Límites de sucesiones de funciones

Recientemente he estado ayudando a un alumno con un problema relativo a la convergencia de una sucesión de funciones; a parte de la técnica de resolución, que puede más o menos aprenderse de memoria, comprobé que mi alumno no había entendido ni el significado ni la utilidad de los conceptos, de forma que, por así decirlo, navegaba entre la niebla. De hecho, recordé que yo mismo en mi época de estudiante tampoco lo entendí. Estoy seguro de que se debe a la forma de explicarlo, demasiado formal. Voy a intentar en este post explicar claramente tres conceptos, que son:

  • Sucesión de funciones
  • Convergencia puntual de una sucesión de funciones
  • Convergencia uniforme de una sucesión de funciones

 

Sucesión de funciones

Una sucesión de funciones, a semejanza de una sucesión numérica, es una colección infinita de funciones. Por ejemplo:

\begin{array}{l}f_1(x)=x,\\f_2(x)=x^2,\\f_3(x)=x^3,\\\dots,\\f_n(x)=x^n\end{array}

Más formalmente, si tenemos una función F:\mathbb{N}\rightarrow\Omega, donde \mathbb{N}: números naturales,  \Omega: conjunto de funciones reales de variable real, tal que a cada número natural n hace corresponder una función real f_n(x), diremos que tenemos definida una sucesión de funciones reales. En el ejemplo anterior:

\begin{array}{l}1\rightarrow f_1(x)=x,\\2\rightarrow f_2(x)=x^2,\\3\rightarrow f_3(x)=x^3,\\\dots,\\n\rightarrow f_n(x)=x^n\end{array}

A la función de la sucesión correspondiente al número n, f_n(x) se le llama el término general de la sucesión.

Ejemplo 1: Escribir los tres primeros términos de la sucesión de funciones de término general f_n(x)=\frac1{1-nx^2}.

Son:

\begin{array}{l}n=1\rightarrow f_1(x)=\frac1{1-x^2},\\n=2\rightarrow f_2(x)=\frac1{1-2x^2},\\n=3\rightarrow f_3(x)=\frac1{1-3x^2}\end{array}


Convergencia puntual de una sucesión de funciones

En las sucesiones numéricas ya se ha visto el concepto de convergencia: informalmente hablando, es un número x al que progresivamente se va acercando la sucesión, sin alcanzarlo nunca. Extendiendo el concepto a sucesiones de funciones, el límite también ha de ser una función a la que la sucesión de funciones se va acercando, pero, ¿que entendemos por “acercarse a una función”? Con números reales x, y sabemos que si la diferencia \left|x-y\right| es pequeña, entonces los números  x, y  estan cerca. ¿Cómo lo hacemos con funciones? Bueno, hay varias formas de hacerlo.

Definición 1: Convergencia puntual de una sucesión de funciones.

Sean las funciones f_n\left(x\right) con dominio D. Si existe una función f(x) tal que se cumpla, para todo x\in D:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=f\left(x\right)

diremos que f(x) es la función límite de la sucesión f_n\left(x\right) y que esta sucesión converge puntualmente a f(x).

Ejemplo 2: La sucesión f_n(x)=\frac1{1+nx^2} tiende a la función

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\;\text{si }x\neq0\\1\;\text{si }x=0\end{array}\right.

en efecto:

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{1+nx^2}=\left\{\begin{array}{l}\frac1{1+\infty\cdot x^2}=\frac1{\infty}=0\;\text{si }x\neq0\\\frac1{1+n\cdot0}=\frac11=1\;\text{si }x=0\end{array}\right.

Gráficamente, representamos los términos 1, 2, 3, 50 y 1000 de la sucesión :

fn(x) = 1/(1+nx²)

fn(x) = 1/(1+nx²)

Vemos que,  a medida que avanzamos en la sucesión, la gráfica de f_n(x) se va estrechando; en el límite vale cero en todo punto excepto en x=0, donde vale 1.

En este ejemplo vemos que, aun siendo todas las funciones de la sucesión f_n(x) funciones continuas, la función límite f(x) no lo es. Por tanto, la definición que hemos dado de convergencia de series de funciones no conserva la continuidad. En el siguiente apartado encontramos la segunda definición de convergencia que conservará la continuidad.


 

Convergencia uniforme de una sucesión de funciones

Para ver el motivo de por qué la convergencia puntual no conserva la continuidad, y como puede solucionarse, veamos un ejemplo. Sea la sucesión funcional definida por f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}. En la imagen hemos representado los términos n=1, 2, 3, 100, así como las rectas y=0.3, e y=-0.3.

fn(x) = |x| / (1 + nx²)

fn(x) = |x| / (1 + nx²). Los términos a partir del tercero  estan dentro de la franja -0,3 < y < 0,3.

La función límite es:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}=\left\{\begin{array}{l}0\;\text{si }x=0\\\frac{\left|x\right|}{1+\infty}\rightarrow0\;\text{si }x\neq0\end{array}\right.

Luego f(x)=0. En la imagen observamos que, a partir de cierto término (el tercero, f_3(x)) todas las funciones quedan dentro de la franja delimitada por las rectas y=0,3, e y=-0,3, o sea que la distancia entre la gráfica de f(x) y de f_n(x) es menor que d=0,3.  Dicho de otro modo,  toda la gráfica de cada función f_n(x) se acerca uniformemente a la función límite f(x)=0. Cuando sucede esto, queda asegurada la continuidad de la función límite, como en este caso sucede. Tenemos pues una nueva definición de convergencia:

Definición 2: Convergencia uniforme de una sucesión de funciones.

f_n(x) tiende uniformemente a f(x) si converge puntualmente a f(x) y además, dada una distancia d cualquiera, la separación entre la función límite y todas las funciones de la sucesión a partir de una de ellas es menor que d.

Ejemplo 3:  la sucesión funcional f_n(x)=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2} converge puntualmente a f(x)=0. ¿Convergerá uniformemente? Sea un número d>0 cualquiera; queremos que

\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\left|\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}-0\right|=\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}<d\Leftrightarrow\frac x{1+nx^2}<d

siempre que n>n_0. Operando:

\frac x{1+nx^2}<d\Leftrightarrow-ndx^2+x-d>0\Leftrightarrow n>\frac{x-d}{dx^2}.

Para asegurar que se cumpla la última desigualdad para todo x, buscamos el valor máximo del término de la derecha; lo consideramos una función de x, derivamos respecto x e igualamos a cero:

D_x\left(\frac{x-d}{dx^2}\right)=\frac{1\left(dx^2\right)-\left(x-d\right)\cdot2dx}{\left(dx^2\right)^2}=0\Leftrightarrow-dx^2+2d^2x=0\Leftrightarrow x=2d.

Para ver que es un máximo y no un mínimo basta con observar que la expresión \frac{x-d}{dx^2} tiende al valor cero para x\rightarrow\infty, mientras que si sustituimos el valor x=2d obtenemos el valor \frac{2d-d}{d\cdot4d^2}=\frac d{4d^3}=\frac1{4d^2}>0..

Así pues, dado un valor d>0 cualquiera (de hecho, se supone que damos valores “pequeños” a d) hemos encontrado que, tomando los términos n>n_0 con n_0=\frac1{4d^2}, todos ellos cumpliran la condición \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<d. Por ejemplo, sea d=0,3 (recordar que en la imagen anterior hemos trazado la región -0,3 < y <0,3); entonces n_0=\frac1{4d^2}=\frac1{4\cdot0,3^2}=2,7.\;. Cogiendo n\geq3 todos los términos iguales o posteriores al tercero entrarán dentro de la franja -0,3 < y <0,3, tal como se observa en la figura anterior. Por tanto concluimos que esta sucesión de funciones converge uniformemente a f(x)=0.


Procedimiento práctico para estudiar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de sucesiones de funciones

1. Dada una sucesión de funciones f_n(x), primero estudiamos el límite \lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right) para ver si es puntualmente convergente. Hay que tener en cuenta al hacer el límite que la variable x puede tomar cualquier valor en el dominio de la función. Si no es puntualmente convergente hemos terminado, pues ya no puede ser uniformemente convergente.

2. Si las funciones f_n(x) son continuas pero la función límite es discontinua, también hemos terminado, pues no puede ser uniformemente convergente, dado que uniformemente convergente \Rightarrow se conserva la continuidad en la función límite.

3. Si tenemos convergencia puntual a la función f(x) y queremos comprobar la convergencia uniforme, podemos aplicar la definición 2, demostrando que para todo d>0 siempre existe un n_0 tal que, para todo n>n_0 se cumple la desigualdad \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<d. Esto puede ser inmediato, o no. En los casos que no sea fácil, podemos intentar aplicar un criterio equivalente:

Criterio de convergencia uniforme de una sucesión f_n(x)

f_n(x) converge uniformemente al límite puntual f(x) siempre que se cumpla:

\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\text{=0}.

Ejemplo 4: La sucesión f_n(x)=\frac1{1+nx^2} de los ejemplos 1 y 2 no converge uniformemente a su límite puntual f(x)=0 para x\neq0,  f(x)=1 para x=0, pues todas las funciones \frac1{1+nx^2} son continuas en todo su dominio, pero la función límite es discontinua.

Ejemplo 5: apliquemos el criterio de convergencia uniforme a la sucesión del ejemplo 3. Primero calculamos el valor {\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|:

{\text{Sup}}_x\left|\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}-0\right|={\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{.}

Derivamos la expresión para obtener el valor máximo:

D_x\left(\frac x{1+nx^2}\right)=\frac{1\left(1+nx^2\right)-x\left(2nx\right)}{\left(1+nx^2\right)^2}=0\Rightarrow1-nx^2=0\Rightarrow x=\frac1{\sqrt n}.

Hemos ignorado el valor absoluto pues la expresión h(x)=\frac x{1+nx^2} es impar: h(-x)=-h(x), entonces un máximo digamos en un punto x_0 implica un mínimo en -x_0 y viceversa.

Tenemos que {\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{=}\frac1{\sqrt n} (observamos que no puede ser un mínimo pues para x=0 la expresión vale 0). Pasamos ahora al límite:

\lim_{n\rightarrow\infty}{\text{Sup}}_x\frac{\left|x\right|}{1+nx^2}\text{=}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt n}\text{=0.}

Efectivamente se cumple la condición dada por el criterio, luego la sucesión converge uniformemente.

Ejemplo 6: Estudiar la convergencia de la sucesión f_n\left(x\right)=\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}.

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}=0, ya que el valor del numerador oscila entre -1 y 1 mientras que el denominador tiende a \infty. Luego la función límite es f(x)=0.

{\text{Sup}}_x\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|={\text{Sup}}_x\left|\frac{\sin\left(nx\right)}{\sqrt n}\right|=\frac1{\sqrt n}, por la misma razón:  el valor del numerador oscila entre -1 y 1. Pasamos al límite: \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt n}=0, luego la sucesión converge uniformemente. En la imagen siguiente vemos los términos 1, 5 y 100 de la serie (éste último en rojo). La amplitud de las oscilaciones tiende a 0.

sin(nx) / n^(1/2)

sin(nx) / n^(1/2)

Ejemplo 7: Estudiar la convergencia de la sucesión f_n\left(x\right)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}.

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=\left\{\begin{array}{c}0\;\text{si }x=0\\\frac12\;\text{si }x=1\\1\;\text{si }\left|x\right|>1\end{array}\right.\\\end{array}

La función límite es discontinua, pero las funciones de la sucesión son todas continuas, por tanto no puede ser uniformemente convergente. En la figura siguiente vemos los términos 1, 2, 3 y 10, éste último en rojo. Todas las funciones de la sucesión pasan por el punto (x,y)=(1, 0.5). En el límite, este punto pasa a ser un punto aislado de la gráfica, resultando una función límite discontínua.

(x^2n)/(1+x^2n)

(x^2n)/(1+x^2n)

Ejemplo 8: Estudiar la convergencia de la sucesión \begin{array}{l}f_n\left(x\right)=x\left(1+\frac1n\right)\\\end{array}.

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}x\left(1+\frac1n\right)=x\\\end{array}, luego la función límite es f(x)=x. Todas las funciones de la sucesión, y también la función límite, son continuas, por lo que no podemos decir nada de la convergencia uniforme, debemos comprobarla.

\begin{array}{l}{\text{Sup}}_x\left|x\left(1+\frac1n\right)-x\right|={\text{Sup}}_\mathrm x\left|\frac{\mathrm x}{\mathrm n}\right|\\\end{array}. Esta expresión no está acotada, no existe el supremo. No obstante, si nos restringimos a cualquier intervalo (a, b) de la recta real, entonces:

\begin{array}{l}{\text{Sup}}_\mathrm x\left|\frac{\mathrm x}{\mathrm n}\right|=\frac{\mathrm b}{\mathrm n}\;\text{si }\mathrm x\in\left(\mathrm a,\mathrm b\right)\\\end{array}

Pasando al límite:

\begin{array}{l}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\mathrm b}{\mathrm n}=0\;\text{si }\mathrm x\in\left(\mathrm a,\mathrm b\right)\\\end{array}.

Por tanto la función es uniformemente convergente en cualquier intervalo (a, b) pero no lo es en todo el dominio \mathbb{R}.

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Bibliografía

 

Análisis Matemático: un buen libro de teoría de nivel más bien elevado; el capítulo 9 se dedica a las series funcionales

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