los vectores \overrightarrow u=\left(2,3,1\right),\;\overrightarrow v=(1,6,-1), obtener el vector \overrightarrow w proyección de \overrightarrow u sobre \overrightarrow v.

Cuando hacemos el producto escalar de dos vectores \overrightarrow A,\;\overrightarrow B, el resultado puede interepretarse como el módulo de la proyección de uno de los vectores multiplicado por el módulo del otro vector: \overrightarrow A\cdot\overrightarrow B=A\cdot B\cdot\cos\;\widehat{\overrightarrow A\overrightarrow B}

Fuente: http://www.physicsmynd.com

Fuente: http://www.physicsmynd.com

Por tanto el vector proyección de \overrightarrow u sobre \overrightarrow v se expresará como \overrightarrow w=\overrightarrow e\cdot\left(\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v\right)=\overrightarrow e\cdot u\cdot v\cdot\cos\;\widehat{\overrightarrow u\overrightarrow v}, donde \overrightarrow e es el vector unitario en la dirección de \overrightarrow v: \overrightarrow e=\frac{\overrightarrow v}v=\frac{\left(1,6,1\right)}{\sqrt{1^2+6^2+1^2}}=\frac{\left(1,6,1\right)}{\sqrt{38}}, queda por tanto:


3. Dados los vectores \overrightarrow A,\;\overrightarrow B calcular \left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)^2+\left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)^2.

Sabemos que el resultado del producto vectorial \left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right) es otro vector perpendicular al plano formado por \overrightarrow A,\;\overrightarrow B cuyo mòdulo es A·B·cos(AB).

Fuente: Wikipedia

Fuente: Wikipedia

Entonces \left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)^2=\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)\cdot\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right) es el producto escalar de ese vector perpendicular consigo mismo, que será igual a su módulo al cuadrado:

\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)^2=\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)\cdot\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)=\left(AB\sin\left(AB\right)\right)^2=A^2B^2\sin^2\left(AB\right).

En cuanto al segundo operando: \left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)^2=\left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)\cdot\left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)=\left(AB\cos\left(AB\right)\right)^2=A^2B^2\cos^2\left(AB\right).

Sumando obtenemos:

\begin{array}{l}\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)^2+\left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)^2=A^2B^2\sin^2\left(AB\right)+A^2B^2\cos^2\left(AB\right)=\\A^2B^2\left(\sin^2\left(AB\right)+\cos^2\left(AB\right)\right)=\boxed{A^2B^2}.\end{array}

Otra forma, más pesada, de resolver el ejercicio es realizando los productos componente a componente:

\begin{array}{l}\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)=\left(A_yB_z-A_zB_y,\;A_xB_z-A_zB_x,\;A_xB_y-A_yB_x\right);\\\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)^2=\left(A_yB_z-A_zB_y\right)^2+\left(A_xB_z-A_zB_x\right)^2+\left(\;A_xB_y-A_yB_x\right)^2;\\\left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z;\\\left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)^2=\left(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\right)^2;\\\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)^2+\left(\overrightarrow A\cdot\;\overrightarrow B\right)^2=\left(A_xB_x\right)^2+\left(A_yB_y\right)^2+\left(A_zB_z\right)^2+\left(A_zB_y\right)^2+\left(A_xB_z\right)^2+\left(A_zB_x\right)^2+\left(A_yB_x\right)^2+\left(A_yB_z\right)^2+\left(A_xB_y\right)^2=\\\left(A_x^2+A_y^2+A_z^2\right)\cdot\left(B_x^2+B_y^2+B_z^2\right)=A^2B^2.\\\end{array}

Nota: si el lector está dudando sobre si podiamos interpretar el cuadrado del producto vectorial asi: (\overrightarrow A\times\overrightarrow B)^2=(\overrightarrow A\times\overrightarrow B)\times(\overrightarrow A\times\overrightarrow B), observe que resultaria una expresión incompatible, pues el resutlado del doble producto vectorial es un vector, y no podemos sumar un vector con el resultado del producto escalar \overrightarrow{(A}\cdot\overrightarrow B)^2 que es un número real.


4. Dados los vectores \overrightarrow A(5t^2,\;t,\;-t^3),\;\overrightarrow B(sin(t),\;-cos(t),\;0), calcular \frac{\operatorname{d}{}}{\operatorname{d}t}\left(\overrightarrow A\times\overrightarrow B\right).

Calculamos el producto vectorial:

\begin{array}{l}\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)=\left(A_yB_z-A_zB_y,\;A_xB_z-A_zB_x,\;A_xB_y-A_yB_x\right)=\\\left(t\cdot0+t^3(-\cos(t)),\;5t^2\cdot0+t^3\sin(t),\;5t^2(-\cos(t))-t\sin\left(t\right)\right)=\\\left(-t^3\cos(t),t^3\sin(t),\;-5t^2(\cos(t))-t\sin\left(t\right)\right).\\\end{array}

Derivamos respecto a t:

\begin{array}{l}\frac{\operatorname{d}{}}{\operatorname{d}t}\left(\overrightarrow A\times\;\overrightarrow B\right)=\left(-3t^2\cos(t)+t^3\sin(t),\;3t^2\sin(t)+t^3\cos(t),-11t\cos(t)+5t^2\sin(t)-\sin(t)\right).\\\end{array}


5. Un cierto vector dependiente del tiempo \overrightarrow A(t) mantiene siempre su dirección constante; ¿que podemos decir sobre su vector derivada respecto al tiempo \frac{\operatorname{d}\overrightarrow A}{\operatorname{d}t}?

Si la dirección es constante entonces solo varia el módulo del vector, esto lo podemos expresar como \overrightarrow A(t)=A(t)\cdot\overrightarrow u, donde \overrightarrow u es un vector unitario en la dirección del vector. Derivando: \frac{\operatorname{d}{}}{\operatorname{d}t}\overrightarrow A(t)=\frac{\operatorname{d}{}}{\operatorname{d}t}\left(A(t)\cdot\overrightarrow u\right)=\frac{\operatorname{d}A(t)}{\operatorname{d}t}\cdot\overrightarrow u, ya que \overrightarrow u es constante. Si comparamos el vector \overrightarrow A(t) con su derivada, vemos que ambos vectores son paralelos, pues ambos tienen la misma dirección constante \overrightarrow u; en efecto: :

\left.\begin{array}{r}\overrightarrow A(t)=A(t)\cdot\overrightarrow u\\\frac{\operatorname{d}\overrightarrow A(t)}{\operatorname{d}t}=\;\frac{\operatorname{d}A(t)}{\operatorname{d}t}\cdot\overrightarrow u\end{array}\right\}\Rightarrow\overrightarrow A(t)\times\frac{\operatorname{d}\overrightarrow A(t)}{\operatorname{d}t}=A(t)\cdot\frac{\operatorname{d}A(t)}{\operatorname{d}t}\cdot\left(\overrightarrow u\times\overrightarrow u\right)=0,

pues el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero, así como tambien es cero el producto de dos vectores paralelos. Por consiguiente, los vectores \overrightarrow A(t),\;\frac{\operatorname{d}\overrightarrow A(t)}{\operatorname{d}t} son paralelos.

 


6. ¿Es posible que la suma w=u+v de dos vectores de mòdulos u=2 y v=5 tenga módulo 1? Justifica la respuesta.

Suma gráfica de los vectores u + v = w: forman un triángulo

Suma gráfica de los vectores u + v = w: forman un triángulo. (Fuente: wikipedia)

Los vectores que se suman y su resultante forman un triángulo. Por la desigualdad triangular la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo siempre es mayor que el otro lado. Si tuviéramos un triángulo de lados u=2, v=5, w=1 se vulneraría la desigualdad triangular, pues u + w = 3 < v = 5. Por tanto no es posible la situación del enunciado.

Otra forma de verlo es pensando en la regla del paralelogramo para la suma de vectores:

Regla del paralelogramo para la suma de vectores: el vector suma es la hipotenusa del rectángulo que tiene por catetos los vectores que sumamos. Fuente: Wikipedia.

Regla del paralelogramo para la suma de vectores: el vector suma es la hipotenusa del rectángulo que tiene por catetos los vectores que sumamos. Fuente: Wikipedia.

La hipotenusa del triángulo es mayor que cualquiera de los catetos, por tanto w sería mayor que u y que v; la excepción es cuando  u y v son paralelos con sentidos opuestos, en este caso el triángulo degenera en una recta, y la longitud mínima de w será v-u=3>1.


 7. Dados dos vectores a, b, dar la expresión del vector unitario u perpendicular al plano formado por a, b.

El producto vectorial c=a\times b es un vector perpendicular al plano formado por a, b. Luego dividiendo c por su módulo, obtendremos el vector unitario pedido: u=\frac{a\times b}{\left\|a\times b\right\|}.


 

 

 

 

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